3.3.2.2简单的线性规划
《3.3.2简单的线性规划问题》教案
简单的线性规划学习内容总析线性规划位于不等式和直线方程的结合点上，是培养学生转化能力和熟练运用数形结合能力的重要内容。
这一节的知识内容形成了一条结构紧密的知识链条：以二元一次不等式（组）表示的平面区域为基础，根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法解决简单的线性规划问题。
学情总析本节内容是在学习了直线方程、二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，强调应用转化思想和数形结合思想来解决线性规划问题。
三维教学目标知识与技能：①了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；②在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；③掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。
过程与方法：①培养学生的形象思维能力、绘图能力和探究能力；②强化数形结合的数学思想方法；③提高学生构建（不等关系）数学模型、解决简单实际优化问题的能力。
情感、态度与价值观：①在感受现实生产、生活中的各种优化、决策问题中体验应用数学的快乐；②在运用求解线性规划问题的图解方法中，感受动态几何的魅力；③在探究性练习中，感受多角度思考、探究问题并收获探究成果的乐趣。
教学重点及应对策略1、教学重点：根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；2、应对策略：将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题，然后借助直线方程的知识进行解决。
教学难点及应对策略1、教学难点：①借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z最值之间的关系；②用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程。
2、应对策略：在理论解释的同时，可用动画进行演示辅助理解。
教学过程设计。
3.3.2简单的线性规划1
今需要A、 、 三种规格的成品分别为 三种规格的成品分别为15、 、 今需要 、B、C三种规格的成品分别为 、18、27 块，用数学关系式和图形表示上述要求，如何使所 用数学关系式和图形表示上述要求， 用钢板张数最少？ 用钢板张数最少？
例6：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 车皮甲种 ：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种 肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥 肥料的主要原料是磷酸盐 、硝酸盐 ；生产 车皮乙种肥 料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。 料需要的主要原料是磷酸盐 、硝酸盐 。现库存磷酸盐 10t、硝酸盐 ，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满 、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。 足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。 足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。若生产 一车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产一车皮乙肥 一车皮甲种肥料，产生的利润为 元 产生的利润为5000元，那么非别生产甲乙肥料各多好车 料，产生的利润为 元 能够产生最大利润？ 皮，能够产生最大利润？
分析： 分析：将已知数据列成表格
食物／kg 碳水化合物／kg 蛋白质/kg 脂肪／kg
A B
0.105 0.105
0.07 0.14
0.14 0.07
三种规格， 例5： 要将两种大小不同的钢板截成 、B、C三种规格， ： 要将两种大小不同的钢板截成A、 、 三种规格 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示： 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示： 规格 钢型 第一种钢板 第二种钢板 A规格 规格 2 1 B规格 规格 1 2 C规格 规格 1 3
• 通过不等式（组）的平面区域，我们可以 知道不等式的可能取值范围。那么在不等 式平面区域中，那个值是最有意义的取值 呢，比如对于资源的利用，人力调配，生 产安排等等，都需要我们有一个最优的处 理办法
26-简单的线性规划问题(2)
3.3.2简单的线性规划问题(2)教材分析线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成. 教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用.本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.课时分配本课时是简单的线性规划问题的第二课时，主要解决的是线性规划的应用问题.教学目标重点: 掌握约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.难点：理解实际问题的能力，渗透化归、数形结合的数学思想.知识点：图解法求线性目标函数的最大值、最小值.能力点：函数与方程、数形结合、等价转化、分类讨论的数学思想的运用.教育点：结合教学内容培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识.自主探究点：培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力.考试点：线性规划问题的图解法；寻求有实际背景的线性规划问题的最优解.易错易混点：线性规划问题和非线性规划问题的区分于解决.拓展点：非线性规划问题.教具准备实物投影机和粉笔课堂模式诱思探究一、复习引入简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.【设计意图】通过复习进一步熟悉解决简单线性规划问题的具体操作程序．二、探究新知请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.（1）求2z x y =+的最大值，使式中的x y 、满足约束条件,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩（2）求35z x y =+的最大值和最小值，使式中的x y 、满足约束条件5315,1,5 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≥⎩解：不等式组表示的平面区域如右图所示： 当0,0x y ==时，20z x y =+=， 点(0,0)在直线020l x y +=：上.作一组与直线0l 平行的直线2,l x y t t R +=∈：.可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l 的直线中，以经过点(2,1)A -的直线所对应的t 最大.所以max 2213z =⨯-=.