新定义和阅读理解型问题.(优选)
新定义与阅读理解创新型问题
新定义与阅读理解创新型问题一．选择题（共4小题）1．（2020•荆州）定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根2．（2020•枣庄）对于实数a、b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=1a−b2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3=11−32=−18．则方程x⊗（﹣2）=2x−4−1的解是（）A．x＝4B．x＝5C．x＝6D．x＝73．（2020•潍坊）若定义一种新运算：a⊗b={a−b(a≥2b)a+b−6(a＜2b)，例如：3⊗1＝3﹣1＝2；5⊗4＝5+4﹣6＝3．则函数y＝（x+2）⊗（x﹣1）的图象大致是（）A．B．C．D．4．（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：p＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟二．填空题（共11小题）5．（2020•临沂）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1）到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为．6．（2020•十堰）对于实数m ，n ，定义运算m *n＝（m +2）2﹣2n．若2*a＝4*（﹣3），则a＝．7．（2020•青海）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b=√a+b√a−b ，如：3⊕2=√3+2√3−2=√5，那么12⊕4＝．8．（2020•湘潭）算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大的贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：数字形式123456789纵式|||||||||||||||横式表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．示例如图：，则表示的数是．9．（2020•长沙）某数学老师在课外活动中做了一个有趣的游戏：首先发给A、B、C三个同学相同数量的扑克牌（假定发到每个同学手中的扑克牌数量足够多），然后依次完成以下三个步骤：第一步，A同学拿出二张扑克牌给B同学；第二步，C同学拿出三张扑克牌给B同学；第三步，A同学手中此时有多少张扑克牌，B同学就拿出多少张扑克牌给A同学．请你确定，最终B同学手中剩余的扑克牌的张数为．10．（2020•常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx ﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为．11．（2020•衢州）定义a※b＝a（b+1），例如2※3＝2×（3+1）＝2×4＝8．则（x﹣1）※x的结果为．12．（2020•枣庄）各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形，它的面积S可用公式S＝a+12b﹣1（a是多边形内的格点数，b是多边形边界上的格点数）计算，这个公式称为“皮克（Pick）定理”．如图给出了一个格点五边形，则该五边形的面积S＝．13．（2020•荆州）我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为．14．（2020•乐山）我们用符号[x]表示不大于x的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么：（1）当﹣1＜[x]≤2时，x的取值范围是；（2）当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象下方．则实数a的范围是．15．（2020•泰州）以水平数轴的原点O为圆心，过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°、60°、90°、…、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A 、B 的坐标分别表示为（5，0°）、（4，300°），则点C 的坐标表示为 ．三．解答题（共35小题）16．（2020•湘潭）阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△ABC 的重心为点O ，求△OBC 与△ABC 的面积． （2）性质探究：如图（二），已知△ABC 的重心为点O ，请判断OD OA、S △OBC S △ABC是否都为定值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由．（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，连接BE 交对角线AC 于点M ． ①若正方形ABCD 的边长为4，求EM 的长度； ②若S △CME ＝1，求正方形ABCD 的面积．17．（2020•徐州）我们知道：如图①，点B 把线段AC 分成两部分，如果BC AB =AB AC，那么称点B 为线段AC的黄金分割点．它们的比值为√5−12． （1）在图①中，若AC ＝20cm ，则AB 的长为 cm ；（2）如图②，用边长为20cm 的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABCD 得折痕EF ，连接CE ，将CB 折叠到CE 上，点B 对应点H ，得折痕CG ．试说明：G 是AB 的黄金分割点；（3）如图③，小明进一步探究：在边长为a 的正方形ABCD 的边AD 上任取点E （AE ＞DE ），连接BE ，作CF ⊥BE ，交AB 于点F ，延长EF 、CB 交于点P ．他发现当PB 与BC 满足某种关系时，E 、F 恰好分别是AD 、AB 的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．18．（2020•株洲）如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．①求证：△OAE≌△BOF；②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．19．（2020•宁波）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，AD̂=BD̂，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．20．（2020•陕西）问题提出（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是．问题探究̂上一点，且PB̂=2PÂ，连接AP，BP．∠APB的平（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是AB分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．问题解决（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m2）．①求y与x之间的函数关系式；②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．21．（2020•咸宁）定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形．理解：（1）若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为；证明：（2）如图1，MN是⊙O的直径，点A，B，C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，探究线段AD，CD和BD之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．22．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；（2）若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（2，32），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．23．（2020•怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．24．（2020•常州）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点（填“A”．“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为；②若直线n的函数表达式为y=√3x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，√2为半径作⊙F．若⊙F与直线1相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线1的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4√5，求直线l的函数表达式．25．（2020•连云港）（1）如图1，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB、CD于点E、F．若BE＝2，PF＝6，△AEP的面积为S1，△CFP的面积为S2，则S1+S2＝；（2）如图2，点P为▱ABCD内一点（点P不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点．设四边形AEPH的面积为S1，四边形PFCG的面积为S2（其中S2＞S1），求△PBD的面积（用含S1、S2的代数式表示）；（3）如图3，点P为▱ABCD内一点（点P不在BD上），过点P作EF∥AD，HG∥AB，与各边分别相交于点E、F、G、H．设四边形AEPH的面积为S1，四边形PGCF的面积为S2（其中S2＞S1），求△PBD的面积（用含S 1、S 2的代数式表示）；（4）如图4，点A 、B 、C 、D 把⊙O 四等分．请你在圆内选一点P （点P 不在AC 、BD 上），设PB 、PC 、BĈ围成的封闭图形的面积为S 1，P A 、PD 、AD ̂围成的封闭图形的面积为S 2，△PBD 的面积为S 3，△P AC 的面积为S 4，根据你选的点P 的位置，直接写出一个含有S 1、S 2、S 3、S 4的等式（写出一种情况即可）．26．（2020•南京）如图，在△ABC 和△A 'B 'C '中，D 、D '分别是AB 、A 'B '上一点，AD AB=A′D′A′B′．（1）当CD C′D′=AC A′C′=AB A′B′时，求证△ABC ∽△A 'B 'C ．证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．（2）当CD C′D′=AC A′C′=BC B′C′时，判断△ABC 与△A 'B 'C ′是否相似，并说明理由．27．（2020•重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y =6xx 2+1性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y=6xx2+1…−1513−2417−125﹣30312524171513…（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”；①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣3．③当x＜﹣1或x＞1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大．（3）已知函数y＝2x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式6xx2+1＞2x﹣1的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．28．（2020•重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y=−12x2+2的图象并探究该函数的性质．x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…−23a﹣2﹣4b﹣4﹣2−1211−23…（1）列表，写出表中a，b的值：a＝，b＝；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：①函数y=−12x2+2的图象关于y轴对称；②当x＝0时，函数y=−12x2+2有最小值，最小值为﹣6；③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．（3）已知函数y=−23x−103的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式−12x2+2＜−23x−103的解集．29．（2020•内江）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n（m，n是正整数，且m ≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）=m n．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）=36=12．（1）填空：f（6）＝；f（9）＝；（2）一个两位正整数t（t＝10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值；（3）填空：①f（22×3×5×7）＝；②f（23×3×5×7）＝；③f（24×3×5×7）＝；④f（25×3×5×7）＝．30．（2020•重庆）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数﹣﹣“差一数”．定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．例如：14÷5＝2…4，14÷3＝4…2，所以14是“差一数”；19÷5＝3…4，但19÷3＝6…1，所以19不是“差一数”．（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；（2）求大于300且小于400的所有“差一数”． 31．（2020•张家界）阅读下面的材料：对于实数a ，b ，我们定义符号min {a ，b }的意义为：当a ＜b 时，min {a ，b }＝a ；当a ≥b 时，min {a ，b }＝b ，如：min {4，﹣2}＝﹣2，min {5，5}＝5． 根据上面的材料回答下列问题： （1）min {﹣1，3}＝ ； （2）当min {2x−32，x+23}=x+23时，求x 的取值范围． 32．（2020•荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值． 【问题】解方程：x 2+2x +4√x 2+2x −5＝0． 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设√x 2+2x =t （t ≥0），则有x 2+2x ＝t 2 原方程可化为：t 2+4t ﹣5＝0 【续解】33．（2020•扬州）阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x 、y 满足3x ﹣y ＝5①，2x +3y ＝7②，求x ﹣4y 和7x +5y 的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x 、y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x ﹣4y ＝﹣2，由①+②×2可得7x +5y ＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题：（1）已知二元一次方程组{2x +y =7，x +2y =8，则x ﹣y ＝ ，x +y ＝ ；（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？（3）对于实数x 、y ，定义新运算：x *y ＝ax +by +c ，其中a 、b 、c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么1*1＝ ．34．（2020•自贡）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x ﹣2|的几何意义是数轴上x 所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|＝|x﹣（﹣1）|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与﹣1所对应的点之间的距离．（1）发现问题：代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数﹣1、2、x，AB＝3．∵|x+1|+|x﹣2|的几何意义是线段P A与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，P A+PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，P A+PB＞3．∴|x+1|+|x﹣2|的最小值是3．（3）解决问题：①|x﹣4|+|x+2|的最小值是；②利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x﹣1|＞4；③当a为何值时，代数式|x+a|+|x﹣3|的最小值是2．35．（2020•随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S 1，S 2，直角三角形面积为S 3，请判断S 1，S 2，S 3的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M 的边长为定值m ，四个小正方形A ，B ，C ，D 的边长分别为a ，b ，c ，d ，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m 的式子表示） ①a 2+b 2+c 2+d 2＝ ；②b 与c 的关系为 ，a 与d 的关系为 ．36．（2020•呼和浩特）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比√5−12≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE ，圆心为O ，OA 与BE 交于点H ，AC 、AD 与BE 分别交于点M 、N ．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）（1）求证：△ABM 是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN 的形状； （2）求证：BM BN=BN BE，且其比值k =√5−12；（3）由对称性知AO ⊥BE ，由（1）（2）可知MN BM也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．37．（2020•江西）某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积S 1，S 2，S 3之间的关系问题”进行了以下探究： 类比探究（1）如图2，在Rt △ABC 中，BC 为斜边，分别以AB ，AC ，BC 为斜边向外侧作Rt △ABD ，Rt △ACE ，Rt △BCF ，若∠1＝∠2＝∠3，则面积S 1，S 2，S 3之间的关系式为 ； 推广验证（2）如图3，在Rt △ABC 中，BC 为斜边，分别以AB ，AC ，BC 为边向外侧作任意△ABD ，△ACE ，△BCF ，满足∠1＝∠2＝∠3，∠D ＝∠E ＝∠F ，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 拓展应用（3）如图4，在五边形ABCDE 中，∠A ＝∠E ＝∠C ＝105°，∠ABC ＝90°，AB ＝2√3，DE ＝2，点P 在AE 上，∠ABP ＝30°，PE =√2，求五边形ABCDE 的面积．38．（2020•湘西州）问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°，∠BCD ＝90°，BA ＝BC ，∠ABC ＝120°，∠MBN ＝60°，∠MBN 绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC 于E 、F ．探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG＝AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论，他的结论就是；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，BA＝BC，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由；探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA＝BC，∠BAD+∠BCD＝180°，∠ABC＝2∠MBN，∠MBN 绕B点旋转．它的两边分别交AD、DC于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由；实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处．且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°．试求此时两舰艇之间的距离．39．（2020•青海）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．特例感知：（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF＝CG．请给予证明．猜想论证：（2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC 于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想．联系拓展：（3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）40．（2020•齐齐哈尔）综合与实践在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF 上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．（1）折痕BM（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：；进一步计算出∠MNE＝°；（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝°；拓展延伸：（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD 边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．求证：四边形SATA'是菱形．解决问题：（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．请写出以上4个数值中你认为正确的数值．41．