均值不等式证明

综上(1)(2)(3)可得均值不等式
H(n) G(n) A(n) Q(n)
2
自上而下分别称为： 调和平均数，（Harmonic Average） 几何平均数，（Geometric mean）
算术平均数，（Arithmetic mean）
平方平均数，（Quadratic mean） 四者有如下关系：
H(n) G(n) A(n) Q(n)
上面不等式称之为：均值不等式
一、现证明 G ( n) A( n) 我们观察到 G(n)为很多个数连乘，而A(n)为很多数相加，而对数函数正有联 系乘与加的性质，在此处引入一不等式ln x x 1 可用导数进行证明，且 x=1时取到等号） 接下来进入证明 证明：设 u
A(n) （ 1 ）
1 取倒数，得 ai
即 G(n)
二、由（1），把不等式中 ai 换为
n 1 1 a1 an
n a1 a n
即 H(n)
G(n)（2）
三、显然二次函数
(a1x b1)2 (an x bn )2
2 2 2 2 (a1 an )x2 2(a1b1 anbn )x (b1 bn ) 0
恒成立 由
Δ0
n n n
a b
i1
i i
2
a b
2 i i1 i1
2 i
此即著名的柯西不等式
n a1 an 1 ai 2 n i1 n
1 2 n i1
n
2 2 a a 2 1 i 2 a i n i1 n
即 A(n) Q(n)（3）
均值不等式的 证明
制作人：张雪连、李博、 郑淳之
均值不等式的证明
对于正数n个正数
ai
（ i=1,2...n）。我们把
H ( n )
n 1 1 a1 an
n
G ( n )
a1 a n
A ( n )
a1 a n n
2 2 a1 an n
Q ( n )
a1 a n n
则有 l n
ln
a1 a 1 1 u u an a n 1 u u
两边做累加得
ln
a1 a n n n 0 ln1 un
由lnx的递增性， a a 得到 1Βιβλιοθήκη Baidun n 1 u 移向，开n次方，得
n
a1 a n a1 a n n