（2）求35z x y =+的最大值和最小值，使式中的x y 、满足约束条件5315,1,5 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≥⎩解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.从图示可知直线35x y t +=在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点(2,1)--的直线所对应的t 最小，以经过点917(,)88的直线所对应的t 最大.所以min 3(2)5(1)11z =⨯-+⨯-=-, max 917351488z =⨯+⨯=. 【设计意图】通过反思总结，加强对“数形结合”数学思想的认识，形成学生良好的认知结构.三、运用新知【例1】某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1t ，需耗A 种矿石10t 、B 种矿石5t 、煤4t ；生产乙种产品需耗A 种矿石4t 、B 种矿石4t 、煤9t.每1t 甲种产品的利润是600元，每1t 乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过360t 、B 种矿石不超过200t 、煤不超过300t ，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1t ），能使利润总额达到最大？解：设生产甲、乙两种产品分别为xt yt 、，利润总额为z 元，那么104300,54200,49360,0,0;x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩目标函数为6001000z x y =+.作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域. 作直线6001000=0l x y +：, 即直线5=0l x y +：3,把直线l 向右上方平移至1l 的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时6001000z x y =+取最大值.解方程组54200,49360,x y x y +=⎧⎨+=⎩得M 的坐标为3601000(,)2929. 答：应生产甲产品约12.4t ，乙产品34.4t ，能使利润总额达到最大.【设计意图】通过此题检测学生对已学知识的掌握情况，进一步培养学生的运算能力和准确作图的能力.【例2】在上一节例4中（课本85页例4），若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元，若生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？生：若设生产x 车皮甲种肥料，y 车皮乙种肥料，能够产生的利润z 万元.目标函数0.5z x y =+,可行域如右图：把0.5z x y =+变形为22y x z =-+,得到斜率为2-，在y 轴上截距为2z ,随z 变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线22y x z =-+经过可行域上的点M 时，截距2z 最大，即z 最大. 解方程组⎩⎨⎧=+=+104,661518y x y x 得点(2,2)M ,因此当2,2x y ==时，0.5z x y =+取最大值，最大值为3.由此可见，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元.【设计意图】利用学生感兴趣的例子激发学习动机，通过一道完整的简单线性规划问题，让学生掌握解决简单线性规划问题的基本步骤，培养学生的数学建模意识.同时进一步加深对图解法的认识.四、课堂小结用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）. （2）设0t ，画出直线0l .（3）观察、分析，平移直线0l ，从而找到最优解.（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解. 当然也要注意问题的实际意义【设计意图】通过总结，培养学生数学交流和表达的能力，养成及时总结的良好习惯，并将所学知识纳入已有的认知结构.五、布置作业课本第93页习题3.3 B 组1、2、3.拓展作业：某工厂用A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天工作8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是多少？【设计意图】检测题主要考查学生对本节课重点知识的掌握情况，检查学生能否运用所学知识解决问题的能力；拓展作业的设置是为了教会学生怎样利用资料进行数学学习，同时让学生了解网络是自主学习和拓展知识面的一个重要平台，这是本节内容的一个提高与拓展.六、反思提升1. 让学生参与教学的全过程,成为课堂教学的主体和学习的主人,而教师时刻关注学生的活动过程,不时给予引导,及时纠偏的做法是明显的亮点.2.本节课的不足之处是由于整堂课课堂运算量较大，画图用时较多，后续的内容未能完成.七、板书设计。
3.3.2简单的线性规划1
分析：对应无数个点，即直线与边界线重合. 作出可行域，结合图形，看直线 l : y ax z 与哪条边界线重合时，可取得最大值.
16
解：当直线 l : y ax z 与边界线重合时，有无
数个点使函数值取得最大值， 此时有 kl kAC .
因为k AC 3 即a . 5 3 3 , 所以k l a . 5 5
时,求z的最大值和最小值. 上节课我们研究了二元一次不等式（组）与平面区域， 本节课我们将继续研究简单的线性规划问题.
5
x 4 y 3 思考：还可以运用怎样的方法得到目标函数 的最大、最小值？ 1.先 作 出 3 x 5 y 25 可以通过比较可行域边界顶 x 1 y 点的目标函数值大小得到。 所表示的区域 .
把例3的有关数据列表表示如下:
资源
A种配件 B种配件 所需时间 利润(万元)
甲产品 (1件) 4 0 1 2
乙产品 (1件)
资源限额
0 4 2 3
16 12 8
22
解：设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:
线 性 约 束 条 件
x 2y 8 4 x 16 4 y 12 x 0 y 0
C
5
A: (5.00, 2.00) B: (1.00, 1.00) C: (1.00, 4.40)
2.作直线 l0 : 2 x y 0
x-4y+3=0
3.作 一 组 与 直 线 l0平 行 的 直 线l : 2 x y t , t R
A B
O
1 5 x=1
2x y 0
直线L越往右平 移,t随之增大. x 以经过点A(5,2)的 3x+5y-25=0 直线所对应的t值 最大;经过点B(1,1) 的直线所对应的t 值最小. 6 Zmax 2 5 2 12, Zmin 2 1 1 3。
3.3.2.2简单线性规划-最优整数解
目标函数
可行解 可行域 最优解
4 3 2 1
{
作出可行域 作出可行域中的整点，
0
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 3 4 5 6 7 8
③ 你能否设计一个目标函数，使得其取最优 解的情况有无穷多个？
④ 请你分别设计目标函数，使得 最值点分别在A处、B处、C处取得？
复习回顾
二元一次不等式 表示平面区域
应 用
直线定界， 特殊点定域
约束条件
简单的线性规划 求解方法：画、 移、求、答
作出可行域（如图）
调整优值法
15 10 B(3,9) C(4,8) 8 A(18/5,39/5) 6 4 2 0 2 4 6 8
12
18
27
但它不是最优整数解.
