2020初一数学竞赛试题
2020年初一数学竞赛初赛试卷及答案解析

2020年初一数学竞赛初赛试卷一、填空题(共11小题)1.(8分)求9+49+299+8999+99999=.2.(8分)计算:(−2007)5×(−3.25)5×(−23)5×(−1446)5×(−413)5=.3.(8分)一个自然数写成五进制为(xyz)5,写成六进制为(zyx)6,这个自然数为.4.(8分)500千克黄瓜,原来水占99%.过一周,水占98%.这时黄瓜重千克.5.(10分)在边长为2cm的等边三角形内部取一些点.如果要保证所取的点中一定存在两点距离小于1cm,那么至少应取个点.6.(10分)方程x2+y2+z2=2007(填A或B).(A)有整数解(B)没有整数解.7.(10分)一张正方形纸片内部有2007个点,再加上四个顶点共2011个点,任意三点不共线.用剪刀可以剪出个以这些点为顶点的三角形.8.(10分)在图中每个小方格内填入一个数,使每一行、每一列都有1、2、3、4、5.那么,右下角的小方格(用粗线围出的方格)内填入的数应是.9.(12分)数列2,2,4,4,4,4,6,6,6,6,6,6,…的第2007项为.10.(12分)[10301010+7]的个位数为.其中[x]表示x的整数部分.11.(12分)若m、n为正整数,则|23m﹣540n|的最小值为.二、解答题(共3小题,满分42分)12.(12分)有四个村庄(点)A、B、C、D,要建一所学校P,使P A+PB+PC+PD最小.画图说明P在哪里.13.(15分)画出12个点,使得每个点至少与其它11个点中的3个点的距离为1.14.(15分)如下表,在7×7的正方形表格中有9个数和4个字母,其中J、Q、K都表示10,A既可以表示1也可以表示11.将数或字母在原来的列中移动,设法使数与字母的总数多于1的每行、每列、每条斜线上的数与字母的和等于21.将你的结果填在右图中.。
2020年七年级数学竞赛试卷及答案解析

第 1 页 共 11 页2020年七年级数学竞赛试卷一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)1.(3分)已知a 是两位数,b 是一位数,把a 接写在b 的后面,就成为一个三位数.这个三位数可表示成( ) A .10b +aB .baC .100b +aD .b +10a2.(3分)设x 为有理数,若|x |=x ,则( ) A .x 为正数B .x 为负数C .x 为非正数D .x 为非负数3.(3分)某地区一天三次测量气温如下,早上是﹣8℃,中午上升了4℃,半夜下降了14℃,则半夜的气温是( ) A .﹣15℃B .2℃C .﹣18℃D .﹣26℃4.(3分)关于x 的方程2x ﹣4=3m 和x +2=m 有相同的解,则m 的值是( ) A .10B .﹣8C .﹣10D .85.(3分)当3≤m <5时,化简|2m ﹣10|﹣|m ﹣3|得( ) A .13+mB .13﹣3mC .m ﹣3D .m ﹣136.(3分)计算:3+(﹣2)结果正确的是( ) A .1B .﹣1C .5D .﹣57.(3分)观察图中的数轴:用字母a ,b ,c 依次表示点A ,B ,C 对应的数,则1ab,1b−a,1c的大小关系是( )A .1ab<1b−a<1cB .1b−a<1ab<1cC .1c<1b−a<1abD .1c<1ab<1b−a8.(3分)平面内3条直线最多可以把平面分成( ) A .4部分B .5部分C .6部分D .7部分9.(3分)一项工程,甲单独做需m 小时完成,若与乙合作20小时可以完成,则乙单独完成需要的时间是( ) A .20m m−20小时 B .20mm+20小时 C .m−2020m小时 D .m+2020m小时10.(3分)如图,是一个正方体的展开图,把展开图折叠成正方体后有“水”字一面的相对面上的字是( )。
2019—2020学年度上学期七年级数学竞赛考试题(含答案)

中学2019——2020学年度上学期七年级数学竞赛考试题亲爱的同学们,这是你们中学阶段第一次数学竞赛,只要你认真、细心、精心、耐心,一定会做好的。
来吧,迎接你的挑战吧!请认真审题,看清要求,仔细答题,要相信我能行。
一、选择题(每小题3分,共30分)1. 已知代数式的值是4,则代数式的值是( )A 、9B 、-9C 、-8D 、-7 2. 、、在数轴上的位置如图所示,则化简的结果是( )A 、B 、C 、D 、以上都不对 3. x 是任意有理数,则2|x |+x 的值( ).A 、大于零B 、 不大于零C 、小于零D 、不小于零4. 一台电视机成本价为a 元,销售价比成本价增加25%,因库存积压,所以就按销售价的70%出售。
那么每台实际售价为( ).A 、(1+25%)(1+70%)a 元B 、70%(1+25%)a 元C 、(1+25%)(1-70%)a 元D 、(1+25%+70%)a 元5. 现定义两种运算“”,“”。
对于任意两个整数,,,则(-68)(-53)的结果是( )A 、-4B 、-3C 、-5D 、-66. 如图,三个天平的托盘中相同的物体质量相等。
图⑴、⑵所示的两个天平处于平衡状态要使第三个天平也保持平衡,则需在它的右盘中放置( )A 、 3个球B 、 4个球C 、 5个球D 、 6个球 7. 已知是整数,则以下四个代数式中,不可能得整数值的是( ).A 、B 、C 、D 、8. 若有理数a 、b 满足ab >0,且a + b <0,则下列说法正确的是( )A 、 a 、b 可能一正一负B 、a 、b 都是正数C 、a 、b 都是负数D 、a 、b 中可能有一个为09. 为了节约用水,某市规定:每户居民每月用水不超过15立方米,按每立方米1.6元收费,超过15立方米,则超过部分按每立方米2.4元收费。
小明家六月份交水费33. 6元,则小明家六月份实际用水( )立方米A 18B 19C 20D 2110.小婷问王老师今年多大了,王老师说:“我象你现在这么大时,你才6岁;等你象我现在这么大时,我33岁了。
2020-2021学年全国初中数学竞赛试题(多份)及答案

保证原创精品 已受版权保护2020年全国初中数学竞赛试题(多份)及答案一、选择题1.设a <b <0,a 2+b 2=4ab ,则b a ba 的值为【 】A 、3B 、6C 、2D 、32.已知a =2020x +2020,b =2020x +2020,c =2020x +2020,则多项式a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca 的值为【 】A 、0B 、1C 、2D 、33.如图,点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点,连AF 、CE 交于点G ,则ABCDAGCDS S 矩形四边形等于【 】A 、65B 、54C 、43D 、32ABC DEF G保证原创精品 已受版权保护4.设a 、b 、c 为实数,x =a 2-2b +3,y =b 2-2c +3,z =c 2-2a +3,则x 、y 、z 中至少有一个值【 】A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于05.设关于x 的方程ax 2+(a +2)x +9a =0,有两个不等的实数根x 1、x 2,且x 1<1<x 2,那么a 的取值范围是【 】A 、72<a <52 B 、a >52 C 、a <72 D 、112<a <06.A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形,A 1A 2=a ,A 1A 3=b ,则A 1A 5等于【 】A 、22b a B 、22b ab a C 、b a 21D 、a +b二、填空题7.设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2+ax +a =2的两个实数根,则(x 1-2x 2)(x 2-2x 1)的最大值为 。
8.已知a 、b 为抛物线y =(x -c)(x -c -d)-2与x 轴交点的横坐标,a <b ,则bc c a 的值为 。
9.如图,在△ABC 中,∠ABC =600,点P 是△ABC 内的一点,使得∠APB =∠BPC =∠CPA ,且PA =8,PC =6,则PB = 。
2019-2020年初中数学竞赛试题及答案

2019-2020年初中数学竞赛试题及答案一、选择题:(每小题6分,共30分)1、已知a 、b 、c 都是实数,并且c b a >>,那么下列式子中正确的是( ) (A)bc ab >(B)c b b a +>+(C)c b b a ->-(D)cb c a > 2、如果方程()0012>=++p px x 的两根之差是1,那么p 的值为( ) (A)2(B)4(C)3(D)53、在△ABC 中,已知BD 和CE 分别是两边上的中线,并且BD ⊥CE ,BD=4,CE=6,那么△ABC 的面积等于( )(A)12(B)14(C)16(D)18 4、已知0≠abc ,并且p bac a c b c b a =+=+=+,那么直线p px y +=一定通过第( )象限(A)一、二(B)二、三(C)三、四(D)一、四 5、如果不等式组⎩⎨⎧<-≥-0809b x a x 的整数解仅为1,2,3,那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(a 、b )共有( )(A)17个(B)64个(C)72个(D)81个 二、填空题:(每小题6分,共30分)6、在矩形ABCD 中,已知两邻边AD=12,AB=5,P 是AD 边上任意一点,PE ⊥BD ,PF ⊥AC ,E 、F 分别是垂足,那么PE+PF=___________。
7、已知直线32+-=x y 与抛物线2x y =相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,那么△OAB 的面积等于___________。
8、已知圆环内直径为a cm ,外直径为b cm ,将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链,那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。
9、已知方程()015132832222=+-+--a a x a a x a (其中a 是非负整数),至少有一个整数根,那么a =___________。
河南淮滨县第一中学2020年12月七年级数学竞赛试题(含答案)

