湖北省荆州市北门中学2019-2020学年高一数学期中试题【含答案】

湖北省荆州市北门中学2019-2020学年高一数学期中试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x-3＜0}，B={x∈N|x＞-2}，则A∩B=（）A. B. C. D. 1,2.函数y=的定义域是（）A. B. C. D.3.下面四组函数中，与表示同一个函数的是（）A. ,B. ,C. ,D. ,4.函数f（x）=2a x+1-1（a＞0，且a≠1）恒过定点（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数．且当x＜0时，f（x）=3x，则f（log94）的值为（）A. B. C. D. 26.已知a=9，b=3，c=4，则（）A. B. C. D.7.已知函数f（x）=，若f（f（0））=3a，则a=（）A. B. C. D. 18.已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），且对任意的x1，x2∈（-∞，1]（x1≠x2）有（x1-x2）（f（x1）-f（x2））＜0．则（）A. B. C. D.9.函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在（-∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.10.函数f（x）是奇函数，且在（0，+∞）内是增函数，f（-3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A. B. C. D.11.函数f（x）=的定义域为，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.12.若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的定义域是______．14.函数的单调递增区间是______ ．15.若f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（x）+g（x）=，则f（x）= ______ ．16.已知函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[-1，0]，则a+b=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（1）化简求值：（）6+（-2018）0-4×（）+；（2）化简求值：+5log32-log3．18.已知全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＞0，x∈R}，B={x|m-2≤x≤m+2}，C={x∈Z|8＜2x+2≤64}．（1）求A∪C；（2）若（∁U A）∩B={x|0≤x≤3}，求实数m的值．19.已知函数．判断函数在区间上的单调性,并用定义证明其结论；求函数在区间上的最大值与最小值．20.已知函数()是偶函数，当时，．(1) 求函数的解析式；(2) 若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围.21.2018年1月8日，中共中央、国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x（单位：克）的关系为：当0≤x＜6时，y是x的二次函数；当x≥6时，．测得数据如表（部分）x（单位：克）0 1 2 9 …y0 3 …（I）求y关于x的函数关系式y＝f（x）；（II）求函数f（x）的最大值．22.已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有＞0成立．（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并用定义证明；（2）解不等式：f（2x-1）＞f（x2-1）；（3）若f（x）≤m2-2am+1对所有的a∈[-1，1]，以及所有的x∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A表示小于3的实数，集合B表示大于-2的自然数，∴A∩B={0，1，2}故选：D．直接利用交集运算得答案．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】A【解析】【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．【解答】解：由题意得：，解得：-1＜x≤2，故函数的定义域是（-1，2]，故选：A．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的定义域及其求法，考查了判断函数是否为同一函数的方法，属于基础题．由函数的定义域及对应关系是否相同分别判断四个选项得答案．【解答】解：A:函数f（x）=|x|的定义域为R，的定义域为[0，+∞），定义域不同，不是同一函数；B:函数f（x）=2x的定义域为R，的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数；C:f（x）=x，=x，两函数为同一函数；D:f（x）=x的定义域为R，的定义域为{x|x≠0}，定义域不同，不是同一函数．故选C.4.【答案】B【解析】解：函数f（x）=2a x+1-1（a＞0，且a≠1），令x+1=0，解得x=-1，∴y=f（-1）=2-1=1，∴f（x）恒过定点（-1，1）．故选：B．根据指数函数的图象与性质，即可求出f（x）所过的定点坐标．本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，是基础题．5.【答案】B【解析】解：∵log94=log32＞0，∴-log32＜0，∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=3x，∴f（-log32）=-f（log32），即f（log 32）=-f（-log32）=-=-，故选：B．