北航大一上工科数分期中考试试卷
西北工业大学 高等数学(上)期中考试试题及答案
编号：2006 －2007 学年第一学期期中考试开课学院理学院课程高等数学（上）学时96考试日期2006/11/17 时间 2 小时考试形式（闭）（A）卷2. 命题教师和审题教师姓名应在试卷存档时填写。
共6 页第1 页二、选择题（2384'=⨯'）1、若1)11(lim2=---++∞→baxxxx，则（）A. 1,1=-=ba；B. 0,1==ba；C. 0,1=-=ba；D. 1,1==ba。
2、设)1(||)(22--=xxxxxf，则以下结论中错误的是（）A. 1,0,1==-=xxx为)(xf的间断点； B. 1-=x为无穷间断点；C. 0=x为可去间断点； D. 1=x为第一类间断点。
3、设⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=),(,cos1)(2xxgxxxxxf，其中)(xg是有界函数，则)(xf在0=x处（）A. 极限不存在；B. 极限存在，但不连续；C. 连续，但不可导；D. 可导。
4、曲线0=+-yx eexy在0=x处的切线方程为（）A. xy=；B. 1+=xy；C. 12+=xy；D. 1-=xy。
5、设)(xf在0=x的某领域内可导，且0)0(='f，又21)(lim='→xxfx，则（）A. )0(f一定是)(xf的极大值；B. )0(f一定是)(xf的极小值；C. )0(f一定不是)(xf的极值；D. 不能确定)0(f是否为)(xf的极值。
6、有一容器如图所示，假定以匀速向容器内注水，)(th为容器内水平面高度随时间变化的规律，则能正确反映)(th'变化状态的曲线是（）A. B. C. D.7、设函数13)(3--=xxxf，则方程0)(=xf（）A. 在)1,0(内有实根；B. 在)0,1(-内没有实根；C. 在),0(+∞内有两个不同的实根；D. 在)0,(-∞内有两个不同的实根。
8、设在]1,0[上0)(>''xf，则)0()1(),1(),0(ffff-''的大小顺序是（）A. )1()0()1()0(ffff'<-<'； B. )0()0()1()1(ffff'<-<'；C. )0()1()0()1(ffff'<'<-； D. )0()1()1()0(ffff-<'<'。
北航_数分(1)期中考试参考答案(05-10)
北京航空航天大学数学分析(上)期中考试试题2005年11月13日班级 学号 姓名一、填空题 (每小题4分,共20分)1． 设曲线()y f x =在原点与曲线sin y x =相切，则 n2．limn →∞= 03． 设当0→x 时，βα,是等价无穷小，（0αβ>），βααβ+-→1)1(lim 0x = 14． y =则 'y = 1+5． 设函数 )(x y y = 由方程 e xy e y =+2确定， 0x dy dx== 2e-二、单项选择(每小题5分,共20分)1． 与A a n n =∞→lim 不等价的一个命题是 【 C 】.A 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足n N ≥的+∈N n ，都有ε<-||A a n ； .B 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足N n >的+∈N n ，都有2||n a A ε-≤；.C 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足N n >的+∈N n ，都有εn A a n <-||； .D 0>∀ε，+∈∃N N ，对于所有满足100n N >+的+∈N n ，都有ε100||<-A a n ．2. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 00 1sin )(2x x x x x f , 则在x = 0处 【 C 】Ａ．不连续 Ｂ. 连续但不可导Ｃ．连续且可导 D . 导函数连续3．设()f x 在[,]a b 上连续，且()0f x ≠。
则 【 D 】A ． ()f x 在[,]a b 上恒为正B ． ()f x 在[,]a b 上有正有负C . ()f x 在[,]a b 上恒为负D . ()f x 在[,]a b 上不变号4． 设()f x 在[,]a b 不一致连续， 则在下列表述中正确的一个是 【 B 】.A 00ε∃>，0δ∀>，对[,]a b 中一切满足'''x x δ-<的',''x x ，都有0|(')('')|f x f x ε-≥。
2021年大学航空航天专业《大学物理(上册)》期中考试试卷 含答案
姓名 班级 学号 ………密……….…………封…………………线…………………内……..………………不……………………. 准…………………答…. …………题…2021年大学航空航天专业《大学物理（上册）》期中考试试卷含答案考试须知：1、考试时间：120分钟，本卷满分为100分。
2、请首先按要求在试卷的指定位置填写您的姓名、班级、学号。
3、请仔细阅读各种题目的回答要求，在密封线内答题，否则不予评分。
一、填空题（共10小题，每题2分，共20分）1、一长为的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动。
抬起另一端使棒向上与水平面呈60°，然后无初转速地将棒释放，已知棒对轴的转动惯量为，则(1) 放手时棒的角加速度为____；(2) 棒转到水平位置时的角加速度为____。
（）2、真空中有一半径为R 均匀带正电的细圆环，其电荷线密度为λ，则电荷在圆心处产生的电场强度的大小为____。
3、已知质点的运动方程为，式中r 的单位为m ，t 的单位为s 。
则质点的运动轨迹方程，由t=0到t=2s 内质点的位移矢量______m 。
4、一质点在OXY 平面内运动,其运动方程为,则质点在任意时刻的速度表达式为________；加速度表达式为________。
5、一弹簧振子系统具有1.OJ 的振动能量，0.10m 的振幅和1.0m ／s 的最大速率，则弹簧的倔强系数为_______，振子的振动频率为_______。
6、二质点的质量分别为、. 当它们之间的距离由a 缩短到b 时，万有引力所做的功为____________。
7、一长直导线旁有一长为，宽为的矩形线圈，线圈与导线共面，如图所示. 长直导线通有稳恒电流，则距长直导线为处的点的磁感应强度为___________；线圈与导线的互感系数为___________。