淮滨县第一中学2020年12月七年级数学竞赛试题考试时间:2020年12月30日一、选择题(本题共计12 小题,每题3 分,共计36分,)1. 下列说法:①−5πR2的系数是−5;②两个数互为倒数,则它们的乘积为1;③若a,b互为相反数,则ba=−1;④用四舍五入法将数3.14159精确到千分位是3.1416;⑤两个有理数比较,绝对值大的反而小;⑥若a为任意有理数,则a≤|a|,其中正确的有( )A.2个B.3个C.4个D.5个2. 李白出生于公元701年,我们记作+701,那么杨雄出生于公元前53年,可记作()A.53B.−754C.−53D.6483. 下列计算:①(−1)×(−2)×(−3)=6;②(−36)÷(−9)=−4;③23×(−94)÷(−1)=32;④(−4)÷12×(−2)=16.其中正确的个数是( )A.4B.3C.2D.14. 若单项式13a m+1b3与−2a3b n的和仍是单项式,则方程x−7n−1+xm=1的解为( )A.x=−23B.x=23C.x=−29D.x=295. 小文在计算某多项式减去2a2+3a−5的差时,误认为是加上2a2+3a−5,求得答案是a2+a−4(其他运算无误),那么正确的结果是( )A.−a2−2a+1B.−3a2−5a+6C.a2+a−4D.−3a2+a−46. 已知x=(14−15)×(−20),A=2x2−x+1,B=x2+x,则2A−5B的值为( )A.5B.6C.7D.87. 3≤m≤5,化简|m−5|+|2m−6|的结果是( )A.m−1B.1−mC.3m−11D.11−3m要求路的两端各栽一棵,并且每两棵树的间隔相等,如果每隔5米栽1棵,那么树苗缺21棵;如果每隔6米栽1棵,那么树苗正好用完.设原有树苗x 棵,则下列方程正确的是( ) A.5(x +21−1)=6(x −1) B.5(x +21)=6(x −1) C.5(x +21−1)=6xD.5(x +21)=6x9. 某书店把一本新书按标价的八折出售,仍可获利10%,若该书的进价为24元,则标价为( ) A.30元B.31元C.32元D.33元10. 下列说法正确的个数 ( )①线段有两个端点,直线有一个端点;②点A 到点B 的距离就是线段AB ;③两点之间线段最短;④ 若AB =BC ,则点B 为线段AC 的中点;⑤同角(或等角)的余角相等. A.4个B.3个C.2个D.1个11. 若(m +3)x |m|−2−8=2是关于x 的一元一次方程,则m 的值是( ) A.3B.−3C.±3D.不能确定12. 关于式子−2a n b 3(n 为正整数)的结论,不正确的是( )A.它的系数是−23B.若a =b =−12,n =3时,它的值为−124 C.若它是七次单项式,则n =6 D.它不是整式二、 填空题 (本题共计 4 小题 ,每题 3 分 ,共计12分 , ) 13. 若a +b +c <0,abc >0,则a|a|+2ab|ab|+3abc|abc|的值为________. 14. 一组单项式:a ,−2a 2,3a 3,−4a 4,⋯,按此规律排列下去,第2020 个单项式为________.15. 小李在解关于x 的方程5a −x =13时,误将−x 看作+x ,得方程的解为x =−2,则原方程的解为________.16. 一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成,如果1立方米木料可制作方桌的桌面50个或制作桌腿300条,现有5立方米木料,设用x 立方米木料做桌面,那么桌腿用木料(5−x)立方米,这里x 应满足的方程是________. 三、 解答题 (本题共计 6 小题 ,共计52分 , )(1)7x−2x=8+2;(2)4x−3(5−2x)=7x;(3)2x−13=x4;(4)1−x2=4x−13−1.18. (8分)化简求值:5x2−[x2−2x−2(x2−3x+1)],其中3x2−2x=5.19.(8分) 已知在数轴上有A,B两点,点A表示的数为4,点B在A点的左边,且AB=12.若有一动点P从数轴上点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,动点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动,设运动时间为t秒.(1)写出数轴上点B表示的数为________,P所表示的数为________(用含t的代数式表示);(2)若点P,Q分别从A,B两点同时出发,问点P运动多少秒与Q相距3个单位长度?(3)若点P,Q分别从A,B两点同时出发,分别以BQ和AP为边,在数轴上方作正方形BQCD和正方形APEF如图2所示.求当t为何值时,两个正方形的重20.(8分) 在某次作业中有这样的一道题:“如果代数式5a+3b的值为−4,那么代数式2(a+b)+4(2a+b)的值是多少?”小明是这样来解的:原式= 2a+2b+8a+4b=10a+6b,把式子5a+3b=−4两边同乘以2,得10a+ 6b=−8,仿照小明的解题方法,完成下面的问题:(1)如果a2+a=0,则a2+a+2020=________;(2)已知a−b=−2,求3(a−b)−5a+5b+6的值;(3)已知a2+2ab=3,ab−b2=−4,求a2+32ab+12b2的值.21.(8分) 某车间接到一批限期(可以提前)完成的零件加工任务.如果每天加工150个,则恰好按期完成;如果每天加工200个,则可比原计划提前5天完成.(1)求这批零件的个数;(2)车间按每天加工200个零件的速度加工了m个零件后,将加工速度提高到每天加工250个零件,结果比原计划提前6天完成了生产任务,求m的值.22.(8分) 已知x=−3是关于x的方程(k+3)x+2=3x−2k的解.(1)求k的值;(2)在(1)的条件下,已知线段AB=6cm,点C是线段AB上一点,且BC=kAC,若点D是AC的中点,求线段CD的长;(3)在(2)的条件下,已知点A所表示的数为−2,有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动,同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动,当时间为多少秒时,有PD=2QD?参考答案与试题解析淮滨县第一中学2020年12月七年级数学竞赛试题一、选择题(本题共计12 小题,每题 3 分,共计36分)1.【答案】A【解析】根据题目中各个小题中的说法,可以判断是否正确,从而可以解答本题.【解答】解:①−5πR2的系数是−5π,故①错误;②两个数互为倒数,则它们的乘积为1,故②正确;③当a,b都不等于0时,若a,b互为相反数,则ba =−1;若a=b=0,则ba无意义,故③错误;④用四舍五入法将数3.14159精确到千分位是3.142,故④错误;⑤两个负有理数比较,绝对值大的反而小,两个正有理数比较,绝对值大的这个数就大,故⑤错误;⑥当a≥0时,a−|a|=a−a=0,当a<0时,a−|a|=a−(−a)=a+a=2a<0,故若a为任意有理数,则a≤|a|,故⑥正确.故选A.2.【答案】C【解析】此题暂无解析【解答】解:公元701年用+701表示,则公元前用负数表示,则公元前53年表示为−53.故选C.3.【答案】C根据有理数的乘法和除法法则分别进行计算即可.【解答】解:①(−1)×(−2)×(−3)=2×(−3)=−6,故①计算错误;②(−36)÷(−9)=4,故②计算错误;③23×(−94)÷(−1)=(−32)÷(−1)=32,故③计算正确;④(−4)÷12×(−2)=(−8)×(−2)=16,故④计算正确.综上,正确的个数是2个.故选C.4.【答案】A【解析】由题意得到两单项式为同类项,利用同类项定义确定出m与n的值,代入方程计算即可求出解.【解答】解:∵单项式13a m+1b3与−2a3b n的和仍是单项式,∴单项式13a m+1b3与−2a3b n为同类项,即m=2,n=3,代入方程得:x−73−1+x2=1,去分母得:2(x−7)−3(1+x)=6,去括号得:2x−14−3−3x=6,移项合并得:−x=23,解得:x=−23.故选A.5.【答案】B【解析】【解答】=a2+a−4−2a2−3a+5=−a2−2a+1,则正确的结果为(−a2−2a+1)−(2a2+3a−5)=−a2−2a+1−2a2−3a+5=−3a2−5a+6.故选B.6.【答案】D【解析】根据有理数混合运算计算出x的值,再利用整式加减法对化简2A−5B,再将x的值代入求解.【解答】解:∵x=(14−15)×(−20),∴x=120×(−20)=−1.∵A=2x2−x+1,B=x2+x,∴2A−5B=2(2x2−x+1)−5(x2+x)=4x2−2x+2−5x2−5x=−x2−7x+2=−(−1)2−7×(−1)+2=8.故选D.7.【答案】A【解析】利用绝对值的意义得到|m−5|+|2m−6|=−(m−5)+2m−6,然后去括号后合并即可.解:由3≤m≤5得m−5≤0,2m−6≥0,∴|m−5|+|2m−6|=−(m−5)+2m−6=−m+5+2m−6=m−1.故选A.8.【答案】A【解析】此题暂无解析【解答】解:因为设原有树苗x棵,则路的长度为5(x+21−1)米,由题意,得5(x+21−1)=6(x−1),故选A.9.【答案】D【解析】设这本新书的标价为x元,依题意得:0.8x−24=24×10%,求解即可. 【解答】解:设这本新书的标价为x元,依题意得:0.8x−24=24×10%,解得:x=33.故选D.10.【答案】C【解析】此题暂无解析①线段有两个端点,直线没有端点,故①错误; ②点A 到点B 的距离就是线段AB 的长度,故②错误; ③两点之间线段最短,正确;④若AB =BC ,点B 在线段AC 上时,则点B 为线段AC 的中点,故④错误; ⑤同角(或等角)的余角相等,正确. 故选C. 11.【答案】A 【解析】只含有一个未知数(元),并且未知数的指数是1(次)的方程叫做一元一次方程.它的一般形式是ax +b =0(a ,b 是常数且a ≠0). 【解答】解:由(m +3)x |m|−2−8=2是关于x 的一元一次方程,得 |m|−2=1,且m +3≠0. 解得m =3, 故选:A . 12.【答案】D 【解析】根据单项式的定义,单项式中数字因数叫做单项式的系数,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数对各小题分析判断即可. 【解答】 解:A ,−2a n b 3系数为−23,故A 正确;B ,当a =b =−12,n =3时,−2a n b 3=−2×(−12)3×123=−124,故B 正确;C ,由于−2a n b 3的次数为n +1,所以若它是七次单项式,即n +1=7,则n =6,故C 正确; D ,−2a n b 3是整式,故D 错误.二、填空题(本题共计4 小题,每题3 分,共计12分)13.【答案】4或0或2【解析】由a+b+c<0,abc>0,得到a,b,c三个数必定是一正两负,分析a,b,c的符号,去掉绝对值进行求解即可.【解答】解:∵a+b+c<0,abc>0,∴a,b,c三个数必定是一正两负,∴当a<0,b<0,c>0时,ab>0,此时a|a|+2ab|ab|+3abc|abc|=−1+2+3=4;当a<0,b>0,c<0时,ab<0,此时a|a|+2ab|ab|+3abc|abc|=−1−2+3=0;当a>0,b<0,c<0时,ab<0,此时a|a|+2ab|ab|+3abc|abc|=1−2+3=2.故答案为:4或0或2.14.【答案】−2020a2020【解析】利用已知单项式得出其次数与其所在个数的关系,系数偶数个为负数,奇数个为正,进而得出答案.【解答】解:由题中式子可得规律,第n个单项式的系数为n×(−1)n+1,a的指数为n,所以第2020个单项式为:−2020a2020.故答案为:−2020a2020.15.【答案】x=2【解析】根据题意,方程5a+x=13的解是x=−2,可先得出a=3,然后,代入原方程,解出即可;【解答】解:由题意得,5a−2=13,解得,a=3,∴原方程为15−x=13,解得:x=2.故答案为:x=2.16.【答案】4×50x=300(5−x)【解析】此题暂无解析【解答】设用x立方米木料做桌面,那么桌腿用木料(5−x)立方米,所以4×50x=300(5−x).三、解答题(本题共计6 小题,共计52分)17.【答案】解:(1)合并同类项,得5x=10,系数化为1,得x=2.(2)去括号,得4x−15+6x=7x,移项,得4x+6x−7x=15,合并同类项,得3x=15.系数化为1,得x=5.(3)去分母,得8x−4=3x,移项,得8x−3x=4,合并同类项,得5x=4,.系数化为1,得x=45(4)去分母,得3(1−x)=2(4x−1)−6,去括号,得3−3x=8x−2−6,移项,得−3x−8x=−2−6−3,合并同类项,得−11x=−11,系数化为1,得x=1.【解析】合并同类项,得5x=10系数化为1,得x=2去括号,得4x−156x=7移项,得4x+6x−7=11合并同类项,得3x=1.系数化为1,得x=5去分母,得8x−4=3x移项,得8x−3x=4合并同类项,得5x=系数化为1,得x=45去分母,得3(1−x)=2(4x−1)−6去括号,得3−3t=8x−2−6.移项,得−3x−8x=−2−6−3合并同类项,得−11=−11.系数化为1,得x=1【解答】解:(1)合并同类项,得5x=10,系数化为1,得x=2.(2)去括号,得4x−15+6x=7x,移项,得4x+6x−7x=15,合并同类项,得3x=15.系数化为1,得x=5.(3)去分母,得8x−4=3x,移项,得8x−3x=4,合并同类项,得5x=4,.系数化为1,得x=45(4)去分母,得3(1−x)=2(4x−1)−6,去括号,得3−3x=8x−2−6,移项,得−3x−8x=−2−6−3,合并同类项,得−11x=−11,系数化为1,得x=1.18.【答案】解:5x2−[x2−2x−2(x2−3x+1)]=5x2−(x2−2x−2x2+6x−2)=5x2−(−x2+4x−2)=5x2+x2−4x+2=6x2−4x+2,∵3x2−2x=5,∴原式=2(3x2−2x)+2=2×5+2=12.【解析】原式去括号合并得到最简结果,再用整体代入法求出式子的值.【解答】解:5x2−[x2−2x−2(x2−3x+1)]=5x2−(x2−2x−2x2+6x−2)=5x2−(−x2+4x−2)=5x2+x2−4x+2=6x2−4x+2,∵3x2−2x=5,∴原式=2(3x2−2x)+2=2×5+2=12.19.【答案】−8,4−t(2)依题意得,点P表示的数为4−t,点Q表示的数为−8+2t,①若点P在点Q右侧时:(4−t)−(−8+2t)=3,解得:t=3,②若点P在点Q左侧时:(−8+2t)−(4−t)=3,解得:t=5综上所述,点P运动3秒或5秒时与Q相距3个单位长度.4.8或24【解析】(1)根据题目中给出的条件及P的运动规律可直接得出.(2)分别根据P、Q两点的运动规律,用变量t表示这两点所表示的数.求两点间距离即把右边点表示的数减去左边点表示的数,分情况列一次方程即可求得.(3)由点的运动到边的变化进而到正方形面积的变化,找到符合题意的运动位置画出图形进行分类讨论,由面积之间的关系列方程即可求得.【解答】解:(1)因为点B在点A的左边,AB=12,点A表示4,则点B表示的数为4−12=−8;动点P从数轴上点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,则点P表示的数为4−t.故答案为:−8;4−t.(2)依题意得,点P表示的数为4−t,点Q表示的数为−8+2t,①若点P在点Q右侧时:(4−t)−(−8+2t)=3,解得:t=3,②若点P在点Q左侧时:(−8+2t)−(4−t)=3,解得:t=5综上所述,点P运动3秒或5秒时与Q相距3个单位长度.(3)①如图1,P,Q均在线段AB上,因为两正方形有重叠部分,所以点P在点Q的左侧,PQ=(−8+2t)−(4−t)=3t−12,又因为AP=4−(4−t)=t,重叠部分的面积为正方形APEF面积的一半,t,所以3t−12=12解得:t=4.8.②如图2,P,Q均在线段AB外,∴AB=12,AP=t,t,∴12=12解得:t=24.故答案为:4.8或24.20.【答案】2020 (2)∵a−b=−2,∴原式=3(a−b)−5(a−b)+6=−2(a−b)+6 =10.(3)∵a2+2ab=3,ab−b2=−4,(ab−b2)∴原式=(a2+2ab)−12×(−4)=5 .=3−12【解答】解:(1)∵a2+a=0,∴原式=0+2020=2020.故答案为:2020.(2)∵a−b=−2,∴原式=3(a−b)−5(a−b)+6=−2(a−b)+6 =10.(3)∵a2+2ab=3,ab−b2=−4,(ab−b2)∴原式=(a2+2ab)−12=3−1×(−4)=5 .221.【答案】解:(1)设这批零件有x个,则由题意得x150−x200=5,解得x=3000.答:这批零件有3000个.(2)由题意得m200+3000−m250=3000150−6,解得m=2000.答:m的值是2000.【解析】左侧图片未给出解析.左侧图片未给出解析.【解答】解:(1)设这批零件有x个,则由题意得x150−x200=5,解得x=3000.答:这批零件有3000个.(2)由题意得m200+3000−m250=3000150−6,解得m=2000.答:m的值是2000.22.【答案】解:(1)把x=−3代入方程(k+3)x+2=3x−2k得:−3(k+3)+2=−9−2k.解得:k=2.(2)当k=2时,BC=2AC,AB=6cm,∴AC=2cm,BC=4cm.当C 在线段AB 上时,如图:∵ D 为AC 的中点,CD =12AC =1cm ,∴ 线段CD 的长为1cm .(3)在(2)的条件下,∵ 点A 所表示的数为−2 ,AD =CD =1,AB =6,∴ D 点表示的数为−1,B 点表示的数为4.设经过x 秒时,有PD =2QD ,∴ 此时P 与Q 在数轴上表示的数分别是−2−2x ,4−4x 分两种情况: ①当点D 在PQ 之间时,∵PD =2QD ,∴ −1−(−2−2x )=2[4−4x −(−1)],解得x =910; ②当点Q 在PD 之间时,∵ PD =2QD ,∴ −1−(−2−2x )=2[−1−(4−4x )],解得x =116.答:当时间为910或116秒时,有PD =2QD.【解答】解:(1)把x =−3代入方程(k +3)x +2=3x −2k 得:−3(k +3)+2=−9−2k. 解得:k =2.(2)当k =2时,BC =2AC ,AB =6cm ,∴ AC =2cm ,BC =4cm .当C 在线段AB 上时,如图:∵ D 为AC 的中点,CD =12AC =1cm , ∴ 线段CD 的长为1cm .(3)在(2)的条件下,∵ 点A 所表示的数为−2 ,AD =CD =1,AB =6,∴ D 点表示的数为−1,B 点表示的数为4.设经过x 秒时,有PD =2QD ,∴ 此时P 与Q 在数轴上表示的数分别是−2−2x ,4−4x 分两种情况: ①当点D 在PQ 之间时,∵PD =2QD ,∴ −1−(−2−2x )=2[4−4x −(−1)],解得x =910; ②当点Q 在PD 之间时,∵ PD =2QD ,∴ −1−(−2−2x )=2[−1−(4−4x )],解得x =116.答:当时间为910或116秒时,有PD =2QD.。
2020-2021学年全国初中数学竞赛试题(含答案)

