割补法和分割法培训资料
第1讲.格点与割补.提高班
例 5
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图中相邻三点所形成的等边三角形的面积为 1 ,计算三角形 ABC 的面积.
【分析】 方法一(分割法) :
四年级 第 1 讲 格点与割补 (提高班)
【分析】方法一:同正方形格点相似,将目标三角形分成容易求出面积的两个小三角形,如图. 易知左边小三角形面积为 2,右边小三角形面积为 4,则所求三角形面积为 6.
方法二:三角形毕克定理:图形内部有 1 个点,边上有 6 个点,由 S ( N (1+6÷2-1)×2=6.
L 1) 2 得面积为 2
S1
S1
S2
(a)
S3
S2(Leabharlann )方法三(正方形毕克定理) :图形内部(N)有 8 个格点,图形边上(L)有 6 个格点,根据正方形
L 1 得面积为 8+6÷2-1=10. 2 注:请老师强调扩展法和割补法,避免孩子过分依赖毕克定理,为高年级的几何学习打好基础.
毕克定理: S N
图 2: 用毕克定理: 图形内部没有格点, 图形边上 (L) 有 6 个格点, 根据正方形毕克定理: SN
笔记整理
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四年级 第 1 讲 格点与割补 (提高班)
毕克定理:如果用 S 表示面积,N 表示图形内包含的格点数,L 表示图形边界上的格点数, L 正方形格点: S N 1 2 三角形格点: S ( N
L 1) 2 2
1. 图中相邻两个格点的距离都是 1,请你求出葫芦和锤子的面积各是多少.
【分析】 (1)面积为 2 应当包含 2 个面积为 1 的“4 个相邻点组成的小正方形” ; (2)直角三角形的面积=两条直角边长的乘积÷2; (3)梯形面积=(上底+下底)×高÷2. 【答案】
割补法巧算面积
割补法巧算面积知识精讲:分割法:把不规则的的大图形化为规则的小图形添补法:把不规则图形周围添上规则的小图形,使总面积便于计算例题1图中的数字分别表示对应线段的长度,试求下面多边形的面积. (单位:厘米)8 2练习1如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度(单位:米)•这个图形的面积等于多少平例题2如图,在正方形ABCD内部有一个长方形. EFGH .已知正方形ABCD的边长是6厘米, 图中线段AE、AH都等于2厘米.求长方形EFGH的面积.练习2正方形ABCD的边长是8厘米,它的内部有一个三角形AEF (如图),线段DF=3.6厘米, BE=2.8厘米,那么三角形AEF的面积等于_______________ 平方厘米.B例题3如图中,大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形,将小正方形每边三等份,再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连,那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?练习3.21如图所示,正方形ABCD的边长acm,则图中阴影部分的面积为______________________ cm •A D例题4.如图1和图2,把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分,并连接这些分点.已知图1中阴影部分的面积是294平方分米.请问:图2中的阴影部分的面积是多少平方分米?练习47.如图所示,将三个相同的长方形从上到下排列,依次进行两等分、三等分、四等分,各取出其中的一份画上阴影,则阴影部分的面积占全部面积的几分之几?例6.选做题例5如图,在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形,如果正方形平方厘米,那么正方形B的面积是多少平方厘米?A的面积是36已知一个四边形 ABCD 的两条边的长度和三个角(如下图所示),求四边形ABCD 的面积是多少? 作业:1•如图所示,平行四边形的面积是 12,把一条对角线四等分, 将四等分点与平行四边形另外 两个顶点相连•图中阴影部分的面积总和是多少?2. . (2013秋?诸暨市校级期中)如图,已知一个四边形的四条边 分别是3, 4, 13和12,其中/ B=90。
《割补法巧算面积》课件
在本次PPT课件中,我们将讨论割补法巧算面积的方法。通过定义、原理、 应用范围、步骤与注意事项、示例演示、优缺点以及结论与展望,带您深入 了解这一计算面积的方法。
问题引入
我们经常需要计算不规则图形的面积,但传统的计算方法难以适用。割补法 是一种新颖而高效的解决方案,能够应对各种复杂的图形。接下来,我们将 介绍割补法的定义与原理。
割补法的定义与原理
割补法是一种将复杂图形分割成简单图形进行面积计算的方法。通过将图形 分解为多个易于计算的形状,然后逐个计算它们的面积,最后将所有结果相 加,我们可以准确而高效地得出整个图形的面积。
割补法的应用范围
割补法适用于各种复杂的几何图形,包括不规则多边形、曲线形状和非传统形状。它可以在建筑设计、土地测 量、地理学研究等领域发挥重要作用。
Hale Waihona Puke 2 优点:适用面广割补法适用于各种复杂图形,无论形状多么 奇特,都能计算其面积。
3 缺点:分割过程复杂
4 缺点:对计算要求较高
分割复杂图形可能需要耗费一些时间和努力。
使用割补法需要熟悉面积计算的相关公式和 方法,对于初学者可能有一定难度。
结论及展望
割补法是一种强大而实用的计算面积的方法,它可以解决传统方法难以处理 的复杂图形。未来,我们将继续研究和改进割补法,使其在更广泛的领域和 场景中发挥作用。