打网格线法
15
9
B(3,9)
C(4,8)
A(18/5,39/5)
2 1
0
12
78
18
27
在可行域内打出网格线，
在可行域内找出最优解、线性规划整数解 问题的一般方法是：
3.3.2简单的线性规划-最优整数解
关于最优整数解的问题
例 要将两种大小不同的钢板截成Ａ、Ｂ、Ｃ三种规格， 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型 钢板类型 第一种钢板 第二种钢板
A规格 2 1
Ｂ规格 1 2
Ｃ规格 1 3
今需要Ａ、Ｂ、Ｃ三种规格的成品分别为15，18，27块， 请用数学关系式和图形表示上述要求。
应用举例
共有：
9 + 2 ( 7 + 5 + 3 + 1 )= 41
4 －4 o －4
高一数学必修5课件《3.3.2简单的线性规划(2)》
练习.某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产 一件甲产品使用 4 个A配件耗时 1h，每生产一件乙产品使 用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B配件，按每天工作8 h计算，该厂所有可能的 日生产安排是什么？
解：设甲、乙两种产品
A配件 B配件 耗时
分别生产x、y件，则有 甲产品 4
2、若区域“顶点”不是整点或不包括边界时，应先 求出该点坐标，并计算目标函数值Z，然后在可行域 内适当放缩目标函数值，使它为整数，且与Z最接近， 在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整 点，继续放缩，直至取到整点为止。
3、在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即 打网络、找整点、平移直线、找出整数最优解
,
解得x=100，y=200，
∴点M (100，200), ∴zmax=3000x+2000y=700000(元)
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做 200分钟广告。公司的收益最大，最大值为70万元.
例3、要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格，每 张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：
x+y
2x+y=15 =0
16 20 24 x+2y=18
28 30 x
x+3y=27
作直线 x+y=12 解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.
答（略）
在可行域内找出最优解、线性规划整 数解问题的一般方法是：
1、若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优 解；（在包括边界的情况下）
(2,1)
3.3.2 简单的线性规划(2)教师版
3.3.2简单的线性规划（二）教学目标分析：知识目标：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力； 情感目标：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。
重难点分析：重点：利用图解法求得线性规划问题的最优解；难点：把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
互动探究：一、课堂探究：1、复习引入（1）二元一次不等式0Ax By c ++>在平面直角坐标系中表示直线0Ax By c ++=某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）（2）目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:探究一、“阅读与思考”——错在哪里？思考：若实数,x y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩；求42x y +的取值范围．答案：24210x y ≤+≤. 例1、已知变量,x y 满足430352501x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩. （1）求y z x =的最小值；（2）求22z x y =+的取值范围.答案：（1）min 2()5y z x ==；（2）229z ≤≤.例2、设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数5z x y =+的最大值为4，求m 的值.答案：3m =.练习：已知变量,x y 满足6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，设z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，求实数a 的取值范围.答案：11a -≤≤.例3、已知平面区域D 由以(1,3),(5,2),(3,1)A B C 为顶点的三角形内部及边界组成.若在区域D 上有无穷多个点(,)x y 可使目标函数z x my =+取得最小值，则m =A ．－2B ．－1C ．1D ．4解：依题意，令0z =，可得直线0x my +=的斜率为1m-，结合可行域可知当直线0x my +=与直线AC 平行时，线段AC 上的任意一点都可使目标函数z x my =+取得最小值，而直线AC 的斜率为－1，所以1m =，选C练习：已知变量,x y 满足4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，设(0)z ax y a =+>，若当z 取得最大值时对应的点有无数个，求a 的值.答案：35. 反思总结：1、 本节课你学到了哪些知识点？2、 本节课你学到了哪些思想方法？3、 本节课有哪些注意事项？课外作业：补充：1、设,αβ是方程220(,)x ax b a b R ++=∈的两根，且(0,1),(1,2)αβ∈∈，则21b a --的取值范围是（ ）. A.1(,1) 4 B.1(,1)2 C.11(,)24- D.11(,) 22- 解：设2()2f x x ax b =++，因为(0,1),(1,2)αβ∈∈，由一元二次方程根的分布可知：(0)0(1)0(2)0f f f >⎧⎪<⎨⎪>⎩，即201204220b a b a b >⎧⎪++<⋅⋅⋅⋅⎨⎪++>⎩①，若把①看作线性约束条件，那么目标函数21b k a -=-，其几何意义为可行域内点(,)a b 与点(1,2)连线l 的斜率.作出可行域，如图8，易得当l 过点(3,1)-时，k 取得最小值14，当l 过点(1,0)-时，k 取得最大值1，所以21(,1)14b a -∈-，故应选A. 说明：在线性约束条件下，对于形如(,)y b k a b R x a-=∈-的目标函数的取值问题，通常转化为求点(,)x y 、(,)a b 之间连线斜率的取值；结合图形易知，可行域的顶点是求解斜率取值问题的关键点。
高中数学 同步教学 简单的线性规划问题
x (1)
2
率的 2 倍,
因为 kQA= 7 ,kQB= 3 ,所以 z 的取值范围是[ 3 , 7 ].
48
42
方法技巧 与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数 的最值问题的求解,一般要结合给定代数式的几何意义来完成.
常 见 代 数 式 的 几 何 意 义 :(1) x2 y2 表 示 点 (x,y) 与 原 点 (0,0) 的 距
4.给定下列命题:在线性规划中,
①最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x或y的值;
②最优解指的是目标函数的最大值或最小值;
③最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域;
④最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
其中正确命题的序号是
.
解析:因为最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可行解,即满足 线性约束条件的解(x,y),它是一个有序实数对,所以①②③均错,④正确. 故填④. 答案:④
变式探究:在本例的约束条件下,求z=x2+y2+2x的最大值与最小值.
解:z=x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1 表示可行域内任意一点(x,y)与点 D(-1,0)距离的平方减去 1,
如图所示,过 D 作 AB 的垂线 DP,垂足为 P,所以|DP|= | 1 0 4 | = 5 = 5 2 ,
(2)简单线性规划问题的解法 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤 可概括为“画、移、求、答”,即: ① 画 : 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 画 出 可 行 域 和 直 线 ax+by=0( 目 标 函 数 为 z=ax+by); ②移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点; ③求:求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或 最小值; ④答:给出正确答案.