2020年全国初中数学竞赛试题(含答案)考试时间 2020年4月2日上午 9∶30-11∶30 满分120分一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分。
以下每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里。
不填、多填或错填均得0分)1.在高速公路上,从3千米处开始,每隔4千米经过一个限速标志牌;并且从10千米处开始,每隔9千米经过一个速度监控仪.刚好在19千米处第一次同时经过这两种设施,那么第二次同时经过这两种设施的千米数是( )(A )36 (B )37 (C )55 (D )902.已知21 m ,21 n ,且)763)(147(22 n n a m m =8,则a 的值等于( )(A )-5 (B )5 (C )-9 (D )93.Rt △ABC 的三个顶点A ,B ,C 均在抛物线2x y 上,并且斜边AB 平行于x 轴.若斜边上的高为h ,则( )(A )h <1 (B )h =1 (C )1<h <2(D )h >24.一个正方形纸片,用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;拿出其中一部分,再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分;又从得到的三部分中拿出其中之一,还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分……如此下去,最后得到了34个六十二边形和一些多边形纸片,则至少要剪的刀数是( )(A )2020 (B )2020 (C )2020 (D )20205.如图,正方形ABCD 内接于⊙O ,点P 在劣弧AB 上,连结DP ,交AC 于点Q .若QP=QO ,则QA QC的值为( )(A )132 (B )32(C )23 (D )23 二、填空题 (共5小题,每小题6分,满分30分)6.已知a ,b ,c 为整数,且a +b=2020,c -a =2020.若a <b ,则a +b +c 的最大值为 .7.如图,面积为c b a 的正方形DEFG 内接于面积为1的正三角形ABC ,其中a ,b ,c 为整数,且b 不能被任何质数的平方整除,则b ca 的值等于 .8.正五边形广场ABCDE 的周长为2020米.甲、乙两人分别从A 、C 两点同时出发,沿A !’B !’C !’D !’E !’A !’…方向绕广场行走,甲的速度为50米/分,乙的速度为46米/分.那么出发后经过 分钟,甲、乙两人第一次行走在同一条边上.9.已知0<a <1,且满足183029302301 a a a ,则 a 10的值等于 .( x 表示不超过x 的最大整数)10.小明家电话号码原为六位数,第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8,成为一个七位数的电话号码;第二次升位是在首位号码前加上数字2,成为一个八位数的电话号码.小明发现,他家两次升位后的电话号码的八位数,恰是原来电话号码的六位数的81倍,则小明家原来的电话号码是 .三、解答题(共4题,每小题15分,满分60分)11.已知a bx,a ,b 为互质的正整数(即a ,b 是正整数,且它们的最大公约数为1),且a ≤8,1312 x .试写出一个满足条件的x ;(1)(第7题图)ABCDGFE求所有满足条件的x .(2)12.设a ,b ,c 为互不相等的实数,且满足关系式14162222 a a c b ①542 a a bc ②求a 的取值范围.13.如图,点P 为⊙O 外一点,过点P 作⊙O 的两条切线,切点分别为A ,B .过点A 作PB 的平行线,交⊙O 于点C .连结PC ,交⊙O 于点E ;连结AE ,并延长AE 交PB 于点K .求证:PE·AC=CE·KB .A14.10个学生参加n个课外小组,每一个小组至多5个人,每两个学生至少参加某一个小组,任意两个课外小组,至少可以找到两个学生,他们都不在这两个课外小组中.求n的最小值.2020年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题(共5小题,每小题6分,满分30分。
2019-2020年七年级数学竞赛试题(不含答案)

