高考数学函数知识点总结

例 3．设集合 M {1, 0,1} ， N {2, 1, 0,1, 2} ，如果从 M 到 N 的映射 f 满足条件：对 M 中的每个元素 x 与
它在 N 中的象 f (x) 的和都为奇数，则映射 f 的个数是（ ）
( A) 8 个
(B) 12 个
(C) 16 个
考点 2：判断两函数是否为同一个函数 例 1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
例 1．已知二次函数 f (x) 满足 f (2x 1) 4x 2 6x 5 ，求 f (x) （三种方法）
例
2．（09
湖北改编）已知
f
(1 1
x)=1 x 1
x2 x2
，则
f
(x) 的解析式可取为
题型 2：求抽象函数解析式
例 1．已知函数 f (x) 满足 f (x) 2 f ( 1 ) 3x ，求 f (x) x
4．分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
（二）考点分析
考点 1：映射的概念
例 1．（1） A R ， B {y | y 0} ， f : x y | x | ；
（2） A {x | x 2, x N *} ， B y | y 0, y N ， f : x y x2 2x 2 ；
例 1.（08 年湖北）函数 f (x) 1 ln( x 2 3x 2 x 2 3x 4) 的定义域为( ) x
A. (,4) [2,) ;B. (4,0) (0,1) ；C. [,4,0) (0,1] ;D. [,4,0) (0,1)
题型 2：求复合函数和抽象函数的定义域
例 1．（2007·湖北）设
考点 4：求函数的定义域 题型 1：求有解析式的函数的定义域
（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的 x 的取值范围，实际操作时要注
意：① 分母不能为 0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不 等于 0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于 0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交 集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先 原则，实际问题的定义域不要漏写。
考点 3：求函数解析式
(D) 18 个
方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；
（2）若已知复合函数 f [g(x)] 的解析式，则可用换元法或配凑法；
（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出 f (x)
题型 1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式
函数
定义域 区间 定
对应法则 义
值域
映 射 函
奇偶性 数
性 单调性
质 周期性
反 互为反函数的
函 函数图像关系
数
一元二次函数 一元二次不等式
指
根式 分数指数
数
函
指数方程
数
指数函数的图像和性质 对数方程
对数的性质
积、商、幂与 根的对数
对数Biblioteka Baidu
对数恒等式
对
和不等式
数
函
数
常用对数
自然对数
对数函数的图像和性质
函数概念
（3） A {x | x 0} ， B {y | y R} ， f : x y x ．
上述三个对应 是 A 到 B 的映射． 例 2．若 A {1,2,3,4}， B {a, b, c}，a,b, c R ，则 A 到 B 的映射有
个， B 到 A 的映射有 个， A 到 B
的函数有 个
（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，
设 A、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中的每一个数 x ，在集合 B 中都有唯一 确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数，通常记为 y f (x), x A
(2)函数的定义域、值域
在函数 y f (x), x A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做 y f (x) 的定义域；与 x 的值相对应的 y 值
（一）知识梳理
1．映射的概念
设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中的任意元素，在集合 B 中都有唯一确定的
元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从 A 到 B 的映射，通常记为 f : A B ，f 表示对应法则
注意：⑴A 中元素必须都有象且唯一；⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。 2．函数的概念 (1)函数的定义：
例 4．已知 y f (2x 1) 的定义域是（-2，0），求 y f (2x 1) 的定义域
考点 5：求函数的值域 1． 求值域的几种常用方法 （1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，
如求函数 y sin 2 x 2 cos x 4 ，可变为 y sin 2 x 2 cos x 4 (cos x 1)2 2 解决
f x
lg
2 2
x x
，则
f x 2
f 2 的定义域为（ x
）
A. 4,0 0,4；B. 4,1 1,4 ；C. 2,1 1,2；D. 4,2 2,4
例 2．已知函数 y f (x) 的定义域为[a，b] ，求 y f (x 2) 的定义域
例 3．已知 y f (x 2) 的定义域是[a，b] ，求函数 y f (x) 的定义域
（1） f (x) x 2 ， g(x) 3 x3 ；
（2）
f (x)
x x
，
g(x)
1 1
x 0, x 0;
（3） f (x) 2n1 x 2n1 ， g (x) (2n1 x ) 2n1 （n∈N*）；
（4） f (x) x x 1 ， g(x) x 2 x ；
（5） f (x) x 2 2x 1， g(t) t 2 2t 1
叫做函数值，函数值的集合 f (x) x A 称为函数 y f (x) 的值域。
(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则
3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 （1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； （2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。