3.3.2简单的线性规划
3.3.2 简单的线性规划【教学分析】线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，它能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题。
简单的线性规划关心的是两类问题：一是人力、物力、资金等资源一定条件下，如何使用它们来完成最多的任务；是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成，突出体现了优化的思想。
【三维目标】1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。
【重点难点】教学重点：用图解法解决简单的线性规划问题教学难点：准确求得线性规划问题的最优解【课时安排】【教学过程】第1课时1.课题导入[复习提问]1、二元一次不等式0>++C By Ax 在平面直角坐标系中表示什么图形？2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
2.讲授新课在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。
1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ (1)（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
(新课程)高中数学《3.3.2简单的线性规划》导学案3 新人教A版必修5
课题： 3.3.2简单的线性规划（3）一．：自主学习，明确目标1．知识与技能：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；教学重点：利用图解法求得线性规划问题的最优解；教学难点：把实际问题转化成线性规划问题，并给出解答，解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
教学方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力二．研讨互动，问题生成1、二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域（虚线表示区域不包括边界直线）2、目标函数, 线性目标函数，线性规划问题,可行解，可行域, 最优解:3、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：三．合作探究，问题解决1．线性规划在实际中的应用：例5 在上一节例4中，若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？2．若实数x ，y 满足 1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 求4x +2y 的取值范围．错解：由①、②同向相加可求得：0≤2x ≤4 即 0≤4x ≤8 ③由②得 —1≤y —x ≤1将上式与①同向相加得0≤2y ≤4 ④③十④得 0≤4x 十2y ≤12以上解法正确吗?为什么?(1)[质疑]引导学生阅读、讨论、分析．(2)[辨析]通过讨论，上述解法中，确定的0≤4x ≤8及0≤2y ≤4是对的，但用x 的最大(小)值及y 的最大(小)值来确定4x 十2y 的最大(小)值却是不合理的．X 取得最大（小）值时，y 并不能同时取得最大（小）值。
由于忽略了x 和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确．(3)[激励]产生上述解法错误的原因是什么?此例有没有更好的解法?怎样求解?正解：练习11、求y x z -=的最大值、最小值，使x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+002y x y x2、设y x z +=2，式中变量x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x自我评价 同伴评价 小组长评价。
2019-2020学年高二数学《3.3.2-简单的线性规划应用》教案
2019-2020学年高二数学《3.3.2 简单的线性规划应用》教案一、学习目标1.体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题；2.掌握寻找整点最优解的方法；3.求解非线性目标函数的最值（结合目标函数的几何意义）二、学习重点掌握寻找整点最优解的方法。
三、学习难点求解非线性目标函数的最值（结合目标函数的几何意义）。
四、学习过程（一）复习：已知变量 x , y 满足约束条件4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩求2x+y 的最值目标函数：约束条件：可行解：可行域：最优解：（二）学习新知实例感知题型一：寻找整数点最优解的方法例 1 要将两种大小不同的钢板截成 A 、B 、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如表所示：今需要三种规格的成品分别为12 块、1 5 块、2 7 块，各截这两种钢板多少张可得所需 A 、B 、C 、三种规格成品，且使所用钢板张数最少？知识小结：寻找整点最优解的方法1. 平移找解法：先打网格，描整点，平移直线，最先经过或最后经过的整点便是最优整点解，这种方法应用于充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解.2. 调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛先出整点最优解.3. 由于作图有误差，有时仅由图形不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将数个可能解逐一检验。
注意点：网格法要求做图精确，当不容易判别哪个解更接近最优解时可将各个可能逐一检查即可见分晓。
（三）实战演练北京某商厦计划同时出售新款空调和洗衣机，由于这两种产品的市场需求量大，供不应求，因此该商厦要根据实际情况（如成本、工资）确定产品的月供应量，以使得总利润最大，通过调查，得到这两种产品有关数据如下表试问：怎样确定两种产品的月供应量，才能使总利润最大，最大利润是多少？题型二：求解非线性目标函数的最值例2：已知：2040250x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，求（1）yzx=的最大值和最小值（2）22z x y=+的最大值（1）画出可行域（2）思考yzx=，22z x y=+的几何意义知识小结：非线性目标函数求解需结合目标函数的几何意义变式训练：已知2040250x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，求：（1）221025z x y y=+-+的最小值（2）211yzx+=+的范围巩固练习：已知x、y满足约束条件2510236210x yx yx y+≥⎧⎪-≤-⎨⎪+≤⎩，求11yx++的取值范围（四）自我回顾课堂小结：1.掌握寻找整点最优解的方法；（平移求解法、调整最优值、逐一检验法）2. 求解非线性目标函数的最值（结合目标函数的几何意义）（五）课后实践1. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人 50 元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，请工人的约束条件是（）.A．50x + 40y = 2000 B．50x + 40y ≤ 2000C．50x + 40y ≥ 2000 D．40x + 50y ≤20002. 变量x, y 满足约束条件232421229360,0x yx yx yx y+≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥≥⎩则使得z = 3x + 2 y 的值的最小的(x, y ) 是（）.A．（4，5） B．（3，6） C．（9，2）D．（6，4）3.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件。
高中数学必修五第三章：3.2简单的线性规划(2)教案
课题： 3.3.2 简单的线性规划（2）第课时总序第个教课设计课型：新讲课编写不时间：年月日履行时间：年月日教课目的：批1．知识与技术：掌握线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实质注问题；2．过程与方法：经历从实质情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提升数学建模能力；3．神态与价值：引起学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培育实事求是、理论与实质相联合的科学态度和科学道德。