2019-2020年七年级数学竞赛试题(不含答案)一、仔细选一选(本题共10个小题,每小题4分,共40分)1n 为( ) A .2 B. 3 C. 4 D. 5 2.已知a+b=0,a ≠b,则化简b a (a+1)+ab(b+1)得( ) A.2a B. -2 C. 2b D. +23.若m+n=3,则代数式624222-++n mn m 的值为( ) A .12B. 3C. 4D. 04.从棱长为2的正方体毛坯的一角,挖去一个棱长为1的小正方 体,得到一个如图所示的零件,则这个零件的表面积是( ) A .26 B .24 C . 22 D . 205.设△ABC 的三边长分别为a ,b ,c , 其中a ,b 满足0)4(|6|2=+-+-+b a b a 则第三边c 的长度取值范围是( )A .3<c<5 B. 2<c<4 C. 4<c<6 D. 5<c<66. 如图,有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上,恰好三角板XYZ 的两条直角边XY 、XZ 分别经过点B ,C ,若∠A =35°,则∠ABX +∠ACX 的度数是 ( )A. 25°B. 35°C. 45°D. 55°7过100元但不超过200元一律打九折;③一次性购书超过200元一律打八折。
如果王明一次性购书付款162元,那么他所购书的原价为( )A .180元 B.202.5元 C. 180元或202.5 D. 180元或200元 8. 从长度分别为1cm 、3cm 、5cm 、7cm 、9cm 的5条线段中任取3条作边,能组成三角形的概率是( )第4题图第6题图20cm30cm12cmA .51 B. 52 C. 21 D. 103 9.如图,数轴上A 、B 两点表示的数分别为1-B 关于点A 的对称点为C ,则点C 所表示的数为( ) A.2- B.1-- C.2-D.1+10. 已知a=2555,b=3444,c=5333,d=6222 ,那么下列式子中正确的是( )A. a <b <c <dB. a <b <d <cC. b <a <c <dD. a <d <b <c二、细心填一填(本题共8个小题,每小题5分,共40分)11.若523m xy +与3n x y 的和是单项式,则m n = .12.对任意四个有理数a ,b ,c ,d 定义新运算:a b c d=ad-bc ,已知241x x-=18,则x= .13.已知x 为实数,则13x x -++的最小值为 .14.如图,等边△ABC 的边长为1 cm ,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,将△ADE 沿直线DE 折叠,点A 落在点A ' 处,且点A '在△ABC 外部,则阴影部分图形的周长为 cm .15.如图,一个啤酒瓶的高度为30cm ,瓶中装有高度12cm 的水,将瓶盖盖好后倒置,这时瓶中水面高度20cm, 则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为 . (瓶底的厚度不计) 16.方程+⨯+⨯+⨯+⨯54433221x x x x … +20102009⨯x=2009的解是 .17.下列是有规律排列的一列数:325314385,,,,……其中从左至右第100个数是_______. 18.如图,在△ABC 中,∠A =α,∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1 得∠A 1 ,∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2 , 得∠A 2 , ……,∠A 2009BC 的平分线与∠A 2009CD 的平分线交于点(第9题图)第14题图第15题图A 2010 ,得∠A 2010 ,则∠A 2010= .三、耐心做一做(本题4个小题,共40分)19.(本题8分)小王觉得代数式n 2—8n+7的值不是正数,因为当他用n=1,2,3代入时,n 2—8n+7的值都是非正数,继续用n=4,5,6代入时,n 2—8n+7的值还是非正数,于是小王判断:当n 为任意正整数时,n 2—8n+7的值都是非正数.小王的猜想正确吗?请简要说明你的理由.20.(本题10分)计算:222222122007200820092010-++-+-21.(本题10分)上海世博会于2010年5月1日至2010年10月31日在上海举行. 下表为世博会官方票务网站的几种门票价格.李老师家用1600元作为购买门票的资金.(1)李老师若用全部资金购买“指定日普通票”和“夜票”共10张,则“指定日普通票”和“夜票”各买多少张?(2)李老师若用全部资金购买“指定日普通票”、“平日普通票”和“夜票”共10张(每种至少一张),他的想法能实现吗?请说明理由.22.(本题12分) 如图,五边形ABCDE 中,AB = AE ,BC + DE = CD ,180.ABC AED ∠+∠=连结AD.(1)同学们学习了图形的变换后知道旋转是研究几何问题的常用方法,请你在图中作出 ⊿ABC 绕着点A 按逆时针旋转“∠BAE 的度数”后的像; (2)试判断 AD 是否平分CDE ∠,并说明理由.BE第22题图。
2020年七年级数学竞赛试卷及答案解析

第 1 页 共 11 页2020年七年级数学竞赛试卷一.选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)1.(3分)已知a 是两位数,b 是一位数,把a 接写在b 的后面,就成为一个三位数.这个三位数可表示成( ) A .10b +aB .baC .100b +aD .b +10a2.(3分)设x 为有理数,若|x |=x ,则( ) A .x 为正数B .x 为负数C .x 为非正数D .x 为非负数3.(3分)某地区一天三次测量气温如下,早上是﹣8℃,中午上升了4℃,半夜下降了14℃,则半夜的气温是( ) A .﹣15℃B .2℃C .﹣18℃D .﹣26℃4.(3分)关于x 的方程2x ﹣4=3m 和x +2=m 有相同的解,则m 的值是( ) A .10B .﹣8C .﹣10D .85.(3分)当3≤m <5时,化简|2m ﹣10|﹣|m ﹣3|得( ) A .13+mB .13﹣3mC .m ﹣3D .m ﹣136.(3分)计算:3+(﹣2)结果正确的是( ) A .1B .﹣1C .5D .﹣57.(3分)观察图中的数轴:用字母a ,b ,c 依次表示点A ,B ,C 对应的数,则1ab,1b−a,1c的大小关系是( )A .1ab<1b−a<1cB .1b−a<1ab<1cC .1c<1b−a<1abD .1c<1ab<1b−a8.(3分)平面内3条直线最多可以把平面分成( ) A .4部分B .5部分C .6部分D .7部分9.(3分)一项工程,甲单独做需m 小时完成,若与乙合作20小时可以完成,则乙单独完成需要的时间是( ) A .20m m−20小时 B .20mm+20小时 C .m−2020m小时 D .m+2020m小时10.(3分)如图,是一个正方体的展开图,把展开图折叠成正方体后有“水”字一面的相对面上的字是( )。
2020版七年级数学竞赛试卷(含答案)

2020七年级数学竞赛试卷一、选择题(每小题3分,共24分) 1、已知实数c b a ,,在数轴的对应位置如图, 则|c -1|+|a -c |+|a -b |化简后的结果是( )A 、1-2c +bB 、2a -b -1C 、1+2a -b -2cD 、b -12、把两个整数平方得到的数“拼”起来(即按一定顺序写在一起)后仍然得到一个平方数,则称最后得到的这个数为“拼方数”。
如把整数4,3分别平方后得到16,9,拼成的数“169”是13的平方,称“169”是“拼方数”在下列数中,属于“拼方数”的是( ) A 、225 B 、494 C 、361 D 、12193、据报道,日本福岛核电站发生泄漏事故后,在我市环境空气中检测出一种微量的放射性核素“碘-131”,含量为每立方米0.4毫贝克(这种元素的半衰期是8天,即每8天含量减少一半,如8天后减少到0.2毫贝克),那么要使含量降至每立方米0.0004毫贝克以下,下列天数中,能达到目标的最少天数是( )A 、64B 、71C 、82D 、1044、三角形三边的长a ,b ,c 都是整数,且[a ,b ,c ]=60,(a ,b )=4,(b ,c )=3.(注:[a ,b ,c ]表示a ,b ,c 的最小公倍数,(a ,b )表示a ,b 的最大公约数),则a +b +c 的最小值是( )(A )30 (B )31 (C )32 (D )33 5、方程6|3||2|=++-x x 的解的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .46、把四张大小相同的长方形卡片(如图①按图②、图③两种放在一个底面为长方形(长比宽多6cm )的盒底上,底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示,若记图②中阴影部分的周长C 2,图③中阴影部分的周长为C 3,则( )A 、C 2 = C 3B 、C 2 比C 3 大12 cm C 、C 2 比C 3 小6 cmD 、C 2 比C 3 大3 cm7、如图,直线上有三个不同的点A ,B ,C ,且AB =10,BC =5,在直线上找一点D ,使得AD +BD +CD 最小,这个最小值是( )A 、15B 、14C 、10D 、7.58、将1,2,3,4,…,12,13这13个整数分为两组,使得一组中所有数的和比另一组中所有数的和大10,这样的分组方法( )A 、只有一种B 、恰有两种C 、多于三种D 、不存在二、填空题(每小题3分,共24分)9、若正整数x ,y 满足2010x =15y ,则x +y 的最小值是___________;10、数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…的排列规律:前两个数是1,从第3个数开始,每一个数都是它前两个数的和,这个数列叫做斐波契数列,在斐波契数列前2010个数中共有___________个偶数 11、小聪沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车。
(2020年整理)全国初中数学竞赛试题及答案.doc

