高中数学暑期讲义课程大纲(含高一、高二、高三)
高一数学暑期预科-初高衔接课讲义
新高一数学必备知识一、乘法公式1、完全平方公式和平方差公式()2222b ab a b a +±=± ()()22b a b a b a -=-+2、和立方与差立方公式()3223333b ab b a a b a +++=+ ()3223333b ab b a a b a -+-=-3、立方和与立方差公式()()3322b a b ab a b a +=+-+ ()()3322b a b ab a b a -=++-二、一元二次方程1、韦达定理一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：若ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）两根分别是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．也被称为韦达定理．以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x 轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的两根，则a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=，||4|242||2424|||222221a acb a ac b a ac b b a ac b b x x -=-=-----+-=-∴||a ∆=．【例题精讲】例1. 已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2. 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根． (1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值．例3. 已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．【巩固练习】1. 1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．2. 关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．3. 已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．2、利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例题精讲】例1. 设a ,b 是相异的两实数，满足ab b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值例2. 0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba的值．【巩固练习】1. 如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，求baa b +的值2. 设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值．3. △ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．3、根的分布定理 （1）0分布一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.0∆>⎧0∆>⎧【例题精讲】例1. 已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．例2. 若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1）方程两实根均为正数；（2）方程有一正根一负根．【巩固练习】已知一元二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．（2）k分布【知识梳理】kk k【例题精讲】例1. 若关于x 的方程02=++a x x 的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．例2. 若关于x 的方程02=++a x x 的两根均小于1，求实数a 的取值范围．例3.已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．【巩固练习】1. 关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ）12121||11>-<<<-><<-a a D a Ca B a A 或2. 实数k 为何值时，方程022=-+-k kx x 的两根都大于21 ．3. （1）已知：,αβ是方程()221420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，求m 的取值范围；（2）若220x ax ++=的两根都小于1-，求a 的取值范围．（3）m、n分布()0⎧>f m()0⎧<f m【例题精讲】例1. 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0，（1）若方程有两根，其中一根满足011<<-x ，另一根满足212<<x ，求m 的范围； （2）若方程两根满足1021<≤<x x ，求m 的范围．例 2. 关于x 的二次方程()2271320x p x p p -++--=的两根βα,满足012αβ<<<<，求实数p 的取值范围．例3. 二次函数6)1(2522-++-=m x m x y 的图像与x 轴的两个交点满足1121≤<≤-x x ，且分居y 轴的两侧，求实数m 的取值范围．例4. 若二次函数y =的图象与两端点为A （0，3），B （3，0）的线段AB 有两个不同的交点，求m 的取值范围．21x mx -+-【巩固练习】1. 关于x 的方程0532=+-a x x 的两根分别满足021<<-x ，312<<x ，求a 的取值范围．2. 二次方程2210x kx k ++-=的两个根1x 与2x ，当121x -<<-且212x <<时，实数k 的取值范围是 ．总结：一元二方程根的分布只需考虑三个方面：（1）a 和△的符号（2）对称轴相对于区间的位置（3）所给区间端点函数值符号【例题精讲】例1.当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程x 2-ax+a -7=0的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程ax 2+3x+4=0的根都小于1；（3）方程x 2-2(a+4)x+2a 2+5a +3=0的两个根都在31-≤≤x 内；（4）方程7x 2-（a+13）x+2a -1=0的一个根在10<<x 内，另一个根在21<<x 内．例2.已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围．【巩固练习】已知方程03)3(24=+--m x m mx 有一个根小于1-，其余三个根都大于1-，求m 的取值范围．三、不等式1、一元二次不等式例1. 解下列不等式（1）()()x x x 2531-<--； （2）()()21311+>+x x x ；（3）()()()233122+>-+x x x ； （4）2223133x x x ->+-； （5）()13112->+-x x x x（6）x 2＋2x －3≤0； （7）x －x 2＋6＜0； （8）4x 2＋4x ＋1≥0； （9）x 2－6x ＋9≤0； （10）－4＋x －x 2＜0．例2.设R m ∈，解关于x 的不等式0322<-+m mx mx ．2、分式不等式及高次不等式（1）简单分式不等式的解法：已知f (x )与g (x )是关于x 的多项式，不等式()0()f x g x >，()0()f x g x <，()0()f x g x ≥，()0()f xg x ≤称为分式不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究分式不等式．将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）即可求解．具体如下：()0()f x g x >①，即()0()0f x g x >⎧⎨>⎩或()0()0f xg x <⎧⎨<⎩，即()()0f x g x ⋅>；()0()f x g x <②，即()0()0f x g x >⎧⎨<⎩或()0()0f x g x <⎧⎨>⎩，即()()0f x g x ⋅<； ()0()f x g x ≥③，即()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅>或()0f x =； ()0()f x g x ≤④，即()()0()0f x g x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅<或()0f x =．（2）简单高次不等式的解法：不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究高次不等式．解高次不等式的方法有两种：方法1：将高次不等式f (x )＞0(＜0)中的多项式f (x )分解成若干个不可约因式的乘积，根据符号法则等价转化为两个或多个不等式（组）即可求解．但应注意：原不等式的解集是各不等式（组）解集的并集，且次数较大时，此种方法比较烦琐．方法2：穿针引线法：①将不等式化为标准形式，右端为0，左端为一次因式（因式中x 的系数为正）或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过（奇过偶不过）；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号即可写出解集．例题解析（1）求不等式032≥-+x x 的解集 （2）求不等式3223x x -≥+的解集（3）求不等式221x x 的解集（4）求不等式()()0236522≤++--x x x x 的解集3、恒成立与有解问题一元二次不等式的恒成立问题，即可以看成一个函数()x f y =的图象与x 轴的位置关系问题，若是不等式()0>x f 恒成立，即函数图象恒在x 轴上方，且与x 轴无交点，同理可以得到其他类似情形。
高中数学 暑假新高一数学衔接讲义含初中高中部分
第1讲数与式1910+⨯的正整数n ，有1(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念}6x<．N*．例5.设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，且A B ⊆，则实数a 的范围是（ ） .2A a ≥ B.2a > C.1a > D.1a ≤变式：若A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2－a ｘ＋a －１＝０｝，且Ｂ⊆Ａ，则a 的值为___ ___【典型例题—2】韦恩图：【内容概述】用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。