（2020•德州）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝4，AD 是中线，求AD 的取值范围．她的做法是：延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，证明△BED ≌△CAD ，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：（1）小红证明△BED ≌△CAD 的判定定理是： ； （2）AD 的取值范围是 ； 方法运用：（3）如图2，AD 是△ABC 的中线，在AD 上取一点F ，连结BF 并延长交AC 于点E ，使AE ＝EF ，求证：BF ＝AC ．（4）如图3，在矩形ABCD 中，AB BC=12，在BD 上取一点F ，以BF 为斜边作Rt △BEF ，且EFBE=12，点G 是DF 的中点，连接EG ，CG ，求证：EG ＝CG ．42．（2020•宁波）【基础巩固】（1）如图1，在△ABC 中，D 为AB 上一点，∠ACD ＝∠B ．求证：AC 2＝AD •AB ． 【尝试应用】（2）如图2，在▱ABCD 中，E 为BC 上一点，F 为CD 延长线上一点，∠BFE ＝∠A ．若BF ＝4，BE ＝3，求AD 的长． 【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是△ABC 内一点，EF ∥AC ，AC ＝2EF ，∠EDF =12∠BAD ，AE ＝2，DF ＝5，求菱形ABCD 的边长．43．（2020•邵阳）已知：如图①，将一块45°角的直角三角板DEF 与正方形ABCD 的一角重合，连接AF ，CE ，点M 是CE 的中点，连接DM ．（1）请你猜想AF 与DM 的数量关系是 ．（2）如图②，把正方形ABCD 绕着点D 顺时针旋转α角（0°＜α＜90°）．①AF 与DM 的数量关系是否仍成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（温馨提示：延长DM 到点N ，使MN ＝DM ，连接CN ） ②求证：AF ⊥DM ；③若旋转角α＝45°，且∠EDM ＝2∠MDC ，求AD ED的值．（可不写过程，直接写出结果）44．（2020•天水）性质探究如图（1），在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°，则底边AB 与腰AC 的长度之比为 ． 理解运用（1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2√3，则它的面积为 ；（2）如图（2），在四边形EFGH 中，EF ＝EG ＝EH ，在边FG ，GH 上分别取中点M ，N ，连接MN ．若∠FGH ＝120°，EF ＝20，求线段MN 的长． 类比拓展顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为．（用含α的式子表示）45．（2020•盐城）以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录，请阅读后完成虚线框下方的问题1～4．（Ⅰ）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2√2，在探究三边关系时，通过画图，度量和计算，收集到一组数据如下表：（单位：厘米）AC 2.8 2.7 2.6 2.32 1.50.4BC0.40.8 1.2 1.62 2.4 2.8AC+BC 3.2 3.5 3.8 3.94 3.9 3.2（Ⅱ）根据学习函数的经验，选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析：①BC＝x，AC+BC＝y，以（x，y）为坐标，在图①所示的坐标系中描出对应的点：②连线：观察思考（Ⅲ）结合表中的数据以及所画的图象，猜想．当x＝____时，y最大；（Ⅳ）进一步精想：若Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝2a（a为常数，a＞0），则BC＝____时，AC+BC 最大．推理证明（Ⅴ）对（Ⅳ）中的猜想进行证明．问题1，在图①中完善（Ⅱ）的描点过程，并依次连线；问题2，补全观察思考中的两个猜想：（Ⅲ）；（Ⅳ）；问题3，证明上述（Ⅴ）中的猜想；问题4，图②中折线B ﹣﹣E ﹣﹣F ﹣﹣G ﹣﹣A 是一个感光元件的截面设计草图，其中点A ，B 间的距离是4厘米，AG ＝BE ＝1厘米．∠E ＝∠F ＝∠G ＝90°．平行光线从AB 区域射入，∠BNE ＝60°，线段FM 、FN 为感光区域，当EF 的长度为多少时，感光区域长度之和最大，并求出最大值．46．（2020•临沂）已知⊙O 1的半径为r 1，⊙O 2的半径为r 2．以O 1为圆心，以r 1+r 2的长为半径画弧，再以线段O 1O 2的中点P 为圆心，以12O 1O 2的长为半径画弧，两弧交于点A ，连接O 1A ，O 2A ，O 1A 交⊙O 1于点B ，过点B 作O 2A 的平行线BC 交O 1O 2于点C ．（1）求证：BC 是⊙O 2的切线；（2）若r 1＝2，r 2＝1，O 1O 2＝6，求阴影部分的面积．47．（2020•天津）将一个直角三角形纸片OAB 放置在平面直角坐标系中，点O （0，0），点A （2，0），点B 在第一象限，∠OAB ＝90°，∠B ＝30°，点P 在边OB 上（点P 不与点O ，B 重合）．（Ⅰ）如图①，当OP ＝1时，求点P 的坐标；（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P ，并与x 轴的正半轴相交于点Q ，且OQ ＝OP ，点O 的对应点为O '，设OP ＝t ．①如图②，若折叠后△O 'PQ 与△OAB 重叠部分为四边形，O 'P ，O 'Q 分别与边AB 相交于点C ，D ，试用含有t 的式子表示O 'D 的长，并直接写出t 的取值范围；②若折叠后△O 'PQ 与△OAB 重叠部分的面积为S ，当1≤t ≤3时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．48．（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点C'，连接AC'、BC'，证明AC+CB＜AC′+C'B．请完成这个证明．（2）如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．49．（2020•达州）（1）[阅读与证明]如图1，在正△ABC的外角∠CAH内引射线AM，作点C关于AM的对称点E（点E在∠CAH内），连接BE，BE、CE分别交AM于点F、G．①完成证明：∵点E是点C关于AM的对称点，∴∠AGE＝90°，AE＝AC，∠1＝∠2．。
阅读理解和新定义运算问题
阅读理解和新定义运算问题新定义运算问题与阅读理解不同，但存在一定的关联，它们都可以用来改善学生的阅读和写作技能，从而更好地掌握阅读理解的知识。
新定义运算问题是一种新的教学方式，目的是通过提问来帮助学生理解文中的关键词和概念，继而提高自己的语言技能。
这种新定义运算问题的目的是提高学生的研究和理解技能，以及为学生提供更多的成就感和自信，激发并培养他们对文本内容的分析和解释能力。
新定义运算问题的设计基于阅读理解的基本策略，如寻找关键词、理解文章的内容、发现文章的论述、判断文章的观点等。
另外，新定义运算问题还包括语法方面的问题，如搭配问题、句子结构问题等。
新定义运算问题的例子有：根据文章提供的信息回答问题，在文章中找出并描述某个概念，根据给定的内容提出有关问题，推断文章中出现的词语意思等。
与传统的阅读理解不同，新定义运算问题不仅考查学生对文本内容的理解，还考查学生结合知识点及语言特性，将文本内容和所提供的信息紧密结合起来，以便产生新的理解。
新定义运算问题的好处颇多，不仅可以提高学生的阅读理解能力，还可以帮助学生掌握如何使用语言表达思想及自我表达的技巧，加强他们的分析判断能力，提高他们的语义理解能力，养成他们理解语句的习惯，并让他们学会在解决语言难题时自如应对。
另外，新定义运算问题可以丰富学生的词汇量，同时也激发学生对文本内容更深入的理解和思考，帮助学生从文章中抽取和构建信息，从而有助于学生提高自己的阅读理解能力。
新定义运算问题的应用要求教师正确理解学生的当前能力并重视学生的发展，从而更好地满足学生不同学习需求。
在运用新定义运算问题时，要注意控制问题难度，使学生在完成任务时处于良好的动力状态，同时以便利的过程来培养学生的长期学习成功感，最大限度地激发学生的学习兴趣。
总之，新定义运算问题可以有效地改进学生的阅读理解能力，除了加强他们对阅读理解的技能，还能帮助他们培养良好的习惯，掌握良好的技能，从而提升自己的阅读能力和文章写作能力。
2019-2020年中考数学 专题51 新定义和阅读理解型问题(含解析)
yxO2019-2020年中考数学 专题51 新定义和阅读理解型问题（含解析）新定义和阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题。
在新定义和阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维。
因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理，前面诸专题对存在性探究问题型进行了命题，后面将有专题对规律探究型问题进行命题。
本专题原创编写新定义和阅读理解型问题模拟题。
1.阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=-2，又b ＜0，所以1※（-2）请你参考小明的解题思路，回答下列问题： （1）计算：2※3= ；（2）若5※m= ．（3）函数y=2※x （x≠0）的图象大致是（ ） 【解析】考点：规律探索应用，反比例函数的图像2.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题? （2）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=c ，AC=b ，BC=a ，且b>a ，若Rt △ABC 是奇异三角形，求a ：b ：c ； （3）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点（不与点A ，B 重合），D是半圆的中点，C ，D 在直径AB 的两侧，若在⊙O 内存在点E ，使AE=AD ，CB=CE ．①求证：△ACE 是奇异三角形；②当△A CE 是直角三角形时，求∠AOC 的度数．【答案】（1）真命题．（2）a ：b ：c=1（3）①见解析②60°或120°． 【解析】1．然后分两种情况讨论.试题解析：解：（1）真命题． （2分）ADB（3）在Rt ΔABC 中，a 2+b 2=c 2，①证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°， 在Rt ΔACB 中，AC 2+BC 2=AB 2； 在Rt ΔADB 中，AD 2+BD 2=AB 2．∵D是半圆的中点，∴， ∴AD=BD ， （6分），∴AB 2=AD 2+BD 2=2AD 2， （7分） 又∵CB=CE ．AE=AD ，∴AC 2+CE 2=2AE 2． ∴ΔACE 是奇异三角形． （8分）⋂⋂=BD AD ⋂ADB考点：1.命题；2.勾股定理；3.圆周角定理及推论；4.直角三角形的性质.3.阅读理解：对于任意正实数a 、b ，∵2≥0，∴a －b ≥0，∴a ＋b ≥a＝b 时，等号成立.结论：在a ＋b ≥a 、b 均为正实数）中，若ab 为定值p ，则a+b ≥a ＝b 时，a ＋b 有最小值根据上述内容，回答下列问题：（1）若m ＞0，只有当m ＝ 时，m 有最小值 ； 若m ＞0，只有当m ＝ 时，2m 有最小值 .（2）如图，已知直线L 1：y ＋1与x 轴交于点A ，过点A 的另一直线L 2与双曲线y （x >0）相交于点B （2，m ），求直线L 2的解析式.（3）在（2）的条件下，若点C 为双曲线上任意一点，作CD ∥y 轴交直线L 1于点D ，试 求当线段CD 最短时，点A 、B 、C 、D 围成的四边形面积.【答案】（1）当时，有最小值为2；当时，8（2） （3）232--=x y 2=m m m 1+1=m∴A （-2，0）又点B （2，m∴设直线的解析式为：，则有，解得：∴直线的解析式为：；2--=x y 2L ⎩⎨⎧-=-=21b k ⎩⎨⎧-=+=+-4202b k b k b kx y +=2L )4,2(,4--=B m4.如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”。
中考新定义及阅读理解型问题
题型4 新定义及阅读理解型问题题型解读1.考查题型：①新定义计算型；②阅读理解型；③新定义与阅读理解结合题. 2.考查内容：①新定义下的实数运算；②涉及“新定义”的阅读理解及材料分析；③与函数、多边形、圆结合，通过材料或定义进行相关证明或计算.3.在做此类题型时，首先要理解新定义的运算方式，提升从材料阅读中提取信息的能力，结合已知条件中的推理方法，学以致用，便可得以解决．1.对于实数a ，b ，定义一种新运算“⊗”为：a ⊗b ＝1a －b 2，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝11－32＝－18，则方程x ⊗(－2)＝2x －4－1的解是( ) A . x ＝4 B . x ＝5 C . x ＝6 D . x ＝72.对于实数a 、b ，我们定义符号max {a ，b}的意义为：当a≥b 时，max {a ，b}＝a ；当a ＜b 时，max {a ，b}＝b ；如max {4，－2}＝4，max {3，3}＝3.若关于x 的函数为y ＝max {x ＋3，－x ＋1}，则该函数的最小值是( )A . 0B . 2C . 3D . 43.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，下表是两种运算对应关系的一组实例：根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216＝4，②log 525＝5，③log 212＝－1.其中正确的是( )A . ①②B . ①③C . ②③D . ①②③4.设a ，b 是实数，定义关于@的一种运算如下：a@b ＝(a ＋b)2－(a －b)2，则下列结论：( ) ①若a@b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②a@(b ＋c)＝a@b ＋a@c ；③不存在实数a ，b ，满足a@b ＝a 2＋5b 2;④设a ，b 是矩形的长和宽，若该矩形的周长固定，则当a ＝b 时，a@b 的值最大． 其中正确的是( )A . ②③④B . ①③④C . ①②④D . ①②③5.对于实数a ，b ，定义运算“*”：a*b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab （a≥b）a －b （a<b ），例如：因为 4>2，所以4*2＝42－4×2＝8，则(－3)*(－2)＝________．6.规定：log a b(a>0，a ≠1，b>0)表示a ，b 之间的一种运算． 现有如下的运算法则：log a a n＝n ，log N M ＝log a Mlog a N(a>0，a ≠1，N>0，N ≠1，M>0)，例如：log 223＝3，log 25＝log 105log 102，则log 1001000＝________．第7题图7.实数a ，n ，m ，b 满足a<n<m<b ，这四个数在数轴上对应的点分别是A ，N ，M ，B(如图)．若AM 2＝BM·AB，BN 2＝AN·AB，则称m 为a ，b 的“黄金大数”，n 为a ，b 的“黄金小数”，当b －a ＝2时，a ，b 的黄金大数与黄金小数之差m －n ＝________． 8.请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes ，公元前287～公元前212年，古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al －Biruni(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al －Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图①，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB ，M 是ABC ︵的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD ＝AB ＋BD.下面是运用“截长法”证明CD ＝AB ＋BD 的部分证明过程．证明：如图②，在CB 上截取CG ＝AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG. ∵M 是ABC ︵的中点， ∴MA ＝MC. …图① 图②任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图③，已知等边△ABC 内接于⊙O，AB ＝2，D 为AC ︵上一点，∠ABD ＝45°，AE ⊥BD 于点E ，则△BDC 的周长是________．图③9.如果三角形三边的长a 、b 、c 满足a ＋b ＋c3＝b ，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．(1)如图①，已知两条线段的长分别为a 、c(a<c)，用直尺和圆规作一个最短边、最长边的长分别为a 、c 的“匀称三角形”(不写作法，保留作图痕迹)；(2)如图②，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AB 延长线于点E ，交AC 于点F.若BE CF ＝53，判断△AEF 是否为“匀称三角形”？请说明理由．10.我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p×q(p，q 是正整数，且p≤q)，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的最佳分解，并规定：F(n)＝pq .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1>6－2>4－3，所以3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝34. (1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F(m)＝1；(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y(1≤x≤y≤9，x ，y 是自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”．求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．11.已知点P(x 0，y 0)和直线y ＝kx ＋b ，则点P 到直线y ＝kx ＋b 的距离d 可用公式d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k2计算．例如：求点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离． 解：因为直线y ＝3x ＋7，其中k ＝3，b ＝7，所以点P(－1，2)到直线y ＝3x ＋7的距离为d ＝|kx 0－y 0＋b|1＋k 2＝|3×（－1）－2＋7|1＋32＝210＝105. 根据以上材料，解答下列问题：(1)求点P(1，－1)到直线y ＝x －1的距离；(2)已知⊙Q 的圆心Q 坐标为(0，5)，半径r 为2，判断⊙Q 与直线y ＝3x ＋9的位置关系并说明理由； (3)已知直线y ＝－2x ＋4与y ＝－2x －6平行，求这两条直线之间的距离．12.【图形定义】如图，将正n 边形绕点A 顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O ，连接AO ，我们称AO 为“叠弦”；再将“叠弦”AO 所在的直线绕点A 逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P ，连接PO ，我们称∠OAB 为“叠弦角”，△AOP 为“叠弦三角形”． 【探究证明】(1)请在图①和图②中选择其中一个证明：“叠弦三角形”(即△AOP)是等边三角形； (2)如图②，求证：∠OAB＝∠OAE′. 【归纳猜想】(3)图①、图②中“叠弦角”的度数分别为__________，__________； (4)图中，“叠弦三角形”__________等边三角形(填“是”或“不是”)； (5)图中，“叠弦角”的度数为__________(用含n 的式子表示)．13.若抛物线L ：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，abc ≠0)与直线l 都经过y 轴上的一点P ，且抛物线L 的顶点Q 在直线l 上，则称此直线l 与该抛物线L 具有“一带一路”关系．此时直线l 叫做抛物线L 的“带线”，抛物线L 叫做直线l 的“路线”．(1)若直线y ＝mx ＋1与抛物线y ＝x 2－2x ＋n 具有“一带一路”关系，求m ，n 的值；(2)若某“路线”L 的顶点在反比例函数y ＝6x 的图象上，它的“带线”l 的解析式为y ＝2x －4，求此“路线”L 的解析式；(3)当常数k 满足12≤k≤2时，求抛物线L ：y ＝ax 2＋(3k 2－2k ＋1)x ＋k 的“带线”l 与x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．。
阅读理解和新定义运算问题
阅读理解和新定义运算问题
读书是人们认知世界的一种有效方式，阅读理解能力是书库中正确，有效地获取知识的关键。
与以往相比，随着我们了解到更多知识，并且可以更有效地存储和使用它们，自然而然地，新的定义运算问题也由此产生了。
阅读理解的能力是孩子很多课程的基石。
有效的阅读理解能力意味着孩子更好地理解文字和概念，对事物的观察，思考，以及对文字中的信息有更好的理解力。
它能够帮助孩子从文字中获取有效的知识，提高思维能力，培养思维的灵活性，以及更好地运用自己的判断力。
此外，孩子们可以学到新的定义运算问题，定义问题是以图像，文字，联系等形式出现的抽象性问题，它可以帮助孩子们更深入的理解运算的过程，获得更深入的认知。
新定义的运算问题可以帮助孩子们理解运算的原理，而不是只是背诵运算规则，而是学会用思维实现运算。
新定义的运算问题通常是以实际生活中易懂的语言表述的，另一种定义问题是以文字，图形，联系等形式出现的。
这些问题可以帮助孩子们理解运算的过程，学会如何把运算概念转化为实际应用，从表象到抽象。
另外，新定义的运算问题也可以锻炼孩子的创新能力。
孩子们通过新定义的运算问题，可以学会思维的灵活性，学会思考，学会如何解决问题，还可以学会发现问题的本质以及如何创新。
综上所述，阅读理解和新定义运算问题对孩子们的学习发挥着重要作用。
阅读理解能力能够帮助孩子从文字中更有效地获取知识，提
高思维能力和灵活性，而新定义的运算问题则可以帮助孩子们理解运算的原理，培养创新思维及思考能力。
因此，家长，教师和社会应该给予充分的重视，在孩子的教育中，加强两者的教学，以促进孩子健康，全面的成长。
专题二 新定义与阅读理解问题
∵四边形ACEF是菱形,∴∠ADC=90°,AE=2AD,CF=2CD,
∴四边形ABCD为损矩形.
由(2)知点A,B,C,D在同一个圆上.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=45°,∴AD=CD,∴AE=CF,
∴菱形ACEF为正方形.
②在①的条件下,若AB=2,BC=4,求BD的长.
解:②如图②所示,过点 D 作 EF∥BC,交 BA 的延长线于点 E,作 CF⊥EF 于点 F.
理解试题阅读材料中提供的新情景 、新方法和新知识等,能熟练地进行知识的迁移、转化和
应用.
类型一
定义新运算、法则型问题
对于该类问题,要抓住新定义运算的法则或者顺序,并将此定义作为解题的依据,通常照套法则即可.