中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题,每小题6分,共30分.)1(甲).如果实数a,b,c22||()||a abc a b c-++-+可以化简为().(A)2c a-(B)22a b-(C)a-(D)a1(乙).如果22a=-11123a+++的值为().(A)2-(B2(C)2 (D)22(甲).如果正比例函数y = ax(a ≠ 0)与反比例函数y =xb(b ≠0 )的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为(-3,-2),那么另一个交点的坐标为().(A)(2,3)(B)(3,-2)(C)(-2,3)(D)(3,2)2(乙).在平面直角坐标系xOy中,满足不等式x2+y2≤2x+2y的整数点坐标(x,y)的个数为().(A)10 (B)9 (C)7 (D)53(甲).如果a b,为给定的实数,且1a b<<,那么1121a ab a b++++,,,这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是().(A)1 (B)214a-(C)12(D)143(乙).如图,四边形ABCD中,AC,BD是对角线,△ABC是等边三角形.30ADC∠=︒,AD = 3,BD = 5,则CD的长为().(A)23(B)4(C)52(D)4.54(甲).小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n倍”;小玲对小倩说:“你若给我n元,我的钱数将是你的2倍”,其中n为正整数,则n的可能值的个数是().OAB CED(A )1 (B )2 (C )3 (D )44(乙).如果关于x 的方程 20x px q p q --=(,是正整数)的正根小于3, 那么这样的方程的个数是( ).(A ) 5 (B ) 6 (C ) 7 (D ) 85(甲).一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6.掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为0123p p p p ,,,,则0123p p p p ,,,中最大的是( ).(A )0p (B )1p (C )2p (D )3p5(乙).黑板上写有111123100L , , ,, 共100个数字.每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ,,然后删去a b ,,并在黑板上写上数a b ab ++,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是( ).(A )XXXX (B )101 (C )100 (D )99二、填空题(共5小题,每小题6分,共30分)6(甲).按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x 的取值范围是 .6(乙).如果a ,b ,c 是正数,且满足9a b c ++=,111109a b b c c a ++=+++,那么a b cb c c a a b+++++的值为 .7(甲).如图,正方形ABCD 的边长为215, E ,F 分别是AB ,BC 的中点,AF 与DE ,DB 分别交于点M ,N ,则△DMN 的面积是 . 7(乙).如图所示,点A 在半径为20的圆O 上,以OA 为一条对角线作矩形OBAC ,设直线BC 交圆O 于D 、E 两点,若12OC =,则线段CE 、BD 的长度差是 。
2020年七年级数学竞赛初赛试卷

2020年七年级数学竞赛初赛试卷解析版一.填空题(共11小题)1.我们知道:1+2+3=3×(3+1)2=6,1+2+3+4=4×(4+1)2=10,那么1+2+3+…+100=5050.【解答】解;1+2+3+…+100=100×(1+100)2=5050,故答案为:5050.2.计算:(−2007)5×(−3.25)5×(−23)5×(−1446)5×(−413)5=(﹣3)5.【解答】解:原式=(﹣2007×134×23×1446×413)5,=(﹣3)5.故答案为:(﹣3)5.3.设四位数abcd满足a3+b3+c3+d3+1=10c+d,则这样的四位数的个数为5.【解答】解:根据题意可得:a,b,c,d是小于10的自然数,∵a3+b3+c3+d3+1=10c+d,∴可得a3+b3+c3+d3+1是两位数,∴a,b,c,d均为小于5的自然数,∴如果c=1,d=0,则a=2,b=0,此时这个四位数为2010,如果c=1,d=1,则a=2,b=0,此时这个四位数为2011,如果c=1,d=2,则a=1,b=1,此时这个四位数为1112,如果c=2,找不到符合要求的数,如果c=3,d=0,则a=1,b=1,此时这个四位数为1130,如果c=3,d=1,则a=1,b=1,此时这个四位数为1131,如果c=4,则c3=64,不符合题意,故此四位数可能为:2010或2011或1112或1130或1131.故答案为:5.4.一商店在某一时间以每件a元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,若卖出这两件衣服商店共亏损8元,则a的值为60.【解答】解:设第一件衣服的进价为x,依题意得:x(1+25%)=a,第 1 页共6 页。
2020年全国初中数学联合竞赛试题及详解