例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝．【典型例题—3】集合相等：设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？【概括】集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等， 即：A=B例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．例8.判断集合A 与B 是否相等？(1) A={0}，B= ∅；(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z } ；(3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．【典型例题—4】真子集：【内容概述】如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作B A (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果AB ，BC ，则A C ． 例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集变式：已知集}{2230A x x x =--=，}{10B x ax =-= 若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成的集合Ｍ．【典型例题—5】空集【内容概述】1、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅2、空集是任何集合的子集。
高一数学课程大纲
高一数学课程大纲一、课程简介数学作为一门理论与实践相结合的学科，其重要性不言而喻。
高一数学课程目标是帮助学生建立扎实的数学基础，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
本大纲将详细说明高一数学课程的内容和教学目标。
二、教学目标1. 培养学生对数学的兴趣和热爱，增强他们的数学思维能力；2. 培养学生的逻辑思维和分析问题的能力；3. 培养学生的问题解决能力，培养他们的创新精神；4. 培养学生良好的数学学习习惯和团队合作精神。
三、教学内容1. 数的性质与运算1.1 整数的基本概念与运算法则1.2 有理数的概念与四则运算1.3 实数的概念与运算2. 代数式与方程2.1 代数式的基本概念与运算2.2 一元一次方程与一元一次不等式2.3 二元一次方程组与二元一次不等式组3. 几何3.1 点、线和面的基本概念3.2 平面图形的性质与构造3.3 空间几何体的性质与计算4. 函数与图像4.1 函数的概念与性质4.2 一次函数与二次函数4.3 直线与平面图像的认识和绘制5. 概率与统计5.1 随机事件与概率5.2 数据统计与分析四、教学方法1. 理论学习：通过教师讲授和学生自主学习，掌握数学的基本概念与理论知识。
2. 探究学习：鼓励学生进行问题解决和探索性学习，培养他们的独立思考和解决问题的能力。
3. 实践应用：将数学知识用于实际问题解决中，培养学生的数学建模和实际应用能力。
4. 互动讨论：通过小组合作和课堂讨论，促进学生之间的交流与合作，培养他们的团队合作精神。
五、教学评估1. 日常表现评估：包括课堂参与、作业完成情况等。
2. 单元测试：每个教学单元结束后进行小测验，以检查学生对知识的掌握情况。
3. 期中考试：对所学知识的全面检查和评价。
4. 期末考试：对整个学期所学知识的总结和复习。
六、课外拓展1. 数学竞赛：鼓励学生参加各类数学竞赛，提高他们的数学素养和解决问题的能力。
2. 数学社团：建立数学学习小组或社团，组织数学讲座、研讨会等活动，培养学生的数学交流和合作能力。
暑假衔接班讲义 高中数学
（ ）
A．命题“若 x2 － 3x － 4 ＝ 0，则 x ＝ 4”的逆否命题为“若 x ≠ 4，则 x2 － 3x －
4 ≠ 0”
B．“x ＝ 4”是“x2 － 3x － 4 ＝ 0”的充分条件
C．命题“若 m>0，则方程 x2 ＋ x － m ＝ 0 有实根”的逆命题为真命题
D．命题“若 m2 ＋ n2 ＝ 0，则 m ＝ 0 且 n ＝ 0”的否命题是“若 m2 ＋ n2 ≠ 0，则 m ≠ 0 或 n ≠ 0”
（） D．③④
例4
命题“若 x，y 都是偶数，则 x ＋ y 也是偶数”的逆否命题是 A．若 x ＋ y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数
B．若 x ＋ y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
C．若 x ＋ y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数
D．若 x ＋ y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
（ ）
第二讲 常用逻辑用语 11
例7
对于命题“任何实数的平方都是非负的”，下列叙述正确的是
A．是全称命题
B．是存在性命题
（）
C．是假命题
D．是“若 p 则 q”形式的命题
例8
设 a, b 是实数，则“a > b”是“a2 > b2”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
A．{0,2}
B．{1,2}
C．{0}
D．{ － 2，－ 1,0,1,2}
第一讲 集合的概念与运算 5
例 8 设 集 合 A ＝ {x| － 1 ≤ x<2}，B ＝ {x|x<a}， 若 A ∩ B ≠ Ø， 则 a 的 取 值 范 围 是 （ ）
A．－ 1<a ≤ 2
2024年暑假初升高数学衔接讲义
2024年暑假初升高衔接数学讲义拓展初中-衔接高中-精准定位-强化练习快人一小步，领先一大步。
充实一个暑假，领跑高中三年。
让我们以梦为马，不负青春韶华！1.高中数学与初中数学的联系同学们，首先祝贺你们进入高中数学殿堂继续学习。
在经历了三年的初中数学学习后，大家对数学有了一定的了解，对数学思维有了一定的雏形，在对问题的分析方法和解决能力上得到了一定的训练。
这也是我们继续高中数学学习的基础。
良好的开端是成功的一半，高中数学课即将开始与初中知识有联系，但比初中数学知识系统。
高一数学中我们将学习函数，函数是高中数学的重点，它在高中数学中是起着提纲的作用，它融汇在整个高中数学知识中，其中有数学中重要的数学思想方法；如：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想等，它也是高考的重点，近年来，高考压轴题都以函数题为考察方法的。
高考题中与函数思想方法有关的习题占整个试题的60%以上。
1、有良好的学习兴趣两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。
”意思说，干一件事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。
“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣。
兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它就要去实践它，达到乐在其中，有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。
在数学学习中，我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程，这自然会变为立志学好数学，成为数学学习的成功者。
那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢？（1）课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。
（2）听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。
听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。
（3）思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。
（4）听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的？（5）把概念回归自然。
高中数学暑假教案设计模板
一、课程名称高中数学二、教学目标1. 知识与技能：通过暑假课程的学习，学生能够掌握以下数学知识点，并能运用到实际问题中。
2. 过程与方法：培养学生独立思考、分析问题和解决问题的能力，提高学生的数学思维水平。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。
三、教学对象高中一年级学生四、教学内容1. 函数与极限2. 导数与微分3. 解析几何4. 立体几何5. 概率与统计6. 数列与数学归纳法五、教学时间暑假期间，共计4周，每周5天，每天2课时。
六、教学过程第一周：函数与极限1. 第一天：回顾实数及其运算，引入函数的概念，学习函数的性质。
2. 第二天：学习一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本函数。
3. 第三天：学习函数的图像和性质，掌握函数的图像变换。
4. 第四天：学习函数的极限概念，掌握极限的计算方法。
5. 第五天：巩固练习，布置作业。
第二周：导数与微分1. 第一天：回顾函数的性质，引入导数的概念，学习导数的计算方法。
2. 第二天：学习导数的应用，如求切线、斜率等。
3. 第三天：学习导数的几何意义，掌握导数的应用。
4. 第四天：学习微分及其应用，如近似计算等。
5. 第五天：巩固练习，布置作业。
第三周：解析几何1. 第一天：回顾坐标系，学习直线、圆的方程。
2. 第二天：学习圆锥曲线的方程，如椭圆、双曲线、抛物线。
3. 第三天：学习圆锥曲线的性质，如焦点、准线等。
4. 第四天：学习圆锥曲线的应用，如求解几何问题等。
5. 第五天：巩固练习，布置作业。
第四周：立体几何、概率与统计、数列与数学归纳法1. 第一天：学习立体几何的基本概念，如点、线、面等。
2. 第二天：学习立体几何的证明方法，如平行线、相似三角形等。
3. 第三天：学习概率与统计的基本概念，如随机事件、概率、统计量等。
4. 第四天：学习数列与数学归纳法的基本概念，如数列、递推关系、数学归纳法等。
5. 第五天：综合练习，布置作业。
高一高二数学知识点大纲
高一高二数学知识点大纲
一、代数与函数
1.1 一元一次方程与一元一次不等式
1.2 一元二次方程与一元二次不等式
1.3 基本函数及其性质
1.4 幂函数、指数函数与对数函数
1.5 三角函数及其应用
1.6 等差数列与等比数列
二、平面几何
2.1 点、直线及平面
2.2 三角形及其性质
2.3 四边形及其性质
2.4 圆及其性质
2.5 相似与全等
2.6 三角形的面积与二次函数
三、立体几何
3.1 空间几何基础概念与性质3.2 空间中的直线与平面
3.3 空间中的角与距离
3.4 空间图形的计算
3.5 空间中的投影与截面
3.6 空间中的球与圆锥曲线
四、概率与统计
4.1 随机事件及其概率
4.2 随机变量及其分布
4.3 组合与排列
4.4 抽样与统计推断
4.5 统计图表的制作与分析4.6 数据的整理与描述
五、解析几何
5.1 点、向量及其运算
5.2 直线及其方程
5.3 圆锥曲线及其性质
5.4 参数方程与平面直角坐标系转换
5.5 空间曲线与平面方程
六、数学思想方法与解题技巧
6.1 数学证明与推理
6.2 数学建模与问题解决
6.3 解题方法与技巧
6.4 数学思维与能力培养
6.5 数学与实际生活的应用
注意：以上为高一高二数学的知识点大纲，该大纲可作为学习、复习和备考的参考依据。
学生应结合教材和教师要求，有针对性
地进行学习和练习。
高一升二暑假数学讲义
循环结构
定义
由若干个依次执行的步 骤组成，这是任何一个算 法都离不开的基本结构
算法的流程根据条件是 否成立有不同的流向，条 件结构就是处理这种过 程的结构
从某处开始，按照一定的 条件反复执行某些步骤 的结构，反复执行的步骤 称为循环体
程序框图
3.算法语句
(1)输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能
∵8≤3 不成立，
∴进入第二次循环执行条件语句，此时 N＝8,8 不能被 3 整除，则 N＝8－1＝7.