需要注意两点:(1)有括号时应当先算括号里面的;(2)新定义的运算往往不一定具备交换律和结合
为“好点”.在下列函数的图象上,有且只有一个“好点”的函数是(
A.y=|2x+5|
-
C.y=
D )
B.y=-x-2
2
D.y=x -2x+
2.(2022莱芜二模)定义:在平面直角坐标系中,点P(x,y)的横坐标x的绝对值表示为|x|,纵坐标y的绝
对值表示为|y|,我们把点P(x,y)的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P(x,y)的折线距离,记为
2
2
们规定一个新数“i”,使其满足 i =-1(即方程 x =-1 有一个根为 i),并且进一步规定:一切实数可以与
1
2
3
2
4
新数进行四则运算,且原有运算律和运算法则仍然成立,于是有 i =i,i =-1,i =i ·i=(-1)·i=-i,i =
新定义与阅读理解创新型问题(共31题)(解析版)--2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
新定义与阅读理解创新型问题(31题)一、单选题1(2023·湖北武汉·统考中考真题)皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S=N+12L-1，其中N,L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A0,30，B20,10,O0,0，则△ABO内部的格点个数是()A.266B.270C.271D.285【答案】C【分析】首先根据题意画出图形，然后求出△ABO的面积和边界上的格点个数，然后代入求解即可．【详解】如图所示，∵A0,30，B20,10,O0,0，∴S△ABO=12×30×20=300，∵OA上有31个格点，OB上的格点有2,1，4,2，6,3，8,4，10,5，12,6，14,7，16,8，18,9，20,10，共10个格点，AB上的格点有1,29，2,28，3,27，4,26，5,25，6,24，7,23，8,22，9,21，10,20，11,19，12,18，13,17，16,14，15,15，16,14，17,13，18,12，19,11，共19个格点，∴边界上的格点个数L=31+10+19=60，∵S=N+12L-1，∴300=N+12×60-1，∴解得N=271．∴△ABO内部的格点个数是271．故选：C．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，解决问题的关键是掌握数形结合的数学思想．2(2023·湖南张家界·统考中考真题)“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于()A.πB.3πC.2πD.2π-3【答案】B【分析】根据等边三角形的性质及弧长公式l =n πr180求解即可．【详解】解：∵等边三角形ABC 的边长为3，∠ABC =∠ACB =∠BAC =60°，∴AB =BC =AC =60π⋅3180=π，∴该“莱洛三角形”的周长=3×π=3π，故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的关键．3(2023·重庆·统考中考真题)在多项式x -y -z -m -n (其中x >y >z >m >n )中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x -y -|z -m |-n =x -y -z +m -n ，x -y -z -m -n =x -y -z -m +n ，⋯．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是()A.0 B.1C.2D.3【答案】C【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．【详解】解：x -y -z -m -n =x -y -z -m -n ，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现-x ，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x 的符号为负，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是x -y -z -m -n =x -y -z -m -n ；x -y -z -m -n =x -y +z -m -n ；x -y -|z -m |-n =x -y -z +m -n ；x -y -z -m -n =x -y -z -m +n ．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是x -y -z -m -n =x -y -z +m -n ；x -y -z -m -n =x -y -z -m +n ；x -y -z -m -n =x -y +z -m +n ．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．4(2023·湖南岳阳·统考中考真题)若一个点的坐标满足k ,2k ，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x 的二次函数y =t +1 x 2+t +2 x +s (s ,t 为常数，t ≠-1)总有两个不同的倍值点，则s 的取值范围是()A.s<-1B.s<0C.0<s<1D.-1<s<0【答案】D【分析】利用“倍值点”的定义得到方程t+1x2+tx+s=0，则方程的Δ>0，可得t2-4ts-4s>0，利用对于任意的实数s总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出s的取值范围．【详解】解：由“倍值点”的定义可得：2x=t+1x2+t+2x+s，整理得，t+1x2+tx+s=0∵关于x的二次函数y=t+1x2+t+2x+s(s,t为常数，t≠-1)总有两个不同的倍值点，∴Δ=t2-4t+1s=t2-4ts-4s>0,∵对于任意实数s总成立，∴-4s2-4×-4s<0,整理得，16s2+16s<0,∴s2+s<0,∴s s+1<0，∴s<0s+1>0，或s>0s+1<0，当s<0s+1>0时，解得-1<s<0，当s>0s+1<0时，此不等式组无解，∴-1<s<0，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键．5(2023·山东·统考中考真题)若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A(1, 3),B(-2,-6),C(0,0)等都是三倍点”，在-3<x<1的范围内，若二次函数y=-x2-x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是()A.-14≤c<1 B.-4≤c<-3 C.-14<c<5 D.-4≤c<5【答案】D【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为y=3x，根据二次函数y=-x2-x+c的图象上至少存在一个“三倍点”转化为y=-x2-x+c和y=3x至少有一个交点，求Δ≥0，再根据x=-3和x=1时两个函数值大小即可求出．【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为y=3x，在-3<x<1的范围内，二次函数y=-x2-x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，即在-3<x<1的范围内，y=-x2-x+c和y=3x至少有一个交点，令3x=-x2-x+c，整理得：-x2-4x+c=0，则Δ=b2-4ac=-42-4×-1×c=16+4c≥0，解得c≥-4，x=--4±-42-4×-1c2×-1=-4±16+4c2，∴x1=-2+4+c，x2=-2-4+c∴-3<-2+4+c<1或-3<-2-4+c<1当-3<-2+4+c <1时，-1<4+c <3，即0≤4+c <3，解得-4≤c <5，当-3<-2-4+c <1时，-3<4+c <1，即0≤4+c <1，解得-4≤c <-3，综上，c 的取值范围是-4≤c <5，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数与一次函数交点问题，熟练掌握相关性质是关键．6(2023·福建·统考中考真题)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O 的面积，可得π的估计值为332，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为()A.3B.22C.3D.23【答案】C【分析】根据圆内接正多边形的性质可得∠AOB =30°，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得BC=12，根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解．【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为30°，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形OAB ，过点B 作BC ⊥OA 交OA 于点于点C ，∵∠AOB =30°，∴BC =12OB =12，则S △OAB =12×1×12=14，故正十二边形的面积为12S △OAB =12×14=3，圆的面积为π×1×1=3，用圆内接正十二边形面积近似估计⊙O 的面积可得π=3，故选：C ．【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键．二、填空题7(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条(圆的半径)OA 长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A 处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B 处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A 处(舀水)转动到B 处(倒水)所经过的路程是米．(结果保留π)【答案】5π【分析】把半径和圆心角代入弧长公式即可；【详解】l =n πr 180=150×π×6180=5π故填：5π．【点睛】本题考查弧长公式的应用，准确记忆公式，并正确代入公式是解题的关键．8(2023·湖北随州·统考中考真题)某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，⋯⋯，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，⋯⋯丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．【答案】10【分析】灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”，确定1-100中，各个数因数的个数，完全平方数的因数为奇数个，从而求解．【详解】所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”；因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，1-100中，完全平方数为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；有10个数，故有10盏灯被按奇数次，为“亮”的状态；故答案为：10．【点睛】本题考查因数分解，完全平方数，理解因数的意义，完全平方数的概念是解题的关键．9(2023·湖南常德·统考中考真题)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．AB是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是弦AB 的中点，D 在AB上，CD ⊥AB ．“会圆术”给出AB 长l 的近似值s 计算公式：s =AB +CD 2OA，当OA =2，∠AOB =90°时，l -s =．(结果保留一位小数)【答案】0.1【分析】由已知求得AB 与CD 的值，代入s =AB +CD 2OA得弧长的近似值，利用弧长公式可求弧长的值，进而即可得解．【详解】∵OA =OB =2，∠AOB =90°，∴AB =22，∵C 是弦AB 的中点，D 在AB上，CD ⊥AB ，∴延长DC 可得O 在DC 上，OC =12AB =2∴CD =OD -OC =2-2，∴s =AB +CD 2OA=22+2-2 22=3，l =90×2×2π360=π，∴l -s =π-3 ≈0.1．故答案为：0.1．【点睛】本题考查扇形的弧长，掌握垂径定理。
阅读理解和新定义
材料阅读题、新定义专题（1）1、定义一种新的运算a ﹠b=a b ，如2﹠3=23=8，那么试求（3﹠2）﹠2= ．2、定义运算a ⊗b =a （1﹣b ），下列给出了关于这种运算的几点结论：①2⊗（﹣2）=6；②a ⊗b =b ⊗a ；③若a +b =0，则（a ⊗b ）+（b ⊗a ）=2ab ； ④若a ⊗b =0，则a =0．其中正确结论序号是 ．3、对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，例如[]12.1=，[]33=，[]35.2-=-，若5104=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+x ，则x 的取值可以是（ ）. A.40 B.45 C.51 D.564、将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a b c d，定义a b c d ad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x x x +--+ 6=，则x =__________．5、读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为 ，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算 =______．6、定义新运算：对于任意实数a ，b ，都有a ⊕b ＝a (a －b )+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： 2⊕5＝2⨯(2－5)+1＝2⨯(－3)+1＝－5（1）求（－2）⊕3的值（2）若3⊕x 的值小于13，求x 的取值范围，并在数轴上表示出来.7．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC 的相似线最多有条．8.在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”.例如点(-1，-1)，(0，0)，，…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个。
新定义与阅读理解问题 九年级数学专项训练(含解析)
新定义与阅读理解问题一、单选题A．1B．4C．6D()(A．113︒B．92二、填空题16．定义一种新的运算：a☆三、解答题17．若定义一种运算：a b∆()(32-=--+⨯-2Δ32(3)23参考答案：1．A【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题中的新定义是解此类题的关键．根据题中的新定义计算即可求出4-※2的值．【详解】解：根据新定义得：4-※22422=-⨯+84=-+4=-，故选：A 2．B【分析】本题考查了新运算，解一元一次方程，掌握新运算正确计算是解题的关键，根据()310312x ⎡⎤+⨯=⎣⎦★，()336x +⨯=-解方程即可．【详解】解：根据新定义得()31012x =★★()310312x ⎡⎤+⨯=⎣⎦★()3104x +=★()36x =-★()336x +⨯=-5x =-故选：B 3．D【分析】据提供的“F ”运算，对正整数n 分情况(奇数、偶数)循环计算，由于449n =为奇数应先进行F ①运算，发现从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第201次是奇数，这样循环计算一直到第201次“F ”运算，得到的结果为8．本题主要考查了新定义运算，有理数的混合运算．熟练掌握“F ”运算法则，找到结果存在的规律，根据有理数的混合运算求出答案，是解题的关键．【详解】解：第一次：344951352⨯+=，故选：A．8．C【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、相似三角形的性质等知识带你，由10．12x =，22x =-【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义问题，根据已知公式得出24420x +=，解之可得答案．【详解】解：420x ⊗= ，24420x ∴+=，即2416x =，解得：12x =，22x =-．故答案为：122,2x x ==-．11．5【分析】此题考查了解一元一次方程和平方根解方程．根据题中的新定义分两种情况化简已知等式，求出x 的值即可．【详解】解：当4x ≥时，则1629x +=，解得13x =，不符合题意；当4x <时，则2429x +=，解得15=x ，25x =-（舍去），综上，x 的值为5．故答案为：5．12．3-【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据“衍生函数”的定义，找出一次函数21y x =-+的“衍生函数”是解题的关键．【详解】解：由定义知，一次函数21y x =-+的“衍生函数”为()()210210x x y x x ⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，∵点()2,P m -在一次函数的“衍生函数”图象上，20x =-<，∴()2213m =⨯-+=-．故答案为：3-．13．1【分析】本题考查了解一元一次方程．理解题意，正确的列一元一次方程是解题的关键．由题意知，()3434341a =⨯+++※，3420=※，即()3434120a ⨯+++=，计算求解即可．【详解】解：由题意知，()3434341a =⨯+++※，3420=※，∵圆与三角形的三条边都有两个交点，截得的三条弦相等，∴圆心O就是三角形的内心，过C时，且在等腰直角三角形∴当O、、过点O分别作弦CG CF DE。
中考数学专题51新定义及阅读理解型问题含解析.doc
2019-2020 年中考数学专题51新定义和阅读理解型问题（含解析）新定义和阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题。
在新定义和阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维。
因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理，前面诸专题对存在性探究问题型进行了命题，后面将有专题对规律探究型问题进行命题。
本专题原创编写新定义和阅读理解型问题模拟题。
1.阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：ab＞0 ；b定义运算“※”为： a※ b 求1※ 2 的值 .ab＜0 .b1小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1， b=-2 ，又 b＜ 0，所以 1※（ -2 ）= 2 ．请你参考小明的解题思路，回答下列问题：（ 1）计算： 2※ 3= ；5（ 2）若 5※ m=6，则 m= ．（ 3）函数 y=2※ x（x≠0）的图象大致是（）y y y y2【答案】解：（） 3O xOx O xO 1 x （ 2）± 6（ 3） D【解析】考点：规律探索应用，反比例函数的图像2.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题（ 2）在 Rt△ ABC中，∠ ACB=90°， AB=c， AC=b， BC=a，且 b>a，若 Rt △ ABC是奇异三角形，求? a： b：c；（ 3）如图， AB 是⊙ O的直径， C 是⊙ O 上一点（不与点 A， B 重合）， D 是半圆ADB的中点， C， D 在直径AB的两侧，若在⊙ O内存在点 E，使 AE=AD， CB=CE．①求证：△ ACE是奇异三角形；②当△ ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．【答案】（1）真命题．（ 2） a： b： c=1：2：3．（3）①见解析②60°或120°．【解析】2： 1 ．然后分两种情况讨论 .试题解析：解：（ 1）真命题．（ 2 分）（ 3）在 Rt ABC中， a2+b2=c2，①证明：∵ AB 是⊙ O的直径，∴∠ ACB=∠ ADB=90°，在 Rt2 2 2 ACB中， AC+BC=AB；在 Rt2 2 2 ADB中， AD+BD=AB．∵ D 是半圆ADB的中点，∴AD BD ，∴ AD=BD，（ 6 分），2 2 2 2（ 7 分）∴ AB =AD+BD=2AD，2 2 2又∵ CB=CE． AE=AD，∴ AC+ CE=2AE．∴ ACE是奇异三角形．（ 8 分）考点： 1. 命题； 2. 勾股定理； 3. 圆周角定理及推论；4. 直角三角形的性质 .3. 阅读理解：对于任意正实数a 、 ，∵ ( a－ b ) 2 ≥ 0，∴a － 2 ab ＋ ≥ 0，∴ ＋ ≥ 2 ab ，只有当abb a b＝ b 时，等号成 立 .结论：在 a ＋ b ≥2 ab（ a 、b 均为正实数）中，若ab 为定值 p ，则 a+b ≥2p，只有当 a ＝ b 时， a ＋ b 有最小值 2 p.根据上述内容，回答下列问题：（ 1）若 m ＞ 0，只有当 m ＝时， m ＋ m 有最小值；若 ＞ 0，只有当 ＝时， 2 ＋ m 有最小值.m mm1（ 2）如图，已知直线 L 1： y ＝ 2 x ＋ 1 与 x 轴交于点 A ，过点 A 的另一直 线 L 2 与双曲线 y ＝ x（ x >0）相交于点 B （2， m ），求直线 L 2 的解析式 .（ 3）在（ 2）的条件下，若点C 为双曲线上任意一点，作∥y 轴交直线L1 于点 ，试CDD求当线段最短时，点 、 、 、 D 围成的四边形面积 .CD A B Cm18【答案】（1）当m m有最小值为 2；当m 2时，2m1时，m有最小值为 8（ 2）yx2（ 3） 23∴A（ -2 ，0）y 8(x 0)又点 B（ 2， m）在x 上，∴ m4, B(2, 4)设直线L2的解析式为：y kx b ，则有，解得：2k b0 2k b 4k 1b 2∴直线L2的解析式为：y x 2；1 6 4 1(5 6) 22 2 12 11234.如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”。
题库-新定义与阅读理解题
