3-1二维随机变量及其联合分布
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概率论-3-1 二维随机变量
★ 证明 P{ x1 X x2 , y1 Y y2 }
P{ X x2 , y1 Y y2 } P{ X x1, y1 Y y2 } P{ X x2 ,Y y2 } P{ X x2 ,Y y1}
P{ X x1,Y y2 } P{ X x1,Y y1} 0,
(3,1)
p31
1 4
1 3
1 12
P( X ,Y )
(3,2)
p32
1 4
2 3
1. 6
从而所求的分布列为： X Y 1 2 3
1 0 1 6 1 12
2 16 16 16
3 1 12 1 6 0
三、连续型二维随机变量
定义
对于二维随机变量（X ,Y）的分布函数F（x, y), 如果存在非负的函数f (x, y)，使得对于任意的x, y有
定义
给定一个随机试验, 是它的样本空间, 如果对
每一个 ，有一对有序实数[ X (),Y ()]与之对
应，则这样一个定义域为，取值为有序实数( X ,Y )
[ X (),Y ()]的变量称为二维随机变量（向量），
简记为( X ,Y )。
e S
X (e) Y (e)
2、联合分布函数
定义：设 ( X ,Y ) 是二维随机变量,对于任意实数 x, y, 二元函数: F ( x, y) P{( X x) (Y y)} P{ X x,Y y} 称为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数,或称为随 机变量X 和 Y 的联合分布函数.
F ( x, y)的函数值就是随机点落在如图所示区
0,
3-1概率论
G
例5 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度
2 x y , x0 , y0 , ke f ( x, y ) , 其它. 0
试求： ⑴ 常数 k 的值； ⑵ 分布函数 F ( x, y) ; ⑶ 概率 P{Y X }; ⑷ 概率 P{X Y 1};
得
A( B 2 )(C 2 ) 1, A( B )(C ) 0, 2 2 A( B 2 )(C 2 ) 0.
则
A 2 , B , C 2 2 P{ X 3, Y 4} F (3, 4)
pij P{( X , Y ) (i, j )} P{( X i) (Y j )}
独立性
i 3
P{ X i} P{Y j}
i 3 i j 3 j 3 j
C 0.6 0.4 C 0.7 0.3
① P{ X Y } P00 P 11 P 22 P 33 ? ② P{ X Y } P 10 P 20 P 21 P 30 P 31 P 32 ? ③ P{ X 1 Y } P01 P 12 P 23 ?
p12 P{ X 1, Y 2}
1 P{ X 1}P{Y 1| X 1} 0 0 4
1 2 1 P{ X 1}P{Y 2 | X 1} 4/ 4 1/ 3 1/12 , p21 2 / 4 1/ 3 1/ 6
2 F ( x, y ) f ( x, y ) ③ 若 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 连续，则有 xy
④ P{( X , Y ) ( x, y)} 0 ,即连续型随机变量在某点的 概率为0。 ⑤ P{( X ,Y ) G} f ( x, y)dxdy , G表示xoy平面上的区域, 落在此区域上的概率相当于以 G为底,以曲面z f ( x, y) 为顶的曲顶柱体体积。
例5 设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度
2 x y , x0 , y0 , ke f ( x, y ) , 其它. 0
试求： ⑴ 常数 k 的值； ⑵ 分布函数 F ( x, y) ; ⑶ 概率 P{Y X }; ⑷ 概率 P{X Y 1};
得
A( B 2 )(C 2 ) 1, A( B )(C ) 0, 2 2 A( B 2 )(C 2 ) 0.
则
A 2 , B , C 2 2 P{ X 3, Y 4} F (3, 4)
pij P{( X , Y ) (i, j )} P{( X i) (Y j )}
独立性
i 3
P{ X i} P{Y j}
i 3 i j 3 j 3 j
C 0.6 0.4 C 0.7 0.3
① P{ X Y } P00 P 11 P 22 P 33 ? ② P{ X Y } P 10 P 20 P 21 P 30 P 31 P 32 ? ③ P{ X 1 Y } P01 P 12 P 23 ?