割补法的步骤与注意事项
步骤一:分割图形
将复杂图形分割为简单的几何形状,例如矩形、 三角形和圆。
步骤二:计算各个形状的面积
使用适当的公式计算每个简单图形的面积。
步骤三:求和
将所有计算出的面积相加,得出整个图形的面积。
注意事项
确保分割图形时不会产生重叠或遗漏的部分,以 确保计算的准确性。
图形割补活动材料
图形割补活动材料班级 姓名如图1,在ABC △和DEF △中,90A D ==∠∠,3AB DE ==,24AC DF ==.(1)判断这两个三角形是否相似?并说明为什么?(2)能否分别过A D ,在这两个三角形中各作一条辅助线,使ABC △分割成的两个三角形与DEF △分割成的两个三角形分别对应相似?证明你的结论.1、已知,如图甲Rt ΔABC 的两条直角边长分别为2,4,如图乙正方形DEFG 的边长为4,请设计两种不同的分法,将图甲、图乙分别分割成三个小三角形,使得图甲、图乙中的三个小三角形分别对应相似(画图工具不限,不要求写出画法,只需标上字母,并写出对应的相似三角形)图甲 图乙2、下列三角形纸片,能沿直线剪一刀得到等腰梯形的是( )50 70A .50 80B .50100C .50 D .图1 E F3、例1、如图,把一个正方形割去四分之一,将如下的部分分成3个相同的部分(图甲);将如下的部分分成4个相同的部分(图乙)。
仿照示例,请你将一个正三角形割去四分之一后余下的部分,(1)分成3个相同的部分(在图1中画出示意图);(2)分成4个相同的部分(在图2中画出示意图)。
你还能利用所得的4个相同的部分拼成一个平行四边形吗?若能,画出大致的示意图。
(图甲)(图乙)图 1图 2练习:1、如图,在△ABC中,∠A=110°,∠B=35°,请你应用变换的方法得到一个三角形使它与△ABC全等,且要求得到的三角形与原△ABC组成一个四边形。
(1)要求用两种变换方法解决上述问题;(写出变换名称,画出图形即可)(2)指出四边形是什么图形?(不要求证明)说明:如用两种平移变换方法解决此题算一种变换;两种变换是指平移,旋转等不同变换。
系中,直线y=233kx+m(-12≤k≤12)12、在平面直角坐标经过点A(23,4),且与y轴相交于点C.点B在y轴上,O为坐标原点,且OB=OA +7-2 7.记△ABC的面积为S.(1)求m的取值范围;(2)求S关于m的函数关系式;(3)设点B在y轴的正半轴上,当S取得最大值时,将△ABC沿AC折叠得到△AB′C,求点B′的坐标.30、(本小题满分8分)已知正方形ABCD的边长AB=k(k是正整数),正△PAE的顶点P在正方形内,顶点E在边AB上,且AE=1. 将△PAE在正方形内按图1中所示的方式,沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、……连续地翻转n次,使顶点..P.第一次回到原来的起始位置.(1)如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上,那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动. 图2是k=1时,△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索:若k=1,则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 时,顶点..P.第一次回到原来的起始位置.A BCDPE14.一个大长方体是由四个完全一样的小长方体拼成的,如果每个小长方体的长、宽、高分别是3、1、1,那么这个大长方体的表面积可能有 种不同的值,其中最小值为 .(2)若k =2,则n = 时,顶点..P .第一次回到原来的起始位置;若k =3,则 n = 时,顶点..P .第一次回到原来的起始位置. (3)请你猜测:使顶点..P .第一次回到原来的起始位置的n 值与k 之间的关系(请用含k 的代数式表示n ).23.(10分)直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形。
几何格点与割补
第十一、十二讲格点与割补本讲知识点1.分割法1)正所谓“大事化小”,把不规则的大图形化为规则的小图形,来进行计算.2)在对格点图形的分割计算时,不一定要分到最小的基本单位。
一般来说分为中等大小的,可以计算的规则形状比较方便。
2.割补法1)是“以小见大”,把不规则图形周围添上规则的小图形,使总面积便于计算.2)此外,在图形中进行适当的分割拼补,把不规则的形状拼成规则形状,也是常见的方法.3.格点面积公式1)在最小的正方形面积为1的图形中:正方形格点多边形面积=边界格点数÷2+内部格点数-1.2)在最小正三角形面积为1的图形中:三角形格点多边形面积=边界格点数+内部格点数×2-1.3)在使用公式法计算格点多边形面积时,要注意公式的适用条件.4)在多个格点图形相关的问题中,要注重利用它们之间的共同点来帮助计算.5)对于很多非格点图形的面积计算,分割和添补的方法依然适用.6)特别的,在图形中恰当的添加格线进行分制,能更好的体现围形的结构,以及整体和部分的数量关系,而在添补中,看见某些特殊角度,如45°、60°、120°等时,可以联想到一些特殊的图形,如,等腰直角三角形,正三角形等等.精选例题例题1.如图,分别在如下三种情况中,求出图中格点图形的面积:(1)相邻格点距离为1;(2)相邻格点距离为2;(3)最小正方形面积为2.例题2.如图,下图的正方形格点,单位正方形面积为1,分别求出两个图形的面积.例题3.如图,下图的正方形格点中,单位正方形面积为3,求出图形面积.练习1.如图,分别在如下两种情况中,求出图中格点图形的面积:(1)最小正三角形面积为1;(2)最小正三角形形面积为2.