教课要点：利用图解法求得线性规划问题的最优解教课难点：把实质问题转变成线性规划问题，并给出解答，解决难点的要点是依据实质问题中的已知条件，找出拘束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。
教课器具：三角板，投影仪教课方法：经历从实质情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提升数学建模能力教课过程：1. 课题导入[复习引入 ]：1、二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧全部点构成的平面地区（虚线表示地区不包含界限直线）2、目标函数 ,线性目标函数，线性规划问题, 可行解，可行域,最优解:2. 解说新课线性规划在实质中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中获得应用，一是在人力、物力、资本等资源必定的条件下，怎样使用它们来达成最多的任务；二是给定一项任务，怎样合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资本等资源来达成该项任务下边我们就来看看线性规划在实质中的一些应用：[ 典范解说 ]例 5 营养学家指出，成人优秀的平时饮食应当起码供给0.075kg 的碳水化合物， 0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食品 A 含有 0.105kg 碳水化合物， 0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花销28元；而1kg 食品 B 含有 0.105kg碳水化合物，0.14kg 蛋白质， 0.07kg 脂肪，花销 21 元。
为了知足营养专家指出的平时饮食要求，同时使花销最低，需要同时食用食品 A 和食品 B 多少 kg ？指出 : 要达成一项确立的任务 , 怎样兼顾安排 , 尽量做到用最少的资源去达成它 , 这是线性规划中最常有的问题之一 .例 6在上一节例 3 中，若依据相关部门的规定，初中每人每年可收取学费 1 600 元，高中每人每年可收取学费 2 700 元。
3.3.2简单的线性规划
线 性 约 束 条 件
44
x y
16 12
x
0
y 0
y
4 3
4
0
8x
将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内
所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y
都是有意义的.
问题：求利润2x+3y的最大值.
若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为:
当x,y在满足上述约束条件时,z的最大值为多少?
例4.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料 的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要 的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸 盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。
若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产1车 皮乙种肥料，产生的利润为5000元，那么分别生产甲、乙两种 肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？
分析：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车
皮数，于是满足以下条件：
y
4x＋y ≤10
18x＋15y ≤66
x ≥ 0
x
y ≥ 0
o
30
解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮， 能够产生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，
约束条件为下列不等式组，可行域如图红色阴影部分：
4x＋y 10
第一步： 根据约束条件画出可行域；
第二步： 将z看成“截距”,令z＝0，画直线l0；
第三步： 观察，分析，平移直线l0，
从而找到最优解；
第四步： 求出目标函数的最大值或最小值.
画 移 求答
线性规划
也可以通过比较可行域边界顶点 的目标函数值大小得到。
简单的线性规划（精选13篇）
简单的线性规划（精选13篇）简单的线性规划篇1教学目标（1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；（3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；（4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；（5）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.教学建议一、知识结构教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域.再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法－图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用.二、重点、难点分析本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次：（1）二元一次不等式表示平面区域.首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念.明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）.其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线.（2）二元一次不等式组表示平面区域.在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分.这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础.难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模.所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键.对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移.针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题.另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法.三、教法建议（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论.（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的.（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的.（5）对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维.（6）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找.如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可.（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.线性规划教学设计方案（一）教学目标使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域.重点难点了解二元一次不等式表示平面区域.教学过程【引入新课】我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？【二元一次不等式表示的平面区域】1.先分析一个具体的例子我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的解为坐标的点的集合是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l（如图）那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合是什么图形呢？