8、质点p 在一直线上运动，其坐标x 与时间t 有如下关系：(A 为常数) (1) 任意时刻ｔ，质点的加速度a =_______； (2) 质点速度为零的时刻t =__________．9、一条无限长直导线载有10A 的电流．在离它 0.5m 远的地方它产生的磁感强度B 为____________。
大学航空航天专业《大学物理(上册)》期中考试试卷 含答案
大学航空航天专业《大学物理（上册）》期中考试试卷含答案姓名：______ 班级：______ 学号：______考试须知：1、考试时间：120分钟，本卷满分为100分。
2、请首先按要求在试卷的指定位置填写您的姓名、班级、学号。
一、填空题（共10小题，每题2分，共20分）1、一个半径为、面密度为的均匀带电圆盘，以角速度绕过圆心且垂直盘面的轴线旋转；今将其放入磁感应强度为的均匀外磁场中，的方向垂直于轴线。
在距盘心为处取一宽度为的圆环，则该带电圆环相当的电流为________，该电流所受磁力矩的大小为________ ，圆________盘所受合力矩的大小为________。
2、如图所示，一静止的均匀细棒，长为、质量为，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴在水平面内转动，转动惯量为。
一质量为、速率为的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为，则此时棒的角速度应为______。
3、质量为的物体，初速极小，在外力作用下从原点起沿轴正向运动，所受外力方向沿轴正向，大小为。
物体从原点运动到坐标为点的过程中所受外力冲量的大小为_________。
4、从统计的意义来解释, 不可逆过程实质上是一个________________的转变过程, 一切实际过程都向着________________ 的方向进行。
5、两个同振动方向、同频率、振幅均为A的简谐振动合成后振幅仍为A，则两简谐振动的相位差为_______ 。
6、质量为m的物体和一个轻弹簧组成弹簧振子，其固有振动周期为T．当它作振幅为A的自由简谐振动时，其振动能量E＝__________。
7、若静电场的某个区域电势等于恒量，则该区域的电场强度为_______________，若电势随空间坐标作线性变化，则该区域的电场强度分布为 _______________。
8、设作用在质量为1kg的物体上的力F＝6t＋3（SI）．如果物体在这一力的作用下，由静止开始沿直线运动，在0到 2.0 s的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲量大小Ｉ＝__________________。
北航数学分析期中考题-答案
北京航空航天大学第一学期期中《工科数学分析(I) 》试卷班号学号姓名成绩一 计算下面各题（满分40分，每个题目5分）1) 计算极限21sin 11x x x x e解：221sin 1sin lim11sin 1x x x x x x x exx x ………….. （3分）=12…………… （2分）2) 求下面无穷小的阶1tan 1sin 0x x x .解：tan sin 1tan1sin 1tan1sin 1sin 1cos 1tan 1sin x xx x x xx x xx………………………（3分）1sin 1cos lim2x x x x 为1阶 (2分)3) 假设cos sin 0xf xx求'f x.解：cos cos ln sin sin xx x fxe ……………….. (2分)2''cos lnsin cosln sin 2cos cos sin lnsin sin cossin sinln sin sinx x x xxx f ee x x xx x x xx……….(3分)4) 假设sin ,cos .x t t y t t 求dy dx.解:dy dy dx dx dtdt(2分)cos sin cos sin t t ttt t(3分)5) 假设223,x f x x xe 求.nfx解:2'10212''22223232323nnx nn xxnnn xnfxx x e C x x e Cxx eCxxe(3分)212221231221112133nx n n xxnxx x en xe n n e ex n xn n(2分)6) 求ln f x x 在2x 的n 阶Taylor 展开,并写出peano 余项.解:2ln ln 22ln 2122ln 2ln 12x f xx x x (2分)1122ln 2ln 1ln 21222knk nk x x o x (3分)7) 假设函数x f xe , 判断函数的凹凸性.解''''x x fx ee (4分)凸函数 (1分)8) 已知1sin ,0,0,0.mx xf xm x x 为正整数.求:m 满足什么条件，函数在0x 连续， m 满足什么条件，函数在0x可导.解:1m ，函数在0x 连续 (2分)2m，函数在0x可导数 (3分)二 证明下面问题（10分）假设1110,0,,2nn n x x xx 证明数列nx .证明: 1) 数列单调递减有下界(5分)1111,21110222nn nn nnn nnnnx x x x x x xx x xx2) (5分)11lim 2nnx bb b b,b三. 证明下面问题（10分） 假设数列nx 满足112nn n x x , 用Cauchy 收敛定理证明n x 收敛.证明 1) (5分)112112121,.......111........22211111112 (1).1222222nPn n Pn P nP n P nnn P n P npn P P nn pN x x x x x x x x2) 柯西定理写正确5分10,ln /ln 21,,,npnN n N pN x x四. 证明下面不等式 (10 分)2sin 1,0,2xx ex x .证明: 1) 下面每个式子2分,共6分2'''1sin ,0,2cos ,0,1sin ,0,x x xx F xe x xF x x e x x F xe x x2) (2分)''0,0,,F xx '00F 因此'0,0,F xx3) (2分)00F ,21sin 0,0,2xx F x ex x五. （10分）假设函数f x 和g x 在,a b 存在二阶导数，并且''0g x,且0f af bg a g b ，证明下面问题:1）在,a b 内0g x ；2） 在,a b内至少存在一点在,满足''''f f g g .证明: 1) 下面每个式子2分,共6分用反证法证明,假设,,0a b g. 