∵7≤3 不成立，
∴进入第三次循环执行条件语句，此时 N＝7,7 不能被 3 整除，则 N＝7－1＝6.
∵6≤3 不成立，
∴进入第四次循环执行条件语句，此时 N＝6,6 能被 3 整除，则 N＝6÷3＝2.
2 第二次执行循环体：n＝1＋1＝2，x＝0＋2－1＝1，y＝2×1＝2，x2＋y2<36；
22 第三次执行循环体：n＝2＋1＝3，x＝1＋3－1＝3，y＝3×2＝6，满足 x2＋y2≥36，
222 故退出循环，输出 x＝3，y＝6，满足 y＝4x，故选 C.
2 思维升华 (1)高考对算法初步的考查主要是对程序框图含义的理解与运用，重点应放在读懂框图上，尤其是条件结构、 循环结构．特别要注意条件结构的条件，对于循环结构要搞清进入或退出循环的条件、循环的次数，是解题的关键． (2)解决程序框图问题要注意几个常用变量： ①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如 i＝i＋1. ②累加变量：用来计算数据之和，如 S＝S＋i. ③累乘变量：用来计算数据之积，如 p＝p×i.
故选 B.
-5-
常为而不置，故为者常成；常行而不休，故行者常至。 (2)(2017·山东)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的 x 的值为 7，第二次输入的 x 的值为 9，则第一次、第
新高一数学暑期教学大纲
和二次函数为基础，重点要单调性 函数的基 第6讲 2、奇偶性 本性质 3、周期性 第7讲 指数函数 1、指数函数性质 2、指数函数运算 第8讲 对数函数 1、对数函数性质 2、对数函数运算 第9讲 幂函数 1、幂函数性质 2、幂函数运算 第10讲 函数应用 1、函数与方程 2、函数模型及其应用
课程背景
对学生都有较高的要求；高一知识的学习需要以初中一次函数和二次函数为基础，重点要掌握集合和基础初等函数，包括指 须熟练应用的知识点。
课程背景
与初中知识相比，高中知识更加抽象，概念化极强，在理解程度和思维方式上对学生都有较高的要求；高一知识 数函数、对数函数以及幂函数等。集合和初等函数都是高考的必考点，也是必须熟练应用的知识点。
新高一数学暑期教学大纲
课次 学习内容 教学重点
1、理解一次函数的概念，学会求一次函数的解析式 一次函数 第1讲 的认识及 2、学习根据已知一次函数的值求对应自变量的值 应用 3、利用一次函数解决实际问题 第2讲 二次函数 1、复习二次函数解析式基本求法 2、熟练掌握利用二次函数解决实际问题 1、元素与集合的关系 2、集合中元素的特性 集合与元 第3讲 3、集合的分类 素 4、集合的表示方法 第4讲 集合与集 1、集合与集合的关系 合 2、集合与集合的运算 函数及其 1、函数三要素 表示 2、函数的表示方法
2020新版新高一暑期衔接数学讲义
新高一衔接教材数学新版高一暑期衔接数学课程第1讲数与式1910+⨯的正整数n ，有1(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲基本不等式【内容概述】基本不等式2a bab +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3、如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4、常用不等式有：1）2222211a b a b ab a b++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； 2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； 3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。
变式1: 变式：（配凑项与系数） 1. 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
3.（耐克函数型）求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。
4.（用耐克函数单调性）求函数2254x y x +=+的值域。
5.（条件不等式）1）若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .2）已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
高一升高二数学暑假衔接班讲义第1讲(学)
第1讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 （一）热点透析 考查目标 1.考查点、线、面的位置关系，考查逻辑推理能力与空间想象能力；2.考查公理、定理的应用，证明点共线、线共点、线共面的问题；3.运用公理、定理和结论证明或判断一些空间图形的位置关系．达成目标 1.理解、熟记平面的性质公理，灵活运用并判断直线与平面的位置关系；2.异面直线位置关系的判定是本节难点，可以结合实物、图形思考．（二）知识回顾1． 平面的基本性质公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过 上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有 过该点的公共直线．2． 直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2. 3． 直线与平面的位置关系有 、 、 三种情况．4． 平面与平面的位置关系有 、 两种情况．5． 公理4 平行于 的两条直线互相平行．6． 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 ．[难点正本 疑点清源]1． 公理的作用公理1的作用是判断直线是否在某个平面内；公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；公理3的作用是如何寻找两相交平面的交线以及证明“线共点”的理论依据；公理4是对初中平行线的传递性在空间中的推广．2．正确理解异面直线的定义：异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点．不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1．在下列命题中，所有正确命题的序号是________．①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点；②经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；③经过两条相交直线，有且只有一个平面；④如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合；⑤四边形确定一个平面．2．正方体各面所在平面将空间分成________部分．3．空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是________．4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b( )A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线5．已知A、B表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理错误的是( ) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A二、高频考点专题链接题型一平面基本性质的应用例1在正方体ABCD—A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：点C1，O，M共线．探究提高(1)证明若干点共线也可以公理3为依据，找出两个平面的交线，然后证明各个点都是这两平面的公共点．(2)利用类似方法也可证明线共点问题．(1)E、C、D1、F四点共面；(2)CE、D1F、DA三线共点．题型二异面直线的判定的中点．问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．探究提高(1)证明直线异面通常用反证法；(2)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等．已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．求证：(1)BC与AD是异面直线；(2)EG与FH相交．题型三异面直线所成的角例3正方体ABCD—A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．.探究提高求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( )A．30°B．45°C．60°D．90°反思总结点、直线、平面位置关系考虑不全面致误典例：(5分)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是() A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面易错分析由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断．温馨提醒(1)平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立，如“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”在空间中不成立，所以在用一些平面几何中的定理和结论时，必须说明涉及的元素都在某个平面内．(2)解决点、线、面位置关系问题的基本思路：一是逐个判断，利用空间线面关系证明正确的结论，寻找反例否定错误的结论；二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断，但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致．构造衬托平面研究直线相交问题典例：(4分)在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD 都相交的直线有________条．审题视角找三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一个平面内，作与三条直线都相交的直线．因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面．进而研究公共交线问题．温馨提醒(1)本题难度不大，但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查，难度一般都不会太大．(2)误区警示：本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多．这说明学生还是缺少空间想象能力，缺少对空间直线位置关系的理解.方法与技巧1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线．2．判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解．失误与防范1．全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．2．异面直线所成的角范围是(0°，90°]．巩固练习 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件2．下列命题正确的个数为 ( )①经过三点确定一个平面②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0 B．1 C．2 D．33．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是( )①P∈a，P∈α⇒a⊂α②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈bA．①②B．②③C．①④D．③④4. 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为( )A．1 B．2C．3 D．4二、填空题(每小题5分，共15分)5．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．6．下列命题中不．正确的是________．(填序号)①没有公共点的两条直线是异面直线；②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．7． (2011·大纲全国)已知正方体ABCD －A 1 B 1 C 1 D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为______．三、解答题(共22分)8． (10分) 如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？9． (12分)如图，在四面体ABCD 中作截面PQR ，若PQ 、CB 的延长线交于M，RQ、DB的延长线交于N，RP、DC的延长线交于K，求证：M、N、K三点共线．拓展训练(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1. 如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过 ( )A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M2．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是( )A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交3．以下四个命题中①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题(每小题5分，共15分)4．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)5. 如图是正四面体的平面展开图，G 、H 、M 、N 分别为DE 、BE 、EF 、EC 的中点，在这个正四面体中，①GH 与EF 平行；②BD 与MN 为异面直线；③GH 与MN 成60°角；④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．6． (2012·四川)如图，在正方体ABCD －A1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．三、解答题7． (13分)如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为正方形ABCD 的中心，H 为直线B 1D 与平面ACD 1的交点．求证：D 1、H 、O 三点共线．。