p12 P{ X 1, Y 2}
1 P{ X 1}P{Y 1| X 1} 0 0 4
1 2 1 P{ X 1}P{Y 2 | X 1} 4/ 4 1/ 3 1/12 , p21 2 / 4 1/ 3 1/ 6
2 F ( x, y ) f ( x, y ) ③ 若 f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 连续，则有 xy
④ P{( X , Y ) ( x, y)} 0 ,即连续型随机变量在某点的 概率为0。 ⑤ P{( X ,Y ) G} f ( x, y)dxdy , G表示xoy平面上的区域, 落在此区域上的概率相当于以 G为底,以曲面z f ( x, y) 为顶的曲顶柱体体积。
3.1二维随机变量及其分布
4/ 9
4/ 9 1/ 9
四、二维连续型随机变量及其分布 1.定义 1.定义 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的联合分布 函数为 F(x, y) 如果存在一非负二元函数 f (x, y) ， 使对任意实数 x, y, 有
F(x, y) = ∫
x
−∞ −∞
∫
y
f (x, y)dydx
二维连续型随机变量， 则称 ( X ,Y )是二维连续型随机变量，相应的二 元函数 f (x, y)称为( X , Y )的联合概率密度。 的联合概率密度。
−∞
1 4xydx = 2 y,0 ≤ y ≤ 1 ∫0 = 0 ， 其它
由定义： （4）由定义：
F( x, y) = ∫
x
−∞ −∞
∫
y
f ( x, y)dxdy
Y
(1,1)
D5
D2
D4
D3
D1
00
X
( 当 x, y) ∈ D1,即x < 0或y < 0
F( x, y) = 0
( 当 x, y)∈ D2 ,0 ≤ x ≤ 1且y > 1
（ 2 ）由
P{( X , Y ) ∈ D} = ∫∫ f ( x, y)dxdy
D
= ∫ dx∫
0
1
1− x
0
4xydy
Y
1 = 6
(1,1)
0 x+ y =1X
（3）由边缘概率密度的定义： 由边缘概率密度的定义：
f X ( x) = ∫ f ( x, y)dy
−∞
1
+∞
4xydy = 2x,0 ≤ x ≤ 1 ∫0 = 类似的， 类似的， 0 ， 其它 +∞ fY ( y ) = ∫ f ( x , y )dx
二维随机向量的分布
2019/1/6 14
X
Y
0 1 2 3
0 0 0 1/ 8 0 3/ 8 0 0 0 3/ 8 0 0 0 0 0 1/ 8
0
X
Y
1 3
1
2
3
01 / 8 1 3/ 8 0 2 3/ 8 0 3 01/ 8
0
2019/1/6
15
三、连续型随机向量的联合密度函数
定义3
对于二维随即向量(X,Y)的分布函数 F( x, y)，如果存在一个非负可积函数f (x, y) x y 使得对于 x , y R ,有 F ( x ,y ) u , v ) dud f(
F ( y ) P ( Y y ) F ( ,y ) P ( X , Y y ) Y
2019/1/6 21
例7 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为
x y x y xy 1 e e e , x 0 , y 0 F ( x , y ) 0 , 其它 称此分布为二维指数分布,其中参数 0 .
0 第二次取到白球 Y 1 第二次取到黑球
试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的 联合分布律。
2019/1/6 11
离散型二维随机向量联合概率分布确定方法: 1. 找出随机变量X和Y的所有取值结果,得 到(X,Y)的所 有取值数对; 2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数 值对的概率; 3. 列出联合概率分布表.
2019/1/6
25
例9 设(X,Y)的联合概率分布表为:
X Y -1 0 1 p.j 0 0.05 0.1 0.1 0.25 1 0.1 0.2 0.2 0.5 2 0.1 0.1 0.05 0.25
X
Y
0 1 2 3
0 0 0 1/ 8 0 3/ 8 0 0 0 3/ 8 0 0 0 0 0 1/ 8
0
X
Y
1 3
1
2
3
01 / 8 1 3/ 8 0 2 3/ 8 0 3 01/ 8
0
2019/1/6
15
三、连续型随机向量的联合密度函数
定义3
对于二维随即向量(X,Y)的分布函数 F( x, y)，如果存在一个非负可积函数f (x, y) x y 使得对于 x , y R ,有 F ( x ,y ) u , v ) dud f(
F ( y ) P ( Y y ) F ( ,y ) P ( X , Y y ) Y
2019/1/6 21
例7 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为
x y x y xy 1 e e e , x 0 , y 0 F ( x , y ) 0 , 其它 称此分布为二维指数分布,其中参数 0 .
0 第二次取到白球 Y 1 第二次取到黑球
试分别求出有放回和无放回取球情况下(X,Y)的 联合分布律。
2019/1/6 11
离散型二维随机向量联合概率分布确定方法: 1. 找出随机变量X和Y的所有取值结果,得 到(X,Y)的所 有取值数对; 2. 利用古典概型或概率的性质计算每个数 值对的概率; 3. 列出联合概率分布表.
2019/1/6
25
例9 设(X,Y)的联合概率分布表为:
X Y -1 0 1 p.j 0 0.05 0.1 0.1 0.25 1 0.1 0.2 0.2 0.5 2 0.1 0.1 0.05 0.25
《概率论与数理统计》课件3-1二维随机变量及其联合分布
P{a X b} = F(b) − F(a) + P{X = a}
二维随机变量联合分布函数
F(x,y) = P{X x,Y y}
(1) 有界性 0 F(x,y) 1，且有F(− ,y) = lim F(x,y) = 0
x→−
F(x，− ) = lim F(x,y) = 0 F(− ，− ) = lim F(x,y) = 0 ，
1
F(
) 1 F( y) 0 F(x ) 0
F ( , ) A(B )(C ) 1
2
2
F ( , y) A(B )(C arctan y) 0 2
F ( x,
) A( B arctan x) ( C
)0
2
A
F (x, y) y).
1
2
,
B
1
2 (2
C.
2
arctan x)( 2
arctan
(2) P 0 X , 0 Y 1 F( ,1) F(0,1) F( , 0) F(0, 0) ．
则〈
l
0，
它
P 恳1 < X 共 2,3 < Y 共 5}
x > 0, y > 0 其
= F(2,5) − F(1,5) − F(1,3) + F(2,3)
A) V
B) 根
A
B
提交
1 F(x, y) A(B arctan x)(C arctan y).
1
A, B,C 2 P 0 X , 0 Y 1
A.
B.
C.
D.
A
C
B
D
提交
1. F(x, y) P{X x,Y y}.
2.
二维随机变量联合分布函数
F(x,y) = P{X x,Y y}
(1) 有界性 0 F(x,y) 1，且有F(− ,y) = lim F(x,y) = 0
x→−
F(x，− ) = lim F(x,y) = 0 F(− ，− ) = lim F(x,y) = 0 ，
1
F(
) 1 F( y) 0 F(x ) 0
F ( , ) A(B )(C ) 1
2
2
F ( , y) A(B )(C arctan y) 0 2
F ( x,
) A( B arctan x) ( C
)0
2
A
F (x, y) y).
