重点高中自主招生模拟考试题

重点高中自主招生模拟考试

数 学 试 卷

一.选择题（32分）

1．已知实数x 满足x

2＋

1

x

2

＋x －

1

x

＝4，则x －

1

x

的值是（ ）．

A ．－2

B ．1

C ．－1或2

D ．－2或1 2．如图，已知四边形OABC 是菱形，CD ⊥x 轴，垂足为D ，函数y ＝

4

x

的图象经过点C ，

且与AB 交于点E ．若OD ＝2，则△OCE 的面积为（ ）．

A ．2

B ．2 2

C ．4

D ．4 2

3．如图，半圆O 的直径AB=10cm ，弦AC=6cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为（ ） A ． cm B ． cm C ． cm D ． 4cm 4．已知二次函数y ＝(

x －a )(

x －b )－2（a ＜b ），并且p 、q 是方程(

x －a )(

x －b )－2＝0的两

根，则实数a 、b 、p 、q 的大小关系可能是（ ）．

A ．p ＜a ＜b ＜q

B ．a ＜p ＜q ＜b

C ．a ＜p ＜b ＜q

D ．p ＜a ＜q ＜b 5．已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 的对边，抛物线y ＝x

2－2ax ＋b

2与x 轴的一个交点为M （a ＋c ，0），则△ABC 是（ ）．

A ．等腰三角形

B ．等边三角形

C ．直角三角形

D ．不确定

6.给出下列命题及函数y =x ，y =x 2和y = ①如果，那么0＜a ＜1；②如果，那么a ＞1； ③如果

，那么﹣1＜a ＜0；④如果

时，那么a ＜﹣1．

则正确的为（ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

7.．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，过B 作BA 1⊥AC ，过A 1作A 1B 1⊥BC ，

得阴影Rt △A 1BB 1；再过B 1作B 1A 2⊥AC ，过A 2作A 2B 2⊥BC ，得阴影Rt △A 2B 1B 2；……如

此下去，则得到的所有阴影三角形的面积之和为（ ）．

A ．48

25

B ．96

25

C ．80

41

D ．96

41

二.填空题(32分)

8.已知a 、b 是方程x

2＋(

m －5)x ＋7＝0的两个根，则(

a

2＋ma ＋7)(

b

2＋mb ＋7)＝

9.如图，⊙O 的半径为2，AB 、CD 是互相垂直的两条直径，点P 是⊙O 任意一点，过点P 作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥CD 于N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆圈走过45°弧长时，点Q 走过的路径长为 10.如图，在Rt △ABC （∠C ＝90°）内放置边长分别为3，4，x 的三个正方形， 则x 的值为

O

A

B

D E

y

x

C

A

B C

A 1

A 2 A 3

B 1 B 2 B 3

11.如图，过正方形

ABCD 的顶点A 作对角线BD 的平行线，在这条线上取一点E ，使BE ＝BD ，连接DE ，则∠AED 等于

12. 如图，直线y ＝－

1 2

x ＋3与双曲线y ＝

k x

（x ＞0）相交于A 、B 点，与x 轴交于点C ，若点B 是AC 的中点，则k ＝

13．如图，以O 为圆心，半径为2的圆与反比例函数y ＝

3 x

（x ＞0）的图象交于A 、B 两点，

则劣弧AB 的长为 14 ．如图，P 为线段AB 上一点，AB ＝4，以AP 为边向上作正方形

APMN ，以BP 为底向下作等腰△BPQ ，连接MQ ，则△MPQ 的最大面积为 15．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A （13，0），直线y=kx ﹣3k+4与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为 ．

16.射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM =MB =2cm ，QM =4cm ．动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为圆心，

cm 为半径的圆与△ABC 的边相切（切点在边上），请写出t 可取的一切

值 （单位：秒）

三.解答题

17．一艘船从A 点以速度V1，行驶方向垂直于河岸，已知水流速度为V2，则船的实际行驶速度是V3（如图），其速度大小和行驶方向为以V1，V2为平行四边形的对角线V3的大小和方向。若V1=2V2，船能否到达正对岸的点/若不能，怎样调整小船的方向，才能使小船到达B 点？

如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥18.CD ，∠DAB=90°，且∠ABC=60°，

AB=BC ，△ACD 的外接圆⊙O 交

于E 点，连接DE 并延长，交AC BC 于P 点，交AB 延长线于F ．

（1）求证：CF=DB ； （2）当AD=时，试求E 点到

的距离．

CF

19．如图，正方形OABC 的边OA ，OC 在坐标轴上，点B 的坐标为（﹣4，4）．点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向点O 运动；点Q 从点O 同时出发，以相同的速度沿x 轴的正方向运动，规定点P 到达点O 时，点Q 也停止运动．连接BP ，过P 点作

C A

D B Q P M N O B C A 3

4 x

B A C

D E O A B x y C

B x A O y A B

N M Q

P

v2v3v2

v1

v1河边

河边

A

B