第一章大气运动的基本方程组

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§1.2球坐标和局地直角坐标中的基本方程组
∂ρ ∂ρ u ∂ρ v ∂ρω + + + = 0 ∂t ∂x ∂y ∂z → ∂ρ + ∇ 3 (ρ V3) = 0
∂t d ρ + ρ∇ dt
3
（ .12a） 1 （ .12b） 1 （ .12c） 1
即
或
V3 = 0
四、热力学第一定律
dT dα + p =Q Cv dt dt
利用状态方程，上式可变换为: dT dp −α = Q Cp dt dt 即：
（ .4a） 1
Cp
dp ⎞ dT ⎛ − α ω = Q ⎜ω = ⎟ dt ⎠ dt ⎝
(1.4b)
热力学方程还可变换为以下常见的形式: Cp dp dα R α + pr = Q , (γ = )( dt dt Cv Cv
§1.2球坐标和局地直角坐标中的基本方程组
对球坐标方程组可作如下简化:
∂ ∂ = 这里z为海拔高度，a是地球半径,设为常数,r的方向即为z的方向，且 ∂r ∂z
（1）
（ z = z + a ≈ a z << a）；
（2）除赤道地区外，略去包含的项； ω 在大尺度运动中， 比 u 、v 小两个量级，且科氏力平均不做功 u2 + v2 uω vω (3)部分曲率项，如 ， 和 在方程中是小 项，为保持能量守恒必须同时略去； (4)连续方程(1.7)中, 2 ω << ∂ ω ,为保持整个大气角动 量守恒应略去 2 ω 项。
k
（ .4 f） 1 （ .4 g） 1
⎛ p0 ⎞ θ =T⎜ ⎟ p ⎠ ⎝
R k (位温) = , p0 = 常数 = 1013.25hpa Cp
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§1.1 旋转坐标系的基本方程组
四、热力学第一定律
将上述运动方程写成分量形式，则以上共有六个方程。 若摩擦力和外界加热律为已知函数，则其中包含六个未 知数，在 z坐标中为: 为闭合方程。 如果考虑水汽的相变过程，则 Q 中还应包含相变潜 dq 热项： − L , 其中L为凝结潜热，q代表比湿，这时还 dt 要补充一个水汽方程。
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§1.1 旋转坐标系的基本方程组
一、运动方程
由动力气象学已知，根据牛顿第二定律，在旋转地球上 的单位质量空气，遵循以下运动规律:
地球自转角速度
→
科源自文库力
→ → → → dV 1 = − ∇3 p − 2 Ω× V3 + g + F dt ρ
→ → →
(1.1)
g = g a − Ω× (Ω× r ), g a 为地心引力, r 为地心(坐标原点)到空气质点的向径.
率项； Fλ , Fϕ 和 Fγ 代表不同方向摩擦力的作用。 热力方程和水汽方程的形式仍为式(1.4b)和(1.5b)：
dp ⎞ ⎛ dT − α ω = Q ⎜ω = ⎟ Cp dt ⎠ dt ⎝ (1.4b)
dq S = ρ dt
（ .5b） 1
d 但其中的全微商 取（1.8）式的形式。 dt
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u , v , ω , p , T 因此，此方程 ,α .