在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：①在l上；②在l 的右上方的平面区域；③在l的左下方的平面区域（如图）取集合A的点（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我们发现这些点都在l的右上方的平面区域，而点（0，0）、（－1，－1）等等不属于A，它们满足不等式，这些点却在l的左下方的平面区域.由此我们猜想，对直线l右上方的任意点成立；对直线l左下方的任意点成立，下面我们证明这个事实.在直线上任取一点，过点P作垂直于y轴的直线，在此直线上点P右侧的任意一点，都有∴于是所以因为点，是L上的任意点，所以，对于直线右上方的任意点，都成立同理，对于直线左下方的任意点，都成立所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集点.是直线右上方的平面区域（如图）类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是直线左下方的平面区域.2.二元一次不等式和表示平面域.（1）结论：二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域.把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线.（2）判断方法：由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点，以的正负情况便可判断表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当时，常把原点作为此特殊点.【应用举例】例1 画出不等式表示的平面区域解；先画直线（画线虚线）取原点（0，0），代入，∴∴原点在不等式表示的平面区域内，不等式表示的平面区域如图阴影部分.例2 画出不等式组表示的平面区域分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.解：不等式表示直线上及右上方的平面区域，表示直线上及右上方的平面区域，上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分.课堂练习作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域.（1）（2）（3）（4）（5）总结提炼1.二元一次不等式表示的平面区域.2.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法.3.二元一次不等式组表示的平面区域.布置作业1.不等式表示的区域在的（）.A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方2.不等式表示的平面区域是（）.3.不等式组表示的平面区域是（）.4.直线右上方的平面区域可用不等式表示.5.不等式组表示的平面区域内的整点坐标是 .6.画出表示的区域.答案：1.B2.D3.B4.5.（－1，－1）6.简单的线性规划篇2教学目标（1）使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；（2）了解线性规化的意义以及线性约束条件、线性目标函数、线性规化问题、可行解、可行域以及最优解等基本概念；（3）了解线性规化问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；（4）培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力；（5）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.教学建议一、知识结构教科书首先通过一个具体问题，介绍了二元一次不等式表示平面区域.再通过一个具体实例，介绍了线性规化问题及有关的几个基本概念及一种基本解法－图解法，并利用几道例题说明线性规化在实际中的应用.二、重点、难点分析本小节的重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生、抽象的概念，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，因此学习二元一次不等式（组）表示平面的区域分为两个大的层次：（1）二元一次不等式表示平面区域.首先通过建立新旧知识的联系，自然地给出概念.明确二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域不包含边界直线（画成虚线）.其次再扩大到所表示的平面区域是包含边界直线且要把边界直线画成实线.（2）二元一次不等式组表示平面区域.在理解二元一次不等式表示平面区域含义的基础上，画不等式组所表示的平面区域，找出各个不等式所表示的平面区域的公共部分.这是学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题的基础.难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.对许多学生来说，从抽象到的化归并不比从具体到抽象遇到的问题少，学生解数学应用题的最常见困难是不会将实际问题提炼成数学问题，即不会建模.所以把实际问题转化为线性规划问题作为本节的难点，并紧紧围绕如何引导学生根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，然后利用图解法求出最优解作为突破这个难点的关键.对学生而言解决应用问题的障碍主要有三类：①不能正确理解题意，弄清各元素之间的关系；②不能分清问题的主次关系，因而抓不住问题的本质，无法建立数学模型；③孤立地考虑单个的问题情景，不能多方联想，形成正迁移.针对这些障碍以及题目本身文字过长等因素，将本课设计为计算机辅助教学，从而将实际问题鲜活直观地展现在学生面前，以利于理解；分析完题后，能够抓住问题的本质特征，从而将实际问题抽象概括为线性规划问题.另外，利用计算机可以较快地帮助学生掌握寻找整点最优解的方法.三、教法建议（1）对学生来说，二元一次不等式（组）表示平面的区域是一个比较陌生的概念，不象二元一次方程表示直线那样已早有所知，为使学生对这一概念的引进不感到突然，应建立新旧知识的联系，以便自然地给出概念（2）建议将本节新课讲授分为五步（思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知，得出结论.（3）要举几个典型例题，特别是似是而非的例子，对理解二元一次不等式（组）表示的平面区域的含义是十分必要的.（4）建议通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，这对培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力是大有益处的.（5）对作业、思考题、研究性题的建议：①作业主要训练学生规范的解题步骤和作图能力；②思考题主要供学有余力的学生课后完成；③研究性题综合性较大，主要用于拓宽学生的思维.（6）若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解（近似解），应作适当的调整，其方法应以与线性目标函数的直线的距离为依据，在直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，不要在用图解法所得到的近似解附近寻找.如果可行域中的整点数目很少，采用逐个试验法也可.（7）在线性规划的实际问题中，主要掌握两种类型：一是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务量最大，收到的效益最大；二是给定一项任务问怎样统筹安排，能使完成的这项任务耗费的人力、物力资源最小.线性规划方案（一）教学目标使学生了解并会作二元一次不等式和不等式组表示的区域.重点难点了解二元一次不等式表示平面区域.教学过程【引入新课】我们知道一元一次不等式和一元二次不等式的解集都表示直线上的点集，那么在平面坐标系中，二元一次不等式的解集的意义是什么呢？【二元一次不等式表示的平面区域】1.先分析一个具体的例子我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的解为坐标的点的集合是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线l（如图）那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数的最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合是什么图形呢？在平面直角坐标系中，所有点被直线l分三类：①在l上；②在l 的右上方的平面区域；③在l的左下方的平面区域（如图）取集合A的点（1，1）、（1，2）、（2，2）等，我们发现这些点都在l的右上方的平面区域，而点（0，0）、（－1，－1）等等不属于A，它们满足不等式，这些点却在l的左下方的平面区域.