则''111''222''''''12312331200,,00,,00,g ag g x a g x x a g b g g x b g x x b g x g x g x x x g x x x x矛盾,结论得证. 2) 令''F xf xg x f x g x …….. ( 2分)'''''F xf xg xf xg x………………(2分)0F a F b '''''0F fg f g…………(1分)六 (10分) 假设函数f x在0,1存在二阶导数,00,11,f f 并''010,f f 求解和证明下面问题.1) 写出f x 在0,1x x 的Lagrange 余项的Taylor 公式;2) 证明在0,1至少存在一点0,1满足''4f .证明 1) 下面每个式子2分'''211100,2f x f f xf x 介于0,x 之间.2'''1211111,2f xf f x f x 介于,1x 之间.2)'''2''2112''11100221112fx f f xf x f x f xf x 2分2''2''112''2''112''''2111111221111221max ,12fx fx f x f x f fxx 2分而221xx 在0,1区间上的最大值12, (2分)因此''''11max , 4.f f七 （10分）证明下面问题假设f x 定义在,a b 上. 如果对,a b 内任何收敛的点列n x 都有lim n nf x 存在, 则f在,a b上一致连续.证明: 1) 写出不一致连续定义3分 如果f在,a b上不一致连续, 则010,,,,,n n n nn ns t a b s t f s f t n2) 写出下面3分(有界数列必存在收敛子列),,,n ns t a b 则存在,,,lim lim k kkkn n n n kks t a b s t3) 下面结论4分构造11,,.......,,..........k k n n n n ns t s t z 数列收敛且极限为, (2分)则有已知条件lim n nf z 存在, 因此lim lim kk n n kkf s f t (2分)与1)矛盾.八 （10分）附加题 (下面两个题目任选其一)1) 假设函数11cos nnfx x, 证明下面问题a) 对于任意的自然数n , 方程12nfx在0,2中仅有一根.b) 设0,,2n x 满足12nnfx , 则lim .2nn x证明: 1) 5分01,02nnf f ,由介值定理10,,22nnnx fx . (3分)1'sin 1cos 0,0,2n nfxn x x x(2分)因此根唯一. 2) 5分由于1111arccos11,lim arccos 1,nn n n f f e nn n（2分）由极限的保号性11,,arccos 211arccos2n nnnN nN f nffxn（2分）单调性1arccos 2nx n和夹逼定理lim .2nnx （1分）2) 用有限覆盖定理证明下面问题 假设函数f x 定义在,a b , 对于0,x a b , 0lim xx f x 都存在, 则f x 在,a b 上有界.证明： 1）4分lim xx f x 存在，根据函数局部有界性,,,,,,xx xx x a b U x t U x f tM2）3分根据有限覆盖定理,,,xx a bU x a b，存在有限个1,,i kx i i U x a b3）3分取1max i x i kMM ，则,xa b ，1,i kx i i xU x ，则f x M 。
北航工科数分第一学期期中历年试卷讲评
本资料基于以下内容：2009年《工科数学分析》第一学期期中试题2010年《工科数学分析》第一学期期中试题年《工科数学分析》第学期期中试题2011年《工科数学分析》第一学期期中试题2012年《工科数学分析》第一学期期中试题年《工科数学分析》第学期期中试题2013年《工科数学分析》第一学期期中试题以上均为公开资料，可在课程中心下载或联系任课教师索取。
教师索取一.数列极限的计算二.数列极限的证明与应用数列极限的证明与应用三.函数极限的计算四.函数极限的证明与应用四函数极限的证明与应用五.导数的计算六.导数的证明与应用六导数的证明与应用*七.泰勒公式试卷基本结构第一大题包含8个小题，主要为极限计算、导数计算、导数的简单应用。
每题5分。
第二题至第七题为解答题，每题10分，可能包含1-2个小问。
主要为证明题。
.数列极限的计算一数列极限的计算很少直接考到。
即便考到，难度也很低，均属于中低难度送分题。
启示：不用太关注技巧性过高的数列极限计算，只需要掌握基本类型即可。
求数列极限的主要方法1.利用初等方法（有理化、恒等变形）2.利用重要极限3.利用单调有界定理，两边取极限4.利用夹逼定理5.利用Stolz定理6.转化为函数极限（Heine定理）例1：（2011年）一1注意定理的使用条件最后步的计算注意：Stolz定理的使用条件、最后一步的计算例2：（2013年）一1二.数列极限的证明与应用二数列极限的证明与应用主要考察：单调有界定理、柯西收敛定理单调有界定理主要涉及递推公式题目，柯西收敛定理直接通过其证明即可。
例1：（2009年）一1（年）例2：（2009年）一3（年）例3：（2009年）四（例4：（2010年）二（应用均值不等式证有界性。
利用有界性证明单调性。
应用均值不等式证有界性利用有界性证明单调性完全相似题目：（2012年）二例5：（2011年）三（重点讲解例6：（2009年）二（年）例7：（2010年）三（例8：（2012年）三（完全相似题目：（2011年）四仅把分母中的cos改为sin例9：（2013年）三（例10：（2013年）二（重点讲解三.函数极限的计算三函数极限的计算通过等价无穷小、洛必达法则、1的无穷次方方法计算函数极限或确定无穷小的阶。
北京航空航天大学《工科数学分析》考试试题及参考答案(2012-2013第一学期)
f x e
'
e
cos x ln sin x
cos 2 x sin x cos x sin x ln sin x . sin x
dy dy dx cos t t sin t 4）解： . dx cos t t sin t dt dt
m 满足什么条件，函数在 x 0 可导.
2. 证明下面问题（10 分） 设 s 0, x1 0, xn1
1 s x , 证明数列 xn 单调有界，且极限为 s . n 2 x n
1 , 用 Cauchy 收敛定理证明 xn 收敛. 2n
5.
1) 用反证法证明. 假设存在 q a, b , g q 0 . 则根据拉格朗日中值定理
' g a g q g ' x1 a q 0 得到 g x1 0, x1 a, q
g b g q g ' x2 b q 0 得到 g ' x2 0, x2 q , b
7.
(10 分）证明下面问题 设 f x 定义在 a, b 上. 如果对 a, b 内任何收敛的点列 xn 都有 lim f xn 存在, 则
n
f 在 a, b 上一致连续.