新定义与阅读理解题类型一 新法则、运算学习型1.我们规定：若(,),(,),m a b n c d ==则.m n ac bd =+如(1,2),(3,5),m n ==则13+25=13.m n =⨯⨯(1)已知(2,4),(2,-3),m n ==求m n ；(2)已知(,1),(,1)m x a n x a x =-=-+求,y m n =问,y m n =的函数图象与一次函数1y x =-的图象是否相交，请说明理由.解：(1)22+4(3)=8;m n =⨯⨯--(2)不相交，理由如下：2()(1)m n x a x =-++=22(21)1x a x a --++，∴22(21)1y x a x a =--++,与一次函数y=x-1联立得：22(21)11,x a x a x --++=-化简得22220,x ax a -++=∵2224(2)4(2)80,b ac a a -=--+=-<∴方程无实数解，两函数图象无交点.2.对x ，y 定义一种新运算 T ，规定：T (x,y )＝2ax by x y++(其中a 、b 均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，；例如T （0,1）=01201a b b ⨯+⨯=⨯+.已知T (1,-1) =-2,T (4,2)=1． (1)求a,b 的值；(2)若T (m ,m +3) =-1，求m 的值.解：(1)(1,1)2,21a b T --==--即a -b =-2 ,T (4,2)=42182a b +=+,即2a +b =5 ,解得a=1,b=3;(2)根据题意得3(3)12(3)m mm m++=-++，解得127m=-，经检验，127m=-是方程的解.3.定义新运算：（a，b）⊗（c，d）=（ac，b d），（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d）（a，b）*（c，d）=a2+c2-b d .（1）求（1，2）*（3，-4）的值；（2）已知（1，2）⊗（p，q）=（2，-4），分别求出p与q的值；（3）在（2）的条件下，求（1，2）⊕（p，q）的结果；（4）已知x2+2xy+y2=5，x2-2xy+y2=1，求（x，5）*（y，xy）的值．解：(1)∵（a，b）*（c，d）=a2+c2-bd，∴（1，2）*（3，-4）=12+32-2×（-4） =1+9+8 =18；(2)∵（a，b）⊗（c，d）=（ac，bd），∴（1，2）⊗（p，q）=（p，2q），∵（1，2）⊗（p，q）=（2，-4），∴p=2，2q=-4，∴q=-2；(3)∵q=-2，p=2，（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），∴（1，2）⊕（p，q） =（1，2）⊕（2，-2） =（3，0）；(4)∵x2+2xy+y2=5，x2-2xy+y2=1，∴x2+y2=3，xy=1，∵（a，b）*（c，d）=a2+c2-bd，∴（x，5）*（y，xy） =x2+y2-5xy =3-5 =-2．4. 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad ).如图①，在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sad A ,这时sad A =BC AB=底边腰,容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解答下列问题:(1)sad 60°= ___________,sad 90°=____________;(2)如图②，已知sin A =35,其中∠A 为锐角，试求sad A 的值.第4题图解：(1)1，2；(2)∵sin A =35,BC ⊥AC,∴设AB =5a ,BC =3a ，则AC =4a ，如解图，在AB 上取AD =AC =4a ,作DE ⊥AC 于点E ，则DE =AD ·sin A =4a ·35=125a ,AE =AD ·cos a =4a ·45=165a，CE =4a 165-a =45a ，CD =2222412410()()555a a CE DE a +=+=，∴sad A =105CD AC =.第4题解图类型二 新概念学习型1.观察下表我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为4x +y ，回答下列问题：(1)第3格的“特征多项式”为_________,第4格的“特征多项式”为_________,第n 格的“特征多项式”为_________;(2)若第1格中的“特征多项式”的值为-10，第2格的“特征多项式”的值为-16. ①求x ,y 的值；②在①的条件下，第n 格的“特征多项式”是否有最小值？若有，求出最小值和相应的n 值，若没有，请说明理由.解：(1)16x +9y ,25x +16y ,(n +1)2x +n 2y ;(2)①依题意得4109416x y x y +=-⎧⎨+=-⎩， 解得247267x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ②有，理由如下：设最小值为W ，依题意得：22222426(1)(1)77W n x n y n n =++=-++ 224824777n n =-- 22312(12)77n =--， ∴有最小值3127-，相应的n 值为12.2.已知抛物线21111y a x b x c =++，22222y a x b x c =++，且满足111222(0,1)a b c k k a b c ===≠，则抛物线12,y y 互为“友好抛物线”. (1)若y 2有最大值8，则y 1也有最大值，这样的说法对吗，为什么？(2)结合二次函数的特点和你对“友好抛物线”的理解，写出至少2条结论.解：(1)不对.理由如下： 如果y 2的最值是m ,则y 1的最值是221112221244844a c b a c b k k a a --==, 当k>0时,y 1有最大值为8k ;当k<0时,y 1有最小值为8k .(2)①当a 1与a 2符号相反时其开口方向相反,当12a a ≠时,两抛物线开口大小不同,②y 1与y 2的对称轴相同; ③如果1y 与x 轴有2个不同的交点，则y 2与x 轴也有两个不同的交点.（写出2条合理结论即可）3.如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”.已知点A 、B 、C 、D 分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y =x 2-2x -3，AB 为半圆的直径，求这个“果圆”被y 轴截得的弦CD 的长.第3题图解：如解图，连接AC ，BC ，第3题解图∵抛物线的解析式为y=x2-2x-3，∴点D的坐标为（0，-3），∴OD=3，设y=0，则0=x2-2x-3，解得：x=-1或x=3，∴A（-1，0），B（3，0）∴AO=1，BO=3，∵AB为半圆的直径，∴∠ACB=90°，∵CO⊥AB，∴CO2=AO•BO=3，∴CO=3，∴CD=CO+OD=3+3.4.定义：如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”，这条中线为“匀称中线”.（1）请根据定义判断下列命题的真假；（请在真命题后的括号内打“√”，假命题后的括号内打“×”）①等腰直角三角形一定不存在匀称中线. ( )②如果直角三角形是匀称三角形，那么匀称中线一定是较长直角边上的中线. （2）已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC>BC,若△ABC是“匀称三角形”，求BC:AC:AB的值；（3）拓展应用：如图②，△ABC是O的内接三角形，AB>AC,∠BAC=45°，将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，点B的对应点为D，连接CD交O于M，连接AM.①请根据题意用实线在图②中补全图形；②若△ADC是“匀称三角形”，求tan∠AMC的值.第4题图解：(1)①√；②√.(2)∵∠C=90°，AC>BC,如解图①，由（1）可知△ABC的匀称中线是AC边上的中线，设D为AC的中点，则BD为匀称中线.设AC=2a，则CD=a，BD=2a.∵∠C=90°，∴BC=3a，∴AB=22a a a+=，(2)(3)7∴BC:AC:AB=3:2:7;第4题解图①(3)①根据题意补全图形如解图②；第4题解图②②∵△ABC 绕点A 逆时针旋转45°得到△ADE ，∴∠DAE =∠BAC =45°，AD =AB ,∴∠DAC =90°，AD>AC ,∵△ADC 是匀称三角形，∴AD ：AC =2:3，即AB :AC =2:3,如解图③，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，第4题解图③则∠AHC =∠BHC =90°，设AC =3k ，则AH =CH =26322kk =，AB=2k , ∴BH =646222k k k --=， ∴tan B =632625462k CH BH k +==-, 在O 中，由∠AMC =∠B 得tan ∠AMC =tan B=3265+. 类型三 新解题方法型 1.如果我们要计算231222++++++99100…22的值，我们可以用如下的方法：解：设231222++S =++++99100…22，①等式两边同乘以2，则有：231012222+++2S =+++99100…22，②②-①得，101221,S S -=-即231011222++21++++=-99100…22.【理解运用】计算：(1)231333++++++99100…33；(2)2313333+-+-+-99100…3.解：(1)设231333++S =++++99100…33，①等式两边同乘以3，得：231013333+++3S =+++99100…33，②②-①得，101231,S =- 即101312S -=, 则原式=101312-. (2)设2313333+S =-+-+-99100…3，①等式两边同乘以3，得：23433333S =-+-+100101…-3+3,②②+①得，101431,S =+ 即101314S +=, 则原式=101314+. 2. 阅读材料：已知方程210a a +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍. 解：设所求方程的根为x ，则x =2a , ∴2xa =， 把2x a =代入210a a +-=，得2()()1022x x +-=，化简得2240x x +-=，所以所求方程为2240x x +-=.这种代换法求新方程的方法，我们称为“换根法”.根据以上阅读材料，解决下列问题：（1）已知方程220a a +-=，求关于m 的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为___________;（2）已知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.解：(1)220m m --=；【解法提示】设所求方程的根为m ，则m =-a ,∴a =-m ,把a =-m 代入220a a --=中，得2()20m m ---=，所以所求方程为220m m --=；(2)设所求方程的根为n ，则1(0)n x x=≠， 所以1(0)x n n =≠， 把1x n =代入2ax bx c ++=0中， 得211()()a b c n n++=0， 化简得：20cn bn a ++=，当c =0时，20ax bx +=，方程20ax bx +=有一个根为0（0没有倒数，舍去），所以c ≠0，∴所求方程为20(0)cn bn a c ++=≠.3. 在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13，求这个三角形的面积. 小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图 所示，这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积.第3题图(1)△ABC 的面积等于___________;思维拓展：(2)我们把上述求△ABC 面积的方法叫做构图法，若△ABC 三边的长分别为5217(0)a a a a >、2、，请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的△ABC ，并求出它的面积；探索创新(3)若△ABC 三边的长分别为2216m n +、2294m n +、2244m n +（0,0,m n >>且m n =），试运用构图法求出这个三角形的面积. 解：（1）72；(2)画图如解图①：第3题解图①21112422243222ABC S a a a a a a a a a =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=；(3)构造△ABC 如解图②所示，第3题解图11134432225222ABC S m n m n m n m n mn =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=. 4. 阅读下列材料：已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦（HerOn,约公元50年）解决了这个问题，在他的著作《度量》一书中给出了计算公式------海伦公式：()()()S p p a p b p c =---（其中A ,B ,C 是三角形的三边长，2a b c p ++=，S 为三角形的面积），并给出了证明.例如：在△ABC 中，a =3,b =4,c =5,那么它的面积可以这样计算：∵a =3,b =4,c =5, ∴62a b c p ++==， ∴()()()63216S p p a p b p c =---=⨯⨯⨯=.事实上，对于已知任意三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决.根据上述材料，解答下列问题：如图，△ABC 中，BC =5，AC =6，AB =9.(1)用海伦公式求△ABC 的面积；(2)求△ABC 得内切圆半径r .第4题图解：(1)∵BC =5，AC =6，AB =9, ∴(569)102p ++==， ∴10(105)(106)(109)102S =⨯---=；(2)如解图，连接AO ,BO ,CO ,第4题解图∵ABC AOB BOC AOC S S S S =++, ∴111102956222r r r =⨯+⨯+⨯， 即956()102222r ++=， ∴10102r =， 解得2r =，∴△ABC 的内切圆半径为2.。
专题6 新定义与阅读理解型问题
专题6新定义与阅读理解型问题一、选择题1．(2019·柳州)定义：形如a＋bi的数称为复数(其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2＝－1)，a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如(1＋3i)2＝12＋2×1×3i＋(3i)2＝1＋6i＋9i2＝1＋6i－9＝－8＋6i，因此，(1＋3i)2的实部是－8，虚部是6.已知复数(3－mi)2的虚部是12，则实部是( )A．－6 B．6 C．5 D．－52．(2019·百色)阅读理解：已知两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN的中点K(x，y)的坐标公式为：x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.如图，已知点O为坐标原点，点A(－3，0)，⊙O经过点A，点B为弦P A的中点．若点P(a，b)，则有a，b 满足等式：a2＋b2＝9.设B(m，n)，则m，n满足的等式是( )A.m2＋n2＝9B．(m－32)2＋(n2)2＝9C．(2m＋3)2＋(2n)2＝3D．(2m＋3)2＋4n2＝93．(2019·随州)“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：2＋32－3＝（2＋3）（2＋3）（2－3）（2＋3）＝7＋4 3 ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于3＋ 5 －3－ 5 ，设x＝3＋ 5 －3－ 5 ，易知3＋ 5 ＞3－ 5 ，故x＞0，由x2＝(3＋ 5 －3－ 5 )2＝3＋ 5 ＋3－ 5 －2（3＋5）（3－5）＝2，解得x＝ 2 ，即3＋ 5 －3－ 5 ＝ 2 .根据以上方法，化简3－23＋2＋6－3 3 －6＋3 3 后的结果为( )A．5＋3 6 B．5＋ 6C．5－ 6 D．5－3 6二、填空题4．定义：a*b＝ab，则方程2*(x＋3)＝1*(2x)的解为____．5．已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[－0.8]＝－1.现定义：{x}＝x－[x]，例：{1.5}＝1.5－[1.5]＝0.5，则{3.9}＋{－1.8}－{1}＝____．6．(2019·贵港)我们定义一种新函数：形如y＝|ax2＋bx＋c|(a≠0，且b2－4a＞0)的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2－2x－3|的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为(－1，0)，(3，0)和(0，3)；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当－1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝－1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4.其中正确结论的个数是____．三、解答题7．(2019·黔东南州)某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}＝1＋2＋93＝4，min{1，2，－3}＝－3，min(3，1，1}＝1.请结合上述材料，解决下列问题：(1)①M{(－2)2，22，－22}＝________，②min{sin 30°，cos 60°，tan 45°}＝________；(2)若min(3－2x，1＋3x，－5}＝－5，则x的取值范围为________；(3)若M{－2x，x2，3}＝2，求x的值；(4)如果M{2，1＋x，2x}＝min{2，1＋x，2x}，求x的值．8．(2019·荆州)若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的顶点在一次函数y＝kx＋t(k≠0)的图象上，则称y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)为y＝kx＋t(k≠0)的伴随函数，如：y ＝x2＋1是y＝x＋1的伴随函数．(1)若y＝x2－4是y＝－x＋p的伴随函数，求直线y＝－x＋p与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若函数y＝mx－3(m≠0)的伴随函数y＝x2＋2x ＋n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．9．(2019·镇江)【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈(如图1中的⊙O).人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺(古人称它为“复矩”)，尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．【实际应用】观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°.PQ 是⊙O的直径，PQ⊥ON.(1)求∠POB的度数；(2)已知OP＝6400 km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上AB的长．(π取3.1)专题6新定义与阅读理解型问题一、选择题1．(2019·柳州)定义：形如a＋bi的数称为复数(其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2＝－1)，a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如(1＋3i)2＝12＋2×1×3i＋(3i)2＝1＋6i＋9i2＝1＋6i－9＝－8＋6i，因此，(1＋3i)2的实部是－8，虚部是6.已知复数(3－mi)2的虚部是12，则实部是( C )A．－6 B．6 C．5 D．－52．(2019·百色)阅读理解：已知两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则线段MN的中点K(x，y)的坐标公式为：x＝x1＋x22，y＝y1＋y22.如图，已知点O为坐标原点，点A(－3，0)，⊙O经过点A，点B为弦P A的中点．若点P(a，b)，则有a，b 满足等式：a2＋b2＝9.设B(m，n)，则m，n满足的等式是( D )A.m2＋n2＝9B．(m－32)2＋(n2)2＝9C．(2m＋3)2＋(2n)2＝3D．(2m＋3)2＋4n2＝93．(2019·随州)“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：2＋32－3＝（2＋3）（2＋3）（2－3）（2＋3）＝7＋4 3 ，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于3＋ 5 －3－ 5 ，设x＝3＋ 5 －3－ 5 ，易知3＋ 5 ＞3－ 5 ，故x＞0，由x2＝(3＋ 5 －3－ 5 )2＝3＋ 5 ＋3－ 5 －2（3＋5）（3－5）＝2，解得x＝ 2 ，即3＋ 5 －3－ 5 ＝ 2 .根据以上方法，化简3－23＋2＋6－3 3 －6＋3 3 后的结果为( D )A．5＋3 6 B．5＋ 6C．5－ 6 D．5－3 6二、填空题4．定义：a*b＝ab，则方程2*(x＋3)＝1*(2x)的解为__x＝1__．5．已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[－0.8]＝－1.现定义：{x}＝x－[x]，例：{1.5}＝1.5－[1.5]＝0.5，则{3.9}＋{－1.8}－{1}＝__1.1__．6．(2019·贵港)我们定义一种新函数：形如y＝|ax2＋bx＋c|(a≠0，且b2－4a＞0)的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2－2x－3|的图象(如图所示)，并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为(－1，0)，(3，0)和(0，3)；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当－1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝－1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4.其中正确结论的个数是__4__．三、解答题7．(2019·黔东南州)某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数，例如M{1，2，9}＝1＋2＋93＝4，min{1，2，－3}＝－3，min(3，1，1}＝1.请结合上述材料，解决下列问题：(1)①M{(－2)2，22，－22}＝________，②min{sin 30°，cos 60°，tan 45°}＝________；(2)若min(3－2x，1＋3x，－5}＝－5，则x的取值范围为________；(3)若M{－2x，x2，3}＝2，求x的值；(4)如果M{2，1＋x，2x}＝min{2，1＋x，2x}，求x的值．解：(1)①M{(－2)2，22，－22}＝43，②min{sin 30°，cos 60°，tan 45°}＝12； (2)∵min (3－2x ，1＋3x ，－5}＝－5，∴⎩⎨⎧3－2x≥－5，1＋3x≥－5，解得－2≤x ≤4； (3)∵M {－2x ，x 2，3}＝2，∴－2x ＋x 2＋33＝2，解得x ＝－1或3；(4)∵M {2，1＋x ，2x }＝min {2，1＋x ，2x }，又∵2＋1＋x ＋2x 3 ＝x ＋1，∴⎩⎨⎧x ＋1≤2，x ＋1≤2x ，解得1≤x ≤1，∴x ＝1.8．(2019·荆州)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的顶点在一次函数y ＝kx ＋t (k ≠0)的图象上，则称y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)为y ＝kx ＋t (k ≠0)的伴随函数，如：y ＝x 2＋1是y ＝x ＋1的伴随函数．(1)若y ＝x 2－4是y ＝－x ＋p 的伴随函数，求直线y ＝－x ＋p 与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若函数y＝mx－3(m≠0)的伴随函数y＝x2＋2x ＋n与x轴两个交点间的距离为4，求m，n的值．解：(1)∵y＝x2－4，∴其顶点坐标为(0，－4)，∵y＝x2－4是y＝－x＋p的伴随函数，∴(0，－4)在一次函数y＝－x＋p的图象上，∴－4＝0＋p.∴p＝－4，∴一次函数为：y＝－x－4，∴一次函数与坐标轴的交点分别为(0，－4)，(－4，0)，∴直线y＝－x＋p与两坐标轴围成的三角形的面积为：12×4×4＝8；(2)设函数y＝x2＋2x＋n与x轴两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2，x1x2＝n，∴|x1－x2|＝（x1x＋x2）2－4x1x2＝4－4n ，∵函数y＝x2＋2x＋n与x轴两个交点间的距离为4，∴4－4n ＝4，解得，n＝－3，∴函数y＝x2＋2x＋n为：y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，∴其顶点坐标为(－1，－4)，∵y＝x2＋2x＋n是y＝mx－3(m≠0)的伴随函数，∴－4＝－m－3，∴m＝1.9．(2019·镇江)【材料阅读】地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈(如图1中的⊙O).人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺(古人称它为“复矩”)，尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．【实际应用】观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°.PQ 是⊙O的直径，PQ⊥ON.(1)求∠POB的度数；(2)已知OP＝6400 km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上AB的长．(π取3.1)解：(1)设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，如图所示：则∠DHC＝67°，∵∠HBD＋∠BHD＝∠BHD＋∠DHC＝90°，∴∠HBD＝∠DHC＝67°，∵ON∥BH，∴∠BEO＝∠HBD＝67°，∴∠BOE＝90°－67°＝23°，∵PQ⊥ON，∴∠POE＝90°，∴∠POB＝90°－23°＝67°；(2)同(1)可证∠POA＝31°，∴∠AOB＝∠POB－∠POA＝67°－31°＝36°，∴AB＝36×π×6400180＝3968(km).。