1
2
,
B
1
2 (2
C.
2
arctan x)( 2
arctan
(2) P 0 X , 0 Y 1 F( ,1) F(0,1) F( , 0) F(0, 0) ．
则〈
l
0，
它
P 恳1 < X 共 2,3 < Y 共 5}
x > 0, y > 0 其
= F(2,5) − F(1,5) − F(1,3) + F(2,3)
A) V
B) 根
A
B
提交
1 F(x, y) A(B arctan x)(C arctan y).
1
A, B,C 2 P 0 X , 0 Y 1
A.
B.
C.
D.
A
C
B
D
提交
1. F(x, y) P{X x,Y y}.
2.
二维随机变量及其分布
第三章 二维随机变量及其分布 一、 二维随机变量及其联合分布设Ω为某实验的样本空间，X 和Y 是定义在Ω上的两个随机变量，则称有序随机变量对（X,Y ）为比如，研究某地区人口的健康状况可能取身高和体重两个参数作为随机变量；打靶弹着点选取横纵坐标。
§3.1.1联合分布函数定义1：设（X ，Y ）为二维随机变量，对任意实数χ，y为（X ，Y ）的分布函数或称为X 与Y 几何上，F （χ，y ）表示（X ，Y ）落在平面直角坐标系中以（χ,y ）为顶点左下方的无穷矩形内的概率（见图） y 二维随机变量（X ，Y ）的分布函数F （x,y 1°F(x,y)对每个自变量是单调不减的，即若x1<x2，则有F(x1,y)≤F(x2,y); 若y1<y2，则有F(x,y1)≤F(x,y2).2°0≤F(x,y)≤1且 F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=13° F(x,y)对每个自变量是右连续的，即 F （x+0,y ）= F （x,y ）, F （x,y+0）= F （x,y ） 4° 对任意x1≤x2, y1≤y2有 F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0事实上，由图可见(见右图)F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)例1设（X ，Y ）的分布函数为解：由性质4°可得X，Y）的所有可能取值为有限对或可列对，则称（X，Y设（X，Y）的所有可能取值为（xi,yj）,i ,j=1,2,……P{X=xi,Y=yj }=pij,i,j=1,2,……，为（X，Y）的分布律，或称为X与Y 用表格表示:性质 1. pij≥0,一切i,j,2. 显然，（X，Y）落在区域D内的概率应为由此便得（X，Y）的分布函数与分布律之间关系为例2两封信随机地向编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的四个邮筒内投，令 X表示投入Ⅰ号邮筒内的信件数； Y 表示投入Ⅱ号邮筒内的信件数。
二维随机变量(x,y)的联合分布律
二维随机变量(x,y)的联合分布律
二维随机变量的联合分布律是一类重要的参数，它某种程度上反映和描述了两个不同变量
关系的概率性质。
一般来说，定义在一定空间某点上的联合分布概率，可以用一个函数来
表示，即联合分布函数。
它可以是连续的或离散的，它包括条件概率和条件协方差分布两
部分。
联合分布律不仅描述两个变量之间的关系，还可以揭示各个变量的独立性，或特定变量的正态分布等信息。
研究二维随机变量的联合分布律，有助于我们更加深入、全面地理解变
量之间的关系，分析不同概率分布，从而制定合理的投资策略。
联合分布律经常用于自然科学和经济等领域，非常有用。
如艺术家需要对不同色调和饱和度进行评估，就可以用联合分布律来更好地识别不同色调，也可以帮助统计学家更好地预测某一特定变量的行为趋势。
此外，它也可以帮助金融专业人士观察大量投资者之间的独立性，并做出相应的经济决策。
总之，研究二维随机变量的联合分布律对于解决许多问题至关重要，在金融投资中尤其如此。
熟悉这样的数学模型，能够帮助投资人更好地预测市场的走向，获得资金的最高价值。
概率论与数理统计第3章第一节-二维随机变量3-1解析
X， Y X e， Y e e S
看作一个整体，因为 X 与Y 之间是有联系的；
⑶ 在几何上，二维随机变量 ( X ,Y ) 可看 作平面上的随机点． 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关,而且 还依赖于这两个随机变量的相互关系,因此,逐个 地研究X及Y的性质是不够的，还需将(X,Y)作为 一个整体来研究．和一维的情况类似，我们也借 助“分布函数”来研究二维随机变量
时 F x1, y F x2, y ;
对任意固定的 x R 及 y1 , y2 R , 当 y1 y2
时 F x, y1 F x, y2 ;
x1, y y
x2, y
x1 O
x2 x
X ,Y
X ,Y
3 . 0 F x, y 1, 且
对任意固定的 y R , F , y 0 ,
得
1
F
，
A
B
2
C
2
0 F x， A B arctan x C
2 2
0 F ， y A B C arctan y
2
3
由 以 上 三 式 可 得A，
1，
2
B
，
2
C
2
．
n 维随机变量
设 E 是一个随机试验，S是其样本空间，
Xi Xi e e S i 1， 2， ， n
我们称此函数为n维随机变量的分布函数.
二、二维离散型随机变量
1．定义：
若二维随机向量(X,Y)的可能取值只有有限个或可 列个,则称(X,Y)是离散型二维随机向量.