8. (10 分）附加题 (下面两个题目任选其一) 1) 设函数 f
n 1 2 n cos x Cn cos 2 x 1 Cn cos n x , x Cn n1
二、第一次考试题目及答案
1. 计算下面各题（满分 40 分，每个题目 5 分） 1) 2) 计算极限 lim
x 0
北航期中考试题及答案
北航期中考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10题，满分20分）1. 北航的全称是什么？A. 北京航空航天大学B. 北京航空大学C. 北方航空航天大学D. 北方航空大学答案：A2. 北航成立于哪一年？A. 1950年B. 1952年C. 1954年D. 1956年答案：B3. 北航的主要学科领域包括哪些？A. 航空航天B. 工程技术C. 管理科学D. 所有以上选项答案：D4. 北航的校训是什么？A. 求实创新B. 厚德载物C. 自强不息D. 博学笃行答案：A5. 北航的校徽中包含哪些元素？A. 飞机B. 火箭C. 卫星D. 所有以上选项答案：D6. 北航的图书馆藏书量是多少？A. 100万册B. 200万册C. 300万册D. 400万册答案：B7. 北航的校歌名称是什么？A. 飞翔之歌B. 蓝天之歌C. 梦想之歌D. 未来之歌答案：A8. 北航的校园占地面积是多少？A. 1000亩B. 2000亩C. 3000亩D. 4000亩答案：C9. 北航的校庆日是哪一天？A. 10月25日B. 11月11日C. 12月12日D. 1月1日答案：A10. 北航的校长是谁？A. 张三B. 李四C. 王五D. 赵六答案：C二、多项选择题（每题3分，共5题，满分15分）11. 北航的科研领域包括哪些？A. 航空航天B. 信息技术C. 材料科学D. 生物医学答案：ABCD12. 北航的国际合作项目包括哪些？A. 学生交换B. 教师互访C. 联合研究D. 国际会议答案：ABCD13. 北航的校园文化活动包括哪些？A. 学术讲座B. 文艺演出C. 体育比赛D. 社团活动答案：ABCD14. 北航的毕业生就业方向主要有哪些？A. 航空航天企业B. 高等院校C. 科研机构D. 政府部门答案：ABCD15. 北航的校园设施包括哪些？A. 图书馆B. 实验室C. 体育场馆D. 学生宿舍答案：ABCD三、填空题（每题2分，共5题，满分10分）16. 北航的校训是______。
北航工科数分(上) 第一学期期中试题
一、填空题 (每小题4分,共20分)1、=--+∞→)11(lim 42n n n n ；2、=⋅-⋅∞→nn n 242)12(31lim；3、=→xx x x sin 1)(cos lim ；4、设x x y cos =，0>x ， 则='y ；5、当0→x 时，βαx 与32121x x +-+是等价无穷小,则=α ,=β ．二、选择题(每小题4分,共20分，只有一个正确答案)1. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0, 00, 1sin )(x x xx x f n,则能使得)(x f '在0=x 处连续的最小正整数n 为 【 】 （A ）1 ； （B ）2 ； （C ） 3 ； （D ）42．设()f x 在区间),(b a 上连续，则下列结论不正确的是 【 】 （A ）若()f x 在区间),(b a 上导数存在且有界，则()f x 必在),(b a 上一致连续； （B ）()f x 在),(b a 上必能取到最大值和最小值；（C ）若有),(,21b a x x ∈使得,0)()(21<x f x f 则必存在),(b a ∈ξ使得0)(=ξf ； （D ）若)(),(-+b f a f 存在, 则()f x 在),(b a 上有界.3. 下列说法中正确的是 【 】 （A ）若()f x 在0x 取得极值, 则必有0)('0=x f ；（B ）若可导函数()f x 在),(b a 单调, 则)('x f 在),(b a 上不可能为零； （C ）函数()f x 在),(+∞a 上可导, 若A x f x =+∞→)(lim , 则0)('lim =+∞→x f x ；（D ）若对任何介于)(),(b f a f 之间的数c ,都存在一个),(b a ∈ξ，使得c f =)(ξ，则()f x在],[b a 上连续．4. 关于“有界数列}{n a 不收敛到a ”的错误描述是 【 】 （A ）00>∃ε, 对任意大的正整数N ，总存在正整数N m N>，使得 02||ε≥-a x N m ；（B ）00>∃ε，无论正整数N 多么大，总存在正整数N n N>，使得 2||0ε≥-a x Nn ；（C ）00>∃ε，*N ∈∀N ，对于所有满足N n >的*N ∈n ，都有0||ε≥-a x n ； （D ）00>∃ε,存在一个子列}{k n x 收敛到b ，满足0||ε≥-a b ．5．下列命题中正确的是 【 】 （A ）如果数列}{n a 是一个有界数列，则它有且仅有一个收敛子列； （B ）如果单调数列}{n a 有一个收敛子列，则该数列必收敛； （C ）设β是数列}{n a 的上确界，则β是数列}{n a 的极限；（D ）对数列}{n a ，若N n p N >∀∃>∀对和,,0ε,都有ε<-+p n n a a ，则数列收敛.三、（每题５分，共10分）1、求极限)11arctan 11)(arctan1(lim 2+---∞→n n n n . （提示：利用Lagrange 中值定理） 解：2、求极限420sin tan lim x xx x x -→解：四、（10分）设,23,111n n x x x +==+求数列n x 的极限。
北航工科数分期中复习指导
第一章期中考试复习指导1.要求用极限定义、柯西收敛定理、单调有界定理证明数列极限存在，会用夹逼定理求解极限。
实数系6个定价定理能够准确叙述。
2.典型例题1)用极限定义证明：1lim 1nn n →∞=（要求会用极限定义证明问题）2)证明下面问题（这个公式会用）设lim ,n n a a →∞=则12 (i)nn a a a an→∞+++=若120,(1,2,3,......)lim ......n n n n a n a a a a →∞>=⇒=3)222111........,lim 12n nn a a n n n n→∞=++++++4)计算()112lim .....n n n n mn a a a →∞+++5)证明()cos1cos 2cos ......12231n nx n n =+++⋅⋅⋅+6)用单调有界定理下列数列极限存在，并求极限：2,22,222,.......222.....2,......+++++++7)设数列{}n a 满足21321.......,n n a a a a a a M n N --+-++-≤∀∈，则{}n a 收敛。
8)证明定理：（要求会证明这下面定理）定理1：(canchy)设数列{}n a 收敛的充分必要条件是{}n a 是基本列。
第二章期中考试复习指导一、要求：求函数极限、连续的定义，要求会证明海涅定理和康托定理，会求无穷小的阶，正确叙述函数一致连续和不一致连续的定义，掌握闭区间连续函数的性质。