由此我们猜想，对直线l右上方的任意点成立；对直线l左下方的任意点成立，下面我们证明这个事实.在直线上任取一点，过点P作垂直于y轴的直线，在此直线上点P右侧的任意一点，都有∴于是所以因为点，是L上的任意点，所以，对于直线右上方的任意点，都成立同理，对于直线左下方的任意点，都成立所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集点.是直线右上方的平面区域（如图）类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是直线左下方的平面区域.2.二元一次不等式和表示平面域.（1）结论：二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域.把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，若画不等式就表示的面区域时，此区域包括边界直线，则把边界直线画成实线.（2）判断方法：由于对在直线同一侧的所有点，把它的坐标代入，所得的实数的符号都相同，故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点，以的正负情况便可判断表示这一直线哪一侧的平面区域，特殊地，当时，常把原点作为此特殊点.【应用举例】例1 画出不等式表示的平面区域解；先画直线（画线虚线）取原点（0，0），代入，∴∴原点在不等式表示的平面区域内，不等式表示的平面区域如图阴影部分.例2 画出不等式组表示的平面区域分析：在不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.解：不等式表示直线上及右上方的平面区域，表示直线上及右上方的平面区域，上及左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如图中的阴影部分.课堂练习作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域.（1）（2）（3）（4）（5）总结提炼1.二元一次不等式表示的平面区域.2.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法.3.二元一次不等式组表示的平面区域.布置作业1.不等式表示的区域在的（）.A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方2.不等式表示的平面区域是（）.3.不等式组表示的平面区域是（）.4.直线右上方的平面区域可用不等式表示.5.不等式组表示的平面区域内的整点坐标是 .6.画出表示的区域.答案：1.B2.D3.B4.5.（－1，－1）6.简单的线性规划篇3线性规划教学设计方案（二）教学目标巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值.重点难点理解二元一次不等式表示平面区域是教学重点.如何扰实际问题转化为线性规划问题，并给出解答是教学难点.教学步骤【新课引入】我们知道，二元一次不等式和二元一次不等式组都表示平面区域，在这里开始，教学又翻开了新的一页，在今后的学习中，我们可以逐步看到它的运用.【线性规划】先讨论下面的问题设，式中变量x、y满足下列条件①求z的最大值和最小值.我们先画出不等式组①表示的平面区域，如图中内部且包括边界.点（0，0）不在这个三角形区域内，当时，，点（0，0）在直线上.作一组和平等的直线可知，当l在的右上方时，直线l上的点满足 .即，而且l往右平移时，t随之增大，在经过不等式组①表示的三角形区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（5，2）的直线l，所对应的t最大，以经过点的直线，所对应的t最小，所以在上述问题中，不等式组①是一组对变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又称线性约束条件.是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫做目标函数，由于又是x、y的解析式，所以又叫线性目标函数，上述问题就是求线性目标函数在线性约束条件①下的最大值和最小值问题.线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也有一次方程表示.一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题，满足线性约束条件的解叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域，其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.【应用举例】例1 解下列线性规划问题：求的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件解：先作出可行域，见图中表示的区域，且求得 .作出直线，再将直线平移，当的平行线过B点时，可使达到最小值，当的平行线过C点时，可使达到最大值.通过这个例子讲清楚线性规划的步骤，即：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找出最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值.例2 解线性规划问题：求的最大值，使式中的x、y满足约束条件.解：作出可行域，见图，五边形OABCD表示的平面区域.作出直线将它平移至点B，显然，点B的坐标是可行域中的最优解，它使达到最大值，解方程组得点B的坐标为（9，2）.∴这个例题可在教师的指导下，由学生解出.在此例中，若目标函数设为，约束条件不变，则z的最大值在点C（3，6）处取得.事实上，可行域内最优解对应的点在何处，与目标函数所确定的直线的斜率有关.就这个例子而言，当的斜率为负数时，即时，若（直线的斜率）时，线段BC上所有点都是使z取得最大值（如本例）；当时，点C 处使z取得最大值（比如：时），若，可请同学思考.随堂练习1.求的最小值，使式中的满足约束条件2.求的最大值，使式中满足约束条件答案：1. 时， .2. 时， .总结提炼1.线性规划的概念.2.线性规划的问题解法.布置作业1.求的最大值，使式中的满足条件2.求的最小值，使满足下列条件答案：1.2.在可行域内整点中，点（5，2）使z最小，探究活动利润的线性规划［问题］某企业1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为81元，请你根据以上信息拟定两个不同的利润增长直线方程，从而预2001年企业的利润，请问你帮该企业预测的利润是多少万？［分析］首先应考虑在平面直角坐标系中如何描述题中信息：“1997年的利润为5万元，1998年的利润为7万元，1999年的利润为8万元”，在确定这三点坐标后，如何运用这三点坐标，是仅用其中的两点，还是三点信息的综合运用，运用时要注意有其合理性、思考的方向可以考虑将通过特殊点的直线、平行某个线段的直线、与某些点距离最小的直线作为预测直线等等.建立平面直角坐标系，设1997年的利润为5万元对应的点为（0，5），1998年的利润为7万元及1999年的利润为8万元分别对应点（1，7）和（2，8），那么①若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为13万元.②若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11万元.③若将过两点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为10万元.④若将过及线段的中点的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11.667万元.⑤若将过及的重心（注：为3年的年平均利润）的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为11.667万元.⑥若将过及的重心的直线作为预测直线，其方程为：，这样预测2001年的利润为10.667万元.⑦若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为9万元.⑧若将过且以线段的斜率为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为11.5万元.⑨若将过点且以线段的斜率为斜率的直线，作为预测直线，则预测直线的方程为；，这样预测2001年的利润为12万元.⑩若将过且以线段的斜率与线段的斜率的平均数为斜率的直线作为预测直线，则预测直线的方程为：，这样预测2001年的利润为12万元.如此这样，还有其他方案，在此不—一列举.［思考］（1）第⑤种方案与第④种方案的结果完全一致，这是为什么？（2）第⑦种方案中，的现实意义是什么？（3）根据以上的基本解题思路，请你思考新的方案.如方案⑥中，过的重心，找出以为斜率的直线中与两点的距离的平方和最小的直线作为预测直线.（4）根据以上结论及你自己的答案估计一下利润的范围，你预测的利润频率出现最多的是哪一个值？你认为将你预测的结论作怎样的处理，使之得到的利润预测更为有效？如果不要求用线性预测，你能得出什么结果？简单的线性规划篇4线性规划教学设计方案（二）教学目标巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域，能用此来求目标函数的最值.。