2020年全国初中数学联合竞赛试题第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题(本题满分42分,每小题7分) (本题共有6个小题,每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数,把[]x x -称为x 的小数部分.已知23t =-a 是t 的小数部分,b 是t -的小数部分,则112b a-= ( ) .A 12.B 3.C 1 .D 3 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元,某学校计划恰好用500元购买上述图书30本,那么不同的购书方案有 ( ).A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差,则称这个正整数为“和谐数”.如:333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么,不超过2016的正整数中,所有的“和谐数”之和为 ( ).A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 3(B ).已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限,且过点(1,0).当a b -为整数时,ab = ( ).A 0 .B 14 .C 34- .D 2-4.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ,连接AO 并延长交O 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为 ( ).A 12 .B 15 .C 16 .D 185.如图,在四边形ABCD 中,090BAC BDC ∠=∠=,5AB AC ==1CD =,对角线的交点为M ,则DM = ( ).A 3.B 5.C 22 .D 126.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1 二、填空题(本题满分28分,每小题7分)(本题共有4个小题,要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2(B )】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数y x=(0x >)的图象上,090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴,点B 在点A 的上方,且6,AB =则点C 的坐标为 .1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分,AD =则AM = .2(A).在四边形ABCD 中,BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点,,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号,得到一个六位数,这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍,这个六位数是 .3(B).若质数p 、q 满足:340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 . 4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内(每格填入一个数),使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和,设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 .第二试(3月20日上午9:50 — 11:20)一、(本题满分20分)已知,a b 为正整数,求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.二、(本题满分25分) (A ).如图,点C 在以AB 为直径的O 上,CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上,,AE AC =四边形DEFM 是正方形,AM 的延长线与O 交于点N .证明:FN DE =.(B ).已知:5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.a b c ++=求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值.三、(本题满分25分)(A ).已知正实数,,x y z 满足:1xy yz zx ++≠ ,且222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= .(1) 求111xy yz zx++的值. (2) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.(B ).如图,在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点,点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.2020年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30)一、选择题(本题满分42分,每小题7分) (本题共有6个小题,每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.)1.用[]x 表示不超过x 的最大整数,把[]x x -称为x 的小数部分.已知t =,a 是t 的小数部分,b 是t -的小数部分,则112b a-= ( ).A 12.B .C 1 .D 【答案】A .【解析】22,2t ==<<-324,∴<< 即34,t <<3 1.a t ∴=-=又221,t -=---<-423,∴-<-<-(4)2b t ∴=---=11211,2222b a ∴-==-=故选A . 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元,某学校计划恰好用500元购买上述图书30本,那么不同的购书方案有 ( ).A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 【答案】C .【解析】设购买三种图书的数量分别为,,,x y z 则30101520500x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩,即30341002y z x y z x +=-⎧⎨+=-⎩,解得20210y xz x=-⎧⎨=+⎩ 依题意得,,,x y z 为自然数(非负整数),故010,x ≤≤x 有11种可能的取值(分别为0,1,2,,9,10),对于每一个x 值,y 和z 都有唯一的值(自然数)相对应. 即不同的购书方案共有11种,故选C . 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差,则称这个正整数为“和谐数”.如:333321(1),2631,=--=- 2和26均为“和谐数”.那么,不超过2016的正整数中,所有的“和谐数”之和为 ( ) .A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262【答案】B .【解析】[]3322(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)k k k k k k k k ⎡⎤+--=+--+++-+-⎣⎦22(121)k =+ (其中k 为非负整数),由22(121)2016k +≤得,9k ≤0,1,2,,8,9k ∴=,即得所有不超过2016的“和谐数”,它们的和为 333333333331(1)(31)(53)(1715)(1917)1916860.⎡⎤--+-+-++-+-=+=⎣⎦故选B .3(B ).已知二次函数21(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限,且过点(1,0).当a b -为整数时,ab =( ) .A 0 .B 14 .C 34- .D 2- 【答案】B .【解析】依题意知0,0,10,2ba ab a<-<++= 故0,b < 且1b a =--, (1)21a b a a a -=---=+,于是10,a -<< 1211a ∴-<+<又a b -为整数,210,a ∴+= 故1,2a b =-=14ab =,故选B . 4.已知O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ,连接AO 并延长交O 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ∆的面积为( ).A 12 .B 15 .C 16 .D 18【解析】设,OC x =则2,OA OD x ==+OD AB ⊥于,C 14,2AC CB AB ∴=== 在Rt OAC ∆中,222,OC AC OA +=即2224(2),x x +=+解得3x =,即3OC = (第4题答案图)OC 为ABE ∆的中位线,2 6.BE OC ∴== AE 是O 的直径,90,B ∴∠=114612.22BCE S CB BE ∆∴=⋅=⨯⨯= 故选A .5.如图,在四边形ABCD 中,090BAC BDC ∠=∠=,5AB AC ==1CD =,对角线的交点为M ,则DM = ( ).A 32 .B 53.C 22 .D 12(第5题答案图)【答案】D . 【解析】过点A 作AH BD ⊥于点,H 则AMH ∆~,CMD ∆,AH AMCD CM∴=1,CD =,AMAH CM ∴=设,AM x = 则5,5CM x AH x=∴=-在Rt ABM ∆中,2225,BM AB AM x =+=+ 则255AB AMx AH BMx ⋅==+2555x xx =-+显然0x ≠,化简整理得2255100x x -+= 解得52x =(5x =,故 52CM =在Rt CDM ∆中,2212DM CM CD =-=,故选D . 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( ).A 12 .B 23 .C 34.D 1【答案】C .【解析】22(23)(23)(1)34232M xy y x z xy y x x y x xy y x y =++=++--=---++222211122332222y x y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+--++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦222211113322222244y x x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--++=-+---+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当1,02x y ==时,M 取等号,故max 34M =,故选C . 二、填空题(本题满分28分,每小题7分)(本题共有4个小题,要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2(B )】 已知ABC ∆的顶点A 、C 在反比例函数3y x=(0x >)的图象上,090ACB ∠=,030ABC ∠=,AB x ⊥轴,点B 在点A 的上方,且6,AB =则点C 的坐标为 .【答案】322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 【解析】如图,过点C 作CD AB ⊥于点D . 在Rt ACB ∆中,cos 33BC AB ABC =⋅∠= 在Rt BCD ∆中,33sin 2CD BC B =⋅=(第1题答案图) 9cos ,2BD BC B =⋅=32AD AB BD ∴=-=,设33,C m A n ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭, 依题意知0,n m >>故33,CD n m AD =-=3323332n m mn ⎧-=⎪⎪-=⎩ 解得323m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩,故点C 的坐标为322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 1(B).已知ABC ∆的最大边BC 上的高线AD 和中线AM 恰好把BAC ∠三等分,3AD =则AM = .【答案】2.【解析】(第1题答案图1 ) ( 第1题答案图2)依题意得BAD DAM MAC ∠=∠=∠,090,ADB ADC ∠=∠= 故ABC ACB ∠≠∠. (1)若ABC ACB ∠>∠时,如答案图1所示,ADM ∆≌,ADB ∆1,2BD DM CM ∴== 又AM 平分,DAC ∠ 1,2AD DM AC CM ∴==在Rt DAC ∆中,即1cos ,2DAC ∠= 060,DAC ∴∠= 从而0090,30BAC ACD ∠=∠=.在Rt ADC ∆中,tan 3tan 603,CD AD DAC =⋅∠== 1.DM =在Rt ADM ∆中,222AM AD DM =+=.(2)若ABC ACB ∠<∠时,如答案图2所示.同理可得2AM =.综上所述,2AM =. 2(A).在四边形ABCD 中,BC ∥AD ,CA 平分BCD ∠,O 为对角线的交点,,CD AO =,BC OD =则ABC ∠= .【答案】126.【解析】设,OCD ADO αβ∠=∠=,CA 平分BCD ∠,OCD OCB α∴∠=∠=,BC ∥AD ,,ADO OBC DAO OCB βα∴∠=∠=∠=∠=, (第2题答案图) OCD DAO α∴∠=∠=,AD CD ∴=,,CD AO =AD AO ∴=,ADO AOD BOC OBC β∴∠=∠=∠=∠=,OC BC ∴=, ,BC OD =,OC OD ∴=ODC OCD α∴∠=∠=,180BOC ODC OCD BOC OBC OCB ∠=∠+∠∠+∠+∠=2,2180,βααβ∴=+=解得36,72αβ==,72DBC BCD ∴∠=∠=,,BD CD AD ∴==18054,2ABD BAD β-∴∠=∠== 故126ABC ABD DBC ∠=∠+∠=.3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号,得到一个六位数,这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍,这个六位数是 . 【答案】167334.【解析】设两个三位数分别为,x y ,则10003x y xy +=,①31000(31000),y xy x y x ∴=-=-故y 是x 的正整数倍,不妨设y tx =(t 为正整数),代入①得10003,t tx +=1000,3tx t+∴=x 是三位数,10001003tx t+∴=≥,解得 1000,299t ≤t 为正整数,t ∴的可能取值为1,2,3.验证可知,只有2t =符合,此时167,334.x y == 故所求的六位数为167334.3(B).若质数p 、q 满足:340,111,q p p q --=+<则pq 的最大值为 .【答案】1007.【解析】由340q p --=得,34,p q =-2224(34)343,33pq q q q q q ⎛⎫∴=-=-=-- ⎪⎝⎭因q 为质数,故pq 的值随着质数q 的增大而增大,当且仅当q 取得最大值时,pq 取得最大值.又111p q +<,34111,q q ∴-+<3284q ∴<,因q 为质数,故q 的可能取值为 23,19,17,13,11,7,5,3,2,但23q =时,3465513p q =-==⨯不是质数,舍去.当19q =时,3453p q =-=恰为质数.故max max 19,()53191007q pq ==⨯=.4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内(每格填入一个数),使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和,设这5个和的最小值为M ,则M 的最大值为 . 【答案】10.【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定M 的最大值.(1)若5个1分布在同一列,则5M =;(2)若5个1分布在两列中,则由题意知这两列中出现的最大数至多为3,故 2515320M ≤⨯+⨯=,故10M ≤;(3) 若5个1分布在三列中,则由题意知这三列中出现的最大数至多为3,故 351525330M ≤⨯+⨯+⨯=,故10M ≤;(4) 若5个1分布在至少四列中,则其中某一列至少有一个数大于3,这与已知矛盾. 综上所述,10.M ≤另一方面,如下表的例子说明M 可以取到10.故M 的最大值为10.第二试(3月20日上午9:50 — 11:20)一、(本题满分20分)已知,a b 为正整数,求22324M a ab b =---能取到的最小正整数值.【解析】解:因,a b 为正整数,要使得22324M a ab b =---的值为正整数,则有2a ≥.当2a =时,b 只能为1,此时 4.M =故M 能取到的最小正整数值不超过4.当3a =时,b 只能为1或2.若1,18b M ==;若2b =,则7M =.当4a =时,b 只能为1或2或3.若1,38b M ==;若2,24b M ==;若3,b =则2M =.(下面考虑:22324M a ab b =---的值能否为1?)(反证法)假设1M =,则223241a ab b ---=,即22325a ab b -=+, 2(3)25a a b b -=+ ①因b 为正整数,故25b +为奇数,从而a 为奇数,b 为偶数,不妨设21,2a m b n =+=,其中,m n 均为正整数,则22222(3)(21)3(21)(2)4(332)3a a b m m n m m mn n ⎡⎤-=++-=+--+⎣⎦即2(3)a a b -被4除所得余数为3,而252(2)141b n n +=+=+被4除所得余数为1,故①式不可能成立,故1M ≠.因此,M 能取到的最小正整数值为2.二、(本题满分25分)(A ).如图,点C 在以AB 为直径的O 上,CD AB ⊥于点D ,点E 在BD 上,,AE AC =四边形DEFM 是正方形,AM 的延长线与O 交于点N .证明:FN DE =.(第2(A)题答案图) 【证明】:连接BC 、.BN AB 为O 的直径,CD AB ⊥于点D90ACB ANB ADC ∴∠=∠=∠=,,CAB DAC ACB ADC ∠=∠∠=∠,ACB ADC ∴∆∆∽,AC AB AD AC∴=2AC AD AB ∴=⋅ 由四边形DEFM 是正方形及CD AB ⊥于点D 可知:点M 在CD 上,DE DM EF MF ===,,NAB DAM ANB ADM ∠=∠∠=∠,ANB ADM ∴∆∆∽,AN AB AD AM∴=,AD AB AM AN ∴⋅=⋅2,AC AM AN ∴=⋅ ,AE AC =2AE AM AN ∴=⋅以点F 为圆心、FE 为半径作,F 与直线AM 交于另一点P ,则F 与AB 切于点E ,即AE 是F 的切线,直线AMP 是F 的割线,故由切割线定理得2AE AM AP =⋅AN AP ∴=,即点N 与点P 重合,点N 在F 上,FN FE DE ∴==.(注:上述最后一段得证明用了“同一法”)(B ).已知:5,a b c ++= 22215,a b c ++= 33347.a b c ++= 求222222()()()a ab b b bc c c ca a ++++++的值. 【解析】由已知得22221()()52ab bc ca a b c a b c ⎡⎤++=++-++=⎣⎦ 由恒等式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---得,4735(155),abc -=⨯-1abc ∴=-又22()()()5(5)55(1)a ab b a b c a b ab bc ca c c ++=+++-++=--=-同理可得22225(4),5(4)b bc c a c ca a b ++=-++=-∴原式=[]35(4)(4)(4)1256416()4()a b c a b c ab bc ca abc ---=-+++++- 125[6416545(1)]625.=⨯-⨯+⨯--=【注:恒等式32()()()()()t a t b t c t a b c t ab bc ca t abc ---=-+++++-】三、(本题满分25分)(A ).已知正实数,,x y z 满足:1xy yz zx ++≠ ,且 222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++= . (3) 求111xy yz zx++的值. (4) 证明:9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【解析】(1)解:由等式222222(1)(1)(1)(1)(1)(1)4x y y z z x xy yz zx------++=, 去分母得222222(1)(1)(1((1)(1)(1)4z x y x y z y z x xyz --+--+--=,222222222222()()()3()0,x y z xy z x yz x y z y z x z x y xyz x y z xyz ⎡⎤++-+++++++++-=⎣⎦()()()()0xyz xy yz zx x y z xy yz zx x y z xyz ++-+++++++-=,∴[()](1)0xyz x y z xy yz zx -++++-=,1,10xy yz zx xy yz zx ++≠∴++-≠,()0,xyz x y z ∴-++=xyz x y z ∴=++,∴原式=1.x y z xyz ++= (2)证明:由(1)得计算过程知xyz x y z ∴=++,又,,x y z 为正实数,9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx ∴+++-++9()()()8()()x y y z z x x y z xy yz zx =+++-++++222222()()()6x y z y z x z x y xyz =+++++-222()()()0.x y z y z x z x y =-+-+-≥∴9()()()8()x y y z z x xyz xy yz zx +++≥++.【注:222222()()()2x y y z z x x y xy y z yz z x zx xyz +++=++++++ 222222()()()2x y z y z x z x y xyz =++++++222222()()3x y z xy yz zx x y xy y z yz z x zx xyz ++++=++++++222222()()()3x y z y z x z x y xyz =++++++】(B ).如图,在等腰ABC ∆中,5,AB AC ==D 为BC 边上异于中点的点,点C 关于直线AD 的对称点为点E ,EB 的延长线与AD 的延长线交于点,F 求AD AF ⋅的值.(第3(B )题答案图)【解析】如图,连接,,AE ED CF ,则,AB AC =ABD ACB ∴∠=∠点C 关于直线AD 的对称点为点E ,,BED BCF AED ACD ACB ∴∠=∠∠=∠=∠ ,ABD AED ∴∠=∠,,,A E B D ∴四点共圆,BED BAD ∴∠=∠(同弧所对得圆周角相等)BAD BCF ∴∠=∠,,,,A B F C ∴四点共圆,AFB ACB ABD ∴∠=∠=∠,AFB ABD ∴∆∆∽,AB AF AD AB ∴=22 5.AD AF AB ∴⋅===(注:若共底边的两个三角形顶角相等,且在底边的同侧,则四个顶点共圆,也可以说成:若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等,那么这两点和线段两端点四点共圆)。
2020年七年级数学竞赛初赛试卷及答案解析