若二维离散型随机向量(X,Y)的所有可能取值为
(xi,yj),i,j=1,2,…
记P{X=xi,Y=yj}=pij, i, j=1,2,…
看作一个整体，因为 X 与Y 之间是有联系的；
⑶ 在几何上，二维随机变量 ( X ,Y ) 可看 作平面上的随机点． 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关,而且 还依赖于这两个随机变量的相互关系,因此,逐个 地研究X及Y的性质是不够的，还需将(X,Y)作为 一个整体来研究．和一维的情况类似，我们也借 助“分布函数”来研究二维随机变量
时 F x1, y F x2, y ;
对任意固定的 x R 及 y1 , y2 R , 当 y1 y2
时 F x, y1 F x, y2 ;
x1, y y
x2, y
x1 O
x2 x
X ,Y
X ,Y
3 . 0 F x, y 1, 且
对任意固定的 y R , F , y 0 ,
得
1
F
，
A
B
2
C
2
0 F x， A B arctan x C
2 2
0 F ， y A B C arctan y
2
3
由 以 上 三 式 可 得A，
1，
2
B
，
2
C
2
．
n 维随机变量
设 E 是一个随机试验，S是其样本空间，
Xi Xi e e S i 1， 2， ， n
我们称此函数为n维随机变量的分布函数.
二、二维离散型随机变量
1．定义：
若二维随机向量(X,Y)的可能取值只有有限个或可 列个,则称(X,Y)是离散型二维随机向量.
若二维离散型随机向量(X,Y)的所有可能取值为
(xi,yj),i,j=1,2,…
记P{X=xi,Y=yj}=pij, i, j=1,2,…
3_1随机向量的联合分布
x 0, y 0 其它
求 (1)k; (2)F(x,y); (3)P{0<X<1,0<Y<1}; (4) P{X+Y≤1}
解:（1）因为
0
f ( x, y )dxdy 1
所以
1
0
k e ( x y ) dxdy
0
) 2 k k e x dx e y dy k (e x |0 0
D
o
a
bx
(4) 点(X，Y)落在xoy的平面区域D内的概率为
P{( X , Y ) D} f ( x, y )dxdy
D
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例3. 已知二维连续型随机向量（X, Y）的联合概率密度，
ke ( x y ) , f ( x, y ) 0,
1 F (2, 3) F (0, 3) F (2, 0) F (0, 0) 16
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二、 二维离散型随机向量及其分布
1.定义 若随机向量（X，Y）所有可能取值为有限对或可列多对 时，则称（X，Y）为二维离散型随机向量. 2.（X，Y）的联合分布列(律) 若（X，Y）的所有可能取值为（xi , yj），i,j =1,2,…；且 取这些值时的概率表示为 pij=P { X = xi ,Y = yj }, (i,j =1,2,…) 则称这一列式子为（X，Y）的联合概率分布或联合分布律. 3.（X，Y）的联合分布律 pij 的性质 （1）pij≥0；i,j=1,2,…; (2)
x
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一、二维随机向量的联合分布函数
1.定义 设(X，Y)为二维随机向量，x、y为两个任意实数，则称
3.1 二维随机变量及其分布
28 33
(3) F ( x , y ) P { X x ,Y y }
x
A( B
y
2
)(C arctan y ) 0
F ( x , ) lim A( B arctan x )(C arctan y)
A( B arctan x )(C
2
) 0
F ( , ) lim A( B arctan x )(C arctan y)
2 1 1 P{ X 0, Y 0} 12 11 66 5 2 10 P{ X 0, Y 1} 12 11 33 10 2 5 P{ X 1, Y 0} 12 11 33 10 9 15 P{ X 1, Y 1} 12 11 22
第三章
多维随机变量及其分布
第一节 二维随机变量及其分布 第二节 边缘分布
第三节 条件分布（不讲）
第四节 随机变量的独立性 第五节 两个随机变量的函数的分布
第一节
二维随机变量及其分布
2.二维随机变量的联合分布函数 P60
(1)定义 设（X, Y）是二维随机变量, 对于任意实数 x、 y ，二元函数
F ( x , y ) P{ X x , Y y }
称为二维随机变量（X, Y）的分布函数或X和Y的 联合分布函数
(2)二元分布函数的几何意义 P61 将二维随机变量看作XOY平面上
随机点的坐标，则联合分布函数
F(x,y)表示随机点(X,Y)落在无穷
y
(X,Y)
(x,y)
矩形区域
{( X , Y ) / X x, Y y}
F ( x , y ) P{ X x , Y y }
3.1 二维随机变量及其分布
可得
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求：（1）c 的值；（2）两个边缘密度。
解：（2）由 概率密度函数性质 4，即
即Y的边缘 密度函数为
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求：（1）c 的值；（2）两个边缘密度。
解：（2）由 概率密度函数性质 4，即
即X的边缘 密度函数为
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求两个边缘密度。
解：由 概率密度函数性质 4，即
三、二维连续型随机变量及其概率分布
例：设二维随机变量（X, Y）具有概率密度
试求两个边缘密度。
解：由 概率密度函数性质 4，即
三、二维连续型随机变量及其概率分布
解：依题意知，概率密度函数为
由 概率密度函数性质 4，得
三、二维连续型随机变量及其概率分布
解：依题意知，概率密度函数为
三、二维连续型随机变量及其概率分布
两个常见二维连续型概率分布
三、二维连续型随机变量及其概率分布
关于二维正态分布的说明 （1）服从二维正态分布的密度函数的典型图形见下图； （2）二维正态分布的两个边缘分布是一维正态分布。
解：（1）由二维随机变量分布函数的性质, 可得
一、二维随机变量及其分布函数
例：设二维随机变量（X, Y）的分布函数为
解：由（1）式可得
第一节 二维随机变量及其分布
二维随机变量及其分布函数
二维离散型随机变量及其概率分布 二维连续型随机变量及其概率密度
二、二维离散型随机变量及其概率分布
二维随机变量及其联合分布
(y 2)2 22
)
其中 均为常数， 1, 2 , 1, 2 ,
1 0, 2 0, 1, (x, y) R2
，则称
(X , Y)
服从参数为（ 1 ,
2,
2 1
,
2 2
,
）的二
维正态分布，记为
(
X
,
Y
)
~
N
(1
,
2
,
2 1
,
通常我们用联合概率分布律列是二维离散型随机变量它所有可能的取值为的联合分布律列或联合概率分布jointprobabilitydistribution简称分布12112221规范性37其联合分布函数为定义35设二维随机变量的分布函为若存在非负可积函数使得对于任意实数的联合概率密度函数jointprobabilitydensityfunction简称的概率密度
（Joint Distribution）．与一维情形类似，为 了研究二维随机变量的联合分布，我们引 入二维随机变量的分布函数的概念．
定义3.2 设 X (), Y() 是定义在样本空间 上 的二维随机变量，对于任意的实数 x, y ， 称函数
F(x, y) P{ : X x, Y y} （3—1）
pi2 p i j
显然，二维离散型随机变量的分布列 满足：
1. pi j 0 （非负性）
2. pi j 1 （规范性） （3—7） i, j
其联合分布函数为
F(x, y) P{X x, Y y} pi j（3—8） yj y xix
四、二维连续型随机变量及联合概率密 度函数
3.1二维随机变量及其分布
y
•(2,2)
1 1 1 0 1 0
(0,0)
•
•
(2,0)
x
故F(x, y)不能作为某二维 r.v.的分布函数.