例题4.如图,下图的三角形格点,单位正三角形面积为1,分别求出两个图形的面积.例题5.如图,下图的正三角形格点中,单位正三角形面积为5,求出图形面积.例题6.下图点阵间隔为1,请利用方形格点公式,填出下表:练习2.下图三角形点阵所能连出的最小三角形面积为1,请利用三角形格点公式,填出下表:例题7.如图,单位正方形面积为1,利用格点公式计算下面阴影图形的面积,并再用一种其他方法计算检查.例题8.(1)在图1的正方形格点中,左图面积是45,那么右图的面积是多少?(2)图2的左右两个大三角形相同,左图的单位正三角形面积为100,右图的单位正三角形面积是多少?例题9.把同一个三角形的三条边分别四等分、六等分,适当连接这些分点,便得到了若干个面积相等的小三角形,已知图1中副影部分的面积是63平方厘米,那么图2中的阴影部分的面积是多少平方厘米?例题10.如图,对下列图形进行适当的格线划分,使得能恰当的体现出阴影部分与总面积的关系,并进行相应计算:(1)大正方形面积为90,连结各边中点得到阴影正方形,求阴影面积.(2)大正三角形面积为90.每边取三等分点,连结得到阴影正六边形,求阴影面积.(3)大正六边形面积为90,连结其中3个顶点得到阴影正三角形,求阴影面积.(4)大等腰直角三角形面积为90,如图放入一个阴影正方形,求阴影面积.例题11.在面积为72平方厘米的正六边形中,按图中不同方式切割(切割点均为等分),形成的阴影部分面积分别是多少?例题12.如图,大正方形和小正方形的边长分别为6厘米和2厘米,G、N、M分别为AF、AB、ED边上的中点,求四边形GNME的面积.例题13.如图,在长方形ABCD中,O是长方形的中心,BC长20厘米,AB长12厘米,=,3DE AE4=,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?CF DEBE=,三角形AEF的面积是37,那么长例题14.如图,在长方形ABCD中,3DF=,11方形ABCD的面积是多少?例题15.甲乙两个六边形的内角都是120°,其边长如图所示,那么甲,乙面积分别是边长为1的正三角形面积的多少倍?例题16.求阴影部分面积:例题17.两个等腰直角三角形直角边分别长10厘米和6厘米,那么三角形DGE面积是多少平方厘米?思考创新思考1.下图为一个等边三角格点阵,可连出的最小的三角形面积是1,请在图中以给出点为顶点面一个面积为13的三角形.思考2.如图,平面上有16个点,每个点都钉上钉子,形成间隔为1厘米的4行4列的正方形钉阵,现在有许多皮筋,可以套出几种面积的三角形?请各举一例.思考3.正方形格点如图,原有格点的单位正方形面积为68,利用原有格点在图中划分新的格线,分别划出两种新的情况,那么这两种新格线的单位小正方形的面积分别是多少?思考4.如图,把长方形纸片ABCD的一角折起,使点D恰好与AB的中点F重合,若三角形EDC的面积是10.那么长方形ABCD的面积是多少?思考5.如下图,在一平行四边形纸片上割去了①,②两个直角三角形,已知三角形①两条直角边分别为2厘米和5厘米,三角形②两条直角边分别为5厘米和8厘米,求图中阴影部分的面积.第十一讲格点割补(一)思维冲浪1.如图所示,每一个小方格的面积都是1,那么用祖线围成的图形的面积是________.2.已知图中相邻两格点的距离均为2厘米,那么图中连出多边形的面积是______平方厘米.3.如图所示,图中最小的“□”面积是2,那么阴影部分面积分别为________.4.如图,如果每个小三角形的面积都是1cm2,那么连接A,B,C三点的三角形的面积是________cm2.5.如图,如果每一个小三角形的面积是2平方厘米,那么四边形ABCD的面积是________平方厘米.6.如图所示,图中最小的“Δ”面积是2,那么阴影部分面积分别为_______.7.如图所示,每个小方格格的边长为1.那么阴影部分的面积是多少?8.图中相邻三点所形成的等边三角形的面积为1,求五边形的面积.9.如图,大正六边形的面积为108,求阴影部分的面积为多少?10.图中水平,竖直方向相邻两个格点的距离都是1,请你求出图中“8”、“0”,“9”的面积各是多少.第十二讲格点割补(二)思维冲浪1.把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分,连接这账分点,便得到了若干个面积相等的小三角形,左图中阴影部分的面积是294平方分米,那么右图中阴影部分的面积是________平方分米.2.下图是一个面积为24的正六边形,阴影部分的面积是__________.3.如图所示,ABCD是长方形,长AD等于7.2厘米,宽AB等于5厘米,CDEF是平行四边形,如果BH的长是3厘米,那么图中阴影部分面积是________平方厘米.4.在下图中,三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形,其中DF长9厘米,CF长3厘米,那么阴影部分的面积是________平方厘米.5.如图,大正方形和小正方形的边长分别为6厘米和2厘米,G、N分别为AF、AB边上的中点,那么四边形GNCE的面积是__________平方厘米.6.如图所示,三个长方形APHM、BNHP、CQHN的面积分别是7、4、6、则阴影部分的面积是__________.7.如图所示,为一个等边三角格点阵,可连出的最小的三角形面积是1,请在图中以给出点为顶点画一个面积为7的三角形.8.如图所示,为一个边长为2的正方形,其中阴影部分的面积为多少?9.图中大正方形边长为8,小正方形边长为4,求阴影部分面积.10.如图,一个正方形,与4个等腰直角三角形,恰好拼成了一个长方形,如果正方形的面积是16,那么,长方形的面积是________.。
割补法和分割法
割补法和分割法【1】
什么叫做割补法和分割法?