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§1.1 旋转坐标系的基本方程组
五、水汽方程
对于边长为 δ x , δ y , δ z 的小体积元，单位时间内通 过边界上的交换净得的水汽质量为: − ∇ 3 ( ρ v V 3 ) δ x δ y δ z 其中为水汽密度。又设单位时间、单位体积内水汽的源或汇 为S，它是由水汽的相变过程产生。则水汽方程为:
→
∂ρ v = −∇ ∂t
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3
ρ v V3 + S
→
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§1.1 旋转坐标系的基本方程组
五、水汽方程
→ ∂ρ v = − ∇ 3 ρ v V3 + S ∂t 已知比湿 q = ρ v ρ , ρ 为空气密度，代入上式，得到：
∂ρ q = −∇ ∂t
3
ρ q V3+ S
→
利用连续性方程，上式可写成： → ∂q S + V 3 ∇ 3q = ρ ∂t d q S = 或 d t ρ
（1.6b）
dω 1 ∂p u 2 + v2 =− + fu − g + + Fγ dt ρ ∂γ γ
⎡ dρ ∂u ∂ ( v co s ϕ ) ∂ ( ω γ 2 ) ⎤ +ρ ⎢ + + ⎥ =0 2 dt γ ∂γ ⎦ ⎣ γ co s ϕ ∂ λ γ co s ϕ ∂ ϕ
（1 .6 c ）
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§ 1.3 普遍垂直坐标转换
气象中常用的几种垂直坐标、如z坐标，P坐标、σ坐 标等都是以不同的变量来度量垂直方向的距离，而不改变 坐标轴的方向。实际上，高度z的任何一个单值单调函数 s=s(x，y，z，t)都可以作为垂直坐标。以下在静力近似的 条件下推导s坐标与z坐标的转换关系式和s坐标中的基本方 程组。
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§ 1.3 普遍垂直坐标转换
设A为任意标量函数。
A ( λ , ϕ , s , t ) = A [ λ , ϕ , z ( λ , ϕ , s , t ), t ]
∂A ∂A ∂z = ∂s ∂z ∂s
∂A ⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂A ⎞ ⎛ ∂A ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ∂t ⎠ s ⎝ ∂t ⎠ z ∂z ⎝ ∂t ⎠ s ⎝
-1 对于干空气：Rd = 2.870 ×10（焦耳 ⋅ 克-1 ⋅ 开尔文-1）
对于湿空气： R = 1 + 0.608 q） Rd （
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§1.1 旋转坐标系的基本方程组
四、热力学第一定律
热力学第一定律反映了能量守恒原理。对单位质量的非 粘性气体，热力学第一定律有以下形式:
→
式中
r ∂ ∂ ∂ ∂ uu d ∂ = + u + v + ω = + V3 ∇3 ∂x ∂y ∂z ∂t dt ∂t
(1.13)
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§1.2球坐标和局地直角坐标中的基本方程组
注意 （1）要注意局地直角坐标和笛卡尔坐标虽然在形式上 类似，但二者是有根本区别的. （2）在垂直运动方程(1.9c)和(1.11c)中，等号右端 前两项比其余二项大三个量级以上，故可以在相当精确的 程度上略去dω/dt和Fz两项,得到静力平衡关系或称静力方 程。它表示在垂直方向上气压梯度力和重力相平衡。
（1.9a） （1.9b）
dω 1 ∂p （1.9c） =− − g + Fγ dt ρ ∂z ⎡ 1 ∂u dρ 1 ∂v cos ϕ ∂ω ⎤ +ρ⎢ + + ⎥ = 0 （1.10） ∂z ⎦ dt ⎣ a cos ϕ ∂λ a cos ϕ ∂ϕ
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§1.2球坐标和局地直角坐标中的基本方程组
dT dα Cv + p =Q dt dt
(1 .4 a )
Cv
Cv
—— 空气的定容比热
dα p dt
dT —— 单位质量理想空气内能的变化率 dt
—— 可逆过程中单位质量非粘性气体在 单位时间里膨胀 所作的功 —— 外界对单位质量空气的加热率
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Q
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§1.1 旋转坐标系的基本方程组
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主讲教师：王澄海教授
第一章 大气运动的基本方程组
大气运动的状态和规律可以用一组流体动力学和热力学 方程组来表示。数值天气预报就是在给定的初始条件下，通 过数值积分描写大气运动的方程组而得到未来某一时刻大气 环流的状况和气象要素的分布。因此，首先要给出描写大气 运动的基本方程组。 大气运动遵循动量变化定律（即牛顿第二定律）、质量 守恒定律、热力学第一定律等。以下给出这些定律在大气运 动中的表现形式，它们与状态方程、水汽方程等一起构成大 气运动的基本方程组。
σ
2
∂T T ∂θ = − ∂p θ ∂p
α = − θ
式中Cp为气体的等压比热,Cp=Cv+R,R为气体数,θ为位温.