二、典型例题1.计算下面极限1)4123lim 2x x x →⎛⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭解：()()()()()()()()444123123221234lim lim lim 23222123123x x x x x x x x x x x x x →→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++++⎛⎫+- ⎪⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪--+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2)011limmn x x xxαβ→+-+解：由于：()()121........kk k k k a b a b aa b b ----=-+++，k mn=设()()111,1mna xb x αβ=+=+()()()()()()()()()()()110011222222101111lim lim 1...........111lim1...........1.. (i)1...........nmmn nm nm x x m n n mnm nm x m n n mnm x m x x x x x x x x x x x x x n m x C x C x x x αβαβαβαβαβαβαβα--→→--→-→+-++-+=⎛⎫++++ ⎪⎝⎭+-+=⎛⎫++++ ⎪⎝⎭-++++=++()11nm n x n m mnβαβ-⎛⎫++ ⎪⎝⎭-=3)()()33222300sin sin limlim 0sin sin x x x x x x x x x →→==4)22222222200022sin sin1cos 1222lim lim lim 221cos 22sin sin 222x x x x x x x x x x x →→→-===-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5)31313121333332333lim lim 11131313131x x x x x x x x x x x e ----→+∞→+∞+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=6)()3301tan 1sin tan sin 1limlim 41tan 1sin x x x xx xx xx x→→+-+-==+++7)211021lim 211()22,()x xxxx x xe x u x ev x x++→+⎛⎫- ⎪⎝⎭+=-=解：设2211001111lim 22lim 221x x x xx x x x x e x x ex x x ++→→+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+⎛⎫⎪-== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭又因为2.对定理证明的要求（必须会证明下面两个定理）1)（Heine 定理）函数()0lim x x f x A →=收敛的充分必要条件：{}()00,,1,2,3,.......lim n n n n x x x x n f x A→∞∀→≠==2)有限闭区间上连续函数是一致连续3.求无穷小阶的计算1)()()sin(112)0f x x x =++-→+解：因为()()()()(112)(112)()sin(112)sin(112)111111sinsin (112)(112)11sin(112)11x x f x x x x x x x x x xx x ++-+++=++-=++++-+++-==++++++++=+++++故()()sin(112)11limlimx x xx x f x x x→→+++++=()()()1sin(112)11lim{(112)11}(112)111/42x xx x x x xx x -→+++++=++++++++++=所以为12阶的无穷小。
北航工科数分(2)期中(07-08)
2007－2008学年第二学期期中考试试题数学分析（下） 2008年4月27日一． 填空题(每小题4分, 共20分)1. 级数∑∞=+13)23(n nnn x的收敛域是 .2. 设函数222)(π-=xx f 在],[ππ-上的Fourier 级数为：∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa , 则=0a , n a = , nb = .3. 函数y xe z 2=在点)0,1(P 处，沿着从点)0,1(P 到点)1,2(-Q 方向的方向导数为 .4. 3221)ln(limyx e x yy x ++→→= .5. 曲线⎩⎨⎧=++=++64222z y x z y x 在点)1,2,1(处的法平面为 .二． 选择题（每小题4分, 共20分）1. 设 )}({x f n 是定义在区间I 上的函数列，与“函数项级数∑∞=1)(n n x f 在区间I上一致收敛”等价的论断是 ………………………………………………..( ) A ．,,0*N N ∈∃>∀ε当N n m >>，对一切I x ∈,都有 ε<-)()(x f x f n m ;B ．,,0*N N ∈∃>∀ε当N n m >>，对一切I x ∈, 都有 ε<∑=|)(|mnk k x f ;C ．函数列)}({x f n 在I 上一致收敛于0;D ．对每一给定的+∈∃>∀∈N N I x ,0,ε，当N n m >>，都有.|)(|ε<∑=mnk k x f2. 设),(y x f 在),(00y x 的某一个邻域内有定义，则下述论断正确的是……...( ) A ．若),(y x f 在),(00y x 处连续，则),(),(00y 00y x f y x f x ，一定存在; B ．若),(),(0000y x f y x f y x ，存在,则),(y x f 在),(00y x 处连续;C ．若),(),(0000y x f y x f y x ，存在,则),(y x f 在),(00y x 处沿任意方向的方向导数一定存在;D ．若),(),(y x f y x f y x ，存在且连续, 则),(y x f 在),(00y x 处连续.3. 设n R E ⊂，下列叙述中不正确的是……………………………………...( ) A ．如果E 是一个列紧集，则E 必是一个有界闭集; B ．开集E F ⊆，则有o E F ⊆;C ．若E 是闭集，则E 中的所有的点都是E 的凝聚点;D ．若E 是开集，则E 中的所有的点都是E 的凝聚点.4. 下列广义积分收敛的是 …………………..………………………..…………( )A ．+∞⎰B ．1+∞⎰; C ．1 1.6dx x⎰; D. 221(ln )dx x x ⎰.5. 方程1212=-+y xx dxdy 的通解为…………………………………….………()A. x x e x C e 121)(+; B. x xe x C e121)(+-;C. x xe x C e 121)(+--; D. xx e x C e 121)(-+.三、（10分）求幂级数∑∞=1n n nx 的和函数并指明其定义域.四、（10分）求方程x xe y y y 322'3''=+-的通解.五、（10分）设广义积分为dx a x x p⎰+∞+0)(cos ，其中0,0>>p a ，试证明（1）当1>p 时，积分绝对收敛， （2）当10≤<p 时, 积分条件收敛.六、（10分）设),(v u f z =具有二阶连续偏导数，且,22y x u +=yx v =, 求22xz ∂∂.七、（10分）要设计一个容量为4的长方形开口水箱，试问水箱的长、宽、高各等于多少时，其表面积最小？并求出其表面积？