第 1 页 共 8 页2020年七年级数学竞赛初赛试卷一.填空题(共11小题)1.我们知道:1+2+3=3×(3+1)2=6,1+2+3+4=4×(4+1)2=10,那么1+2+3+…+100= . 2.计算:(−2007)5×(−3.25)5×(−23)5×(−1446)5×(−413)5= .3.设四位数abcd 满足a 3+b 3+c 3+d 3+1=10c +d ,则这样的四位数的个数为 .4.一商店在某一时间以每件a 元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,若卖出这两件衣服商店共亏损8元,则a 的值为 .5.现有145颗棒棒糖,分给若干小朋友,不管怎样分,都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上,这些小朋友的人数最多有 个.6.已知关于x 的方程(a ﹣1)x 2+2x ﹣a ﹣1=0的根都是一整数,那么符合条件的整数a 有个.7.如图,在一个4×4的方格棋盘的A 格里放一枚棋子,如果规定棋子每步只能向上、下或左、右走一格,那么这枚棋子走28步后 到达B 处.(填“一定能”或“一定不能”或“可能”)8.观察下列各等式:第一个等式:22−12−12=1,第二个等式:32−22−12=2,第三个等式:42−32−12=3…根据上述等式反映出的规律直接写出第四个等式为 ;猜想第n 个等式(用含n 的代数式表示)为 .9.观察下列一组数,按规律在横线上填写适当的数,−12,36,−512,720,……,第7个数是 .10.满足25{x }+[x ]=25的所有实数x 的和是 (其中[x ]表示不大于x 的最大整数,{x }=x ﹣[x ]表示x 的小数部分).11.两个多位正整数,若它们各数位上的数字之和相等,则称这两个多位数互为调和数”例如:49与76,因为4+9=7+6=13,所以49与76互为“调和数”;又如:225与18,因。
2020年全国初中数学联合竞赛试题参考答案