高一升高二数学暑假衔接班讲义第四讲(学)
第4讲 直线的方程（一）热点透析考查目标 1.考查直线的有关概念，如直线的倾斜角、斜率、截距等；考查过两点的斜率公式；2.求不同条件下的直线方程(点斜式、两点式及一般式等)；3.在直线与圆锥曲线的关系问题中考查直线．达成目标 1.理解数形结合的思想，掌握直线方程的几种形式，会根据已知条件求直线方程；2.会根据直线的特征量画直线，研究直线性质．（二）知识回顾1． 直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴 与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 . ②倾斜角的范围为 ． (2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在． ②过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 2． 直线方程的五种形式3. 过P 1(x 1，y 1222(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为 ；(2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为 ； (3)若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为 ； (4)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为 . 4． 线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22y ＝y 1＋y22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． [难点正本 疑点清源](1)直线的倾斜角与斜率的关系斜率k 是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k ＝tan α.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率．(2)①求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应对斜率存在与不存在加以讨论．②在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论．附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1． 若直线斜率的绝对值等于1，则直线的倾斜角为___________． 2． 若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为__________． 3． 过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为____________．4． 直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点．则直线l 的倾斜角的取值范围为____________． 5． 如果A ·C <0，且B ·C <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限二、高频考点专题链接题型一 直线的倾斜角与斜率例1 (1)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23(2)直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6探究提高 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π两种情况讨论．由正切函数图象可以看出当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，求实数m 的取值范围．题型二 求直线的方程例2 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P (3,2)，且在两坐标轴上的截距相等； (2)过点A (－1，－3)，斜率是直线y ＝3x 的斜率的－14；(3)过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点且|AB |＝5.探究提高在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2，3)，求：(1)BC所在直线的方程；(2)BC边上中线AD所在直线的方程；(3)BC边的垂直平分线DE的方程．题型三直线方程的综合应用例3已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．探究提高利用直线方程解决问题，要灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式．已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．反思总结分类讨论思想在求直线方程中的应用典例：(12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝1，AB、AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合．将矩形折叠，使A点落在线段DC上．若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程．温馨提醒(1)求直线方程时，要考虑对斜率是否存在、截距相等时是否为零以及相关位置关系进行分类讨论．(2)本题对斜率k 为0和不为0进行分类讨论．易错点是忽略k ＝0的情况.方法与技巧1． 要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k ＝y 2－y 1x 2－x 1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x 1≠x 2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.2． 求斜率可用k ＝tan α(α≠90°)，其中α为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论”．3． 求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系数法． 失误与防范1． 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率． 2． 根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性．3． 利用一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0求它的方向向量为(－B ，A )不可记错，但同时注意方向向量是不唯一的．巩固练习(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝02. 如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 23． 已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或14． 过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32B.32C ．3D ．－3二、填空题(每小题5分，共15分)5． 过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________．6． 直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P 、Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是________． 7． 已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．三、解答题(共22分)8． (10分)已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16.9． (12分)经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，求直线l 的倾斜角α与斜率k 的范围．拓展训练(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 直线2x －my ＋1－3m ＝0，当m 变动时，所有直线都通过定点 ( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－3 2． 设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0 (θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( )A ．[0，π)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π43． 经过点P (1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的方程为( )A ．x ＋2y －6＝0B ．2x ＋y －6＝0C ．x －2y ＋7＝0D ．x －2y －7＝0二、填空题(每小题5分，共15分)4． 已知两点A (－1，－5)，B (3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的两倍，则直线l 的斜率是________．5． 一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________________．6． 若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．三、解答题7． (13分)如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．。
2019年暑期高三课程大纲