割补法和分割法都是计算平面几何图形面积的推导方法,也是一种思考方法。
在面积和体积教学中,都有着广泛的应用。
割补法是指:把一个图形的某一部分割下来,填补在图形的另一部分,在原来面积不变的情况下,使其转化为已经掌握的旧的图形,以利于计算公式的推导。
平行四边形通过割补可转化为长方形(或正方形),梯形通过割补可转化为平行四边形,圆通过割补可转化为近似长方形等。
(1)平行四边形割补后转化为长方形:
(2)梯形割补后转化为平行四边形:
分割法是指:对一些不规则图形的面积,不能使用割补法,可以利用不规则图形的凹凸特点,将其分割成若干个可以计算的规则图形(如:长方形、三角形、梯形、……),先将各个规则图形的面积计算出来,然后再把这些规则图形的面积加在一起,总面积就是不规则图形的面积。
这种计算不规则图形的方法,叫做分割法。
下面两个图形就采用了分割法。
(1)
(2)
左图ABDE是一个不规则图形,用分割法可分成一个平行四边形ABDE,一个三角形BCD,把平行四边形和三角形的面积分别求出来,再把所得的结果加在一起,就是这个不规则图形的面积。
2022年3月23日;第1页共1页。
五年级几何奥数专题之第三讲 割补法(含答案)
五年级几何奥数专题之第三讲割补法(含答案)一、知识点1、割补法分割法是将几何体分割成若干部分,利用整体与部分的关系来解决所求问题。
2、分割成规则图形在组合图形中,除了多边形外,还有圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形,为了计算它们的面积,常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补,使它变成可以计算出面积的规则图形。
二、学习目标1、我能够了解割补法。
2、我能够应用割补法解决图形面积问题。
三、典型例题例题1图中的数字分别表示对应线段的长度,试求下面多边形的面积(单位:厘米)。
练习1图中的数字分别表示对应线段的长度,试求下面多边形的面积(单位:厘米)。
如图所示,在正方形ABDC内部有一个长方形EFGH,已知正方形ABDC的边长是6厘米,图中线段AE、AH都等于2厘米,求长方形EFGH的面积。
练习2(1)如图所示,在正方形ABCD内部有三角形CEF,已知正方形ABCD的边长是6厘米,图中线段AE、AF都等于2厘米,求三角形CEF的面积。
(2)如图所示,在一个等腰直角三角形中,削去一个三角形后,剩下一个上底长5厘米、下底长6厘米的等腰梯形(阴影部分)。
求这个梯形的面积。
如图所示,大正方形的边长为10厘米,连接大正方形的各边中点得小正方形,将小正方形每边三等分,再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连,那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?练习3如图所示,大正三角形的面积为10平方厘米。
连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形,取各个小正三角形的中心,再将每个小正三角形的中心和顶点相连,得到三个一样的小三角形,那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?例题4如图,把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分,并连接这些等分点。
已知左图中阴影部分的面积是48平方分米,请问:右图中阴影部分的面积是多少平方分米?如图,把两个同样大小的正方形分别分成5×5和3×3的方格表,左图阴影部分的面积是162,请问右图中阴影部分的面积是多少?选讲题※求下图中四边形ABCD的面积(单位:厘米)。
利用“分割法和填补法”计算多边形的面积PPT课件
340 + 70 + 70
A B
C 6cm = 480 cm2
6cm
10cm
10cm
14cm
下一題
填補法
大長方形的面積 : 34 x 24
=
梯形 P 的面積 : (10+14)x72 =
梯形 P, Q, R 和 S 的面積之和 : 84 x 4
=
7cm 10cm 7cm
816 cm2 84 cm2 336 cm2
3cm 3cm 4cm
分割法
4cm
2cm 3cm
填補法
請選擇那一種分割法
分割法一
分割法二
3cm 3cm 4cm
3cm 3cm 4cm
4cm 2cm 3cm
4cm 2cm 3cm
分割法一
長方形 A 的面積 : 4 x 3 = 12 cm2 長方形 B 的面積 : 6 x 2 = 12 cm2 長方形 C 的面積 : 10 x 3 = 30 cm2
填補法
填補法
大梯形的面積 : 梯形 A 的面積 :
(29 + 37) x 18 = 594 cm2
2
(8 + 12) x 9 2 = 90
cm2
12cm
12cm 5cm
A
8cm
9cm
全圖面積 :
594 - 90
= 504 cm2
37cm
下一題
18cm
請選擇以甚麼方法去計算左 圖的面積
7cm 10cm 7cm 14cm
長方形 D 的面積 : 4 x 3
= 12 cm2
長方形 E 的面積 : 6 x 4
= 24 cm2
3cm
割补法巧算面积
割补法巧算面积知识精讲:分割法:把不规则的的大图形化为规则的小图形添补法:把不规则图形周围添上规则的小图形,使总面积便于计算例题1图中的数字分别表示对应线段的长度,试求下面多边形的面积.(单位:厘米)练习1如图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度(单位:米).这个图形的面积等于多少平方米?例题2如图,在正方形ABCD内部有一个长方形.EFGH.已知正方形ABCD的边长是6厘米,图中线段AE、AH都等于2厘米.求长方形EFGH的面积.练习2正方形ABCD的边长是8厘米,它的内部有一个三角形AEF(如图),线段DF=3.6厘米,BE=2.8厘米,那么三角形AEF的面积等于平方厘米.例题3如图中,大正方形的边长为10厘米.连接大正方形的各边中点得小正方形,将小正方形每边三等份,再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连,那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?练习3.1.如图所示,正方形ABCD的边长acm,则图中阴影部分的面积为cm2.