八、（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222222y x y x yx y x y x f1) 求偏导数),(),,(y x f y x f y x ，并讨论偏导数在)0,0(处的连续性? 2) 讨论函数),(y x f 在)0,0(处的可微性?2007-2008数学分析（下）期中考试参考答案一. 填空1. )3,3[-2. =0a 235π-, 2)1(2na nn -=, n b = 03.22-4. 2ln5. z x =二．选择1．B 2. D 3. C 4. B 5. B三．解：级数∑∞=1n n nx 的收敛半径是1=R ,当1±=x 时级数发散，所以定义域为)1,1(- ………3分 设 =)(x s ∑∞=1n nnx ，∑∞=-==11)()(n n nxx x S x f 逐项积分，得到⎰∑⎰∞=--==xn xn xxdx nxdx x f 011,1)(………7分所以2')1(1)(x x x x x x S -=⎪⎭⎫⎝⎛-= ………10分 四. 解：特征方程 ,0232=+-r r 的特征根为：，，2121==r r ………3分所以对应齐次方程通解为： ,221x x e c e c Y += ………5分,3=λ不是方程的根，设xeB Ax y 3)(*+=为方程的一个特解，带入方程得x B A Ax 2232=++， 所以 ⎪⎩⎪⎨⎧-==231B A 所以 xe x y 3)23(*-= ………8分所以通解为： .)23(3221x x x e x e c e c y -++= ………10分五、解：（1）当1>p 时，axaxx pp+≤+1c os 而⎰+∞+01dxax p收敛，所以原积分绝对收敛。
2022年大学航空航天专业《大学物理(一)》期中考试试题 附解析
2022年大学航空航天专业《大学物理（一）》期中考试试题附解析姓名：______ 班级：______ 学号：______考试须知：1、考试时间：120分钟，本卷满分为100分。
2、请首先按要求在试卷的指定位置填写您的姓名、班级、学号。
一、填空题（共10小题，每题2分，共20分）1、一质点作半径为0.1m的圆周运动，其角位置的运动学方程为：，则其切向加速度大小为=__________第1秒末法向加速度的大小为=__________。
2、一弹簧振子系统具有1.OJ的振动能量，0.10m的振幅和1.0m／s的最大速率，则弹簧的倔强系数为_______，振子的振动频率为_______。
3、四根辐条的金属轮子在均匀磁场中转动，转轴与平行，轮子和辐条都是导体，辐条长为R，轮子转速为n，则轮子中心O与轮边缘b之间的感应电动势为______________，电势最高点是在______________处。
4、长为、质量为的均质杆可绕通过杆一端的水平光滑固定轴转动，转动惯量为，开始时杆竖直下垂，如图所示。
现有一质量为的子弹以水平速度射入杆上点，并嵌在杆中. ，则子弹射入后瞬间杆的角速度___________。
5、质点在平面内运动，其运动方程为，质点在任意时刻的位置矢量为________；质点在任意时刻的速度矢量为________；加速度矢量为________。
6、刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的合外力矩成______，与刚体本身的转动惯量成反比。
（填“正比”或“反比”）。
7、一质点同时参与了两个同方向的简谐振动，它们的振动方程分别为（SI），（SI）.其合振运动的振动方程为x＝____________。
8、一个绕有500匝导线的平均周长50cm的细螺绕环，铁芯的相对磁导率为600，载有0.3A 电流时, 铁芯中的磁感应强度B的大小为___________；铁芯中的磁场强度H的大小为___________ 。
大学航空航天专业《大学物理(上册)》期中考试试题B卷 含答案
大学航空航天专业《大学物理（上册）》期中考试试题B卷含答案姓名：______ 班级：______ 学号：______考试须知：1、考试时间：120分钟，本卷满分为100分。
2、请首先按要求在试卷的指定位置填写您的姓名、班级、学号。
一、填空题（共10小题，每题2分，共20分）1、均匀细棒质量为，长度为，则对于通过棒的一端与棒垂直的轴的转动惯量为_____，对于通过棒的中点与棒垂直的轴的转动惯量_____。
2、长为的匀质细杆，可绕过其端点的水平轴在竖直平面内自由转动。
如果将细杆置与水平位置，然后让其由静止开始自由下摆，则开始转动的瞬间，细杆的角加速度为_____，细杆转动到竖直位置时角加速度为_____。
3、动量定理的内容是__________，其数学表达式可写__________，动量守恒的条件是__________。
4、一长直导线旁有一长为，宽为的矩形线圈，线圈与导线共面，如图所示. 长直导线通有稳恒电流，则距长直导线为处的点的磁感应强度为___________；线圈与导线的互感系数为___________。
5、一个力F作用在质量为 1.0 kg的质点上，使之沿x轴运动．已知在此力作用下质点的运动学方程为 (SI)．在0到4 s的时间间隔内， (1) 力F的冲量大小I =__________________． (2) 力F对质点所作的功W =________________。
6、若静电场的某个区域电势等于恒量，则该区域的电场强度为_______________，若电势随空间坐标作线性变化，则该区域的电场强度分布为 _______________。
7、一质量为0.2kg的弹簧振子, 周期为2s,此振动系统的劲度系数k为_______ N/m。
8、两个相同的刚性容器，一个盛有氧气，一个盛氦气（均视为刚性分子理想气体）。
开始他们的压强和温度都相同，现将3J的热量传给氦气，使之升高一定的温度。
若使氧气也升高同样的温度，则应向氧气传递的热量为_________J。
北航附中期中模拟练习(2)答案20221022
2023届北航附中高三数学第一学期期中模拟练习题2答题纸 班级 姓名 学号 成绩一．选择题（每题5分，共50分）三、解答题（共85分） （16）（本小题13分）解：（Ⅰ）1()sin033322f πππ===．()sin 2sin()3f x x x x π==-．因为2π2π1T ==，所以()f x 的最小正周期为2π． .................................................................................................. 7分（Ⅱ）因为322x ππ≤≤， 所以7636x πππ≤-≤．所以1πsin()123x -≤-≤．所以π12sin()23x -≤-≤．所以当32x ππ-=，即56x π=时，()f x 取得最大值2；当736x ππ-=，即32x π=时，()f x 取得最小值1-．所以()f x 的值域为[1,2]-． (13)分（17）（本小题13分） 解：选条件①②．（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．由题意得1111,310.a a d a d =⎧⎨+++=⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩所以1(1)21n a a n d n =+-=-（*n ∈N ）． ............................................................................. 6分 （Ⅱ）设{}n b 的公比为q （0q >）．