2019年暑期高三课程大纲天一班雏鹰训练营-参透课本高考要求：源于教材，高于教材！最好的回顾教材的机会不是在高考前，而是在这个暑假，只有在这个暑假先完成“源于教材”的工作，才能实现之后“高于教材的”目标！第一讲：集合与函数第二讲：函数（1）第三讲：函数（2）第四讲：三角函数（1）第五讲：三角函数（2）第六讲：三角恒等变换（1）第七讲：三角恒等变换（2）第八讲：平面向量（1）第九讲：平面向量（2）第十讲：解三角形第十一讲：数列（1）第十二讲：数列（2）第十三讲：不等式（1）第十四讲：不等式（2）第十五讲：立体几何（1）第十六讲：立体几何（2）第十七讲：平面解析几何（1）第十八讲：平面解析几何（2）第十九讲：统计与概率第二十讲：圆锥曲线（1）第二十一讲：圆锥曲线（2）第二十二讲：导数（1）第二十三讲：导数（2）第二十四讲：推理与证明（1）第二十五讲：推理与证明（2）第二十六讲：计数原理第二十七讲：概率、复数第二十八讲：空间向量与立体几何第二十九讲：矩阵与变换第三十讲：极坐标与参数方程二期August高三拓展课数列专场第一讲数列单调性的处理第二讲等差与等比（1）第三讲等差与等比（2）第四讲数列综合之子列问题第五讲数列综合之裂项求和问题第六讲数列综合之进退位方法的运用第七讲数列综合之极限问题第八讲数列综合之{2n}性质的运用第九讲数列综合之不定方程（1）第十讲数列综合之不定方程（2）第十一讲数列综合之不定方程（3）第十二讲数列综合之创新问题的处理附加II卷拓展第一讲数学归纳法第二讲构造递推数列第三讲排列数与组合数第四讲排列组合与二项式定理第五讲二项式定理第六讲以集合为载体的问题（一）第七讲以集合为载体的问题（二）第八讲排列组合与概率期望第九讲数学归纳法扩展第十讲综合复习大师刷题课第一卷南京市2019届高三9月学调研第二卷苏州市2019届高三暑假自主学习测试第三卷南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试第四卷南京市、盐城市2019届高三年级第二次模拟考试第五卷苏州市2019届高三第一学期期末考试第六卷无锡市2019届高三第一学期期末考试第七卷常州市2019届高三第一学期期末考试第八卷镇江市2019届高三第一学期期末考试第九卷扬州市2019届高三第一学期期末考试第十卷苏北四市2019届高三第一学期期末考试第十一卷南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试第十二卷苏锡常镇四市2019届高三教学情况调研（一）第十三卷南通七市2019届高三第二次调研测试第十四卷南京市2019届高三第三次模拟考试第十五卷苏锡常镇四市2019届高三教学情况调研（二）第十六卷南通七市2019届高三第三次调研测试第十七卷盐城市2019届高三次三次模拟考试第十八卷南京市、盐城市2019届高三年级第一次模拟考试第十九卷南通市、泰州市2019届高三年级第一次调研考试第二十卷常州市2019届高三第一学期期末考试第二十一卷南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试第二十二卷南京市2019届高三第三次模拟考试经典真题卷2008届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）2009届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）2010届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）2011届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）2012届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）2013届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）2013届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）2014届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）2015届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）2016届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）2017届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）2018届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）2019届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）。
高一升高二数学暑期教案学生版
目录第一讲三角恒等变换 (2)第二讲正弦定理和余弦定理 (10)第三讲数列的综合问题 (21)第四讲基本不等式 (30)第五讲直线、平面平行的判定与性质 (37)第六讲直线、平面垂直的判定与性质 (44)第七讲直线与方程 (55)第八讲圆的方程 (65)第九讲直线与圆、圆与圆的位置关系 (72)第十讲椭圆 (79)第一讲 三角恒等变换【高考考点】本节主要包括3个知识点：1.三角函数的化简求值；2.三角函数的条件求值；3.三角恒等变换的综合问题.【考点解读】(一) 三角函数的化简求值1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式2.二倍角公式考点一、三角函数式的化简1.三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．[例1] 已知α∈(0，π)，化简：(1＋sin α＋cos α)·⎝⎛⎭⎫cos α2－sin α22＋2cos α＝________.[方法技巧] 三角函数式的化简要遵循“三看”原则考点二、三角函数的给角求值[例2] 求值：(1)1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°1tan 5°－tan 5°；(2)sin 50°(1＋3tan 10°)．[方法技巧]给角求值问题的解题规律解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形．能力练通1.[考点二]计算：1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝( )A.22 B.12C.32 D ．－222.[考点二](1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( ) A. 3 B ．1＋2C ．2 D ．2(tan 18°＋tan 27°)3.[考点一]化简：(sin 2α＋cos 2α－1)(sin 2α－cos 2α＋1)sin 4α＝________.4.[考点一]化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝________.（二） 三角函数的条件求值考点一、给值求值问题[例1] 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．[方法技巧]给值求值问题的求解思路(1)先化简所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．考点二、给值求角问题[例2] (1)设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4B.5π4C.7π4D.5π4或7π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．[方法技巧]1.[考点一]已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A.13B.23C ．－23 D ．－132.[考点一]若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，则cos β＝( ) A.22B.210C.22或－210D.22或2103.[考点二](2017·成都模拟)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是( ) A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π44.[考点二]若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.5.[考点一]已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．(三) 三角恒等变换的综合问题利用三角恒等变换将三角函数化简后研究图象及性质是高考的热点．在高考中以解答题的形式出现，考查三角函数的值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题.考点、三角恒等变换与三角函数性质的综合问题[典例] 已知向量m ＝(sin x,1)，n ＝3A cos x ，A2cos 2x (A >0)，函数f (x )＝m ·n 的最大值为6.(1)求A ；(2)将函数y ＝f (x )的图象向左平移π12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，5π24上的值域．[方法技巧]三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用(1)图象变换问题先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 或余弦型函数y ＝A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式，再进行图象变换． (2)函数性质问题求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：①利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式；②利用公式T ＝2πω(ω>0)求周期；③根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；④根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间．1．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．2．已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx －1，x ∈R(其中ω>0)． (1)求函数f (x )的值域；(2)若函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数y ＝f (x )的单调增区间．3．已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23sin ωx cos ωx (0<ω<1)，直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴．(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求sin α的值．全国卷5年真题集中演练1.(2016·全国甲卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5C ．6 D ．72．(2015·新课标全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12 D.123．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2 D ．2α＋β＝π24．(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知sin 2α＝23，则cos 2α＋π4＝( )A.16B.13C.12D.235．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.【考题定时练习】 一、选择题1．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13C ．－23 D.232．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( ) A ．－233 B ．±233C ．－1 D ．±13．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝( )A ．1B ．2C ．3D ．44．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则sin α＝( ) A.45 B ．－45C.35 D ．－355．在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( ) A.π4 B.π3C.π2 D.3π46．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3·tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( )A ．α<π4<βB ．β<π4<αC.π4<α<β D.π4<β<α二、填空题7．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－22sin 2x 的最小正周期是________． 8．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝________. 9．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 10．