例题4. 如图1和图2,把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分,并连接这些分点.已知图1中阴影部分的面积是294平方分米.请问:图2中的阴影部分的面积是多少平方分米?练习47.如图所示,将三个相同的长方形从上到下排列,依次进行两等分、三等分、四等分,各取出其中的一份画上阴影,则阴影部分的面积占全部面积的几分之几?选做题例5 如图,在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形,如果正方形A的面积是36平方厘米,那么正方形B的面积是多少平方厘米?例6.已知一个四边形ABCD的两条边的长度和三个角(如下图所示),求四边形ABCD的面积是多少?作业:1.如图所示,平行四边形的面积是12,把一条对角线四等分,将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连. 图中阴影部分的面积总和是多少?2. .(2013秋•诸暨市校级期中)如图,已知一个四边形的四条边AB,BC,CD和DA的长分别是3,4,13和12,其中∠B=90°,求这个四边形的面积3. 求阴影部分面积.4.求阴影部分面积.5. 求阴影部分面积:6.求阴影部分面积.7. 求阴影部分面积.8.(2011秋•宁波期中)求阴影部分的面积.9. 求阴影部分的面积.10. 求阴影部分的面积.11.求阴影部分的面积.12.求阴影部分的面积.。
六年级下册奥数讲义-奥数方法:简单割补法
我们知道长方形、正方形的面积计算公式为:长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长但是这两组计算公式只适用于求解相应的规则图形的面积,如果遇到更为复杂的、不规则的直线形多边形(指多边形的边是直线段)的面积求解问题时,它们就无法直接用于求解了。
那么,如何来解决这一难题呢?实际上,尽管它们无法直接用于求解,但我们可以在适当地转化图形后再求助于它们,也就是它们能够间接地帮助我们,这里所说的“转化”是指对直多边形进行适当的分割与添补,使之转化为标准的长方形或正方形,这种方法我们称之为割补法。
掌握这方法的关键在于根据待求图形的特征,采用适当的割补使之变为长方形或正方形,为保持面积不变,应将多补上的部分的面积减去,未补上的部分的面积应加上。
[例1】有一形如图la的板(图中的每个数字分别表示所对应的线段的长度,单位:厘米),求它的面积等于多少平方厘米?解答☆解法一将图1a分割成长方形,可以有两种较简单的方法(见图1b、lc),图形都被分割成三个长方形。
以第一种分割法为例(图1b),利用长方形的面积公式可计算出图形的面积(我们可以记之为S)。
S=(1+2+3)×(3+4+5)-1×4-(1+2)×5=72-4-15=53(平方厘米)答:所求的面积为53平方厘米。
[例2】有一个长方形,如果宽减少2米,面积就减少24平方米。
如果长增长3米,面积就增加27平方米。
求这个长方形的面积。
思路剖析根据题意,可以画出如下直观图(图3):观察图3a,从宽减少2米面积就减少24平方米这个条件,我们可以求出这个长方形的长是24÷2=12(米)。
=(1+2+3)×3+(2+3)×4+5×3=18+20+15=53(平方厘米)☆解法二上面的方法是将图形分割成若干个长方形,然后求图形的面积,也就是使用了分割法。
实际上,我们还可以将图形添补成一个大的长方形(见图2),然后利用大长方形面积与两个小长方形面积之差,求出图形的面积,亦即采用添补法。
2023届高考数学二轮复习提升微专题几何篇第34讲割补法与等积法含解析
第34讲 割补法与等积法一、知识与方法1 割补法割补法包括分割法和补体法,求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体,锥体,分别求出雉体和柱体的体积, 从而得出几何体的体积,这种方法称为分割法. 用于直接解题较困难,分割后化繁为简,使问题较易获得解快,但有时候,所给的几何体并不复杂,却很难直接计算求解,这类几何体实际上是一个常规几何体的一部分. 通过添补适当的几何体,将其扩展为新的、其特征为我们比较熟悉的几何体,以便于从整体上宏观把握,处理局部问题的一种方法称为补体法,体现了拓展空间, 从更广阁的范围内处理局部问题的整体思想.分割法与补体法合在一起称为割袳法. 2 等积法(又称等积变换法)(1)利用三棱锥的“等积性”,即体积计算时可以任一个面作为三棱雉的底面. (1)求体积时,可选择“容易计算”的方式来计算; (2)利用“等积法”可求“点到面的吟离”,关键是在面中选取 3 个点,与已知点构成三棱锥.(2) 等积变换法充分体现了转化的数学思想,在运用过程中要充分注意距离之间的等价转换.二、典型例题【例1 】(1) 如图384-所示,已知多面体ABC DEFG -中, ,AB AC ,AD 两两互相垂直,平面//ABC 平面DEFG , 平面//BEF 平面,2,1ADGC AB AD DG AC EF =====, 则该多面体的体积为 ( ). A. 2 B. 4C. 6D. 8(2) 如图385-所示,在多面体ABCDEF 中, 已知ABCD 是边长为 1 的正方形, 且,ADE BCF 均为正三角形. //,2EF AB EF =, 则该多面体的体 积为( ).A. 3C.43D.32【分析】本例两小题给出的都是不规则几何体,直接求体积比较困难,可以将这个几何体分割成若干规则的几何体,从而得出几何体的体积(求规则几何体的体积再合成),也可认运用补体法补成一个规则几何体再求解,如第(1) 问,可把题中给出的几何体分割成两个三棱柱或补成一个正方体;第(2)问,不同的分割可以引发一题多解与发散思维,这种解法体现了割补思想和等积变换思想.【解析】 (1) 【解法一】(割)如图386-所示,过点C 作CH DG ⊥于H , 联结EH ,把多面体分割成一个直三棱柱DEH ABC -和一个斜三 棱柱BEF CHG -. 于是所求几何体的体积为112122122DEHBEF V SAD SDE ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2 4.=【解法二】(补)如图387-所示. 将多面体补成棱长为 2 的正方 体. 显然所求的多面体的体积为该正方体体积的一半. 于是所求几何体的体积31242V =⨯=.