中考压轴题新定义和阅读理解型4
中考压轴题新定义和阅读理解型问题新定义和阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题．在新定义和阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维．因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理，前面诸专题对存在性探究问题型进行了命题，后面将有专题对规律探究型问题进行命题．本专题原创编写新定义和阅读理解型问题模拟题．原创模拟预测题1．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO=CO=12AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】D．考点：全等三角形的判定与性质；新定义；阅读型．原创模拟预测题2．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：43y kx=+与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】A ．考点：切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；新定义；动点型；综合题． 原创模拟预测题3．在平面直角坐标系中，任意两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），规定运算：①A ⊕B=（12x x +，12y y +）；②A ⊗B=1212x x y y +；③当12x x =且12y y =时，A=B ，有下列四个命题：（1）若A （1，2），B （2，﹣1），则A ⊕B=（3，1），A ⊗B=0；（2）若A ⊕B=B ⊕C ，则A=C ；（3）若A ⊗B=B ⊗C ，则A=C ；（4）对任意点A 、B 、C ，均有（A ⊕B ）⊕C=A ⊕（B ⊕C ）成立，其中正确命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C ．【解析】考点：命题与定理；点的坐标；新定义；阅读型．原创模拟预测题4．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）．学科网①方程220x x --=是倍根方程；②若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=； ③若点()p q ，在反比例函数2y x =的图像上，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程； ④若方程20ax bx c ++=是倍根方程，且相异两点(1)M t s +，，N(4)t s -，都在抛物线2y ax bx c =++上，则方程20ax bx c ++=的一个根为54． 【答案】②③．【解析】试题分析：研究一元二次方程20ax bx c ++=是倍根方程的一般性结论，设其中一根为t ，则另一个根为2t ，因此222()(2)32ax bx c a x t x t ax atx t a ++=--=-+，所以有2902b ac -=；我们记292K b ac =-，即0K =时，方程20ax bx c ++=为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：对于①， 29102K b ac =-=，因此本选项错误；对于②，2(2)20mx n m x n +--=，而29K (2)(2)02n m m n =---=，∴22450m mn n ++=，因此本选项正确；对于③，显然2pq =，而29K 302pq =-=，因此本选项正确；对于④，由(1)M t s +，，N(4)t s -，知145222b t t a ++--==，∴5b a =-，由倍根方程的结论知2902b ac -=，从而有509c a =，所以方程变为：250509ax ax a -+=，∴2945500x x -+=，∴1103x =，253x =，因此本选项错误． 故答案为：②③．考点：新定义；根与系数的关系；压轴题；阅读型．原创模拟预测题5．设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．（1）阅读填空如图①，已知矩形ABCD ，延长AD 到E ，使DE=DC ，以AE 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，则正方形DFGH 与矩形ABCD 等积． 理由：连接AH ，EH ．∵AE 为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．∵DH ⊥AE ，∴∠ADH=∠EDH=90°∴∠HAD+∠AHD=90°∴∠AHD=∠HED ，∴△ADH ∽ ． ∴DE DH DHAD =，即DH2=AD×DE ． 又∵DE=DC∴DH2= ，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．（2）操作实践平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD 等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．（3）解决问题三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 （填写图形名称），再转化为等积的正方形．如图③，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC 等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC 面积作图）．（4）拓展探究n 边形（n ＞3）的“化方”思路之一是：把n 边形转化为等积的n ﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD 的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD 等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD 面积作图）．【答案】（1）△HDE ，AD×DC ；（2）作图见试题解析；（3）矩形，作图见试题解析；（4）作图见试题解析． 【解析】试题分析：（1）根据相似三角形的判定方法，得到△ADH ∽△HDE ；根据等量代换，可得DH2=AD×DC ．（2）先把平行四边形ABCD 转化为等积的矩形ADMN ，然后再作正方形DFGH 与矩形ABMN 等积，所以正方形DFGH 与平行四边形ABCD 等积．[来源:Z §xx §]（3）先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC 转化为等积的矩形MBCD ；然后延长MD 到E ，使DE=DC ，以ME 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，则DH 即为与△ABC 等积的正方形的一条边．（4）先根据由AG ∥EH ，得到AG=2EH ，再由CF=2DF ，得到CF•EH=DF•AG ，由此得出S △CEF=S △ADF ，S △CDI=S △AEI ，所以S △BCE=S 四边形ABCD ，即△BCE 与四边形ABCD 等积．试题解析：（1）如图①，连接AH ，EH ，∵AE 为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°，∵DH ⊥AE ，∴∠ADH=∠EDH=90°，∴∠HAD+∠AHD=90°，∴∠AHD=∠HED ，∴△ADH∽△HDE ，∴DE DH DH AD ，即DH2=AD×DE ，又∵DE=DC ，∴DH2=AD×DC ，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积，故答案为：△HDE ，AD×DC ；（3）如图③，延长MD 到E ，使DE=DC ，连接MH ，EH ，∵矩形MDBC 的长等于△ABC 的底，矩形MDBC 的宽等于△ABC 的高的一半，∴矩形MDBC 的面积等于△ABC 的面积，∵ME 为直径，∴∠MHE=90°，∴∠HME+∠HEM=90°，∵DH ⊥ME ，∴∠MDH=∠EDH=90°，∴∠HMD+∠MHD=90°，∴∠MHD=∠HED ，∴△MDH ∽△HDE ，∴MDDH DHDE =，即DH2=MD×DE ，又∵DE=DC ，∴DH2=MD×DC ，∴DH 即为与△ABC 等积的正方形的一条边；（4）如图④，延长BA 、CD 交于点F ，作AG ⊥CF 于点G ，EH ⊥CF 于点H ，△BCE 与四边形ABCD 等积，理由如下：∵AG ∥EH ，∴12EH EF AG AF ==，∴AG=2EH ，又∵CF=2DF ，∴CF•EH=DF•AG，∴S△CEF=S△ADF，∴S△CDI=S△AEI，∴S△BCE=S四边形ABCD，即△BCE与四边形ABCD等积．考点：相似形综合题；阅读型；新定义；压轴题；操作型．原创模拟预测题6．阅读理解：如图①，如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”．将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE，CF为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B′为点B的对应点，点D′为点D的对应点，连接EB′，FD′相交于点O．简单应用：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是；（2）当图③中的∠BCD=120°时，∠AEB′= °；（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有个（包含四边形ABCD）．拓展提升：（4）当图③中的∠BCD=90°时，连接AB′，请探求∠AB′E的度数，并说明理由．【答案】（1）正方形；（2）80；（3）5；（4）45°．【解析】试题解析：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，∴AB≠AD，BC≠CD，∴平行四边形不一定为“完美筝形”；②∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD，AD=BC，∴AB≠AD，BC≠CD，∴矩形不一定为“完美筝形”；学科网③∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C≠90°，∠B=∠D≠90°，∴菱形不一定为“完美筝形”；④∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，∴正方形一定为“完美筝形”；∴在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是正方形；故答案为：正方形；（2）根据题意得：∠B′=∠B=90°，∴在四边形CBEB′中，∠BEB′+∠BCB′=180°，∵∠AEB′+∠BEB′=180°，∴∠AEB′=∠BCB′，∵∠BCE=∠ECF=∠FCD，∠BCD=120°，∴∠BCE=∠ECF=40°，∴∠AEB′=∠BCB′=40°+40°=80°；故答案为：80；（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有5个；理由如下；根据题意得：BE=B′E，BC=B′C，∠B=∠CB′E=90°，CD=CD′，FD=FD′，∠D=∠CD′F=90°，∴四边形EBCB′、四边形FDCD′是“完美筝形”；∵四边形ABCD是“完美筝形”，∴AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，∴CD′=CB′，∠CD′O=∠CB′O=90°，∴∠OD′E=∠OB′F=90°，∵四边形AECF为菱形，∴AE=AF，CE=CF，AE∥CF，AF∥CE，∴D′E=B′F，∠AEB′=∠CB′E=90°，∠AFD′=∠CD′F=90°，在△OED′和△OFB′中，∵∠OD′E=∠OB′F，∠EOD′=∠FOB′，D′E=B′F，∴△OED′≌△OFB′（AAS），∴OD′=OB′，OE=OF，∴四边形CD′OB′、四边形AEOF是“完美筝形”；∴包含四边形ABCD，对应图③中的“完美筝形”有5个；故答案为：5；（4）当图③中的∠BCD=90°时，如图所示：四边形ABCD是正方形，∴∠A=90°，∵∠EB′F=90°，∴∠A+∠EB′F=180°，∴A、E、B′、F四点共圆，∵AE=AF，∴AE AF，∴∠AB′E=∠AB′F=12∠EB′F=45°．考点：四边形综合题；新定义；阅读型；探究型；压轴题．原创模拟预测题7．知识迁移我们知道，函数)(00，02>>≠+-=n ,m a n )m x (a y 的图像是由二次函数2ax y =的图像向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位得到．类似地，函数)n m k (n m x k y 0，0，0>>≠+-=的图像是由反比例函数x k y =的图像向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位得到，其对称中心坐标为（m ，n ）．理解应用函数113+-=x y 的图像可以由函数x y 3=的图像向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到，其对称中心坐标为 ．灵活运用如图，在平面直角坐标系xOy 中，请根据所给的x y 4-=的图像画出函数224---=x y 的图像，并根据该图像指出，当x 在什么范围内变化时，y ≥1-？实际应用某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究．假设刚学完新知识时的记忆存留量为1．新知识学习后经过的时间为x ，发现该生的记忆存留量随x 变化的函数关系为441+=x y ；若在t x =（t ≥4）时进行一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习时间忽略不计），且复习后的记忆存量随x 变化的函数关系为a x y -=82．如果记忆存留量为21时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x 为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？【答案】（1）理解应用：1，1，（1，1）；（2）灵活应用：当﹣2≤x ＜2时；（3）实际应用：当x=12时，是他第二次复习的“最佳时机点”．【解析】试题分析：理解应用：由“知识迁移”得到双曲线的图象平移变换的规律：上加下减．由此得到答案：灵活应用：由平移规律作出图象；实际应用：先求出第一次复习的“最佳时机点”（4，1），然后带入y2，求出解析式，然后再求出第二次复习的“最佳时机点”．试题解析：理解应用：根据“知识迁移”易得，函数113+-=x y 的图象可由函数x y 3=的图象向右平移 1个单位，再向上平移 1个单位得到，其对称中心坐标为 （1，1）．故答案为：1，1，（1，1）；灵活应用：将x y 4-=的图象向右平移2个单位，然后再向下平移两个单位，即可得到函数224---=x y 的图象，其对称中心是（2，﹣2）．图象如图所示：由y=﹣1，得4212x --=--，解得x=﹣2．由图可知，当﹣2≤x ＜2时，y≥﹣1；[来源:]实际应用：当x=t 时，144y t =+，则由144y t =+=12，解得：t=4，即当t=4时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1，∴点（4，1）在函数a x y -=82的图象上，则814a =-，解得：a=﹣4，∴284y x =+，当284y x =+=12，解得：x=12，即当x=12时，是他第二次复习的“最佳时机点”．考点：反比例函数综合题；新定义；阅读型；综合题；压轴题．原创模拟预测题8．阅读与应用：阅读1：a 、b 为实数，且a ＞0，b ＞0，因为2)0a b ≥，所以20a ab b -≥从而2a b ab +≥（当a=b 时取等号）．阅读2：若函数m y x x =+；（m ＞0，x ＞0，m 为常数），由阅读1结论可知：2m x m x +≥所以当m x x =，即x m =时，函数m y x x =+的最小值为m阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x ，则另一边长为4x ，周长为2（4x x +），求当x= 时，周长的最小值为 ；问题2：已知函数11y x =+（1x >-）与函数22210y x x =++（1x >-），当x= 时，21y y 的最小值为 ；问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入=支出总费用÷学生人数）【答案】（1）2，8；（2）2，6；（3）700，24．试题解析：问题1：4x x =（0x >），解得x=2，x=2时，4x x +有最小值为24⨯=4．故当x=2时，周长的最小值为2×4=8；问题2：∵11y x =+（1x >-），22210y x x =++（1x >-），∴21y y =9(1)1x x +++，9(1)1x x +=+，解得x=2，x=2时，9(1)1x x +++有最小值为29=6； 问题3：设学校学生人数为x 人，则生均投入=24900100.01x x x ++=4900100.01x x ++=490000100.01()x x ++，490000x x =（0x >），解得x=700，x=700时，490000x x +有最小值为2490000，故当x=700时，生均投入的最小值为10+0.01×1400=24元．答：当学校学生人数为700时，该校每天生均投入最低，最低费用是24元．考点：二次函数的应用；阅读型；最值问题；压轴题．。
新定义型问题和阅读理解型问题.doc
新定义型问题
一、中考专题诠释
所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力
二、解题策略和解法精讲
“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．
三、中考考点
考点一：规律题型中的新定义
考点二：运算题型中的新定义
考点三：探索题型中的新定义
考点四：开放题型中的新定义
考点五：阅读材料题型中的新定义
阅读理解型问题
一、中考专题诠释
阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.
二、解题策略与解法精讲
解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.
三、中考考点
考点一：阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题
考点二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法
考点三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论
考点四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题。
阅读理解及新定义问题
例题1
阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于－1，记为i2＝－1，这个数i叫作虚数单
位，把形如a＋bi(a，b为实数)的数叫作复数，其中a叫作这个复数的实
部，b叫作这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、
乘法运算类似．
例如计算：(2－i)＋(5＋3i)＝(2＋5)＋(－1＋3)i＝7＋2i；
专题突破一
阅读理解及新定义型问题
阅读理解能力是初中数学课程的主要目标，是改变学生学习方式，
实现自主探索主动发展的基础．
阅读理解型问题，一般篇幅较长，涉及内容丰富，构思新颖别
致．这类问题，主要考查解题者的心理素质、自学能力和阅读理解能力，
考查解题者的观察分析能力、判辩是非能力、类比操作能力、抽象概括
点拨
解
解
x2＋x＋1 1 y＝ ＝ x ＋ ＋ 1 ≥ 2 x x
1 x· ＋ 1 ＝ 3 ， x
1 当 x＝ x，即 x＝1 时，y 的最小值为 3.
(2)问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家 庭的交通工具，假设某种小轿车的购车费用为10万元，每年应缴保险
n ＋n 费等各类费用共计0.4万元，n年的保养、维护费用总和为 万 10
由 “ 等宽曲线 ” 的定义知 AB ＝ BC ＝ AC ＝ 2cm ，即可得
∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，再根据弧长公式计算．
解 如图 3，由题意知：AB＝BC＝AC＝2cm， ∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60° ， ∴ AB 在以点 C 为圆心，2cm 为半径的圆上， 60·π·2 2π ∴ AB 的长＝ 180 ＝ 3 ， 2π ∴莱洛三角形的周长为 3 ×3＝2π(cm)． 故答案为：2π.
专题16 新定义和阅读理解型问题-决胜中考数学压轴题全揭秘精品(学生版)九年级数学中考复习训练讲义