若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝________. 三、解答题11．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x ，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；(2)若sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求f ⎝⎛⎭⎫α2＋π24.12．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性．第二讲正弦定理和余弦定理【高考考点】本节主要包括3个知识点：1.利用正、余弦定理解三角形；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状；3.正、余弦定理的综合应用.【考点解读】(一)利用正、余弦定理解三角形定理正弦定理余弦定理内容asin A＝bsin B＝csin C＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径)a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝a2＋c2－2ac cos_B；c2＝a2＋b2－2ab cos_C变形形式a＝2R sin A，b＝2R sin_B，c＝2R sin_C；sin A＝a2R；sin B＝b2R；sin C＝c2R；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A；a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2Rcos A＝b2＋c2－a22bc；cos B＝a2＋c2－b22ac；cos C＝a2＋b2－c22ab考点一、利用正弦定理解三角形利用正弦定理可以解决的两类问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角．由于三角形的形状不能唯一确定，会出现两解、一解和无解三种情况．在△ABC 中，已知a ，b 和A ，解的个数见下表[例1] (1)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.[易错提醒](1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍．(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断．考点二、利用余弦定理解三角形 利用余弦定理可以解决的两类问题(1)已知两边及夹角，先求第三边，再求其余两个角． (2)已知三边，求三个内角．[例2] (1)在△ABC 中，已知a －b ＝4，a ＋c ＝2b ，且最大角为120°，则这个三角形的最大边等于( )A ．4B ．14C ．4或14D ．24(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b ，则A ＝________. 考点三、利用正、余弦定理解三角形[例3] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，A ＝2B . (1)求a 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4的值．[方法技巧]正、余弦定理的运用技巧解三角形时，一般是根据正弦定理求边或列等式，若式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中一个角之间的关系，若式子中含有角的余弦或边的二次式，则考虑用余弦定理；若以上特征都不明显，则要考虑两个定理都有可能用到．1.[考点一]在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则A ＝( ) A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°2.[考点二]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝7，b ＝3，c ＝2，则A ＝( ) A.π6B.π4C.π3D.π23.[考点二]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝2 3，cos A ＝32且b ＜c ，则b ＝( ) A ．3 B ．22C ．2 D. 34.[考点一]在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，B ＝60°，则cos C ＝________.5.[考点三]设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A＝2sin B ，则c ＝________.6.[考点三]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C . (1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值．（三） 利用正、余弦定理判断三角形的形状 1．应用余弦定理判断三角形形状的方法 在△ABC 中，c 是最大的边，若c 2<a 2＋b 2，则△ABC 是锐角三角形； 若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是直角三角形； 若c 2>a 2＋b 2，则△ABC 是钝角三角形． 2．判断三角形形状的常用技巧 若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论.考点、利用正、余弦定理判断三角形的形状[典例] (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cb <cos A ，则△ABC 为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形(2)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 [易错提醒]在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A cos B ＝ba ＝2，则该三角形的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．钝角三角形3．在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试判断△ABC 的形状．(三) 正、余弦定理的综合应用考点一、三角形面积问题三角形的面积是与解三角形息息相关的内容，经常出现在高考题中，难度不大．解题的前提条件是熟练掌握三角形面积公式，具体的题型及解题策略为：(1)利用正弦定理、余弦定理解三角形，求出三角形的有关元素之后，直接求三角形的面积，或求出两边之积及夹角正弦，再求解．(2)把面积作为已知条件之一，与正弦定理、余弦定理结合求出三角形的其他各量．面积公式中涉及面积、两边及两边夹角正弦四个量，结合已知条件列方程求解．[例1] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(2b －c )cos A ＝a cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，b ＝2c ，求△ABC 的面积．[方法技巧]三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．考点二、三角形中的范围问题解三角形问题中，求解某个量(式子)的取值范围是命题的热点，其主要解决思路是： 要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大．[例2] 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角． (1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．[易错提醒]涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．考点三、正、余弦定理在平面几何中的应用在平面几何图形中考查正弦定理、余弦定理是近几年高考的热点，解决这类问题既要抓住平面图形的几何性质，也要灵活选择正弦定理、余弦定理、三角恒等变换公式． 此类题目求解时，一般有如下思路：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果．做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题．[例3] 如图，已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝π3，b ＝7，c＝2，D 为BC 的中点． (1)求cos ∠BAC 的值； (2)求AD 的值． 能力练通1.[考点一]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3 B.932 C.332D ．3 32.[考点三]如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足，若DE ＝22，则cos A ＝( )A.223B.24C.64D.633.[考点二]△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则角A 的取值范围是________．4.[考点二]已知△ABC 中，角A ，32B ，C 成等差数列，且△ABC 的面积为1＋2，则AC 边的长的最小值是________．5.[考点一]已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C . (1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积．全国卷5年真题集中演练1．(2016·全国丙卷)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010 D ．－310102．(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B.5C ．2D ．13．(2016·全国甲卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________.4．(2015·新课标全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．5．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．6．(2016·全国乙卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cosA )＝c . (1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．7．(2015·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． (1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．8．(2013·新课标全国卷Ⅰ)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点， ∠BPC ＝90°. (1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .【考题定时练习】 一、选择题1．在△ABC 中，若sin C sin A ＝3，b 2－a 2＝52ac ，则cos B 的值为( )A.13B.12C.15D.142．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若S ＋a 2＝(b ＋c )2，则cos A 等于( ) A.45 B ．－45C.1517D ．－15173．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解 D ．有解但解的个数不确定4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34C.36D.385．在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc 且sin (A ＋B )sin B ＝23，则A ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b c －a ＝sin A sin C ＋sin B ，则B ＝( )A.π6B.π4C.π3D.3π4 二、填空题7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b＝________.8．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S ＝3，则三角形外接圆的半径为________．