高中数学 推理与证明 板块三 数学归纳法完整讲义(学生版).doc

学而思高中完整讲义：统计.板块一.随机抽样.学生版

题型一：数学归纳法基础

【例1】已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1111111

12()234

124

2n n n n

-+-+

+=+++

-++时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ）

A ．1+=k n 时等式成立

B ．2+=k n 时等式成立

C ．22+=k n 时等式成立

D ．)2(2+=k n 时等式成立

【例2】已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题

为真，，则还需证明（ ）

A.n=k+1时命题成立

B. n=k+2时命题成立

C. n=2k+2时命题成立

D. n=2（k+2）时命题成立

【例3】某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当

1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得

（ ）

A ．当n=6时该命题不成立

B ．当n=6时该命题成立

C ．当n=8时该命题不成立

D ．当n=8时该命题成立

【例4】利用数学归纳法证明

“*

),12(312)()2)(1(N n n n n n n n

∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“k n =”变到“1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B

112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 1

3

2++k k

【例5】用数学归纳法证明),1(1112

2

*+∈≠--=

++++N n a a

a a a a n n

，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ）

A. 1

B.a +1

C.2

1a a ++ D. 4

2

1a a a +++

【例6】用数学归纳法证明n n n n n 2)()2)(1(=+++ ))(12(31*∈+⋅⋅⋅⋅N n n ，从“k

到k+1”左端需乘的代数式是（ ）

典例分析

A.2k+1

B.)12(2+k

C.

112++k k D.1

3

2++k k

【例7】用数学归纳法证明：1+

21+31+)1,(,1

21

>∈<-+*n N n n n 时，在第二步证明从n=k 到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ）

A.k 2

B.12-k

C.12-k

D.12+k

【例8】设)1()2()1()(-++++=n f f f n n f ，用数学归纳法证明

“)()1()2()1(n nf n f f f n =-++++ ”时，第一步要证的等式是

【例9】用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n ”（+∈N n ）

时，从 “n k =到1n k =+”时，左边应增添的式子是__ __。

【例10】用数学归纳法证明不等式

24

13

12111>

++++++n n n n 的过程中，由k 推导到k+1时，不等式左边增加的式子是

【例11】是否存在常数c b a ,,是等式22222421(1)2(2)()n n n n n an bn c ⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-=++对

一切)*

N n ∈成立？证明你的结论。

题型二：证明整除问题

【例12】若存在正整数m ，使得)(93)72()(*∈+-=N n n n f n 能被m 整除，则m =

【例13】证明：)(,)3(1*∈+-N n x n 能被2+x 整除

【例14】已知数列{}n a 满足1201a a ==，

，当*n ∈N 时，21n n n a a a ++=+．

求证：数列{}n a 的第41(*)m m +∈N 项能被3整除．

【例15】 用数学归纳法证明：731(*)n n n +-∈N 能被9整除．

【例16】设n 是任意正整数，求证：35n n +能被6整除．

【例17】用数学归纳法证明：对于一切正整数n ，227433n n --能被264整除．

【例18】2n (n ≥4且n ∈N *

)个正数排成一个n 行n 列的数阵：

第1列 第2列 第3列 …… 第n 列

第1行 11a 12a 13a …… 1n a 第2行 21a 22a 23a

…… 2n a

…… …… …… …… …… …… 第n 行 1n a 2n a 3n a …… nn a 其中ik a (1≤i ≤n ，1≤k ≤n ，且i ，k ∈N )表示该数阵中位于第i 行第k 列的数.已知该数阵每一行的数成等差数列，每一列的数成公比为2的等比数列，且23a =8，34a =20. (Ⅰ)求11a 和ik a ；

(Ⅱ)设12(1)3(2)1n n n n n A a a a a --=++++，证明：当n 为3的倍数时，(n A n +)能被

21整除.

题型三：证明恒等式与不等式

【例19】证明不等式111123212

n n +

+++>-……（n N *∈）

【例20】用数学归纳法证明：*n N ∈，22211131 (2321)

n

n n +

+++≥

+.

【例21】证明：*

n ∈N ，11111111

1......234212122n n n n n

-

+-++-=+++-++.

【例22】用数学归纳法证明：

221111tan tan tan cot cot (*)2222

2222n n n n

m m n αα

αα

αα+++

=-≠∈∈Z N π，，．

【例23】是否存在常数a 、b 、c ，使等式