中考数学压轴题(定值问题)

1. ( 2009 •株洲)如图，已知△ ABC 为直角三角形，/ ACB=90 ° AC=BC ,点A 、C 在x 轴上，点 B 坐标为

(3，m )(m >0),线段AB 与y 轴相交于点D ，以P (1, 0)为顶点的抛物线过点 B 、D . (1) 求点A 的坐标(用m 表示)； (2) 求抛物线的解析式；

(3) 设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结 PQ 并延长交BC 于点E ,连结BQ 并延长 交AC 于点

F ，试证明：FC(AC + EC)为定值.

解析：(1 )由B(3,m)可知OC =3, BC=m ，又△ ABC 为等腰直角三角形，

AC = BC = m , OA = m -3，所以点

(2)T ODA "OAD =45

.OD =OA =m - 3，则点D 的坐标是( 又抛物线顶点为 P(1,0)，且过点B 、D ,

2

y =a(x-1)，得：

a(3 -1) =m

解得 a i

a(0 -1)2 =m -3

m =4

.抛物线的解析式为 y =x 2

-2x • 1

(3)过点Q 作QM _ AC 于点M ，过点Q 作QN _ BC 于点N ，设点Q 的坐标是(x, x 2 - 2x T), 则

QM =CN =(x -1)2, MC =QN =3-x .

2

•/ QM //CE /. . PQM s . ：PEC .型=空 即(x-1) _ x -1，得 EC=2(x — 1)

EC PC

EC 2

•/ QN // FC /• BQN s . BFC . QN

即

3

~x _4 -(x_1)2

，得 FC 二丄

FC 一 BC

FC 4

x + 1

4

又••• AC =4 . FC (AC EC) [4

2(x -1)]二

x+1

二、定长、定角、定点、定值类型

1. ( 2011?东营)如图所示，四边形 OABC 是矩形，点 A 、C 的坐标分别为(-3, 0) , (0, 1),点D

1

是线段BC 上的动点(与端点 B 、C 不重合)，过点D 作直线y=—^-x + b 交折线OAB 于点E . (1) 记厶ODE 的面积为S ,求S 与b 的函数关系式；

(2) 当点E 在线段OA 上时，且tan /DEO=<-.若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形

O 1A 1B 1C 1，试探究四边形 O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面 积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说 明理由. 考点：一次函数综合题。 > 分析：(1 )要表示出△ ODE 的面积， 卄” 要分两种情况讨论，①如果点E 在OA B --------------------------- C 边上，只需求出这个三角形的底边 OE 长(E 点横坐标)和高(D 点纵坐标)， _ \

代入三角形面积公式即可； ②如果点 ?

-

【中考数学压轴题】 •、乘积、比值类型

定值问题

即FC(AC + EC)为定值8.

…12分 (2x 2)

2(x 1)=8

7分

3

此时 E (-3, b —2- )，D (2b - 2, 1),

115 • S=S 矩—(

OCD +S A OAE +S A DBE )=3— [_2- ( 2b — 2) ^+_2-x (5 — 2b ) ? (— b ) 3、- 5 2 2 ) ]= 2 b — b ,

『

3

b cb 2 兰一 2 .

I ?

5

2 3 5 —b —b 2

(—

2 2 2

(2)如图3,设0识1与CB 相交于点M , OA 与C 1B 1相交于点N ，则矩形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面

积即为四边形 DNEM 的面积.

由题意知，DM // NE , DN // ME , •四边形DNEM 为平行四边形， 根据轴对称知，/ MED= / NED , 又/ MDE= / NED ,

• / MED= / MDE , • MD=ME ,

•平行四边形 DNEM 为菱形. 过点D 作DH 丄OA ，垂足为H ,

1

由题勿知，...=,DH=1 ，— HE=2 ,

2

设菱形DNEM 的边长为a , 则在Rt △ DHN 中，由勾股定理知：a 2= (2 — a ) 2+12,

5^ _ _ 5

…a= ',• S 四边形 DNEM =NE?DH=

. 4

4

E 在AB 边上，这时△ ODE 的面积可用长方形 OABC 的面积减去 △ OCD 、△ OAE 、△ BDE 的面积; (2)重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积 是否变化的因素就是看这个平行四边形落在 OA 边上的线段长度是否变化. 解答：解：(1)v 四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(—3, 3

(—3, 0)时，贝V b^^, (—3, 1)时，贝U b= 5 若直线经过点 若直线经过点 若直线经过点

(0, 1 )时，贝U b=1,

①若直线与折线 3 OAB 的交点在 OA 上时，即1v ，如图1,

1 1

此时 E (2b , 0), • S=-2PE?CO=_2- X2b X1=b ;

②若直线与折线 OAB 的交点在BA 上时，即-2-v b v-5-，如图2

0), (0, 1), ••• B (- 3, 1),

/N 円]

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