二维联合分布函数（二维联合分布列、二维联合密度函数也一样） 含有丰富的信息，主要有以下三方面的信息：
每个分量的分布（每个分量的所有信息），即边际分布 两个分量之间的关联程度，在第4.3节用协方差和相关系数来描述 给定一个分量时，另一个分量的分布，即条件分布
定义 设随机试验的样本空间为 S , 而 X X ( ), Y Y ( ) 是定义在 S 上的两个随机变量， 称 ( X ,Y )为定义在 S 上的二维随机变量或二维随机向量. 注： 一般地， 称 n 个随机变量的整体
X ( X 1 , X 2 ,, X n ) 为 n 维随机变量或随机向量.
pij
特别地，联合分布函数为：
F ( x, y ) P{ X x, Y y} pij
xi x , y j y
4、边缘概率分布
pi P{ X xi } pij ,
j
P ({ X xi , Y y j })
P{ X xi ,Y y j }
实例2 考查某一地 区学 前儿童的发育情况 , 则儿 童的身高 H 和体重 W 就 构成二维随机变量(H,W). 如何研究多维r.v.的统计规律性呢，仿一维 r.v.,我们先研究联合分布函数，然后研究 离散r.v.的联合分布列、连续型r.v.的联合密 度函数等。
3.1 二维随机变量及其分布
一、二维随机变量
注：以上性质是分布函数的基
本性质，也是判断一个二元函 数作为随机向量的分布函数的 基本条件。
二维随机变量及联合分布
00
c e3xdx e4 y dy
c
12
0
0
所以，c 12．
y
x 0, y 0
(2) F x， y PX x， Y y
x
当 x 0或 y 0时，F x， y 0 ；
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§1 二 维 随 机 变 量
例 5（续）
当 x 0 且 y 0 时，
Fx， y PX x， Y y
Y 的可能取值为1，3 ．
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§1 二 维 随 机 变 量
例 2（续）
PX 0， Y 1 0； PX 0， Y 3 1；
8
PX 1， Y 1 3； PX 1， Y 3 0；
8
PX 2， Y 1 3； PX 2， Y 3 0；
8
PX 3， Y 1 0； PX 3， Y 3 1．
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§1 二 维 随 机 变 量 一个重要的公式
设：x1 x2 ，y1 y2 ，则
Px1 X x2 ， y1 X y2
F x2 ， y2 F x2 ， y1
F x1，
y2
F x1，
y1
y y2
y1
(x1 , y2) (X, Y )
(x1 , y1)
(x2 , y2) (x2 , y1)
是 x， y的函数．我们称此函数为二维随机 变量 X， Y 的分布函数.
•..... . 返回主目录
§1 二 维 随 机 变 量
二元分布函数的几何意义
二元分布函数的几何
意义是：F x， y
表示平面上的随机
点X， Y 落在以 x， y 为右上顶
点的无穷矩形中的 概率．
y
(X, Y ) o
§3.1 二维随机变量及其分布§3.2 边 缘 分 布
第3章
§3.1 二维随机变量及其分布
第12页
例2 设连续型随机变量(X, Y)的概率密度函数为
ke ( x y ) , x 0, y 0 f ( x, y) 其它 0, 求(1) 常数k; (2) (X,Y)的分布函数F(x,y); (3) P{X>1,Y<1}
第3章
§3.1 二维随机变量及其分布
第1页
多 维 分 布
第3章
§3.1 二维随机变量及其分布
第2页
第3章
多维随机变量及其分布
引例: 1.炮弹落点的位置必须用两个坐标X和Y来描述； 2. 遗传学家在研究儿子的身高X与父亲身高Y、母 亲身高Z之间的关系时，需要同时考虑三个随机变量 X、Y和 Z 。 特点: 试验结果需要用两个或两个以上的随机变量 才能描述 。 定义 设E：Ω={ω} ，X1，X2，…，Xn是定义在Ω上 的n个随机变量，称随机变量组（X1，X2，…，Xn）为 定义在Ω上的n维随机变量或n维随机向量。
第3章
§3.1 二维随机变量及其分布
第5页
3 . 二维分布函数F(x, y)的基本性质 (1) 0≤F(x,y)≤1； 对于任意固定的y，F(-∞, y)=0 ;
对于任意固定的x，F(x, -∞)=0 ;
F(-∞, -∞)=0，F(+∞, +∞)=1
(2) F(x, y)关于变量x和y均单调非减，且右连续；
1
2 3 4
1/4 1/8
0 0 0 1/8 0 0
1/12
1/12 1/12 0
1/16
1/16 1/16 1/16
第3章
§3.1 二维随机变量及其分布
第9页
3.1.3 二维连续型随机变量(X, Y)及其分布 定义 设(X, Y)的分布函数为F(x, y)，如果存在非
[课件]概率与统计 3.1 二维随机变量及其分布
![[课件]概率与统计 3.1 二维随机变量及其分布](https://img.taocdn.com/s3/m/d9eb504de518964bcf847c0c.png)
d c (c , d )的长度 P {c X d } b a (a , b )的长度
借助于几何度量指标(长度, 面积, 体积等)
计算概率, 可建立 “几何概型” .