由题意得241,4.b b =⎧⎨=⎩解得11,22.b q ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以1212n n n b b q --==（*n ∈N ）．所以1121(12)122122n n n b b b --+++==--． ......................................................................13分选条件①③．（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ．由题意得1111,310.a a d a d =⎧⎨+++=⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩所以1(1)21n a a n d n =+-=-（*n ∈N ）． ..........................................................................6分 （Ⅱ）设{}n b 的公比为q （0q >）．由21n a n =-得459b a ==．所以1311,9.b q b q =⎧⎨=⎩解得11,33.b q ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以1213n n n b b q --==（*n ∈N ）．所以121(13)313136n n n b b b --+++==-． .........................................................................13分 选条件②③．（Ⅰ）设{}n b 的公比为q （0q >）．由题意得241,4.b b =⎧⎨=⎩解得11,22.b q ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以1212n n n b b q --==（*n ∈N ）．设{}n a 的公差为d ． 由题意得111,4 4.a a d =⎧⎨+=⎩解得11,3.4a d =⎧⎪⎨=⎪⎩所以131(1)44n a a n d n =+-=+（*n ∈N ）． ........................................................................... 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，22n n b -=．所以1121(12)122122n n n b b b --+++==--． (13)分（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）（ⅰ）在ABC △中，2AB =，3AC =，60B =︒，所以2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅．所以2250BC BC --=．解得1BC =+，或1BC =-．所以1BC =+． .............................................................................................................. 5分 （ⅱ）因为120ADC ∠=︒，所以60ADB ∠=︒．所以ADB △为等边三角形． 所以2AD AB ==． 在ADC △中，因为sin sin AD ACC ADC=∠， 即23sin sin120C =︒，所以sin C =．所以1sin sin(60)2DAC C ∠=︒-=-=............................ 11分（Ⅱ）设BAE α∠=．因为ABC ABE AEC S S S =+△△△， 所以111sin 2sin sin 222AB AC AB AE AE AC ααα⋅=⋅+⋅． 所以6sin 22sin 3sin AE AE ααα=+．所以6sin 212cos 5sin 5AE ααα==．因为π(0,)2α∈，所以cos (0,1)α∈．所以12(0,)5AE ∈． (14)分（19）（本小题15分）解：函数()ln f x x a x =+的定义域为(0,)+∞，()1af x x'=+． （Ⅰ）当1a =-时，11()1x f x x x-'=-=． 令()0f x '=，得1x =．当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下：所以()f x 的极小值为(1)1f =，无极大值． ............................................................................. 6分 （Ⅱ）不等式21()2f x x ax ≤+恒成立等价于21ln 02x ax x a x +--≥恒成立． 令21()ln 2g x x ax x a x =+--，(0,)x ∈+∞． 所以2(1)()()1a x ax x a x x a g x x a x x x+---+'=+--==．（1）当0a ≥时，因为(0,)x ∈+∞，所以0x a +>．令()0g x '=，得1x =．当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下：当0a ≥时，不等式()0g x ≥恒成立当且仅当02a -≥．所以12a ≥符合题意．（2）当1a =-时，2(1)()0x g x x-'=≥． 所以()g x 在(0,)+∞内单调递增． 因为13(1)1022g =--=-<，所以()0g x ≥不恒成立． 所以1a =-不符合题意． （3）当10a -<<时，01a <-<．当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下：因为(1)02g a =-<，所以()0g x ≥不恒成立． 所以10a -<<不符合题意． （4）当1a <-时，1a ->．当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下：因为(1)02g a =-<，所以()0g x ≥不恒成立. 所以1a <-不符合题意．综上所述，a 的取值范围是1[,)2+∞． (15)分（（2）（3）（4）可由1(1)02g a =-<判断出不符合题意） （20）（本小题15分）解：（Ⅰ）当1a =，0b =时，cos ()xf x x=， 所以2sin cos ()x x x f x x --'=．因为(0,)2x π∈，所以2sin cos ()0x x xf x x --'=<．所以函数()f x 在区间(0,)2π内单调递减． ................................................................................. 5分（Ⅱ）（ⅰ）由cos ()a x f x b x =+，得2(sin cos )()a x x x f x x -+'=． 因为直线62y x =-+π过点(,1)2π-，且斜率为6-π，所以()12f b π==-，26()2a f π-'==-ππ． 所以3a =，1b =-．所以3cos ()1xf x x=-． ...................................................................................................... 