《中考压轴题全揭秘》专题16 新定义和阅读理解型问题一、单选题1．已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）给出求其面积的海伦公式S=，其中p=；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是（）A． B． C． D．2．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距5的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处．现有20×20的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（）A．13 B．14 C．15 D．163．对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a．例如：min={2，﹣1}=﹣1，若关于x的函数y=min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为（）A．23B．1 C．43D．534．已知点A在函数11yx=-（x＞0）的图象上，点B在直线y2=kx+1+k（k为常数，且k≥0）上．若A，B 两点关于原点对称，则称点A，B为函数y1，y2图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（）A．有1对或2对B．只有1对C．只有2对D．有2对或3对5．根据如图所示的程序计算函数y 的值，若输入的x 值是4或7时，输出的y 值相等，则b 等于（ ）A ．9B ．7C ．﹣9D ．﹣7 6．已知:表示不超过的最大整数，例:，令关于的函数(是正整数)，例：=1，则下列结论错误．．的是（ ） A ． B ．C ．D ．或17．设a ，b 是实数，定义@的一种运算如下：()()22@a b a b a b =+--，则下列结论： ①若@0a b =，则a =0或b =0； ②()@@@a b c a b a c +=+；③不存在实数a ，b ，满足22@5a b a b =+；④设a ，b 是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当a =b 时，@a b 最大． 其中正确的是（ ）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③8．在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB 2+AC 2=2AO 2+2BO 2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE=4，EF=3，点P 在以DE 为直径的半圆上运动，则PF 2+PG 2的最小值为（ ）A ．B ．C ．34D ．109．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（）A．20 B．24 C． D．10．阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（）A． B． C． D．方程组的解为11．已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），请你在图中画出这个新图象，当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）A．﹣＜m＜3 B．﹣＜m＜2 C．﹣2＜m＜3 D．﹣6＜m＜﹣212．如图，一段抛物线y=﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D1；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），设x1，x2，x3均为正数，t=x1+x2+x3，则t的取值范围是（）A．6＜t≤8 B．6≤t≤8 C．10＜t≤12 D．10≤t≤1213．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与x轴交于点B、D，若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是A． B． C． D．14．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）=3n+1；②当n为偶数时，F（n）=（其中k是使F（n）为奇数的正整数）……，两种运算交替重复进行，例如，取n=24，则：若n=13，则第2018次“F”运算的结果是（）A．1 B．4 C．2018 D．4201815．在求1+6+62+63+64+65+66+67+68+69的值时，小林发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的6倍，于是她设：S=1+6+62+63+64+65+66+67+68+69①然后在①式的两边都乘以6，得：6S=6+62+63+64+65+66+67+68+69+610②②﹣①得6S﹣S=610﹣1，即5S=610﹣1，所以S=，得出答案后，爱动脑筋的小林想：如果把“6”换成字母“a”（a≠0且a≠1），能否求出1+a+a2+a3+a4+…+a2014的值？你的答案是（）A． B． C． D．a2014﹣1二、填空题16．对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y=_____________.17．观察下列运算过程：S=1+3+32+33+…+32017+32018①，①×3得3S=3+32+33+…+32018+32019②，②﹣①得2S=32019﹣1，S=．运用上面计算方法计算：1+5+52+53+…+52018=____．18．对于任意实数a、b，定义：a◆b=a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5=0的两根记为m、n，则m2+n2= ．19．规定：，如：，若，则＝__.20．对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为_____．21．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为______．22．对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高．如图2，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置．如果该菱形的高是宽的，那么它的宽的值是_____．23．如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y 轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序实数对（a，b）为点P 的斜坐标，在某平面斜坐标系中，已知θ=60°，点M′的斜坐标为（3，2），点N与点M关于y轴对称，则点N的斜坐标为_____．24．对于任意实数a、b，定义一种运算：a※b=ab﹣a+b﹣2．例如，2※5=2×5﹣2+5﹣2=ll．请根据上述的定义解决问题：若不等式3※x＜2，则不等式的正整数解是_____．25．如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是_____；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_____．26．若为实数，则表示不大于的最大整数，例如，，等. 是大于的最小整数，对任意的实数都满足不等式. ①，利用这个不等式①，求出满足的所有解，其所有解为__________．27．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．28．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH 为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是_____（不包括5）．29．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1，若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，则S=_____．（结果保留根号）30．定义新运算：a※b=a2+b，例如3※2=32+2=11，已知4※x=20，则x=_____．31．设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径为6时，的值为__________.32．如图，若△ABC内一点P满足∠PAC=∠PCB=∠PBA，则称点P为△ABC的布罗卡尔点，三角形的布罗卡尔点是法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现，后来被数学爱好者法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字命名，布罗卡尔点的再次发现，引发了研究“三角形几何”的热潮．已知△ABC中，CA=CB，∠ACB=120°，P为△ABC的布罗卡尔点，若PA=，则PB+PC=_____．三、解答题33．综合与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．实践操作如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B′C和AD相交于点E，连接B′D．解决问题(1)在图1中，①B′D和AC的位置关系为；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是；(2)若图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC)，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；(3)小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为；拓展应用(4)在图2中，若∠B=30°，AB=4，当△AB′D恰好为直角三角形时，BC的长度为．34．如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究与之间关系的方法：∵sinA=，sinB=，∴c=，c=，∴=，根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC中，探究、、之间的关系，并写出探究过程．35．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．36．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．37．若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的AC的长；如图1，在四边形ABCD中，，对角线BD平分，求证：是比例三角形．如图2，在的条件下，当时，求的值．38．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．理解：（1）如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD 是以AC为“相似对角线”的四边形（保留画图痕迹，找出3个即可）；（2）如图2，在四边形ABCD中，∠ABC=80°，∠ADC=140°，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；（3）如图3，已知FH是四边形EFCH的“相似对角线”，∠EFH=∠HFG=30°，连接EG，若△EFG的面积为2，求FH的长．39．对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{﹣2，﹣1，0}=﹣1，max{﹣2，﹣1，0}=0，max{﹣2，﹣1，a}=解决问题：（1）填空：M{sin45°，cos60°，tan60°}=__________，如果max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，则x的取值范围为__________；（2）如果2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，求x的值；（3）如果M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}，求x的值．40．阅读短文，解决问题如果一个三角形和一个菱形满足条件：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”.如图1，菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”.如图2，在△ABC中，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，交AB、AC于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP，交BC于点F，过点F作FD//AC，FE//AB.(1)求证：四边形AEFD是△ABC的“亲密菱形”；(2)当AB=6，AC=12，∠BAC=45°时，求菱形AEFD的面积.41．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验(1)已知抛物线经过点(-1,0),则= ，顶点坐标为，该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线的表达式是 .抽象感悟我们定义：对于抛物线,以轴上的点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线 ,则我们又称抛物线为抛物线的“衍生抛物线”，点为“衍生中心”.(2)已知抛物线关于点的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求的取值范围.问题解决(3) 已知抛物线①若抛物线的衍生抛物线为,两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求的值及衍生中心的坐标；②若抛物线关于点的衍生抛物线为 ,其顶点为；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…；关于点的衍生抛物线为，其顶点为；…(为正整数).求的长(用含的式子表示).42．结果如此巧合！下面是小颖对一道题目的解答.题目：如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积.解：设的内切圆分别与、相切于点、，的长为.根据切线长定理，得，，.根据勾股定理，得.整理，得.所以.小颖发现恰好就是，即的面积等于与的积.这仅仅是巧合吗?请你帮她完成下面的探索.已知：的内切圆与相切于点，，.可以一般化吗？（1）若，求证：的面积等于.倒过来思考呢？（2）若，求证.改变一下条件……（3）若，用、表示的面积.43．我们定义:如果一个三角形一条边上的高等于这条边,那么这个三角形叫做“等高底”三角形,这条边叫做这个三角形的“等底”。
中考数学专题31新定义与阅读理解创新型问题(全国通用解析版)
新定义与阅读理解创新型问题一．选择题（共3小题）1．（2022•娄底）若10x＝N.则称x是以10为底N的对数．记作：x＝lgN．例如：102＝100.则2＝lg100.100＝1.则0＝lg1．对数运算满足：当M＞0.N＞0时.lgM+lgN＝lg（MN）．例如：lg3+lg5＝lg15.则（lg5）2+lg5×lg2+lg2的值为（）A．5B．2C．1D．0【分析】首先根据定义运算提取公因式.然后利用定义运算计算即可求解．【解析】原式＝lg5（lg5+lg2）+lg2＝lg5×lg（5×2）+lg2＝lg5lg10+lg2＝lg5+lg2＝lg10＝1．故选：C．2．（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号.加括号后仍只有减法运算.然后按给出的运算顺序重新运算.称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z ﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n.x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n.…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”.使其运算结果与原多项式相等.②不存在任何“加算操作”.使其运算结果与原多项式之和为0.③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据“加算操作”的定义可知.当只给x﹣y加括号时.和原式相等.因为不改变x.y的运算符号.故不存在任何“加算操作”.使其运算结果与原多项式之和为0在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中.可通过加括号改变z.m.n的符号.因为z.m.n中只有加减两种运算.求出即可．【解析】①（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n.与原式相等.故①正确.②∵在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中.可通过加括号改变z.m.n的符号.无法改变x.y的符号.故不存在任何“加算操作”.使其运算结果与原多项式之和为0.故②正确.③在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中.可通过加括号改变z.m.n的符号.加括号后只有加减两种运算.∴2×2×2＝8种.所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果．故选：D．3．（2022•常德）我们发现：＝3.＝3.＝3.….＝3.一般地.对于正整数a.b.如果满足＝a时.称（a.b）为一组完美方根数对．如上面（3.6）是一组完美方根数对.则下面4个结论：①（4.12）是完美方根数对.②（9.91）是完美方根数对.③若（a.380）是完美方根数对.则a＝20.④若（x.y）是完美方根数对.则点P（x.y）在抛物线y＝x2﹣x上.其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】将（4.12）.（9.91）代入验证即可判断①②.将（a.380）代入公式.建立方程可得出结论.若（x.y）是完美方根数对.则满足给出公式.化简可得出结论．【解析】将（4.12）代入＝4.＝4.＝4.….∴（4.12）是完美方根数对.故①正确.将（9.91）代入＝10≠9.＝.∴（9.91）不是完美方根数对.故②错误.③∵（a.380）是完美方根数对.∴将（a.380）代入公式.＝a.＝a.解得a＝20或a＝﹣19（舍去）.故③正确.④若（x.y）是完美方根数对.则＝x.＝x.整理得y＝x2﹣x.∴点P（x.y）在抛物线y＝x2﹣x上.故④正确.故选：C．二．填空题（共1小题）4．（2022•内江）对于非零实数a.b.规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1.则x 的值为．【分析】利用新规定对计算的式子变形.解分式方程即可求得结论．【解析】由题意得：＝1.解得：x＝．经检验.x＝是原方程的根.∴x＝．故答案为：．三．解答题（共23小题）5．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y ＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标.（2）若a＞0.过x轴上一点P.作x轴的垂线分别交抛物线C1.C2于点M.N．①当MN＝6a时.求点P的坐标.②当a﹣4≤x≤a﹣2时.C2的最大值与最小值的差为2a.求a的值．【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出C2的解析式.再将该解析式化成顶点式.可得出C2的顶点坐标.（2）①设点P的横坐标为m.则可表达点M和点N的坐标.根据两点间距离公式可表达MN的长.列出方程.可求出点P的坐标.②分情况讨论.当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时.当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时.当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时.分别得出C2的最大值和最小值.进而列出方程.可求出a的值．【解析】（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y＝ax2+4ax+4a ﹣3.∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3.∴C2的顶点坐标为（﹣2.﹣3）.（2）①设点P的横坐标为m.∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1.C2于点M.N.∴M（m.4am2+am+4a﹣3）.N（m.am2+4am+4a﹣3）.∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|.∵MN＝6a.∴|3am2﹣3am|＝6a.解得m＝﹣1或m＝2.∴P（﹣1.0）或（2.0）．②∵C2的解析式为：y＝a（x+2）2﹣3.∴当x＝﹣2时.y＝﹣3.当x＝a﹣4时.y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3.当x＝a﹣2时.y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3.根据题意可知.需要分三种情况讨论.Ⅰ、当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时.0＜a≤2.且当0＜a≤1时.函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3.函数的最小值为﹣3.∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a.解得a＝2﹣或a＝2+（舍）.当1≤a≤2时.函数的最大值为a3﹣3.函数的最小值为﹣3.∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a.解得a＝或a＝﹣（舍）.Ⅱ、当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时.a≥2.函数的最大值为a3﹣3.函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3.∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a.解得a＝（舍）.Ⅲ、当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时.a≤0.不符合题意.舍去.综上.a的值为2﹣或．6．（2022•长沙）若关于x的函数y.当t﹣≤x≤t+时.函数y的最大值为M.最小值为N.令函数h＝.我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．（1）①若函数y＝4044x.当t＝1时.求函数y的“共同体函数”h的值.②若函数y＝kx+b（k≠0.k.b为常数）.求函数y的“共同体函数”h的解析式.（2）若函数y＝（x≥1）.求函数y的“共同体函数”h的最大值.（3）若函数y＝﹣x2+4x+k.是否存在实数k.使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在.求出k的值.若不存在.请说明理由．【分析】（1）①由题意求出M＝6066.N＝2022.再由定义可求h的值.②分两种情况讨论：②当k＞0时.M＝kt+k+b.N＝kt﹣k+b.h＝k.当k＜0时.M＝kt﹣k+b.有N＝kt+k+b.h＝﹣k.（2）由题意t﹣≥1.M＝.N＝.则h＝.所以h有最大值.（3）分四种情况讨论：①当2≤t﹣时.M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k.N＝﹣（t+﹣2）2+4+k.h＝t﹣2.②当t+≤2时.N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k.M＝﹣（t+﹣2）2+4+k.h＝2﹣t..③当t﹣≤2≤t.即2≤t≤.N＝﹣（t+﹣2）2+4+k.M＝4+k.h ＝（t﹣）2.④当t＜2≤t+.N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k.M＝4+k.h＝（t﹣）2.画出h的函数图象.结合图象可得＝4+k.解得k＝﹣．【解析】（1）①∵t＝1.∴≤x≤.∵函数y＝4044x.∴函数的最大值M＝6066.函数的最小值N＝2022.∴h＝2022.②当k＞0时.函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt+k+b.有最小值N ＝kt﹣k+b.∴h＝k.当k＜0时.函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt﹣k+b.有最小值N ＝kt+k+b.∴h＝﹣k.综上所述：h＝|k|.（2）t﹣≥1.即t≥.函数y＝（x≥1）最大值M＝.最小值N＝.∴h＝.当t＝时.h有最大值.（3）存在实数k.使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值.理由如下：∵y＝﹣x2+4x+k＝﹣（x﹣2）2+4+k.∴函数的对称轴为直线x＝2.y的最大值为4+k.①当2≤t﹣时.即t≥.此时M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k.N＝﹣（t+﹣2）2+4+k.∴h＝t﹣2.此时h的最小值为.②当t+≤2时.即t≤.此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k.M＝﹣（t+﹣2）2+4+k.∴h＝2﹣t.此时h的最小值为.③当t﹣≤2≤t.即2≤t≤.此时N＝﹣（t+﹣2）2+4+k.M＝4+k.∴h＝（t﹣）2.④当t＜2≤t+.即≤t＜2.此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k.M＝4+k.∴h＝（t﹣）2.h的函数图象如图所示：h的最小值为.由题意可得＝4+k.解得k＝﹣.综上所述：k的值为﹣．7．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N.若N能被它的各数位上的数字之和m整除.则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19.∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4.∴214不是“和倍数”．（1）判断357.441是否是“和倍数”？说明理由.（2）三位数A是12的“和倍数”.a.b.c分别是数A其中一个数位上的数字.且a＞b＞c．在a.b.c中任选两个组成两位数.其中最大的两位数记为F（A）.最小的两位数记为G（A）.若为整数.求出满足条件的所有数A．【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可.（2）设A＝（a+b+c＝12.a＞b＞c）.根据“和倍数”的定义表示F（A）和G（A）.代入中.根据为整数可解答．【解析】（1）∵357÷（3+5+7）＝357÷15＝23……12.∴357不是“和倍数”.∵441÷（4+4+1）＝441÷9＝49.∴441是9的“和倍数”.（2）设A＝（a+b+c＝12.a＞b＞c）.