例3.1.6 例3.1.7
电子科技大学
联合分布
五.二维正态分布 定义 二维随机变量( X ,Y )的联合概率密 度为
1 e 2 x x 0 FX (x ) 其他 0
1 e FY ( y ) 0
3 y
y0 其他
电子科技大学
联合分布
联合分布函数的性质
1.单调不减性 F(x, y)分别对x , y单调不减.
当x1 x2 , F ( x1 , y ) F ( x2 , y ), y R；
(X , Y )的联合概率密度.
电子科技大学
联合分布
密度性质 1) f ( x , y ) 0;
这两条可作为判断 一个二元函数是否是 联合概率密度的标准
2) f ( x , y )dxdy 1.
3) 若f ( x , y )在( x , y )处连续, 则 F ( x, y) f ( x, y) xy 4) 若G R 2 , 有
电子科技大学
联合分布
三.联合概率密度
定义 二维随机变量( X , Y )的联合分布函
数为F(x , y)，如果存在非负的函数f (x , y)使
得对任意实数对(x , y)，有
F ( x, y )
y
x
f (u, v )dudv
称(X ,Y )是连续型随机变量，称f (x , y ) 为
联合分布函数为
F ( x , y ) P{ X x ,Y y }
3.1 二维随机变量及其联合分布函数
Dx
y
故
P{a X b,c Y d}
b a
d c
f
( x,
y)dy
dx
注：1在几何上，z f (x, y)表示空间一个曲面，
介于它和xoy平面的空间区域的体积为1
2 P((X ,Y ) D)等于以D为底，以曲面z f (x, y)
为顶面的柱体体积。
9 25
例3.1.1 一箱中有10件产品，其中6件一级品，4件二级品， 现随机抽取2次，每次任取一件，定义两个随机变量X和Y：
1 第一次抽到一级品， X 0 第一次抽到二级品.
1 Y 0
第二次抽到一级品， 第二次抽到二级品.
(2)第一次抽取后不放回， 求(X,Y)的联合分布律.
4 7
e6
3 7
e14
本例是一个典型题.大家应掌握分析与 计算的方法。特别是会根据不同形状的概 率密度非零区域与所求概率的事件区域G来 处理这类问题。
例 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
f
(
x,
y)
1 8
(6
x
y),
0 x 2, 2 y 4
0,
解 (1)
f (x, y)dxdy
Ae(3x4 y)dxdy 00
A e3xdx e4 ydy
0
0
A[
1 3
e3x ]0[
1 4
e4 y ]0
A 1 1 12
所以 A 12
12e(3 x4 y) , x 0, y 0
A （x，y）
3.1.2 联合分布函数及其性质 定义3.1.3 设(X,Y)是二维随机变量, 对任意 实数 x, y，二元函数
§3.1 二维随机变量的联合分布
D
∫∫x , y )≤0} p( x , y )dxdy II. P ( g( X , Y ) ≤ 0) = ∫∫ p( x , y )dxdy = {( x , y ): g (
D
=
{ g ( X ,Y ) ≤ 0}
∫∫
p( x , y )dxdy
如：P ( X 2 ≤ Y ) =
∫∫
{ X 2 ≤Y }
常数k; (2)P(X<1,Y< 3); 求: (1)常数 常数 (3)P(X< 1.5); (4)P(X+Y≤4) + ≤
1/8，3/8，27/32，2/3 ， ， ，
课堂练习: 课堂练习 盒子里装有3只黑球 只黑球， 只红球 只红球， 只白球 在其中任取4 只白球， 盒子里装有 只黑球，2只红球，2只白球，在其中任取 只球， 表示取到黑球的只数， 只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只 表示取到黑球的只数 表示取到红球的只 数，求X,Y的联合分布列 的联合分布列
∫−∞ ∫−∞
则称(X, 是二维连续型随机变量 是二维连续型随机变量. 则称 ,Y)是二维连续型随机变量 而p(x,y)称为 称为 (X,Y)的(概率 密度函数 概率)密度函数 , 的 概率 p(x,y)的性质： 的性质： 的性质 (1) ∀x,y∈R, p(x,y)≥0 ∈ ≥ (2)
∫−∞ ∫−∞ p( x, y )dxdy = 1
+∞
+∞
几何意义： 几何意义： p(x,y)在几何上表示一个曲面 分布区面 介于分布区面和 在几何上表示一个曲面(分布区面 在几何上表示一个曲面 分布区面), xoy平面之间空间的体积为 平面之间空间的体积为1 平面之间空间的体积为
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1 p ij 0 ,
即 p11 p12 L
p 21 p 22 L
2 p ij 1 . i1 j1
p n1 p n2 L L 1
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
XY
x1 x2 M
xi M
y1 y2 L yj L
p 1 1 p 1 2 L p 1j L p 2 1 p 2 2 L p 2j L
解 ( X, Y ) 所取的可能值是
(0,0), (0,1),(0,2),(1,0), (1,1), (2,0).