9．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.10．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________.三、解答题11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且a sin B ＝－b sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3. (1)求A ；(2)若△ABC 的面积S ＝34c 2，求sin C 的值．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋C ·sin ⎝⎛⎭⎫π3－C . (1)求角A 的值；(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．第三讲 数列的综合问题【高考考点】本节主要包括2个知识点：1.数列求和；2.数列的综合应用问题.【考点解读】 （一）数列求和 1．公式法与分组转化法 (1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． ①等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .②等比数列的前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.(2)分组转化法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和后相加减． 2．倒序相加法与并项求和法 (1)倒序相加法如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和公式就是用此法推导的． (2)并项求和法在一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用错位相减法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的. 考点一、分组转化法求和[例1] 已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝5，a n ＝2a n －1＋3n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝a n －3n (n ∈N *)． (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .[方法技巧]分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组转化法求{a n }的前n 项和．(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和． 考点二、错位相减法求和[例2] (2016·山东高考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n ，求数列{c n }的前n 项和T n .[方法技巧]错位相减法求和的策略(1)如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{b n}的公比，然后作差求解．(2)在写“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式．(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．考点三、裂项相消法求和[例3]数列{a n}的前n项和为S n＝2n＋1－2，数列{b n}是首项为a1，公差为d(d≠0)的等差数列，且b1，b3，b9成等比数列．(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式；(2)若c n＝2(n＋1)b n(n∈N*)，求数列{c n}的前n项和T n.[易错提醒]1.[考点一]若数列{a n}的通项公式为a n＝2n＋2n－1，则数列{a n}的前n项和为() A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－22.[考点三]已知函数f(x)＝x a的图象过点(4,2)，令a n＝1f(n＋1)＋f(n)，n∈N*.记数列{a n}的前n 项和为S n，则S2 017＝()A. 2 016－1B. 2 017－1C. 2 018－1D. 2 018＋13.[考点二]已知数列{a n}的前n项和为S n且a n＝n·2n，则S n＝________.4.[考点一]已知数列{a n}的通项公式是a n＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，求其前n 项和S n.5.[考点三]正项数列{a n}的前n项和S n满足：S2n－(n2＋n－1)S n－(n2＋n)＝0.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)令b n＝n＋1(n＋2)2a2n ，数列{b n}的前n项和为T n.证明：对于任意的n∈N*，都有T n<564.(二)数列的综合应用问题1.等差、等比数列相结合的问题是高考考查的重点，主要有：(1)综合考查等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、等差(比)中项、等差(比)数列的性质；(2)重点考查基本量(即“知三求二”，解方程(组))的计算以及灵活运用等差、等比数列的性质解决问题.2.数列与函数的特殊关系，决定了数列与函数交汇命题的自然性，是高考命题的易考点，主要考查方式有：(1)以数列为载体，考查函数解析式的求法，或者利用函数解析式给出数列的递推关系来求数列的通项公式或前n项和；(2)根据数列是一种特殊的函数这一特点命题，考查利用函数的性质来研究数列的单调性、最值等问题.3.数列与不等式的综合问题是高考考查的热点.考查方式主要有三种：(1)判断数列问题中的一些不等关系，如比较数列中的项的大小关系等.(2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，求不等式中的参数的取值范围等.(3)考查与数列问题有关的不等式的证明问题.考点一、等差数列与等比数列的综合问题[例1]在等差数列{a n}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝2a n－10，证明：数列{b n}为等比数列；(3)求数列{nb n }的前n 项和T n .[方法技巧]等差数列、等比数列综合问题的两大解题策略(1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．[提醒] 在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后还要注意结论的整合．考点二、数列与函数的综合问题[例2] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)． (1)证明：数列{b n }为等比数列；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列{a n b 2n }的前n 项和S n .[方法技巧]数列与函数问题的解题技巧(1)数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题； ②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．(2)解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决．考点二、数列与不等式的综合问题[例3] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，求使(n －8)b n ≥nk 对任意n ∈N *恒成立的实数k 的取值范围．[方法技巧]数列与不等式相结合问题的处理方法(1)如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等． (2)如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等． 总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．1.[考点一]设{a n } 是首项为a 1 ，公差为－1 的等差数列，S n 为其前n 项和．若 S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－122.[考点一]已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________.3.[考点二]等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知f (x )＝2x －12x ＋1，且f (a 2－2)＝sin 2 014π3，f (a 2 014－2)＝cos 2 015π6，则S 2 015＝________.4.[考点一]已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7，问：b 6与数列{a n }的第几项相等？5.[考点三]设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11 000成立的n 的最小值．[全国卷5年真题集中演练]1.(2012·新课标全国卷)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3 690 B ．3 660 C ．1 845 D ．1 8302．(2015·新课标全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．3．(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.4．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和．【考题定时练习】 一、选择题1．在数列{a n }中，a n ＝2n －12n ，若{a n }的前n 项和S n ＝32164，则n ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．62．已知等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，且a 3，a 4＋52，a 11成等比数列．若p －q ＝10，则a p －a q ＝( )3．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，那么S 100的值为( ) A ．2 500 B ．2 600 C ．2 700 D ．2 8004．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 017的值为( ) A ．2 017 B ．2 016 C ．1 009 D ．1 0075．已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，且a 5＝π2，若函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x2，记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为( ) A ．0 B ．－9 C ．9 D ．16．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1(2n ＋1)a n 的前n 项和T n ＝( )A ．－n2n ＋1B.n 2n ＋1C ．－2n2n ＋1D.2n 2n ＋1二、填空题7．(2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.8．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 016项的和等于________．9．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.10．已知lg x ＋lg y ＝1，且S n ＝lg x n ＋lg(x n －1y )＋lg(x n －2y 2)＋…＋lg(xy n －1)＋lg y n ，则S n ＝________.三、解答题11．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，S n 为其前n 项和．数列{b n }为等差数列，且满足b 1＝a 1，b 4＝S 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n ·log 2a 2n ＋2，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：13≤T n <12.12．