(2) 【解法一】 (分割法一)如图388-所示,分别过,A B 作EF 的垂 线, 垂足分别为点,G H , 联结,DG CH .则原几何体分割为两个三棱雉和一个直三棱柱,锥高12, 柱高 1. AG ==取AD 中点M , 则2MG =111,12224434AGDSV =⨯⨯=∴=+⨯⨯⨯12=【解法二】 (分割法二)如图389-所示,取EF 中点P , 则原几何体分割为两个三棱雉和一个四棱雉,易知三棱雉P AED -和三棱雉P BCF -都是棱长为 1 的正四面体,四棱雉P ABCD -为棱长为 1 的正四棱雉.2111233V =⨯+⨯=【例 2】已知直三棱柱111ABC A B C -中, 222A B C 是用一平面截得的截面,且21AA h =,2223,BB h CC h ==, 若ABC 的面积为.S 求证:介于截面与下底面之间的几何体的体积为()12313V S h h h =++.【分析】由于几何体222A B C ABC -是一个不规则的几何体,为求得其体积不妨采用分割或补体的方法来求解和证明. 【解析】【证法一】 (分割)为了讨论方便, 不妨设123h h h , 可将几何体222ABC A B C -分割成一个小直三棱柱与两个三棱雉. 如图390-所示,过2A 作23//A B AB 交2B B 于3B , 过3B 作33//B C BC 交2C C 于3.C 联结23A C ,23B C , 则几何体222ABC A B C -被分割成直三棱柱233ABC A B C -、三棱雉2233B A B C -、二棱锥2A 232B C C -设,BC x A =到BC 的距离为d , 则12S xd =. 由于 ()23322331211,3ABC A B C B A B C V Sh V S h h --==-,()()223223231311111.3323A B C c B C C V Sd h h x d S h h -=⋅=⋅-⋅⋅=- 故()2222332233223212313ABC A B C ABC A B C B A B C A B C C V V V V S h h h ----=++=++. 【证法二】(补体)将几何体222ABC A B C -以ABC 为底面进行两次等几何体补形,使侧棱的长均为123h h h ++, 这样就将不规则的几何体补形为新的直三棱柱. 而原几何体的体积等于这个新直三棱柱体积的13, 故()222123 1133ABC A B C V V S h h h -==++新直三榬柱.【例 3】如图391-所示,三棱锥A BCD -中, AB ⊥平面BCD ,CD BD ⊥ (1) 求证: CD ⊥平面ABD ;(2) 若1,AB BD CD M ===为AD 中点,求三棱雉A MBC -的体积.【分析】利用三棱锥的“等积法”,即体积计算时,可以任一个面作为三棱锥的底面,利用“等积法”可求“点到面的距离”,关键是在面中选取三个点,与已知,点构成三棱锥.等积变换法充分体现了转化的数学思想,在运用过程中要充分注意距离之间的等价转换.【解析】(1) 证明: :AB ⊥平面,,BCD CD BD CD ⊥⊂平面,ABD BD ⊂平面ABD ,CD ∴⊥平面.ABD(2)【解法一】由AB ⊥平面BCD ,得AB BD ⊥,11,.2ABDAB BD S==∴= M 为AD 中点, ABM11.24ABDSS ∴==由()1知,CD ⊥平面ABD ,∴三棱锥C ABM -的高1h CD ==.因此三棱雉A MBC -的体积B 13A MBC C ABM A MV V S h --==⋅1.12=【解法二】由AB ⊥平面BCD 知,平面ABD ⊥平面BCD .又平面ABD ⋂平面BCD BD =, 过点M 作MN BD ⊥交BD 于点N ,如图392-所示,则MN ⊥平面BCD , 且1122MN AB ==. 又1,1,2BCDCD BD BD CD S ⊥==∴=. ∴三棱倠A MBC -的体积1133A MBC A BCD M BCD BCDV V V AB S MN ---=-=⋅-. 112BCDS=.三、易错警示【例】正方体容器1AC 中盛满水, ,,E F G 分别是1111,,A B BB B C 的中点,若 3 个小孔分别位于,,E F G 三点处,则正方体中的水最多会剩下原体积的( ).A.78B.1112C.56D.2324【错解】剩下的水的最大容积是截面EFG 以下几何体的体积,如 图393-所示,设1CC 的中点为11,M C D 的中点为N ,则截面EFG 在正方体1AC 的截面是EFMN , 设正方体1AC 的棱长为 1, 则三棱柱11B EF C MN -的体积 1111111.2228B EFC MN V =⨯⨯⨯=于是, 正方体的水最多会剩下原体积的17188-=, 故 选 A.【评析及正解】上迌解法是否正确,我们可认考查另一种情形.考虑由1,,B E C 确定的截面,如图394-所示.此时,另一个小孔在截面1BEC的上方,此时三棱锥11B BEC -的体积为1113B BEC V -=⨯ 111111.22128⎛⎫⨯⨯⨯=< ⎪⎝⎭于是, 正方体中的水最多会剩下原体 积的11111212-=, 故应选B . 1. 从选项看,还有2324, 那么,会不会是这个结果呢? 我们可以 考虑一般的情形.【正确的解法】如下:【解析】:我们注意到, 当正方体中剩下的水最多时,这时的水平面必定经过其中的两个小孔, 不妨设经过小孔,E G , 如图395-所示,另一个小孔F 在该平面的上方. 设过,E G 的平面与棱1111,,BB CC C D 的交点分别为,,H P Q , 则流出的水的最小体积是台体11B EH C QP -的体积.设正方体1AC 的棱长为 2 , 则11B E =, 设()112B H x x =, 则12C P x =-. 由11B EHC QP , 得12xC Q x-=. 于是, 台体11B EH C QP -的体积为112231(2) 31(2)14 2233121 222,3312B EHC QPx V x x x x x x x ⎡⎤-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⎛⎫=+=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎛⎫⋅==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭ 当且仅当4x x =, 即2x =时,台体11B EH C QP -的体积最小, 为正方体体积的112. 