两P { 封X 一信 封都0 ,信Y 投 投入0 入第}第33个122 个,邮邮箱箱,另一封信投入第3个邮箱
P { X 0 ,Y 1 } P { X 1 ,Y 0 } 322
y
x1, y2
x2, y2
x1 , y1
x
x2 , y1
二、二维离散型随机变量 及其联合分布律
1. 定义 (P62)
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量.
例如 二维随机变量( X, Y ) 表示掷两颗骰子出现 的点数, 则( X, Y )的所有可能取值为36对.
即 F(x,y)关x 于 右连 ,关续 y于 也右. 连续
4 o对 于 任 意 x 1 x 2 ,y 1 y 2 ,有
P x 1 X x 2 ,y 1 Y y 2
= F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 ) F ( x 1 ,y 1 )
• X ( )
图示
•
•Y ( )
实例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 就是一个二维 随机变量.
实例2 考查某一地 区学前 儿童的发育情况 , 则儿童的 身高 H 和体重 W 就构成二 维随机变量 ( H, W ).
说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y
有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
2.二维随机变量的分布函数
(1)分布函数的定义 (P61-定义1)
设(X,Y)是二维随机,对 变于 量任意实 x, y数 , 二元函:数
F(x,y)P{(Xx) (Y y)}P{Xx,Y y} 称为二维随机(X变 ,Y)量 的分布函 ,或数称为随 机变X 量和Y的联合分布. 函数
Joint Probability Distribution Function
对于任意固定的y, F (,y ) liF ( m x ,y ) 0 , x
对于任意固定的x, F (x ,) liF m (x ,y ) 0 , y
y
F (, ) lim F (x,y)0,
x
y
Xx,Yy
(x, y) •
F (, ) lim F (x,y)1.
o
x
x
y
3oF(x,y)F(x0,y)F ,(x,y)F(x,y0),
i4 i1,2,3,4, j i.
于是(X,Y)的分布律为
i1,2,3,4, j i. P {X i,Yj} P { Y jX i} P { X i} 1 1 ,
i4
Y X
1
2 34
1
1 4
0
00
1
2
8
1 8
00
3
1 12
1 12
10
12
1
1
11
4
16
16
1 6 16
P63-例1
例2 将两封信随意地投入3个空邮箱,设 X, Y分别 表示第1、第2个邮箱中信的数量.求 (1) ( X,Y )的 联合分布列;(2)第3个邮箱里至少投入一封信的 概率;(3)联合分布函数在点(3/2,1/2)处的值F (3/2,1/2).
2. 二维离散型随机变量的分布律 (P62-定义2)
设二维离散型随机 (X,变 Y)所 量有可能取的
值为(xi, yj),i, j 1, 2,,记
P{X xi,Y yj} pij, i, j 1, 2,, 称此为二维离散型 变随 量(机 X,Y) 的分布,律
或随机变X量和Y的联合分布 . 律
其中,
第一节 二维பைடு நூலகம்机变量
一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布 五、小结
一、二维随机变量及其分布函数
1.定义
设E是一个随机试验,它的样本空间是{},
设XX()和YY()是定义在上的随机变量,
由它们构成的一个向量(X,Y),叫作二维随机向量
或二维随机变量.
2, 9
P { X 1 ,Y 1 } P { X 1 ,Y 1 } 2 32
2 9
,
P { X 0 ,Y 2 } P { X 2 ,Y 0 } 1 ,
9
故所求分布律为
Y X
01 2
0 19 29 19
1 29 29
0
2 19 0
0
( 2 ) P { 第 三 个 邮 筒 里 至 少 有 一 封 信 } ＝ P { X Y 1 }
P {X0,Y0 }P {X0,Y1 }P {X1 ,Y0 }
1225 999 9
(3)F
3 2
,
1 2
P X
3 ,Y 2
1 2
PX 0,Y 0 PX 1,Y 0
1 2 1. 99 3
说明
离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为
F(x,y)pij,
xixyjy
其中和式是x对 i x,一 yj 切 y的 i满 ,j求 足 .和
F(x,y)的函数值就是 在随 如机 图点 所落 示
域内的. 概率 y
(x, y) •
Xx,Yy
o
x
(2) 分布函数的性质 (P61-基本性质(1)-(4)) 1oF(x,y)是变 x和 量 y的不减 ,即函 对数 于 意固y,定 当 x2的 x1时 F(x2,y)F(x1,y), 对于任 x ,当 y 2 意 y 1 时 F ( 固 x ,y 2 ) 定 F (x ,y 1 ) 的 . 2o0F (x,y)1, 且有
p i1 p i2 L p ij L
例1设随机变 X在 量1,2,3,4四个整数中等可 取值 ,另一个随机Y在 变1量 ~X中等可能地取 整数.值 试求 (X,Y)的分布. 律 P29-(9)
解 {Xi,Yj}的取值情: 况 i1 是 ,2,3,4,
j取不大i的 于正整. 且数由乘法公式得 P {X i,Yj} P { Y jX i} P { X i} 1 1 ,
即 p11 p12 L
p 21 p 22 L
2 p ij 1 . i1 j1
p n1 p n2 L L 1
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
XY
x1 x2 M
xi M
y1 y2 L yj L
p 1 1 p 1 2 L p 1j L p 2 1 p 2 2 L p 2j L
解 ( X, Y ) 所取的可能值是
(0,0), (0,1),(0,2),(1,0), (1,1), (2,0).