高中数学 五 3.3.2简单的线性规划(1)教案
3.3。
2简单的线性规划【教学目标】1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域;了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力;3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力,渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模"和解决实际问题的能力。
【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题【教学难点】准确求得线性规划问题的最优解【教学过程】1.课题导入［复习提问]1、二元一次不等式0>Ax在平面直角坐标系By++C中表示什么图形？2、怎样画二元一次不等式（组)所表示的平面区域？应注意哪些事项？3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
2。
讲授新课在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题： 引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1)用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：2841641200x y x y x y +≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ ……………………… (1)（2)画出不等式组所表示的平面区域:如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
（3)提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ，则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为:当x,y 满足不等式（1)并且为非负整数时，z 的最大值是多少？把z=2x+3y 变形为233z y x =-+,这是斜率为23-,在y 轴上的截距为3z 的直线。
高中数学 五 3.3.2简单的线性规划素材
简单的线性规划问题【知识梳理】线性规划的有关概念题型一、求线性目标函数的最值【例1】设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝3x－y的取值范围是（）A。
错误! B。
错误!C．［－1，6] D．错误!［解析］约束条件错误!所表示的平面区域如图阴影部分，直线y＝3x－z斜率为3。
由图象知当直线y＝3x－z经过A(2，0)时，z取最大值6,当直线y＝3x－z经过B错误!时，z取最小值－错误!,∴z＝3x－y的取值范围为错误!,故选A。
[答案］A【类题通法】解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z的几何意义，对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．【对点训练】1．设z＝2x＋y，变量x、y满足条件错误!求z的最大值和最小值．[解］作出不等式组表示的平面区域，即可行域,如图所示．把z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，则得到斜率为－2,在y轴上的截距为z，且随z变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z＝2x＋y经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时,截距z最小．解方程组错误!得A点坐标为(5，2)，解方程组错误!得B点坐标为（1,1）,∴z最大值＝2×5＋2＝12，z最小值＝2×1＋1＝3。
题型二、求非线性目标函数的最值【例2】设x，y满足条件错误!（1）求u＝x2＋y2的最大值与最小值;(2）求v＝错误!的最大值与最小值．［解] 画出满足条件的可行域如图所示,(1)x2＋y2＝u表示一组同心圆（圆心为原点O），且对同一圆上的点x2＋y2的值都相等，由图可知:当(x，y)在可行域内取值时,当且仅当圆O过C点时,u最大，过(0,0）时，u最小．又C（3,8)，所以u最大值＝73，u 最小值＝0。
(2）v＝错误!表示可行域内的点P(x，y）到定点D （5,0)的斜率，由图可知，k BD最大，k CD最小，又C(3，8),B（3，－3)，所以v最大值＝－33－5＝错误!，v最小值＝错误!＝－4。
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Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
x
y
1
y 1
Z = 3x － y 的最值
y
y=x 1
y = 3x － Z
1
作直线 y = 3x
o
x
y = －1 －1
x + y －1 = 0
yx
x
y
1
y 1
Z = 3x － y 的最值
y
y=x 1
y = 3x － Z
1
作直线 y = 3x
o
x
y = －1 －1
x + y －1 = 0
例题
例1 解下列线性规划问题：
1、求 Z = 3x －y 的最大值和最小值，使式中
的 x、y 满足约束条件
yx
x
y
1
y 1
yx
解：
x
y
1
y 1
y = 3x － Z
作直线 y = 3x
y = －1
求 Z = 3x － y 的最值
y
y=x 1
1
o
x
－1
x + y －1 = 0
yx
④、满足线性约束条件的解（x，y）称为可行解.
所有可行解组成的集合称为可行域.
⑤ 、使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解.
２、解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行 线中，利用平移的方法找出与可行域有公共 点且纵截距最大或最小的直线； （3）求：通过解方程组求出最优解及最值 （4）答：作出答案.
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
练习
复习
1、［概念］
①、上述问题中x,y 的限制条件称为x，y 的约束条件.
由于x，y 都是一次的，又称约束条件为线性约束条件.
② 、欲达到最值所涉及的变量x，y 的解析式称为目标函数. 关于x，y 的一次目标函数称为线性目标函数.
③ 、求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最 小值问题称为线性规划问题.
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
yx
x
y
1
y 1
Z = 3x － y 的最值
y
y=x 1
y = 3x － Z
作直线 y = 3x
1
o
x
y = －1 －1
Z max = 7， Z min = －2
x + y －1 = 0
例2、某公司承担了每天至少搬运 280t 水泥的任务， 已知该公司有 6 辆A型卡车和 4 辆B型卡车，已知A型 卡车每天每辆的运载量为 30t，成本费为 0.9千元，B 型卡车每天每辆的运载量为 40t，成本费为 1千元. ⑴假设你是公司的调度员，请你按要求设计出公司每天 的排车方案.设每天派出A型卡车x辆，B型卡车y辆， ⑵若公司每天花费成本为Z千元，写出x、y应满足的条 件以及Z与x、y之间的函数关系式.
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
Z min = 7. 6 此时应派A、B O 卡车各4 辆
x
x=6 y = －0.9x
线性规划问题解题步骤：
实际问题
解决 最 问题 优 解
分析问题 (列表)
设立变量
列出约束条件 建立目标函数
转 化
线性规划问题
注意: 列约束条件时要注意到变量的范围.
⑶如果你是公司的经理，为使公司所花的成 本费最小，每天应派出A型卡车、B型卡车各 为多少辆？
3x 4 y 28 解： 0 x 6
0 y 4
Z = 0.9x + y 为最小 y 3x + 4y －28 = 0
y=4
x O
x=6 y = 0.9x
3x 4 y 28
0 x6
0 y 4