此 时,点H 与点B 重合, 即截面为1BEC , 故选 B.四,难题攻略【例】在三棱台111ABC A B C -中, 111,2A B G AB =为1CC 的中点,截面1A BG 将棱台分成上、下两部分,求这两部分体积之比.【分析】由于合成的两部分都是不规则的几何体,故需将其分割成几个锥体(特别是三棱锥)的组合体才便于计算体积之比,需要提醒的是这里有等面积、等高,等体积的运用,使问题的解答别开生面.【解析】如图396-所示, 联结11,BC A C , 则棱台被分割成 4 个三棱锥的组合体, 注意到 3 个三棱锥11111,A BC G A BC B --,1A BCG -都等高, 因而其体积之比为底面面积之比.又在梯形11BCC B 中, 由111112B C A B BC AB ==, 且G 为1C C 的 中点, 有11.BCCBOGBC B SSS ==即111111ΛBCC A BCC A BC B V V V V ---===, 从而111112A BCC A BC B V V V V --=+=上,在三棱雉111B A B C -与三棱雉1A ABC -中, 它们的高相等, 且1114ABCA B C S S=,则1111111444A ABC B A B c A BC B V V V V ---===.从而1155A ABC A BCC V V V V --=+=下, 故t :2:5V V =下为所求.五、强化训练1.如图397-所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,12,,2AB BC AA ABC M π∠===是BC 中点.(1)求证:1//A B 平面1AMC ;(2)求直线1CC 与平面AMC 所成角的正弦值;(3)试问在棱11A B 上是否存在点N ,使得AN 与1MC 所成角为?3π若存在,确定点N 位置;若不存在,请说明理由.【解析】(1)如图①所示,联结,设与相交于点,则为中点,联结,则为的中位线,依据线面平行判定定理可得.(2)将图①补体为图②,设直线与平面所成角为,则.由题意,不1A C 1AC O O 1A C OM OM 1A BC 11111AB OM A B AMC A B AMC OM AMC //⎫⎪⊄⇒//⎬⎪⊂⎭平面平面平面1CC 1AMC α11sin C AMC h CC α-=11妨设,依据等体积法可得.(3)假设在棱上存在点,使得与成角,不妨设在棱上取点,使得,易得,如图③所示,故与成角.在中,由余弦定理可得.故在棱上存在点,且为棱的中点,使得与成角.122AB BC AA ===111111133C AMC C AMC AMC C AMC AMCC AMCV V Sh Sh ----=⇒=11122sin 33C AMC C AMC h h CC α--⇒=⇒==11A B N AN 1MC 3π1(02)A N t t =≤≤CD Q CQ t =1AN C Q //1C Q 1MC 3π1MQC 22222211112cos3MQ MC QC MC QC π=+-⇒=+1[0,2]t -=∈11A B N N 11A B AN 1MC 3π1213。
五年级下数学-专题培优-(第六讲)巧用割补法一 全国通用PPT课件(8张)
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例(4)如图7-12,校园中间有个正方形花坛,花坛的四周铺 了1米宽的水泥路,如果水泥路的总面积是24平方米,那 么花坛的面积是多少平方米?
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例(5)如图7-15,两个一样的直角三角形拼成一个四边形, 然后在其中添加了阴影部分,请按照图中给出的线段长度, 求出阴影部分的面积.
(2)如果剪去的正方形在右边,那么剩下的图形周长是多少厘 米?面积是多少?
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例(2)如图7-1,由十六个同样大小的正方形组成一个“5” 字,如果这个图形的周长是102厘米,那么它的面积是多 少平方厘米?
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例(3)如下图把大、小两个正方形拼在一起,它们的边长 分别是8厘米和6厘米,那么图中阴影部分的面积是多少平 方厘米?
切割法:把一个不规则的图形切割成几个规则的图形。
小朋友们,通过这堂课程的学习,我们明白了“没有
绝对的完美”!当我们和同学相处的时候,首先应该看到
填补法:把一个不规则的图形填补上一块或者几块变
对缺试的方点着诠身的去释上时包了的候容这优,对一点这方为,时,人学我并处会们且事去不去的赞要帮道美随助理对便对!方去方;否!当认“我一割们个补看人法到,”对而正方是好身要完上尝美 切例例例小例多(例当切“的“例的小成例成割“割成例例切 “例巧例的切割割(((朋(少1(我割面割(面朋一(一补割补一((割割(用(面割补)法 211友 4平 1们 法 补 5积 补 5积 友 个 2个 法 补 法 个 22法补 2割 5积 法 法))))如))))))):们方和:法.法.们规规包法包规: 法补.:包如如如如果如如如如如如如把,米同把””,则则括”括则把 ”法把括图图图图剪图图图图图图图一通?学一正正通的的两正两的一 正(一两去72272777777个过相个好好过图图大好大图个 好一个大--------22211111111的---不这处不完完这形形方完方形不 完)不方2555,111,,,,正55,5,,,规堂的规美美堂。。法美法。规 美规法由由由由由所所所方校两两两则课时则的的课:的:则 的则:十十十十十示示示形园 个 个 个的程候的诠诠程一诠一的诠的一六六六六六,,,在中一一一图的,图释释的、释、图 释图、个个个个个在在在右间样样样形学首形了了学切了切形 了形切同同同同同一一一上有的的的切习先切这这习割这割切 这切割样样样样样个个个角个直直直割,应割一一,法一法割 一割法大大大大大长长长,正角角角成我该成为为我为成 为成小小小小小为为为那方三三三几们看几人人们人几 人几的的的的的888二二二么形角角角厘厘厘个明到个处处明处个 处个正正正正正、、、剩花形形形米米米规白对规事事白事规 事规方方方方方填填填下坛拼拼拼、、、则了方则的的了的则 的则形形形形形补补补的,成成成宽宽宽的“身的道道“道的 道的组组组组组法法法图花一一一为为为图没上图理理没理图 理图成成成成成形坛个个个666形有的形!!