两P { 封X 一信 封都0 ,信Y 投 投入0 入第}第33个122 个,邮邮箱箱,另一封信投入第3个邮箱
P { X 0 ,Y 1 } P { X 1 ,Y 0 } 322
y
x1, y2
x2, y2
x1 , y1
x
x2 , y1
二、二维离散型随机变量 及其联合分布律
1. 定义 (P62)
若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量.
例如 二维随机变量( X, Y ) 表示掷两颗骰子出现 的点数, 则( X, Y )的所有可能取值为36对.
即 F(x,y)关x 于 右连 ,关续 y于 也右. 连续
4 o对 于 任 意 x 1 x 2 ,y 1 y 2 ,有
P x 1 X x 2 ,y 1 Y y 2
= F ( x 2 ,y 2 ) F ( x 1 ,y 2 ) F ( x 2 ,y 1 ) F ( x 1 ,y 1 )
• X ( )
图示
•
•Y ( )
实例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 就是一个二维 随机变量.
实例2 考查某一地 区学前 儿童的发育情况 , 则儿童的 身高 H 和体重 W 就构成二 维随机变量 ( H, W ).
说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y
有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
2.二维随机变量的分布函数
(1)分布函数的定义 (P61-定义1)
设(X,Y)是二维随机,对 变于 量任意实 x, y数 , 二元函:数
F(x,y)P{(Xx) (Y y)}P{Xx,Y y} 称为二维随机(X变 ,Y)量 的分布函 ,或数称为随 机变X 量和Y的联合分布. 函数
Joint Probability Distribution Function
对于任意固定的y, F (,y ) liF ( m x ,y ) 0 , x
对于任意固定的x, F (x ,) liF m (x ,y ) 0 , y
y
F (, ) lim F (x,y)0,
x
y
Xx,Yy
(x, y) •
F (, ) lim F (x,y)1.
o
x
x
y
3oF(x,y)F(x0,y)F ,(x,y)F(x,y0),
i4 i1,2,3,4, j i.
于是(X,Y)的分布律为
i1,2,3,4, j i. P {X i,Yj} P { Y jX i} P { X i} 1 1 ,
i4
Y X
1
2 34
1
1 4
0
00
1
2
8
1 8
00
3
1 12
1 12
10
12
1
1
11
4
16
16
1 6 16
P63-例1
例2 将两封信随意地投入3个空邮箱,设 X, Y分别 表示第1、第2个邮箱中信的数量.求 (1) ( X,Y )的 联合分布列;(2)第3个邮箱里至少投入一封信的 概率;(3)联合分布函数在点(3/2,1/2)处的值F (3/2,1/2).
2. 二维离散型随机变量的分布律 (P62-定义2)
设二维离散型随机 (X,变 Y)所 量有可能取的
值为(xi, yj),i, j 1, 2,,记
P{X xi,Y yj} pij, i, j 1, 2,, 称此为二维离散型 变随 量(机 X,Y) 的分布,律
或随机变X量和Y的联合分布 . 律
其中,
第一节 二维பைடு நூலகம்机变量
一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布 五、小结
一、二维随机变量及其分布函数
1.定义
设E是一个随机试验,它的样本空间是{},
设XX()和YY()是定义在上的随机变量,
由它们构成的一个向量(X,Y),叫作二维随机向量
或二维随机变量.
2, 9
P { X 1 ,Y 1 } P { X 1 ,Y 1 } 2 32
2 9
,
P { X 0 ,Y 2 } P { X 2 ,Y 0 } 1 ,
9
故所求分布律为
Y X
01 2
0 19 29 19
1 29 29
0
2 19 0
0
( 2 ) P { 第 三 个 邮 筒 里 至 少 有 一 封 信 } ＝ P { X Y 1 }
P {X0,Y0 }P {X0,Y1 }P {X1 ,Y0 }
1225 999 9
(3)F
3 2
,
1 2
P X
3 ,Y 2
1 2
PX 0,Y 0 PX 1,Y 0
1 2 1. 99 3
说明
离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为
F(x,y)pij,
xixyjy
其中和式是x对 i x,一 yj 切 y的 i满 ,j求 足 .和
F(x,y)的函数值就是 在随 如机 图点 所落 示
域内的. 概率 y
(x, y) •
Xx,Yy
o
x
(2) 分布函数的性质 (P61-基本性质(1)-(4)) 1oF(x,y)是变 x和 量 y的不减 ,即函 对数 于 意固y,定 当 x2的 x1时 F(x2,y)F(x1,y), 对于任 x ,当 y 2 意 y 1 时 F ( 固 x ,y 2 ) 定 F (x ,y 1 ) 的 . 2o0F (x,y)1, 且有
p i1 p i2 L p ij L
例1设随机变 X在 量1,2,3,4四个整数中等可 取值 ,另一个随机Y在 变1量 ~X中等可能地取 整数.值 试求 (X,Y)的分布. 律 P29-(9)
解 {Xi,Yj}的取值情: 况 i1 是 ,2,3,4,
j取不大i的 于正整. 且数由乘法公式得 P {X i,Yj} P { Y jX i} P { X i} 1 1 ,