10分（ⅱ）方程3()=12f x -π在区间(0,2]π上的解有3个．证明如下： 设33cos 3()()122x F x f x x =+-=-ππ，则23(sin cos )()x x x F x x-+'=． 当(0,]2x ∈π时，23(sin cos )()0x x x F x x -+'=<，所以()F x 在(0,]2π上单调递减．又9333()0,()03222F F ππ=-=>=-<2ππππ，所以()F x 在(0,]2π上有一个零点．当3(,)22x π∈π时，cos 0x <，所以()0F x <．所以函数()F x 在3(,)22ππ内无零点．当3[,2]2x ππ∈时，令()sin cos h x x x x =+，()cos 0h x x x '=≥，所以()h x 在3[,2]2ππ上单调递增．又3()02h π<，(2)0h π>，所以存在03(,2)2x π∈π，使得0()0h x =．当03(,2)x x π∈时，()0F x '>，所以()F x 在03(),2x π内单调递增．当0)(,2πx x ∈时，()0F x '<，所以()F x 在0(,2x π)内单调递减． 因为(2)0F π=，所以当0)[,2πx x ∈时，()0F x >．又因为3()02F π<，0()0F x >，所以()F x 在3[,22ππ)上有1个零点． 又因为(2)0F π=，所以()F x 在3[,2]2ππ上有2个零点．综上，函数()F x 在(0,2]π上有3个零点． 所以方程3()=12f x -π在区间(0,2]π上的解有3个．...................................................... 15分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）数列{}n a 是“S 数列”．理由如下：当2n a n =时，2n S n n =+．对任意正整数2m ≥，设212m ml +=-，则l 是整数， 且212(2)l m S m m a a =++-=+．所以数列{}n a 是“S 数列”． ...................................................................................................... 4分（Ⅱ）因为nn S q =，所以11a S q ==，当2n ≥时，11(1)n n n n a q q q q --=-=-．所以1, 1,(1), 2.n n q qq n a n -=⎧=⎨-≥⎩下面证明该数列不是“S 数列”．因为2q >，所以数列{}n a 严格递增且n a 均为正数． 所以1213233a a a a a a S +<+<+<．当2q >时，2(1)q q ->，所以333232(1)a a q q q S +=->=．当4l ≥时，对任意正整数k 有43332k l l a a a a qa a S +>≥=>>．所以不存在正整数,k l （1k l ≤≤）使得33k l S q a a ==+．所以当2q >时，数列{}n a 不是“S 数列”． ............................................................................ 9分 （Ⅲ）若数列{}n t 的通项公式为n t cn =（c 为常数），则{}n t 是“S 数列”．证明如下：当n t cn =时，2()2n c n n S +=．对任意正整数2m ≥，设212m ml +=-，则l 是整数， 且21(2)2m l c m m S c a a +-=+=+，所以数列{}n t 是“S 数列”． 同理，若数列{}n h 的通项公式为(1)n h c n =-（c 为常数），则{}n h 也是“S 数列”．设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列， 则11(1)()n a a n d nd a d =+-=+-． 设1n b na =，1(1)()n c n a d =--，因为11111()()(1)()(1)()n a nd a d nd n a d n a d na n a d =+-=+----=---， 所以n n n a b c =-．因为{}n b 和{}n c 都是“S 数列”，且n n n a b c =-（1,2,n =），所以命题得证． (15)分。
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北京航空航天大学2011-2012学年第一学期期中考试
工科数学分析试卷（2011.12.25）
一、计算(5’*8=40’)
1) 用Stolz 定理计算极限41233122123lim n n n n
n +→∞++++L .
2) 设32()(1)x f x x x x =++,求()f x '.
3) 求极限1
0(1)e lim x
x x x
→+-. 4)
求函数2()(4)f x x x =
-的拐点。
5) 设(cos sin )()=(sin cos )x a t t f x y a t t t =+⎧⎨=-⎩,求d d y x
. 6) 求函数()ln f x x x =在(0,)+∞上的最值.
7) 判断函数21
1()=e x n f x x
-⋅间断点的类型. 8) 求函数2()=ln(1)f x x x ++在0x =处直到四阶的Taylor 展开（Peano 余项形式）.
二、证明(15’) 1) 3
sin (0)6
x x x x >-> 2) 设函数1()=ln ()n f x x
x n -+∈¢,证明()(1)!n n y x -=. 三、(10’) 设1110,0,(2),1,2,n n n A x x x Ax n A +><<=-=L ,证明不等式11n n x x A
+<<对任意
n +∈¢成立，并求出极限lim n n x →∞
. 四、(10’)
用Cauchy 收敛原理证明数列2sin (sin )n n k kx x k k kx ==
+∑收敛. 五、(15’)
设()f x 在0x 处二次可导，且()0f x ''≠，由Lagrange 中值定理知存在0()1h θ<<,使得式子000(+)()(())f x h f x f x h h h θ'=++成立，计算或者证明下列结论：
1) 写出()f x 和()f x '在0x x =处的Taylor 公式；
2) 证明01lim ()2
h h θ→=. 六、(10’)
设()f x '在(0,]a
连续，且极限lim
()x x →'存在，证明()f x 在(0,]a 上一致连续.
[附加题]
七、(10’)
以下题目任选其一： 1) 设()[01]f x ∈£，，且()0f x >,令0()max (),[0,1]t x M x f t x ≤≤=∈, 证明：函数()()lim ()n n f x Q x M x →∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
连续的充要条件是()f x 单调递增. 2) 证明开区间套定理
1. 设开区间序列(,),n n n I a b n +=∈¥ 满足12121n n n a a a b b b b -<<<<<<<<L L L .
2. 区间长度0()n n n I b a n =-→→∞,
则存在唯一1(,)n i i i a b ξ==I 满足lim lim n n n n a b ξ→∞→∞==.。