有!形 !形一一一一一厘厘厘周的四四四。绝优。绝。 。个个个个个米米米长四边边边对点对“““““的的的是周形形形的,的55555长长长多铺,,,”””””完学完方方方少了然然然字字字字字美会美形形形厘后后后,1,,,,”去”米纸纸纸米在在在如如如如如!赞!宽片片片?其其其果果果果果美的上上上面中中中这这这这这对水剪剪剪积添添添个个个个个方泥去去去是加加加图图图图图;路一一一多了了了形形形形形,个个个少阴阴阴的的的的的如边边边?影影影周周周周周果长长长部部部长长长长长水为为为分分分是是是是是泥333,,,11111厘厘厘路00000请请请22222米米米的厘厘厘厘厘按按按的的的总米米米米米照 照 照正正正面,,,,,图图图方方方积那那那那那中中中形形形是么么么么么给给给。。。2它它它它它出出出4的的的的的平的的的面面面面面方线线线积积积积积米段段段是是是是是,长长长多多多多多那度度度少少少少少么,,,平平平平平花求求求方方方方方坛出出出厘厘厘厘厘的阴阴阴米米米米米面影影影?????积部部部是分分分
五年级数学上册知识讲义-割补法求图形面积-苏教版
知识梳理:已知直角三角形ABC 中有一个正方形AEFD ,已知BF =20cm ,FC =16cm ,你能计算出图中阴影部分的面积吗?BC分析:阴影部分是两个直角三角形,斜边长分别是20cm 和16cm ,将三角形BEF 沿EF 边切开,再把三角形BEF 的EF 边和三角形DFC 的FD 边重合拼组,正好与三角形DFC 合并成一个大直角三角形,这个大直角三角形的两条直角边分别是20cm 和16cm ,一条为高,另一条就是底,这样就可以求出这个大直角三角形的面积,也就是阴影部分的面积。
解答:20×16÷2=160(cm ²)FBC割补法:把一个图形的某一部分割下来,填补在图形的另一部分,在原面积不变的情况下,使其转化为已经掌握的图形,便于问题的解答。
一个较复杂的图形, 通过恰当的分割,可以转化成简单的图形。
【规律总结】——割补法和分割法联系:割补法和分割法都是将图形进行切割,在保证面积不变的情况下,使其转化为已经掌握的图形,便于问题的解答。
区别:割补法要把切下来的图形移动到其他位置,而分割法把图形切开后并不需要移动。
例题1 求图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解答过程:利用割补法将阴影部分分割平移成一个长方形(如图所示),长是28,宽是20。
答案:28×20=560(cm²)例题2 在等腰三角形中,两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三部分,三角形的面积是120平方厘米。
你能求出阴影部分的面积吗?解答过程:从等腰三角形的顶点作底边上的高,得到两个完全一样的直角三角形,将左边的三角形倒过来与另一个三角形拼成一个长方形,由已知条件“将三角形的两条边等分成三部分”可知:长方形面积正好是阴影部分面积的3倍。
答案:120÷3=40(cm²)例题3 如图,ABCD是直角梯形,求阴影部分的面积和。
(单位:厘米)解答过程:按照一般解法,首先求出梯形的面积,然后减去空白部分的面积即得所求面积。
第四课 割补法的灵活运用与专题总结 - 副本PPT课件
具体如下:一个几何体的三视图如图所示,求该几何体的 体积.
1
1
1
2
2
2 2
专题总结
立体几何中割补思想的运用常见的方法有三种:补形法、分 割法、补形与分割相结合.三种方法共同之处都是将复杂的、不规 则的、不易认识的几何体,通过“分割”或者“补形”转化为简 单的、规则的、易于计算体积的几何体.
补形法中将原图形补成一个新的几何体体现了构造的方法, 需要对常见的几何体模型有深刻的认识.分割法中可以从几何体的 外部或者内部进行分割,再利用部分与整体的关系来解决问题.近 几年的高考中割补法的题目常以三视图的形式呈现,一般要根据 三视图先画出直观图,再利用割补法求解.
立体几何中的割补思想的运用 第四课:割补法的灵活运用
与专题总结
主讲人
王秀彩特级教师工作室
立体几何中运用割补思想在求不规则的几何体的体积 时,有些题目采用“补形法”比较容易;有些题目采用 “分割法”更为恰当;还有些题目既能采用“补形法”解 决,也能采用“分割法”解决;还有些题目既要采用“补 形法”,同时采用“分割法”才易解决.
1 3 SDECA
BF
1 3
1 2
( AD
CE)
DE
BF
12
B
图5-12
所以所求几何体的体积为 V V BDECA ABCDBE 24
小结:本题解法一采取的解题方法为补形法,解法二采取的 解题方法为分割法.两种方法都比较自然,由于题目所给条件, 本题采用解法一较为简捷.
例6 如图5-13,AA 底面ABC,AA//BB//CC//DD , 四边形 ABCD为正方形, AB AA CC 2,
ABC 90
1 V =S ABCDBE ABC AD 2 AB BC AD 12
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割补法和分割法
什么叫做割补法和分割法?
割补法和分割法都是计算平面几何图形面积的推导方法,也是一种思考方法。
在面积和体积教学中,都有着广泛的应用。
割补法是指:把一个图形的某一部分割下来,填补在图形的另一部分,在原来面积不变的情况下,使其转化为已经掌握的旧的图形,以利于计算公式的推导。
平行四边形通过割补可转化为长方形(或正方形),梯形通过割补可转化为平行四边形,圆通过割补可转化为近似长方形等。
(1)平行四边形割补后转化为长方形:
(2)梯形割补后转化为平行四边形:
分割法是指:对一些不规则图形的面积,不能使用割补法,可以利用不规则图形的凹凸特点,将其分割成若干个可以计算的规则图形(如:长方形、三角形、梯形、……),先将各个规则图形的面积计算出来,然后再把这些规则图形的面积加在一起,总面积就是不规则图形的面积。
这种计算不规则图形的方法,叫做分割法。
下面两个图形就采用了分割法。
(1)
(2)
左图ABDE是一个不规则图形,用分割法可分成一个平行四边形ABDE,一个三角形BCD,把平行四边形和三角形的面积分别求出来,再把所得的结果加在一起,就是这个不规则图形的面积。