由题意得：F（A）＝.G（A）＝.∴＝＝＝.∵a+c＝12﹣b.为整数.∴＝＝＝＝7+（1﹣b）.∵1＜b＜9.∴b＝3.5.7.∴a+c＝9.7.5.①当b＝3.a+c＝9时.（舍）..则A＝732或372.②当b＝5.a+c＝7时..则A＝156或516.③当b＝7.a+c＝5时.此种情况没有符合的值.综上.满足条件的所有数A为：732或372或156或516．8．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素.展现了我国古代数学的文化魅力.其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统.有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021.表示ICME﹣14的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是2022.（2）小华设计了一个n进制数143.换算成十进制数是120.求n的值．（1）根据已知.从个位数字起.将八进制的每一位数分别乘以80.81.82.83.【分析】再把所得结果相加即可得解.（2）根据n进制数和十进制数的计算方法得到关于n的方程.解方程即可求解．【解析】（1）3746＝3×83+7×82+4×81+6×80＝1536+448+32+6＝2022．故八进制数字3746换算成十进制是2022．故答案为：2022.（2）依题意有：n2+4×n1+3×n0＝120.解得n1＝9.n2＝﹣13（舍去）．故n的值是9．9．（2022•盐城）【发现问题】小明在练习簿的横线上取点O为圆心.相邻横线的间距为半径画圆.然后半径依次增加一个间距画同心圆.描出了同心圆与横线的一些交点.如图1所示.他发现这些点的位置有一定的规律．【提出问题】小明通过观察.提出猜想：按此步骤继续画圆描点.所描的点都在某二次函数图象上．【分析问题】小明利用已学知识和经验.以圆心O为原点.过点O的横线所在直线为x轴.过点O且垂直于横线的直线为y轴.相邻横线的间距为一个单位长度.建立平面直角坐标系.如图2所示．当所描的点在半径为5的同心圆上时.其坐标为（﹣3.4）或（3.4）．【解决问题】请帮助小明验证他的猜想是否成立．【深度思考】小明继续思考：设点P（0.m）.m为正整数.以OP为直径画⊙M.是否存在所描的点在⊙M上．若存在.求m的值.若不存在.说明理由．【分析】【分析问题】根据题意可知：该点的纵坐标为4.利用勾股定理.即可求出该点的横坐标.进而可得出点的坐标.【解决问题】设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上.则该点的纵坐标为（n﹣1）.利用勾股定理可得出该点的坐标为（﹣.n﹣1）或（.n ﹣1）.结合点横、纵坐标间的关系.可得出该点在二次函数y＝x2﹣的图象上.进而可证出小明的猜想正确.【深度思考】设该点的坐标为（±.n﹣1）.结合⊙M的圆心坐标.利用勾股定理.即可用含n的代数式表示出m的值.再结合m.n均为正整数.即可得出m.n的值．【解答】【分析问题】解：根据题意.可知：所描的点在半径为5的同心圆上时.其纵坐标y＝5﹣1＝4.∵横坐标x＝±＝±3.∴点的坐标为（﹣3.4）或（3.4）．【解决问题】证明：设所描的点在半径为n（n为正整数）的同心圆上.则该点的纵坐标为（n﹣1）.∴该点的横坐标为±＝±.∴该点的坐标为（﹣.n﹣1）或（.n﹣1）．∵（±）2＝2n﹣1.n﹣1＝.∴该点在二次函数y＝（x2﹣1）＝x2﹣的图象上.∴小明的猜想正确．【深度思考】解：设该点的坐标为（±.n﹣1）.⊙M的圆心坐标为（0. m）.∴＝m.∴m＝＝＝＝n﹣1+2+．又∵m.n均为正整数.∴n﹣1＝1.∴m＝1+2+1＝4.∴存在所描的点在⊙M上.m的值为4．10．（2022•遂宁）在平面直角坐标系中.如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数.则称该点为“黎点”．例如（﹣1.1）.（2022.﹣2022）都是“黎点”．（1）求双曲线y＝上的“黎点”.（2）若抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”.当a＞1时.求c的取值范围．【分析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m.﹣m）.构建方程求解即可.（2）抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”.推出方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解.即ax2﹣6x+c＝0.Δ＝36﹣4ac＝0.可得结论．【解析】（1）设双曲线y＝上的“黎点”为（m.﹣m）.则有﹣m＝.∴m＝±3.经检验.m＝±3的分式方程的解.∴双曲线y＝上的“黎点”为（3.﹣3）或（﹣3.3）.（2）∵抛物线y＝ax2﹣7x+c（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”.∴方程ax2﹣7x+c＝﹣x有且只有一个解.即ax2﹣6x+c＝0.Δ＝36﹣4ac＝0.∴ac＝9.∴a＝.∵a＞1.∴0＜c＜9．11．（2022•兰州）在平面直角坐标系中.P（a.b）是第一象限内一点.给出如下定义：k1＝和k2＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．（1）求点P（6.2）的“倾斜系数”k的值.（2）①若点P（a.b）的“倾斜系数”k＝2.请写出a和b的数量关系.并说明理由.②若点P（a.b）的“倾斜系数”k＝2.且a+b＝3.求OP的长.（3）如图.边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动.P（a.b）是正方形ABCD上任意一点.且点P的“倾斜系数”k＜.请直接写出a的取值范围．【分析】（1）根据“倾斜系数”k的定义直接计算即可.（2）①根据“倾斜系数”k的的定义分情况得出结论即可.②根据“倾斜系数”k的的定义求出P点坐标.进而求出OP的值即可.（3）根据k的取值.分情况求出a的取值范围即可．【解析】（1）由题意知.k＝＝3.即点P（6.2）的“倾斜系数”k的值为3.（2）①∵点P（a.b）的“倾斜系数”k＝2.∴＝2或＝2.即a＝2b或b＝2a.∴a和b的数量关系为a＝2b或b＝2a.②由①知.a＝2b或b＝2a∵a+b＝3.∴或.∴OP＝＝.（3）由题意知.当P点与D点重合时.且k＝时.a有最小临界值.如下图：连接OD.延长DA交x轴于E.此时＝.则.解得a＝.当P点与B点重合时.且k＝时.a有最大临界值.如下图：连接OB.延长CB交x轴于F.此时＝.则＝.解得a＝3+.综上所述.若点P的“倾斜系数”k＜.则+1＜a＜3+．12．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中.已知点M（a.b）.N．对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度.再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度.得到点P′.点P′关于点N的对称点为Q.称点Q为点P的“对应点”．（1）如图.点M（1.1）.点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2.0）.点Q 为点P的“对应点”．①在图中画出点Q.②连接PQ.交线段ON于点T.求证：NT＝OM.（2）⊙O的半径为1.M是⊙O上一点.点N在线段OM上.且ON＝t（＜t＜1）.若P为⊙O外一点.点Q为点P的“对应点”.连接PQ．当点M在⊙O上运动时.直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）．【分析】（1）①根据定义.先求出P'的坐标.从而得出Q的位置.②连接PP'.利用三角形中位线定理得NT＝PP'.从而证明结论.（2）连接PO.并延长至S.使OP＝OS.延长SQ到T.使ST＝OM.由题意知.PP1∥OM.PP1＝OM.P1N＝NQ.利用三角形中位线定理得QT的长.从而求出SQ的长.在△PQS中.PS﹣QS＜PS+QS.则PS的最小值为PS﹣QS.PS的最大值为PS+QS.从而解决问题．【解析】（1）①由题意知.P'（﹣2+1.0+1）.∴P'（﹣1.1）.如图.点Q即为所求.②连接PP'.∵∠P'PO＝∠MOx＝45°.∴PP'∥ON.∵P'N＝QN.∴PT＝QT.∴NT＝PP'.∵PP'＝OM.∴NT＝OM.（2）如图.连接PO.并延长至S.使OP＝OS.延长SQ到T.使ST＝OM.由题意知.PP1∥OM.PP1＝OM.P1N＝NQ.∴TQ＝2MN.∵MN＝OM﹣ON＝1﹣t.∴TQ＝2﹣2t.∴SQ＝ST﹣TQ＝1﹣（2﹣2t）＝2t﹣1.在△PQS中.PS﹣QS＜PS+QS.∴PS的最小值为PS﹣QS.PS的最大值为PS+QS.∴PQ长的最大值与最小值的差为（PS+QS）﹣（PS﹣QS）＝2QS＝4t﹣2．13．（2022•青岛）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形、例如：如图①.在△ABC和△A'B'C'中.AD.A'D'分别是BC和B'C'边上的高线.且AD＝A'D'、则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．【性质探究】如图①.用S△ABC.S△A'B'C′分别表示△ABC和△A′B′C′的面积.则S△ABC＝BC•AD.S△A'B'C′＝B′C′•A′D′.∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性质应用】（1）如图②.D是△ABC的边BC上的一点．若BD＝3.DC＝4.则S△ABD：S△ADC＝3：4.（2）如图③.在△ABC中.D.E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：2.CD：BC＝1：3.S△ABC＝1.则S△BEC＝.S△CDE＝.（3）如图③.在△ABC中.D.E分别是BC和AB边上的点．若BE：AB＝1：m.CD：BC＝1：n.S△ABC＝a.则S△CDE＝．【分析】（1）根据等高的两三角形面积的比等于底的比.直接求出答案.（2）同（1）的方法即可求出答案.（3）同（1）的方法即可求出答案．【解析】（1）∵BD＝3.DC＝4.∴S△ABD：S△ADC＝BD：DC＝3：4.故答案为：3：4.（2）∵BE：AB＝1：2.∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：2.∵S△ABC＝1.∴S△BEC＝.∵CD：BC＝1：3.∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：3.∴S△CDE＝S△BEC＝×＝.故答案为：..（3）∵BE：AB＝1：m.∴S△BEC：S△ABC＝BE：AB＝1：m.∵S△ABC＝a.∴S△BEC＝S△ABC＝.∵CD：BC＝1：n.∴S△CDE：S△BEC＝CD：BC＝1：n.∴S△CDE＝S△BEC＝•＝.故答案为：．14．（2022•常州）在四边形ABCD中.O是边BC上的一点．若△OAB≌△OCD.则点O叫做该四边形的“等形点”．（1）正方形不存在“等形点”（填“存在”或“不存在”）.（2）如图.在四边形ABCD中.边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”．已知CD＝4.OA＝5.BC＝12.连接AC.求AC的长.（3）在四边形EFGH中.EH∥FG．若边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”.求的值．【分析】（1）根据“等形点”的定义可知△OAB≌△OCD.则∠OAB＝∠C＝90°.而O是边BC上的一点．从而得出正方形不存在“等形点”.（2）作AH⊥BO于H.由△OAB≌△OCD.得AB＝CD＝4.OA＝OC＝5.设OH＝x.则BH＝7﹣x.由勾股定理得.（4）2﹣（7﹣x）2＝52﹣x2.求出x的值.再利用勾股定理求出AC的长即可.（3）根据“等形点”的定义可得△OEF≌△OGH.则∠EOF＝∠HOG.OE＝OG.∠OGH＝∠OEF.再由平行线性质得OE＝OH.从而推出OE＝OH＝OG.从而解决问题．【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形.∴∠C＝90°.∵△OAB≌△OCD.∴∠OAB＝∠C＝90°.∵O是边BC上的一点．∴正方形不存在“等形点”.故答案为：不存在.（2）作AH⊥BO于H.∵边BC上的点O是四边形ABCD的“等形点”.∴△OAB≌△OCD.∴AB＝CD＝4.OA＝OC＝5.∵BC＝12.∴BO＝7.设OH＝x.则BH＝7﹣x.由勾股定理得.（4）2﹣（7﹣x）2＝52﹣x2.解得.x＝3.∴OH＝3.∴AH＝4.∴CH＝8.在Rt△CHA中.AC＝＝＝4.（3）如图.∵边FG上的点O是四边形EFGH的“等形点”.∴△OEF≌△OGH.∴∠EOF＝∠HOG.OE＝OG.∠OGH＝∠OEF.∵EH∥FG.∴∠HEO＝∠EOF.∠EHO＝∠HOG.∴∠HEO＝∠EHO.∴OE＝OH.∴OH＝OG.∴OE＝OF.∴＝1．15．（2022•青海）两个顶角相等的等腰三角形.如果具有公共的顶角的顶点.并把它们的底角顶点连接起来.则形成一组全等的三角形.把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．（1）问题发现：如图1.若△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形.BC.DE分别是底边．求证：BD＝CE.（2）解决问题：如图 2.若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形.∠ACB＝∠DCE＝90°.点A.D.E在同一条直线上.CM为△DCE中DE边上的高.连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM.AE.BE之间的数量关系并说明理由．【分析】（1）根据△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形.证明△ABD≌△ACE（SAS）.即可得BD＝CE.（2）根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形.可得△ACD≌△BCE（SAS）.即有AD＝BE.∠ADC＝∠BEC.从而可得∠BEC＝∠ADC＝135°.即知∠AEB ＝∠BEC﹣∠CED＝90°.由CD＝CE.CM⊥DE.∠DCE＝90°.可得DM＝ME ＝CM.故AE＝AD+DE＝BE+2CM．【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE是顶角相等的等腰三角形.∴AB＝AC.AD＝AE.∠BAC＝∠DAE.∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC.即∠BAD＝∠CAE.∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴BD＝CE.（2）解：∠AEB＝90°.AE＝BE+2CM.理由如下：如图：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形.∴AC＝BC.DC＝EC.∠ACB＝90°＝∠DCE.∴∠ACD＝∠BCE.∴△ACD≌△BCE（SAS）.∴AD＝BE.∠ADC＝∠BEC.∵△CDE是等腰直角三角形.∴∠CDE＝∠CED＝45°.∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°.∴∠BEC＝∠ADC＝135°.∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°.∵CD＝CE.CM⊥DE.∴DM＝ME.∵∠DCE＝90°.∴DM＝ME＝CM.∴DE＝2CM.∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．16．（2022•嘉兴）小东在做九上课本123页习题：“1：也是一个很有趣的比．已知线段AB（如图1）.用直尺和圆规作AB上的一点P.使AP：AB＝1：．”小东的作法是：如图2.以AB为斜边作等腰直角三角形ABC.再以点A为圆心.AC长为半径作弧.交线段AB于点P.点P即为所求作的点．小东称点P为线段AB的“趣点”．（1）你赞同他的作法吗？请说明理由．（2）小东在此基础上进行了如下操作和探究：连结CP.点D为线段AC上的动点.点E在AB的上方.构造△DPE.使得△DPE∽△CPB．①如图3.当点D运动到点A时.求∠CPE的度数．②如图4.DE分别交CP.CB于点M.N.当点D为线段AC的“趣点”时（CD＜AD）.猜想：点N是否为线段ME的“趣点”？并说明理由．【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明.再利用AC＝AP.即可得出结论.（2）①由题意可得：∠CAB＝∠B＝45°.∠ACB＝90°.AC＝AP＝BC.再求解∠ACP＝∠APC＝67.5°.∠CPB＝112.5°.证明∠DPE＝∠CPB＝112.5°.从而可得答案.②先证明△ADP∽△ACB.可得∠APD＝45°.DP∥CB.再证明MP＝MD＝MC ＝MN.∠EMP＝45°.∠MPE＝90°.从而可得出结论．【解析】（1）赞同.理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形.∴AC＝BC.∠A＝∠B＝45°.∴cos45°＝.∵AC＝AP.∴.∴点P为线段AB的“趣点”．（2）①由题意得：∠CAB＝∠B＝45°.∠ACB＝90°.AC＝AP＝BC.∴＝67.5°.∴∠BCP＝90°﹣67.5°＝22.5°.∴∠CPB＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°.∵△DPE∽△CPB.D.A重合.∴∠DPE＝∠CPB＝112.5°.∴∠CPE＝∠DPE+∠CPB﹣180°＝45°.②点N是线段ME的趣点.理由如下：当点D为线段AC的趣点时（CD＜AD）.∴.∵AC＝AP.∴.∵.∠A＝∠A.∴△ADP∽△ACB.∴∠ADP＝∠ACB＝90°.∴∠APD＝45°.DP∥CB.∴∠DPC＝∠PCB＝22.5°＝∠PDE.∴DM＝PM.∴∠MDC＝∠MCD＝90°﹣22.5°＝67.5°.∴MD＝MC.同理可得MC＝MN.∴MP＝MD＝MC＝MN.∵∠MDP＝∠MPD＝22.5°.∠E＝∠B＝45°.∴∠EMP＝45°.∠MPE＝90°.∴＝.∴点N是线段ME的“趣点”．17．（2022•兰州）如图.在Rt△ABC中.∠ACB＝90°.AC＝3cm.BC＝4cm.M为AB 边上一动点.BN⊥CM.垂足为N．设A.M两点间的距离为xcm（0≤x≤5）.B.N 两点间的距离为ycm（当点M和B点重合时.B.N两点间的距离为0）．小明根据学习函数的经验.对因变量y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程.请补充完整．（1）列表：下表的已知数据是根据A.M两点间的距离x进行取点、画图、测量.分别得到了y与x的几组对应值：x/cm00.51 1.5 1.82 2.53 3.54 4.55 y/cm4 3.96 3.79 3.47a 2.99 2.40 1.79 1.230.740.330请你通过计算.补全表格：a＝ 3.2.（2）描点、连线：在平面直角坐标系中.描出表中各组数值所对应的点（x.y）.并画出函数y关于x的图象.（3）探究性质：随着自变量x的不断增大.函数y的变化趋势：y随x的增大而减小.（4）解决问题：当BN＝2AM时.AM的长度大约是 1.67cm．（结果保留两位小数）【分析】（1）先求出AB边上的高.进而求出AM'.判断出点M与M'重合.即可得出答案.（2）先描点.再连线.即可画出图象.（3）根据图象直接得出结论.（4）利用表格和图象估算出AM的长度．【解析】（1）如图.在Rt△ABC中.AC＝3.BC＝4.根据勾股定理得.AC＝5.过点C作CM'⊥AB于M.∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CM'.∴CM'＝.在Rt△ACM'中.根据勾股定理得.AM'＝＝1.8.当x＝1.8时.点M与点M'重合.∴CM⊥AB.∵BN⊥CM.∴点M.N重合.∴a＝BN＝BM＝AB﹣AM＝3.2.故答案为：3.2.（2）如图所示.（3）由图象知.y随x的增大而减小.故答案为：y随x的增大而减小.（3）借助表格和图象得.当BN＝2AM时.AM的长度大约是1.67cm.故答案为：1.67．18．（2022•深圳）二次函数y＝2x2.先向上平移6个单位.再向右平移3个单位.用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．y＝2x2y＝2（x﹣3）2+6（0.0）（3.m）（1.2）（4.8）（2.8）（5.14）（﹣1.2）（2.8）（﹣2.8）（1.14）（1）m的值为6.（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标.（3）点P（x1.y1）.Q（x2.y2）在新的函数图象上.且P.Q两点均在对称轴同一侧.若y1＞y2.则x1＜或＞x2．（填不等号）【分析】（1）根据平移的性质分析对应点的坐标.（2）利用描点法画函数图象.联立方程组求得两函数的交点坐标.（3）结合二次函数图象的性质分析求解．【解析】（1）将（0.0）先向上平移6个单位.再向右平移3个单位后对应点的坐标为（3.6）.∴m＝6.故答案为：6.（2）平移后的函数图象如图：联立方程组.解得.∴y＝﹣x2+5与y＝x2的交点坐标为（.）.（﹣.）.（3）∵点P（x1.y1）.Q（x2.y2）在新的函数图象上.且P.Q两点均在对称轴同一侧.当P.Q两点同在对称轴左侧时.若y1＞y2.则x1＜x2.当P.Q两点同在对称轴右侧时.若y1＞y2.则x1＞x2.故答案为：＜或＞．19．（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展.小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据.分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度.横轴表示年度.纵轴表示年产量）.如图．小亮认为.可以从y＝kx+b（k＞0）.y＝（m＞0）.y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型.模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．（1）小莹认为不能选y＝（m＞0）．你认同吗？请说明理由.（2）请从小亮提供的函数模型中.选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势.并求出函数表达式.（3）根据（2）中你选择的函数模型.请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？【分析】（1）由当m＞0时.y＝的性质可得答案.（2）观察①号田和②号田的年产量变化趋势可知.①号田为y＝kx+b（k＞0）.②号田为y＝﹣0.1x2+ax+c.用待定系数法可得模拟①号田的函数表达式为y＝0.5x+1.模拟①号田的函数表达式为y＝﹣0.1x2+x+1.（3）设①号田和②号田总年产量为w吨.w＝0.5x+1+（﹣0.1x2+x+1）＝﹣0.1x2+1.5x+2＝﹣0.1（x﹣7.5）2+7.625.根据二次函数性质可得答案．【解析】（1）认同.理由是：当m＞0时.y＝中.y随x的增大而减小.而从图中描点可知.x增大y随之增大.故不能选y＝（m＞0）.（2）观察①号田和②号田的年产量变化趋势可知.①号田为y＝kx+b（k＞0）.②号田为y＝﹣0.1x2+ax+c.把（1.1.5）.（2.2.0）代入y＝kx+b得：.解得.∴y＝0.5x+1.把（1.1.9）.（2.2.6）代入y＝﹣0.1x2+ax+c得：.解得.∴y＝﹣0.1x2+x+1.答：模拟①号田的函数表达式为y＝0.5x+1.模拟②号田的函数表达式为y＝﹣0.1x2+x+1.（3）设①号田和②号田总年产量为w吨.由（2）知.w＝0.5x+1+（﹣0.1x2+x+1）＝﹣0.1x2+1.5x+2＝﹣0.1（x﹣7.5）2+7.625.∵﹣0.1＜0.抛物线对称轴为直线x＝7.5.而x为整数.∴当x＝7或8时.w取最大值.最大值为7.6.答：①号田和②号田总年产量在2023年或2024年最大.最大是7.6吨．20．（2022•潍坊）为落实“双减”.老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点（﹣1.﹣1）.且不经过第一象限.写出满足这些条件的一个函数表达式．【观察发现】请完成作业.并在直角坐标系中画出大致图象．【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同.请举例说明．【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多.老师不方便批阅.