六方晶系四指数推导讲解

1.4 晶向指数和晶面指数

一晶向和晶面

1 晶向

晶向：空间点阵中各阵点列的方向（连接点阵中任意结点列的直线方向）。晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线的指向。

2 晶面

晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面（在点阵中由结点构成的平面）。晶体中原子所构成的平面。

不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。材料的许多性质和行为（如各种物理性质、力学行为、相变、X光和电子衍射特性等）都和晶面、晶向有密切的关系。所以，为了研究和描述材料的性质和行为，首先就要设法表征晶面和晶向。为了便于确定和区别晶体中不同方位的晶向和晶面，国际上通用密勒（Miller）指数来统一标定晶向指数与晶面指数。

二晶向指数和晶面指数的确定

1 晶向指数的确定方法

三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示。

(1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a，b，c，坐标原点在待标晶向上。

(2)选取该晶向上原点以外的任一点P(xa，yb，zc)。

(3)将xa，yb，zc化成最小的简单整数比u，v，w，且u∶v∶w = xa∶yb∶zc。

(4)将u，v，w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw]。

图1 晶向指数的确定方法

图2 不同的晶向及其指数

当然，在确定晶向指数时，坐标原点不一定非选取在晶向上不可。若原点不在待标晶向上，那就需要选取该晶向上两点的坐标P(x1，y1，z1)和Q(x2，y2，z2)，然后将(x1-x2)，(y1-y2)，

(z 1-z 2)三个数化成最小的简单整数u ，v ，w ，并使之满足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2)。则[uvw ]为该晶向的指数。

显然，晶向指数表示了所有相互平行、方向一致的晶向。若所指的方向相反，则晶向指数的数字相同，但符号相反，如图3中[001]与[010]。

说明：

a 指数意义：代表相互平行、方向一致的所有晶向。

b 负值：标于数字上方，表示同一晶向的相反方向。

c 晶向族：晶体中原子排列情况相同但空间位向不同的一组晶向。用表示，数字相同，但排列顺序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。晶体结构中那些原子密度相同的等同晶向称为晶向轴，用表示。

<100>：[100] [010] [001] [001] [010] [100]

<111>：[111] [111] [111] [111] [111] [111] [111] [111]

图3 正交点阵中的几个晶向指数

2 晶面指数的确定

国际上通用的是密勒指数，即用三个数字来表示晶面指数（h k l ）。图4中的红色晶面为待确定的晶面，其确定方法如下。

图4 晶面指数的确定

(1)建立一组以晶轴a ，b ，c 为坐标轴的坐标系，令坐标原点不在待标晶面上，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边长a ，b ，c 。

(2)求出待标晶面在a ，b ，c 轴上的截距xa ，yb ，zc 。如该晶面与某轴平行，则截距为∞。

(3)取截距的倒数1/xa ，1/yb ，1/zc 。

(4)将这些倒数化成最小的简单整数比h ，k ，l ，使h ∶k ∶l = 1/xa ∶1/yb ∶1/zc 。

(5)如有某一数为负值，则将负号标注在该数字的上方，将h ，k ，l 置于圆括号内，写成(hkl )，则(hkl )就是待标晶面的晶面指数。

说明：晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而是代表着一组相互平行的晶面。

a 指数意义：代表一组平行的晶面；

b 0的意义：面与对应的轴平行；

c 平行晶面：指数相同，或数字相同但正负号相反；

d 晶面族：晶体中具有相同条件（原子排列和晶面间距完全相同），空间位向不同的各组晶面，用{hkl}表示。

在立方系中，{100}：（100）（010）（001），{110}：（110）（101）（011）（110）（101）（011），{111}：（111）（111）（111）（111）

e 若晶面与晶向同面，则hu+kv+lw=0;

f 若晶面与晶向垂直，则u=h, k=v, w=l。

立方系常用晶面指数图5。

图5 立方系常用晶面指数

例子：请确定图6中的晶面的晶面指数，并在图7中画出这些晶面指数所代表的晶面。

首先选定坐标系，如图所示。然后求出待标晶面在a，b，c轴上的截距，分别为a/2，2b/3，c/2。取倒数后得到2，3/2，2。再将其化成最小的简单整数比，得到4，3，4三个数。于是该面的晶面指数为(434)。

图6

图7晶面指数的标注

所有相互平行的晶面在三个晶轴上的截距虽然不同，但它们是成比例的，其倒数也仍然是成比例的，经简化可以得到相应的最小整数。因此，所有相互平行的晶面，其晶面指数相

同，或者三个符号均相反。可见，晶面指数所代表的不仅是某一晶面，而且代表着一组相互平行的晶面。

图8立方晶胞的{110}、{111}晶面族

3 关于晶面指数和晶向指数的确定方法还有以下几点说明：

(1)参考坐标系通常都是右手坐标系。坐标系可以平移（因而原点可置于任何位置）。但不能转动，否则，在不同坐标系下定出的指数就无法相互比较。

(2)晶面指数和晶向指数可为正数，亦可为负数，但负号应写在数字上方，如（231），[112]等。

(3)若各指数同乘以不等于零的数n ，则新晶面的位向与旧晶面的一样，新晶向与旧晶向或是同向(当n >0)，或是反向(当n <0)。但是，晶面距（两个相邻平行晶面间的距离）和晶向长度（两个相邻结点间的距离）一般都会改变，除非n =1。

从以上各例可以看出，立方晶体的等价晶面具有“类似的指数”，即指数的数字相同，只是符号（正负号）和排列次序不同。这样，我们只要根据两个（或多个）晶面的指数，就能判断它们是否为等价晶面。另一方面，给出一个晶面族符号{hkl }，也很容易写出它所包括的全部等价晶面。