2020年全国初中数学联合竞赛试题参考答案讲明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.假如考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.第一试一、选择题〔此题总分值42分,每题7分〕此题共有6小题,每题均给出了代号为D C B A ,,,的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个〔不论是否写在括号内〕,一律得0分.1.设213a a +=,213b b +=,且a b ≠,那么代数式2211a b +的值为 〔 〕 )(A 5. )(B 7. )(C 9. )(D 11.【答】B .解 由题设条件可知2310a a -+=,2310b b -+=,且a b ≠,因此,a b 是一元二次方程2310x x -+=的两根,故3a b +=,1ab =,因此222222222211()23217()1a b a b ab a b a b ab ++--⨯+====. 应选B . 2.如图,设AD ,BE ,CF 为三角形ABC 的三条高,假设6AB =,5BC =,3EF =,那么线段BE 的长为 〔 〕 )(A 185. )(B 4. )(C 215. )(D 245. 【答】D . 解 因为AD ,BE ,CF 为三角形ABC 的三条高,易知,,,B C E F 四点共圆,因此△AEF ∽△ABC ,故35AF EF AC BC ==,即3cos 5BAC ∠=,因此4sin 5BAC ∠=. 在Rt △ABE 中,424sin 655BE AB BAC =∠=⨯=. 应选D . 3.从分不写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任意取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,那么所组成的数是3的倍数的概率是 〔 〕)(A 15. )(B 310. )(C 25. )(D 12. 【答】C . 解 能够组成的两位数有12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共20个,其中是3的倍数的数为12,15,21,24,42,45,51,54,共8个. 因此所组成的数是3的倍数的概率是82205=. 应选C .4.在△ABC 中,12ABC ∠=︒,132ACB ∠=︒,BM 和CN 分不是这两个角的外角平分线,且点,M N 分不在直线AC 和直线AB 上,那么 〔 〕)(A BM CN >. )(B BM CN =.)(C BM CN <. )(D BM 和CN 的大小关系不确定.【答】B .解 ∵12ABC ∠=︒,BM 为ABC ∠的外角平分线,∴1(18012)842MBC ∠=︒-︒=︒. 又180********BCM ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒,∴180844848BMC ∠=︒-︒-︒=︒,∴BM BC =. 又11(180)(180132)2422ACN ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒, ∴18018012()BNC ABC BCN ACB ACN ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠+∠168(13224)=︒-︒+︒12ABC =︒=∠,∴CN CB =. 因此,BM BC CN ==.应选B .5.现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分不降价10%或20%,假设干天后,这5种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为r ,那么r 的最小值为 〔 〕)(A 39()8. )(B 49()8. )(C 59()8. )(D 98. 【答】 B .解 容易明白,4天之后就能够显现5种商品的价格互不相同的情形.设5种商品降价前的价格为a ,过了n 天. n 天后每种商品的价格一定能够表示为98(110%)(120%)()()1010k n k k n k a a --⋅-⋅-=⋅⋅,其中k 为自然数,且0k n ≤≤. 要使r 的值最小,五种商品的价格应该分不为:98()()1010i n i a -⋅⋅,1198()()1010i n i a +--⋅⋅, 2298()()1010i n i a +--⋅⋅,3398()()1010i n i a +--⋅⋅,4498()()1010i n i a +--⋅⋅,其中i 为不超过n 的自然数. 因此r 的最小值为44498()()91010()988()()1010i n i i n ia a +---⋅⋅=⋅⋅. 应选B . 6. 实数,x y满足(2008x y =,那么223233x y x y -+-2007-的值为〔 〕 )(A 2008-. )(B 2018. )(C 1-. )(D 1.【答】D .解 ∵22(2008)(2008)2008x x y y ----=, ∴2222008200820082008x x y y y y --==+---, 2222008200820082008y y x x x x --==+---,由以上两式可得x y =. 因此22(2008)2008x x --=,解得22008x =,因此22222323320073233200720071x y x y x x x x x -+--=-+--=-=.应选D .二、填空题〔此题总分值28分,每题7分〕1.设512a -=,那么5432322a a a a a a a+---+=-2-. 解 ∵225135()122a a --===-,∴21a a +=, ∴543232323222()2()2a a a a a a a a a a a a a a a a+---++--++=-⋅- 33332221211(1)(11)2(1)1a a a a a a a a a a a--+--===-=-++=-+=-⋅----. 2.如图,正方形ABCD 的边长为1,,M N 为BD 所在直线上的两点,且5AM =,135MAN ∠=︒,那么四边形AMCN 的面积为52解 设正方形ABCD 的中心为O ,连AO ,那么AO BD ⊥,22AO OB ==, 2222232(5)()22MO AM AO =-=-=, ∴2MB MO OB =-=. 又135ABM NDA ∠=∠=︒, 13590NAD MAN DAB MAB MAB ∠=∠-∠-∠=︒-︒-∠45=︒-MAB AMB ∠=∠,因此△ADN ∽△MBA ,故AD DNMB BA =,从而12AD DN BA MB =⋅==. 依照对称性可知,四边形AMCN 的面积115222(22222MAN S S MN AO ==⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=△. 3.二次函数2y x ax b =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分不为m ,n ,且1m n +≤.设满足上述要求的b 的最大值和最小值分不为p ,q ,那么p q +=12解 依照题意,,m n 是一元二次方程20x ax b ++=的两根,因此m n a +=-,mn b =. ∵1m n +≤,∴1m n m n +≤+≤,1m n m n -≤+≤. ∵方程20x ax b ++=的判不式240a b ∆=-≥,∴22()1444a m n b +≤=≤. 22244()()()11b mn m n m n m n ==+--≥+-≥-,故14b ≥-,等号当且仅当12m n =-=时取得; 22244()()1()1b mn m n m n m n ==+--≤--≤,故14b ≤,等号当且仅当12m n ==时取得. 因此14p =,14q =-,因此12p q +=. 4.依次将正整数1,2,3,…的平方数排成一串:149162536496481100121144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2018个位置的数字是 1 .解 21到23,结果都只各占1个数位,共占133⨯=个数位; 24到29,结果都只各占2个数位,共占2612⨯=个数位;210到231,结果都只各占3个数位,共占32266⨯=个数位;232到299,结果都只各占4个数位,共占468272⨯=个数位;2100到2316,结果都只各占5个数位,共占52171085⨯=个数位;现在还差2008(312662721085)570-++++=个数位.2317到2411,结果都只各占6个数位,共占695570⨯=个数位.因此,排在第2018个位置的数字恰好应该是2的个位数字,即为1.第二试 〔A 〕一.〔此题总分值20分〕 221a b +=,关于满足条件01x ≤≤的一切实数x ,不等式 (1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥ 〔1〕恒成立.当乘积ab 取最小值时,求,a b 的值.解 整理不等式〔1〕并将221a b +=代入,得 2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ 〔2〕在不等式〔2〕中,令0x =,得0a ≥;令1x =,得0b ≥.易知10a b ++>,21012(1)a ab +<<++,故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象〔抛物线〕的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知,不等式〔2〕关于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立,因此它的判不式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤,即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 〔3〕 消去b ,得42161610a a -+=,因此2a =2a =又因为0a ≥,因此a =a =, 因此方程组〔3〕的解为a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此ab 的最小值为14,现在,a b 的值有两组,分不为a b ==a b ==二.〔此题总分值25分〕 如图,圆O 与圆D 相交于,A B 两点,BC 为圆D 的切线,点C 在圆O 上,且AB BC =.〔1〕证明:点O 在圆D 的圆周上.〔2〕设△ABC 的面积为S ,求圆D 的的半径r 的最小值.解 〔1〕连,,,OA OB OC AC ,因为O 为圆心,AB BC =,因此△OBA ∽△OBC ,从而OBA OBC ∠=∠.因为,OD AB DB BC ⊥⊥,因此9090DOB OBA OBC DBO ∠=︒-∠=︒-∠=∠,因此DB DO =,因此点O 在圆D 的圆周上.〔2〕设圆O 的半径为a ,BO 的延长线交AC 于点E ,易知BE AC ⊥.设2AC y =(0)y a <≤,OE x =,AB l =,那么222a x y =+,()S y a x =+,22222222()2222()aS l y a x y a ax x a ax a a x y=++=+++=+=+=. 因为22ABC OBA OAB BDO ∠=∠=∠=∠,AB BC =,DB DO =,因此△BDO ∽△ABC ,因此BD BO AB AC=,即2r a l y =,故2al r y =. 因此22223222()4422a l a aS S a S r y y y y ==⋅=⋅≥,即22S r ≥,其中等号当a y =时成立,这时AC 是圆O 的直径.因此圆D 的的半径r 的最小值为22S . 三.〔此题总分值25分〕设a 为质数,b 为正整数,且29(2)509(4511)a b a b +=+ 〔1〕求a ,b 的值.解 〔1〕式即2634511()509509a b a b ++=,设634511,509509a b a b m n ++==,那么 509650943511m a n a b --== 〔2〕 故351160n m a -+=,又2n m =,因此2351160m m a -+= 〔3〕由〔1〕式可知,2(2)a b +能被509整除,而509是质数,因此2a b +能被509整除,故m 为整数,即关于m 的一元二次方程〔3〕有整数根,因此它的判不式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=〔t 为自然数〕,那么2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同,且511511t +≥,因此只可能有以下几种情形:①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得3621022a +=,没有整数解. ②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1841022a +=,没有整数解.③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1261022a +=,没有整数解. ④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得6121022a +=,没有整数解.⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得4181022a +=,解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得2361022a +=,解得493a =,而4931729=⨯不是质数,故舍去. 综合可知251a =.现在方程〔3〕的解为3m =或5023m =〔舍去〕. 把251a =,3m =代入〔2〕式,得5093625173b ⨯-⨯==. 第二试 〔B 〕一.〔此题总分值20分〕221a b +=,关于满足条件1,0x y xy +=≥的一切实数对(,)x y ,不等式 220ay xy bx -+≥ 〔1〕恒成立.当乘积ab 取最小值时,求,a b 的值.解 由1,0x y xy +=≥可知01,01x y ≤≤≤≤.在〔1〕式中,令0,1x y ==,得0a ≥;令1,0x y ==,得0b ≥.将1y x =-代入〔1〕式,得22(1)(1)0a x x x bx ---+≥,即2(1)(21)0a b x a x a ++-++≥ 〔2〕易知10a b ++>,21012(1)a ab +<<++,故二次函数2(1)(21)y a b x a x a =++-++的图象〔抛物线〕的开口向上,且顶点的横坐标在0和1之间.由题设知,不等式〔2〕关于满足条件01x ≤≤的一切实数x 恒成立,因此它的判不式2(21)4(1)0a a b a ∆=+-++⋅≤,即14ab ≥. 由方程组 221,14a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩ 〔3〕 消去b ,得42161610a a -+=,因此224a -=或224a +=,又因为0a ≥,因此4a =或4a =. 因此方程组〔3〕的解为4,4a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或,44a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此满足条件的,a b 的值有两组,分不为a b ==a b == 二.〔此题总分值25分〕题目和解答与〔A 〕卷第二题相同.三.〔此题总分值25分〕题目和解答与〔A 〕卷第三题相同.第二试 〔C 〕一.〔此题总分值20分〕题目和解答与〔B 〕卷第一题相同.二.〔此题总分值25分〕题目和解答与〔A 〕卷第二题相同.三.〔此题总分值25分〕设a 为质数,,b c 为正整数,且满足29(22)509(41022511)2a b c a b c b c ⎧+-=+-⎨-=⎩ (1)(2) 求()a b c +的值.解 〔1〕式即266341022511()509509a b c a b c +-+-=, 设66341022511,509509a b c a b c m n +-+-==,那么 5096509423511m a n a b c ---== 〔3〕 故351160n m a -+=,又2n m =,因此 2351160m m a -+= 〔4〕由〔1〕式可知,2(22)a b c +-能被509整除,而509是质数,因此22a b c +-能被509整除,故m 为整数,即关于m 的一元二次方程〔4〕有整数根,因此它的判不式251172a ∆=-为完全平方数.不妨设2251172a t ∆=-=〔t 为自然数〕,那么2272511(511)(511)a t t t =-=+-. 由于511t +和511t -的奇偶性相同,且511511t +≥,因此只可能有以下几种情形:①51136,5112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得3621022a +=,没有整数解.②51118,5114,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1841022a +=,没有整数解. ③51112,5116,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得1261022a +=,没有整数解.④5116,51112,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得6121022a +=,没有整数解. ⑤5114,51118,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得4181022a +=,解得251a =.⑥5112,51136,t a t +=⎧⎨-=⎩两式相加,得2361022a +=,解得493a =,而4931729=⨯不是质数,故舍去.综合可知251a =,现在方程〔4〕的解为3m =或5023m =〔舍去〕. 把251a =,3m =代入〔3〕式,得50936251273b c ⨯-⨯-==,即27c b =-. 代入〔2〕式得(27)2b b --=,因此5b =,3c =,因此()251(53)2008a b c +=⨯+=.。
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2017年上初一数学竞赛试题 ( 考试时间:90分钟 满分:100分) 一、选择题(每题3分,共24分) 1、若m 是有理数,则m m -一定是( ) A .零 B .非负数 C .正数 D .负数 2、如果022=-+-x x ,那么x 的取值范围是( ) A .2>x B .2<x C .2≥x D .2≤x 3.下列说法正确..的是 ( ) A .平方等于它本身的数只有0 B .立方等于本身的数只有±1 C .绝对值等于它本身的数只有正数 D .倒数等于它本身的数只有±1 4、若和的代数和中不含二次项,则为( ) A .-8 B .-4 C .4 D .8 5、计算:的结果是:( ) A . B . C . D .0
、当2=x 时, 整式13++qx px 的值等于2002,那么当2-=x 时, 整式13++qx px 的值为( ) 、2001 B 、-2001 C 、2000 D 、-2000 7、计算机是将信息转换成二进制数进行处理的,二进制即“逢2进1”,如(1101)2表示二进制数,将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13,那么将二进制数(1111)2转换成十进制形式是数(注意:20=1) ( ) .8 B .15 C .20 D .30 8、一个多位数的个位数字设为a ,而这个多位数的任何次幂的个位数字仍为a ,
那么数字a (
) A.只能是1 B.除1以外还有1个 C.共有3个 D.共有4个 二、填空题(每题3分,共18分) 9.观察下列等式:111122⨯=-,222233⨯=-,333344⨯=-,……则第n 个等式为____________ . 10.点A 、B 、C 在同一条数轴上,其中点A 、B 表示的数分别为﹣3、1,若BC=2,则AC 等于__________. 11、小方利用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的数据如下表: 那么,当输入数据为8时,输出的数据为 .
12、现对某商品降价20%促销,为了使销售总金额不变,
销售量要比按原价销售时增加的百分数为__________.
13. 填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据这种规律,m 的值是 .
14.已知231x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程组11ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩
的解,则()()a b a b +-的值是 . 三、解答题(共计58分)
15、计算(6分):()321236893⎡
⎤⎛⎫---++---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
16.(6分)如图, 数轴上三点A 、B 、C 分别表示有理数a 、b 、c,
化简|a -b|-|a+c|+|b -c|.
17.(6分)设
当时
求:的值。
18.(6分)解方程组199519975989199719955987x y x y +=⎧⎨+=⎩
19.(6分)若()4360,2700,x y z x y z xyz --=+-=≠求代数式
z y x z y x 103225++-+的值. 20.(8分)已知:有理数m 所表示的点到表示数3的点的距离4个单位,a,b 互为相反数,且都不为
零,c,d 互为倒数。
求:m cd b
a b a --++)3(22的值 21.(10分)“水是生命之源”,市自来水公司为鼓励用户节约用水,按以下规定收取水费:
(1)某用户1月份共交水费65元,问1月份用水多少吨?
(2)若该用户水表有故障,每次用水只有60%记入用水量,这样在2月份交水费43.2元,该用户2
月份实际应交水费多少元?
22.(10分)有铅笔、圆珠笔、钢笔三种学习用品。
若购买铅笔3支、圆珠笔7支、钢笔1支共需35元,若购买铅笔4支、圆珠笔10支、钢笔1支共需42元。
现购买铅笔、圆珠笔、钢笔各1支共需多少元?。