已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝3a n a n ＋1，试求数列{b n }的前n 项和T n .第四讲 基本不等式【高考考点】本节主要包括2个知识点：1.利用基本不等式求最值；2.基本不等式的综合问题.【考点解读】（一）利用基本不等式求最值1．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 2．几个重要的不等式⎭⎪⎬⎪⎫(1)a 2＋b 2≥2ab ，a ，b ∈R ；(2)b a ＋ab≥2，ab >0；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ，b ∈R ；(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ，b ∈R 当且仅当a ＝b 时等号成立.3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则：(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)考点一、通过拼凑法利用基本不等式求最值[例1] (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________．[方法技巧]通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．考点二、通过常数代换法利用基本不等式求最值[例2] 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值为________．[方法技巧]常数代换法求最值的方法步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值．考点三、通过消元法利用基本不等式求最值[例3] 已知正实数x ，y 满足xy ＋2x ＋y ＝4，则x ＋y 的最小值为________． [方法技巧]通过消元法利用基本不等式求最值的方法。
2019年暑期高一课程大纲
2019年暑期高一课程大纲
高一课程大纲高中角度-黄金四讲
第一讲：一次函数（解析式，图像性质及应用）；
第二讲：二次函数（解析式，图像性质，二次拓展，三次函数）；第三讲：反比例（幂）函数（解析式，图像性质及应用）
第四讲：函数与方程（三个二次，函数综合，解不等式）高一衔接课程
专题一因式分解
专题二指数运算
专题三方程与方程组
专题四函数
专题五不等式
专题六集合及其表示
专题七集合的运算
专题八集合复习课
专题九函数的概念
专题十函数的单调性（1）
专题十一函数的单调性（2）
专题十二函数的值域
专题十三函数的奇偶性（1）
专题十四函数的奇偶性（2）
专题十五函数性质复习课
专题十六指数函数
专题十七函数的图象
专题十八函数与方程
专题十九一元二次方程根的分布专题二十测试与评讲
高一拓展课程
第一讲集合拓展（1）
第二讲集合拓展（2）
第三讲函数值域问题
第四讲函数三要素（1）
第五讲函数三要素（2）
第六讲函数性质（1）
第七讲函数性质（2）
第八讲函数性质综合
第九讲函数图像变换（1）
第十讲函数图像变换（2）
第十一讲函数与方程（1）
第十二讲函数与方程（2）。
高中数学暑假教案模板范文
高中数学暑假教案模板范文课程名称：高中数学授课教师：XXX时间安排：暑假第1-8周教学目标：1. 复习和巩固高中数学基础知识，提高数学应用能力；2. 深入理解高中数学概念，培养逻辑思维能力；3. 增强解决问题的能力，提高数学学习兴趣。
教学内容：第1周：代数运算复习- 整式的加减乘除；- 分式的加减乘除；- 二次根式的加减乘除；- 多项式的乘法和除法。
第2周：方程与不等式- 一元一次方程与一元二次方程的求解；- 一元一次不等式与一元二次不等式的求解；- 二元一次方程组的求解；- 绝对值方程与不等式的求解。
第3周：函数- 函数的概念与性质；- 基本初等函数的性质与图像；- 函数的运算；- 函数的应用。
第4周：三角函数- 角度制与弧度制；- 基本三角函数的定义与性质；- 三角函数的图像；- 三角函数的应用。
第5周：空间几何- 空间平面与空间直线的表示方法；- 空间几何图形的性质与判定方法；- 空间中点与中线；- 空间中的距离与夹角。
第6周：立体几何- 空间中几何体的表面积与体积；- 空间几何体的位置关系与相交关系；- 空间几何体的组合与切割。
第7周：概率统计- 概率的基本概念；- 事件的概率与概率计算；- 统计图表的绘制与分析；- 数据的描述性统计与推断统计。
第8周：复习与总结- 针对易错题进行强化练习；- 整体知识的巩固与总结；- 提高解题技巧与应试能力；- 解答学生提出的问题与疑惑。
教学方式：1. 知识讲解与梳理；2. 练习和作业检查；3. 分组讨论和合作学习；4. 实验与探究活动；5. 课外拓展与应用实践。
评估方式：1. 日常作业成绩；2. 课堂表现与参与度；3. 定期小测与月考成绩；4. 课程设计与实践能力；5. 暑假作业完成情况。
教学资料：1. 课本与习题册；2. 高考试题与模拟题；3. 视频教学资源；4. 网络学习平台；5. 实物模型与工具装备。
教学总结：通过暑假期间的高中数学教学，学生能够全面复习巩固数学基础知识，提高数学应用能力，深入理解数学概念，培养逻辑思维能力，增强解决问题的能力，提高数学学习兴趣，为新学期的学习打下坚实基础。
新高一数学暑假衔接课程
新高一数学暑假衔接课程(总40页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--新高一数学衔接课程说明课程目标初高中数学无论是在知识的广度和难度上，还是在学习方法上，都存在较大的差异，对于刚升入新高一的学生来说，在学习中存在很多不适应的地方：比如学习习惯、学习方法等.因此我们编写了这套《初高中数学衔接课程》，旨在解决以上问题.1．补充初高中脱节的数学知识、需要加深的初中数学知识等，为高中学习铺路搭桥.2．学习集合与函数等知识，使新高一的学生了解高中数学的基本特点、要求、学法及教学方法；3．培养学生学习高中数学的自信心.适用对象新高一学生课时安排授课时间：7-8 月，共计 10-15 次课，20 小时（一对一）或 30 小时（班组课）.课程特色以初中所学知识为起点，逐步过渡到高一知识，注重在初高中知识之间搭台阶，平稳起步；对于高中新知识，注重对概念、定理、公式的理解，避免死记硬背；在知识衔接的同时，注重学习方法、学习习惯的衔接.课程结构第1讲数与式第2讲一元二次方程与韦达定理第3讲一元二次函数与二次不等式第4讲集合的基本概念第5讲集合的基本运算第6讲集合的综合复习第7讲函数的概念与定义域第8讲求函数的值域第9讲函数的解析式第10讲函数的表示方法及值域综合复习第11讲函数的单调性（1）第12讲函数的单调性（2）第13讲函数的奇偶性第14讲指数运算第15讲对数运算第1讲 数与式知识点一：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 【典型例题】：（1）计算： 22)312(+-x x =___________________________________（2）计算：()222(42)a b a ab b +-+=______________________________ （3）计算()2232(964)x y x xy y +-+ =____________________________ (4)()223(469)x x xy -++=___________________________________ 变式1：利用公式计算（1）)916141(31212++⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m =_______________________(2) ()()2222()()a b a ab b a b a ab b +-+-++=________________________ 变式2:利用立方和、立方差公式进行因式分解（1） 3327m n - （2）331278m n -（3）3125x - （4） 66m n -【典型例题】（1）)41101251)(2151(22n mn m n m +--（2）已知2310x x -+=，求331x x +的值．（3）已知0=++c b a ，求111111()()()a b c bccaab+++++的值． 变式1:计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++变式2:已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．知识点二、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2(0)a a =≥a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩0,0)a b =≥≥0,0)a b=>≥ 【典型例题】：基本的化简、求值化简下列各式：+1)x +≥=_____________（3）（4）21)(1++--=_______________________+（6）设x y =，求33x y +=_______________________变式1:a =-成立的条件是( ) A ．0a >B ．0a <C ．0a ≤D ．a 是任意实数变式2:若3x <|6|x -的值是( )A ．－３B ．３C ．－９D ．９变式3：（1）21)(1++--+知识点三、分式 【典型例题—1】： 1、分式的化简（1）化简233396162279x x x x xx x x ++-+-+-- （2）化简11xx x x x-+-2、（1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯； （3）证明：对任意大于1的正整数n ，有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+． 3、分式的运用设ce a =，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值变式1：对任意的正整数n ，1(2)n n =+______________变式2:选择题：若223x y x y -=+，则x y =（ ）（A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）65变式3:计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯知识点四、因式分解 【内容概述】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。
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高一暑假课程大纲·数学
讲次内容教学目标
第一讲二次函数及高次不等式①掌握二次函数系数与交点的问题
②因式分解解高次不等式
第二讲集合的含义和表示①掌握元素与集合之间的关系
②掌握集合的常见的表示方法
第三讲集合间的基本关系①掌握集合间的一些运算
②了解集合运算间的结论
第四讲函数的概念及表示方法①理解函数的概念
②掌握函数的定义域值域问题
③了解函数的三种表达形式
第五讲单调性与最值①掌握用定义法求函数的单调性
②掌握对勾函数的性质
③掌握复杂函数的单调新
④掌握利用单调性求函数的最值
第六讲奇偶性①掌握定义法求奇偶性
②掌握复杂函数的奇偶性
③掌握奇偶性的简单运用
第七讲函数性质综合①掌握函数单调性与奇偶性的结合
②了解周期性
③理解对称性
④了解函数对称性和周期性的区别
第八讲指数运算与指数函数①掌握指数的相关运算
②掌握指数的函数的相关性质
第九讲对数运算①掌握对数的概念
②掌握对数的相关性质及运算
第十讲对数函数①掌握对数函数的概念与性质
②理解对数函数与指数函数的性质
第十一讲幂函数与二次函数①理解幂函数的概念与性质
②掌握二次根的分布及根系关系
第十二讲函数与方程①理解函数与方程的关系
②掌握如何进行一些简单的函数图象变换
③掌握排除法求解函数图象
高二暑假课程大纲·数学
讲次内容教学目标
第一讲直线的倾斜角与斜率①掌握直线斜率与倾斜角的间的关系
②理解直线的五种表达形式
③掌握直线与直线的位置关系
第二讲点到直线距离问题、对称
问题
①掌握距离公式
②掌握点跟直线的对称问题
第三讲圆的方程①掌握圆的概念
②掌握圆的标准方程与一般方程之间的转化
第四讲直线与圆的位置关系①掌握直线与圆的位置关系
②掌握直线与圆的弦长计算问题
③了解圆与圆的计算问题
第五讲空间几何体结构、三视
图、直观图
①了解一些常见的几何体
②掌握常见的几何体的三视图
③掌握直观图的做法
第六讲空间几何体的表面积、体
积的计算
①掌握三视图的还原
②掌握椎体、柱体的表面积、体积的计算
第七讲点线面的位置关系①掌握三大公理
②掌握点线面的之间的关系
第八讲线、面平行①线、面平行的判定
②线、面平行的性质
第九讲线、面垂直判定①线面垂直的判定
②面面垂直的判定
第十讲线面垂直的性质①掌握线面垂直的性质
②掌握面面垂直的性质
第十一讲线面角计算①掌握线面角的概念
②掌握线面角的几种处理处理方方法
第十二讲二面角的计算①掌握二面角的概念
②掌握二面角的几种处理方法
高三暑假课程大纲·数学。