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§1.1 旋转坐标系的基本方程组
四、热力学第一定律
利用位温公式,热力学方程还可表示为:
d ln θ Q = dt C pT
或
dθ θ = Q dt C pT
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§1.2球坐标和局地直角坐标中的基本方程组
局地直角坐标中，运动方程和连续方程的形式为:
du dt dv dt dω dt ∂ρ ∂t 1 ∂p + fv + F x ρ ∂x 1 ∂p = − − fu + F y ρ ∂y 1 ∂p = − − g + Fz ρ ∂z ∂ρ u ∂ρ v ∂ρω + + + = ∂x ∂y ∂z = − (1 . 1 1 a ) (1 . 1 1 b ) (1 . 1 1 c ) 0 (1 . 1 2 a )
r
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r
r
r
r
∂r
§1.2球坐标和局地直角坐标中的基本方程组
简化后的球坐标运动方程和连续方程为:
du 1 ∂p uvtgϕ =− + fv + + Fλ ρ a cos ϕ ∂λ dt a
dv 1 ∂p u 2 tgϕ =− − fu − + Fϕ ρ a ∂λ dt a
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（ .4c） 1
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§1.1 旋转坐标系的基本方程组
四、热力学第一定律
r Q ⎛ ∂ ⎞ + V ⋅ ∇ ⎟ T − σ 1ω = ⎜ C p ⎝ ∂t ⎠
（ .4d） 1 （ .4e） 1
∂θ ∂p
r ⎛ ∂ + V ⋅∇ ⎜ ⎝ ∂t
σ1 = α
Cp −
R ⎞⎛ ∂ϕ ⎞ ⎜⎟ − σ 2ω = Q ⎟⎜ ⎟ Cpp ⎠⎝ ∂p ⎠
（1 . 7）
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§1.2球坐标和局地直角坐标中的基本方程组
式中：
f = 2Ω sin ϕ ~ = 2Ω cos ϕ f
（1 . 8）
∂ ∂ ∂ d u v ∂ = + + + ω ∂t ∂γ dt γ cos ϕ ∂λ γ ∂ϕ
1 ~ 运动方程中含 f 和 f 的项为科氏力项，含 γ 的项为曲
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§1.2球坐标和局地直角坐标中的基本方程组
uvtg ϕ uω du 1 ∂p − + Fλ =− + fv − f ω + γ γ ργ cos ϕ ∂λ dt
dv 1 ∂p u 2tgϕ vω =− − fu − + + Fϕ ργ ∂ϕ γ γ dt
（1.6a）
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（1 .5 a ） （1 .5b ）
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§1.2球坐标和局地直角坐标中的基本方程组
实际地球是一个椭球体，其半径在赤道和极地相差22公 里。这个差值比地球半径小得多，因而气象上一般都把地球 当作球体，其平均半径为6371公里。设λ表示经度，φ为纬 度，r是以地心为原点的质点位置向量。由直接坐标转换或 借助于普遍的正交曲线坐标都可以推导出球坐标中标量形式 的运动方程和连续方程组:
→
→
→
→
→
F 为摩擦力.
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§1.1 旋转坐标系的基本方程组
二、连续方程
由质量守恒定律可得到连续方程：
或
r dρ + ρ∇ ⋅V = 0 dt r dρ + ∇ （ ρ V ）= 0 ⋅ dt r dα - ∇ （ α V ）= 0 ⋅ dt
α=
1
(1 . 2 a )
(1 . 2 b )
(1 . 2 c )
ρ
, 称为比容
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§1.1 旋转坐标系的基本方程组
三、状态方程
在正常温度和气压变化范围内，千空气和湿空气可以认为 是理想气体。其状态方程为:
p = ρ RT
（1 . 3 a ）
或
p α = RT
（1 . 3 b ）
p — 压强、 T — 绝对温标、R — 气体常数
（ .14） 1
即
∂A ⎛ ∂z ⎞ ⎛ ∂A ⎞ ⎛ ∂A ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ∂t ⎠ z ⎝ ∂t ⎠ s ∂z ⎝ ∂t ⎠ s ⎝
（ .15a） 1
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§ 1.3 普遍垂直坐标转换
同理：
⎛ ∂A ⎞ ⎛ ∂A ⎞ ∂A ⎛ ∂z ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎝ ∂λ ⎠z ⎝ ∂λ ⎠s ∂z ⎝ ∂λ ⎠s
对短期预报，在不太大的水平范围(例如1、2千公里) 内，可以略去地球此率的影响。令
a cos ϕ d λ = dx , ad ϕ = dy
y 轴自该点指向正东，
这相当于采用了一个新的坐标系，它的原点在观测
x 点，
z 轴指向正北，
轴指向天
顶（垂直向上）。在这种定义下，显然对不同的观测 点，坐标轴的方向是不同的。这种坐标称为局地直角坐 标系或简称局地坐标系。