于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数a.b.c的关系.得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法.写出探究过程．【分析】由题意写出一个符合条件的函数解析式即可.【观察发现】画出一个符合条件的函数图象即可.【思考交流】由题意可知抛物线的对称轴可以在y轴的左侧.也可以在y轴的右侧.或者是y轴.抛物线的图象一定在x轴的下方.【概括表达】设经过点（﹣1.﹣1）的函数解析式为y＝a（x+1）2+m（x+1）﹣1.则b＝2a+m.c＝a+m﹣1.由a＜0.c≤0.a﹣b+c＝﹣1.可得b＜1．【解析】y＝﹣x2（答案不为唯一）.【观察发现】如图：【思考交流】∵抛物线的对称轴为x＝﹣.a＜0.∴抛物线的对称轴可以在y轴的左侧.也可以在y轴的右侧.或者是y轴.例如：y＝﹣x2.∴小亮的说法不正确.∵抛物线不经过第一象限.∴抛物线的图象一定在x轴的下方.∴小莹的说法不正确.【概括表达】设经过点（﹣1.﹣1）的函数解析式为y＝a（x+1）2+m（x+1）﹣1.∴y＝ax2+（2a+m）x+a+m﹣1.∵y＝ax2+bx+c.∴b＝2a+m.c＝a+m﹣1.∵二次函数的图象不经过第一象限.∴a＜0.c≤0.∵经过点（﹣1.﹣1）.∴a﹣b+c＝﹣1.∴a+m﹣1≤0.∴a+m≤1.∴b＝2a+m＝a+a+m≤a+1.∴b＜1.综上所述：a＜0.b＜1.c≤0且a﹣b+c＝﹣1．21．（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂）.小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm）.确定支点O.并用细麻绳固定.在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩.作为秤钩.第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．（1）图1中.把重物挂在秤钩上.秤砣挂在支点O右侧的B处.秤杆平衡.就能称得重物的质量．当重物的质量变化时.OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg.OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式.若0＜y＜48.求x的取值范围．（2）调换秤砣与重物的位置.把秤砣挂在秤钩上.重物挂在支点O右侧的B处.使秤杆平衡.如图2．设重物的质量为xkg.OB的长为ycm.写出y关于x的函数解析式.完成下表.画出该函数的图象．x/kg……0.250.5124……y/cm……421……【分析】（1）根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂解答即可.（2）根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂求出解析式.然后根据列表、描点、连线的步骤解答．【解析】（1）∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂.∴重物×OA＝秤砣×OB.∵OA＝2cm.重物的质量为xkg.OB的长为ycm.秤砣为0.5kg.∴2x＝0.5y.∴y＝4x.∵4＞0.∴y随x的增大而增大.∵当y＝0时.x＝0.当y＝48时.x＝12.∴0＜x＜12.（2）∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂.∴秤砣×OA＝重物×OB.∵OA＝2cm.重物的质量为xkg.OB的长为ycm.秤砣为0.5kg.∴2×0.5＝xy.∴y＝.当x＝0.25时.y＝＝4.当x＝0.5时.y＝＝2.当x＝1时.y＝1.当x＝2时.y＝.当x＝4时.y＝.故答案为：4.2.1...作函数图象如图：22．（2022•赤峰）阅读下列材料定义运算：min|a.b|.当a≥b时.min|a.b|＝b.当a＜b时.min|a.b|＝a．例如：min|﹣1.3|＝﹣1.min|﹣1.﹣2|＝﹣2．完成下列任务（1）①min|（﹣3）0.2|＝1.②min|﹣.﹣4|＝﹣4．（2）如图.已知反比例函数y1＝和一次函数y2＝﹣2x+b的图象交于A、B两点．当﹣2＜x＜0时.min|.﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2.求这两个函数的解析式．【分析】（1）根据定义运算的法则解答即可.（2）根据反比例函数和一次函数图象的性质解答即可．【解析】（1）由题意可知：①min|（﹣3）0.2|＝1.②min|﹣.﹣4|＝﹣4.故答案为：1.﹣4．（2）当﹣2＜x＜0时.min|.﹣2x+b|＝（x+1）（x﹣3）﹣x2＝﹣2x﹣3.∵一次函数y2＝﹣2x+b.∴b＝﹣3.∴y2＝﹣2x﹣3.当x＝﹣2时.y＝1.∴A（﹣2.1）将A点代入y1＝中.得k＝﹣2.∴y1＝﹣．23．（2022•赤峰）【生活情境】为美化校园环境.某学校根据地形情况.要对景观带中一个长AD＝4m.宽AB＝1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①.改造后的水池ABNM仍为长方形.以下简称水池1）．同时.再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②.以下简称水池2）．【建立模型】如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0）.加长后水池1的总面积为y1（m2）.则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）.设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6）.面积为y2（m2）.则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6）.上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．【问题解决】（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小.则EF长度的取值范围是3≤x＜6（可省略单位）.水池2面积的最大值是9m2.（2）在图③字母标注的点中.表示两个水池面积相等的点是C.E.此时的x （m）值是1或4.（3）当水池1的面积大于水池2的面积时.x（m）的取值范围是0＜x＜1或4＜x＜6.（4）在1＜x＜4范围内.求两个水池面积差的最大值和此时x的值.（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m）.其他条件不变（这个加长改。
专题47新定义和阅读理解型问题-2022年中考数学备考百日捷进提升系列(原卷版)
考点概述：新定义和阅读理解型问题在学生已学数学知识的根底上，对旧知识进行重新包装，给出一个“新概念〞，然后要求学生学习和运用这个“新概念〞来解决相应的数学问题，这类试题对培养学生的阅读理解能力和独立获取新知识、解决新问题的能力有非常重要的作用．解决这类问题时要求学生要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.一、选择题1.【江苏无锡市】定义：(,)(,)f a b b a =，(,)(,)g m n m n =--，例如(2,3)(3,2)f =，(1,4)(1,4)g --=，那么((5,6))g f -等于 〔 〕A ．〔-6，5〕B ．〔-5，6〕C ．〔6，-5〕D ．〔-5，6〕2.【汕头市澄海区】现定义运算“★〞，对于任意实数a 、b ，都有a ★b =b a a +-32，如：3★5=53332+⨯-，假设x ★2=6，那么实数x 的值是 ．3.【福建省永定县】现定义运算“★〞，对于任意实数a 、b ，都有a ★b=23a a b -+，如：3★5=23335-⨯+，假设x ★2=6，那么实数x 的值是( )二、填空题1.【无锡市惠山北片】设[x 〕表示大于x 的最小整数，如[3〕=4，[－1.2〕=－1，那么以下结论中正确的选项是 ．〔填写所有正确结论的序号〕①[0〕=0 ②[x 〕－x 的最小值是0 ③[x 〕－x 的最大值是0 ④存在实数x ，使[x 〕－x =0.5成立．4.【山东省定陶县】阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，那么两根与方程系数之间有如下关系x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．根据该材料填空：x 1，x 2，是方程x 2+6x+3=0的两实数根，那么1211x x +的值为 _________ ．5.【江苏无锡市】设[x 〕表示大于x 的最小整数，如[3〕=4，[－1.2〕=－1，那么以下结论中正确的选项是 ．〔填写所有正确结论的序号〕①[0〕=0 ②[x 〕－x 的最小值是0 ③[x 〕－x 的最大值是0 ④存在实数x ，使[x 〕－x =0.5成立．三、解答题1.【广东珠海十中】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a ＋b 2＝(m ＋n 2)2〔其中a 、b 、m 、n 均为整数〕，那么有a ＋b 2＝m 2＋2n 2＋2mn 2．∴a ＝m 2＋2n 2，b ＝2mn ．这样小明就找到了一种把局部a ＋b 2的式子化为平方 式的方法．请仿照小明的方法探索并解决以下问题：填空：_ ＋_ 3＝(_ ＋_ 3)2；〔3〕假设a ＋43＝(m ＋n 3)2，且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值．2.【甘肃省镇原县】当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化.例如：由抛物线y=x 2-2mx +m 2+2m -1 (1)得：y=(x -m )2+2m -1 (2)∴抛物线的顶点坐标为(m ，2m -1)，设顶点为P 〔x 0，y 0〕，那么：当m 的值变化时，顶点横、纵坐标x 0，y 0的值也随之变化，将(3)代入(4)得：y 0=2x 0-1. (5)可见，不管m 取任何实数时，抛物线的顶点坐标都满足y=2x -1.(1)根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x 2-2mx +2m 2-4m +3的顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的函数关系式.(2)3.【福建省永春县】阅读材料：设一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0)的两根为1x ，2x ，那么两根与方程的系数之间有如下关系：1x +2x ＝－b a ，1x ·2x ＝c a.根据该材料完成以下填空： m ，n 是方程020*******=+-x x 的两根，那么〔1〕m +n ＝ , mn = ；〔2〕〔201420132+-m m 〕〔201420132+-n n 〕＝ .4.【北京市昌平区】 阅读下面的材料：小明遇到一个问题：如图〔1〕，在□ABCD 中，点E 是边BC 的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G. 如果3AF EF =，求CD CG的值. 他的做法是：过点E 作EH ∥AB 交BG 于点H ，那么可以得到△BAF ∽△HEF. 请你答复：〔1〕AB 和EH 的数量关系为 ，CG 和EH 的数量关系为 ，CD CG 的值为 .〔2〕如图〔2〕，在原题的其他条件不变的情况下，如果(0)AF a a EF =>，那么CD CG 的值为 〔用含a 的代数式表示〕. 〔3〕请你参考小明的方法继续探究：如图〔3〕，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，点E 是BC 延长线上一点，AE 和BD 相交于点F. 如果(00)AB BC m n m n CD BE==>>，，，那么AF EF 的值为 〔用含m ，n 的代数式表示〕. 5.【北京市东城区】阅读理解：如图1，假设在四边形ABCD 的边AB 上任取一点E 〔点E 与点A ，B 不重合〕，分别连结ED ，EC ，可以把四边形ABCD 分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E 叫做四边形ABCD 的边AB 上的强相似点．解决问题： 〔1〕如图1，假设∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E 是否是四边形ABCD 的边AB 上的相似点，并说明理由；〔2〕如图2，在矩形ABCD 中，AB=5，BC=2，且A ，B ，C ，D 四点均在正方形网格〔网格中每个小正方形的边长为1〕的格点〔即每个小正方形的顶点〕上，试在图2中画出矩形ABCD 的边AB 上的一个强相似点E ；拓展探究：〔3〕如图3，将矩形ABCD 沿CM 折叠，使点D 落在AB 边上的点E 处．假设点E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个强相似点，请直接写出BCAB 的值．。
七年级阅读理解与新定义专练(含答案)
阅读理解与新定义专练1同学们，你会求数轴上两点间的距离吗？例如：数轴上，3和5在数轴上所对的两点之间的距离可理解为|3-5|=2或理解为5-3=2，5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离可理解为|5-(-2)|=7或2-(-5)=7．解决问题：如图，在单位长度为1的数轴上有A，B，C三个点，点A，C表示的有理数互为相反数(1)请在数轴上标出原点O，并在A，B，C上方标出它们所表示的有理数；(2)B，C两点间的距离是 (3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x①P、B两点之间的距离表示为 ，若P、B两点之间的距离为5，则x= ②若点P到点B、点C的距离相等，则点P对应的数是 ③若点P到点B、点C的距离之和为7，则点P对应的数是 (4)对于任何有理数a①|a-1|+|a+5|的最小值为 ，此时能使|a-1|+|a+5|取最小值的所有整数a的和是 ；②若a>1，则|a-1|-|a+5|= ．③|a-1|+|a+2|+|a-4|+|a+5|的最小值是 ．2阅读下面的材料：a是不为1的有理数，我们把11-a称为a的差倒数，如：2的差倒数是11-2=-1，3的差倒数是11-3=-12．对于一列有理数a1，a2，⋯a2015，a2016，后一个数都是它前面一个数的差倒数(如:a2=11-a1)，已知a1=-1．(1)求a3和a4的值；(2)求a1+a2+⋯a2015+a2016的值．3一般情况下a2+b3=a+b2+3不成立，但有些数可以使得它成立，例如：a=b=0．我们称使得a2+b 3=a+b2+3成立的一对数a，b为“相伴数对”，记为(a,b)．(1)填空：(-4,9) “相伴数对”(填是或否)；(2)若(1,b)是“相伴数对”，求b的值；(3)若(m,n)是“相伴数对”，求代数式m-223n-[4m-2(3n-1)]的值．4对于任意四个有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对(a,b)与(c,d)．我们规定：(a，b)⋆(c，d)= bc-ad．例如：(1，2)⋆(3，4)=2×3-1×4=2．根据上述规定解决下列问题：(1)有理数对(3，-5)⋆(4，-2)= -14 ；(2)若有理数对(-4，3x-1)⋆(2，1-x)=8，求x的值；(3)当满足等式(-2，3x-1)⋆(k，x+k)=5+k的x是整数时，求整数k的值．【分析】(1)原式利用题中的新定义计算即可求出值；(2)原式利用题中的新定义计算即可求出x的值；(3)原式利用题中的新定义计算，求出整数k的值即可．。
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专题11：新定义和阅读理解型问题新定义和阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题。
在新定义和阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维。
因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理，前面诸专题对存在性探究问题型进行了命题，后面将有专题对规律探究型问题进行命题。
本专题原创编写新定义和阅读理解型问题模拟题。
原创模拟预测题1.阅读下面的材料：小明在数学课外小组活动中遇到这样一个“新定义”问题：()()()0210.ab ba ab bb ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩=-＞；定义运算“： ※”求为※※＜的值.小明是这样解决问题的：由新定义可知a=1，b=-2，又b ＜0，所以1※（-2）=12． 请你参考小明的解题思路，回答下列问题：（1）计算：2※3= ； （2）若5※m=56，则m= ． （3）函数y=2※x （x≠0）的图象大致是（ ）y x OyxOA B C D【答案】解：（1）2 3（2）±6（3）D【解析】考点：规律探索应用，反比例函数的图像原创模拟预测题2.我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题?（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c；（3）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A，B重合），D是半圆ADB的中点，C，D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE=AD，CB=CE．①求证：△ACE是奇异三角形；②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．【答案】（1）真命题．（2）a：b：c=1：2：3．（3）①见解析②60°或120°．【解析】2： 1．然后分两种情况讨论.试题解析：解：（1）真命题．（2分）（3）在RtΔABC中，a2+b2=c2，①证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在RtΔACB中，AC2+BC2=AB2；在RtΔADB中，AD2+BD2=AB2．∵D是半圆⋂ADB的中点，∴⋂⋂=BDAD，∴AD=BD，（6分），∴AB2=AD2+BD2=2AD2，（7分）又∵CB=CE．AE=AD，∴AC2+CE2=2AE2．∴ΔACE是奇异三角形．（8分）考点：1.命题；2.勾股定理；3.圆周角定理及推论；4.直角三角形的性质.原创模拟预测题3.阅读理解：对于任意正实数a 、b ，∵(a －b )2≥0，∴a －2ab ＋b≥0，∴a ＋b ≥2ab ，只有当a ＝b 时，等号成立.结论：在a ＋b ≥2ab （a 、b 均为正实数）中，若ab 为定值p ，则a+b ≥2p ，只有当a＝b 时，a ＋b 有最小值2p . 根据上述内容，回答下列问题：（1）若m ＞0，只有当m ＝ 时，m ＋m1有最小值 ； 若m ＞0，只有当m ＝ 时，2m ＋m8有最小值 .（2）如图，已知直线L 1：y ＝21x ＋1与x 轴交于点A ，过点A 的另一直线L 2与双曲线y ＝x-8（x >0）相交于点B （2，m ），求直线L 2的解析式.（3）在（2）的条件下，若点C 为双曲线上任意一点，作CD ∥y 轴交直线L 1于点D ，试求当线段CD 最短时，点A 、B 、C 、D 围成的四边形面积. 【答案】（1）当1=m 时，m m 1+有最小值为2；当2=m 时，mm 82+有最小值为8 （2）2--=x y （3）23∴A （-2，0） 又点B （2，m ）在)0(8>-=x xy 上， ∴)4,2(,4--=B m设直线2L 的解析式为：b kx y +=， 则有，⎩⎨⎧-=+=+-4202b k b k解得：⎩⎨⎧-=-=21b k∴直线2L 的解析式为：2--=x y ；2311122)65(214621=+=⨯++⨯⨯=原创模拟预测题4.如图是一组密码的一部分．为了保密，许多情况下可采用不同的密码，请你运用所学知识找到破译的“钥匙”。
目前，已破译出“正做数学”的真实意思是“祝你成功”。
若“正”所处的位置为（x，y），你找到的密码钥匙是，破译的“今天考试”真实意思是。
【答案】对应文字横坐标减1，纵坐标减2；努力发挥。
【考点】探索规律题（图形的变化类），坐标的变换。
原创模拟预测题 5. 对于实数x ，我们规定[]x 表示不大于x 的最大整数，如[][]44,31, 2.53⎡⎤==-=-⎣⎦，现对82进行如下操作：198********⎡⎤−−−→=−−−→=−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦第次第2次第3次，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，①对121只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 .【答案】①3；②255。
【考点】新定义，无理数的大小比较，解一元一次不等式组。
原创模拟预测题6. 初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用(m,n) 表示第m 行第n 列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为(m,n) ，如果调整后的座位为(i,j) ，则称该生作了平移[][]a,b m i,n j =-- ,并称a b +为该生的位置数。
若当m n 36⋅=时，m n +取得最小值，则该生位置数的最大值为 ▲ 。
【答案】10。
【考点】坐标与图形的平移变化，坐标确定位置。
原创模拟预测题7.阅读下列文字与例题将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法。
例如：（1）()()()am an bm bn am bm an bn m a b ()n a b a b m (n )()+++=+++=+++=++，（2）()()()()222222x y 2y 1x y 2y 1x y 1x y 1x y 1---=-++=-+=++--。
试用上述方法分解因式224x 2x y y --- 。
【答案】()()2x y 2x y 1+--。
【考点】分组分解法因式分解。
【分析】()()()()()()22224x 2x y y 4x y 2x y 2x y 2x y 2x y 2x y 2x y 1---=--+=+--+=+--。
原创模拟预测题8.设a 、b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m≤x≤n 时，有m≤y≤n ，我们就称此函数是闭区间[m ，n]上的“闭函数”．（1）反比例函数2014y x=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）若一次函数y x b =-+是闭区间[m ，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式； （3）若二次函数2y x 4x 7=--是闭区间[a ，b]上的“闭函数”，求实数a ，b 的值． 【答案】解：（1）反比例函数2014y x=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”。
理由如下： ∵反比例函数2014y x=在第一象限，y 随x 的增大而减小，且当x=1时，y=2014；当x=2014时，y=1，∴当1≤x≤2014时，有1≤y≤2014， 符合闭函数的定义，故反比例函数2014y x=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”。
（3）∵()22y x 4x 7x 211=--=--，∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是11-，且当x ＜2时，y 随x的增大而减小；当x ＞2时，y 随x 的增大而增大。
①当b≤2时，此二次函数y 随x 的增大而减小，则根据“闭函数”的定义得，22a 4a 7bb 4b 7a⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，两式相减， 得()()()()()22a b 4a 4b b a a b a b 3a b 0a b a b 30--+=-⇒-+--=⇒-+-=∵a b 0-≠，∴a b 30b 3a +-=⇒=-。
∴22a 4a 73a a 3a 100--=-⇒--=解得，a 5b 2=⎧⎨=-⎩或a 2b 5=-⎧⎨=⎩（均不合题意，舍去）。
②当a ＜2＜b 时，此时二次函数2y x 4x 7=--的最小值是11-=a ，根据“闭函数”的定义得【考点】新定义，反比例函数、一次函数和二次函数的性质，解二元方程组，分类思想的应用。
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