根据函数奇偶性的性质，进行转化即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质以及指数函数的性质是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵a=9＞b=3=＞c=4，∴a＞b＞c．故选：B．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．7.【答案】A【解析】解：由题意，f（0）=2，f（f（0））=f（2）=1+a=3a，∴a=．故选：A．由题意，f（0）=2，f（f（0））=f（2）=1+a=3a，即可求出a．本题考查分段函数，考查学生的计算能力，比较基础．8.【答案】B【解析】解：∵x1，x2∈（-∞，1]（x1≠x2）有（x1-x2）（f（x1）-f（x2））＜0，∴f（x）在（-∞，1]上单调递减，∵f（x）=f（2-x），∴函数f（x）的图象关于x=1对称，则f（x）在∈（1，+∞）上单调递增，∵f（-1）=f（3）f（2）＞f（1）∴f（-1）＞f（2）＞f（1）故选：B．由已知可知函数f（x）的图象关于x=1对称，f（x）在（-∞，1]上单调递减，（1，+∞）上单调递增，即可判断本题主要考查了函数的对称性及单调性的应用，解题的关键是函数性质的灵活应用》9.【答案】D【解析】解：由题意可得函数的对称轴x=1-a在（-∞，4]的右侧，1-a≥4，解得a≤3．故选：D．判断函数的对称轴在（-∞，4]的右侧，推出1-a≥4，解不等式求得实数a的取值范围．本题主要考查二次函数的性质的应用，得到a-1≥4 是解题的关键，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f（x）为奇函数，则f（3）=-f（-3）=0，函数f（x）在（0，+∞）内是增函数，且f（-3）=0，在（0，3）上，f（x）＜0，在（3，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）为奇函数，则在（-3，0）上，f（x）＞0，在（-∞，-3）上，f（x）＜0，xf（x）＜0⇒或，则有-3＜x＜0或0＜x＜3，即不等式的解集为（-3，0）∪（0，3）；故选：D．根据题意，由奇函数的性质可得f（3）=0，结合函数的单调性可得在（0，3）上，f（x）＜0，在（3，+∞）上，f（x）＞0，又由f（x）为奇函数，则在（-3，0）上，f（x）＞0，在（-∞，-3）上，f（x）＜0，又由xf（x）＜0⇒或，分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析得到关于x的不等式，属于基础题．11.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了函数的定义域，考查含有参数的不等式恒成立问题，考查运算求解能力和分类讨论思想，属于基础题.根据题意，可得在R上恒成立，当时，有在R上恒成立；当时，可得，即可求出结果.【解答】解：函数的定义域为R，在R上恒成立，①当时，有在R上恒成立，符合条件；②当时，则，解得；综上，实数的取值范围是.故选B.12.【答案】B【解析】【分析】本题考查分段函数、二次函数的性质、指数函数的性质及函数的单调性，分段函数在R上是增函数,首先满足在各自的区间内都是增函数,而且在端点处,右边的端点值值大于或者等于左边的端点值.根据题意得，解不等式组即可求得结果.【解答】解: 根据题意得，解得，因此a的取值范围为.故选B.13.【答案】[0，+∞）【解析】【分析】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，求函数的定义域，属于基础题．由题意可得1-≥0，即≤，由此解得x的范围，即得函数的定义域．【解答】解：由函数可得，1-≥0，即≤，解得x≥0，故函数的定义域是[0，+∞），故答案为[0，+∞）．14.【答案】【解析】【分析】本题考查指数函数、二次函数的单调性，体现了等价转化的数学思想．令t=，则y=，函数y的增区间就是t的减区间，问题转化为求t的减区间．【解答】解：令t===，∴y=，≥t≥0，-1≤x≤2，故t的减区间为[，2]，∴函数y的增区间为[，2]．故答案为.15.【答案】【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性的应用，函数解析式的求解，考查运算求解能力，属于中档题.由f（x）+g（x）=，知，由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，知，即可求得f(x).【解答】解：∵f（x）+g（x）=，①∴，∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴，②①-②，得=，∴.故答案为.16.【答案】【解析】【分析】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题．对a进行分类讨论，结合指数函数的单调性列出方程组，解得答案．【解答】解：当a＞1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是增函数，所以，解得b=-1，=0不符合题意舍去；当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b在定义域上是减函数，所以，解得b=-2，a=，综上a+b=，故答案为：.17.【答案】解：（1）原式=22×33+1-+π-3=108+1-7+π-3=99+π．（2）原式=+=+2=8．【解析】（1）利用指数运算性质即可得出．（2）利用换底公式、对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质、对数换底公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）A={x|x＜-1，或x＞3}，C={x∈Z|1＜x≤4}={2，3，4}；∴A∪C={x|x＜-1，或x≥3，或x=2}；（2）∁U A={x|-1≤x≤3}；∵（∁U A）∩B={x|0≤x≤3}；∴m-2=0；∴m=2．【解析】（1）可求出A={x|x＜-1，或x＞3}，B={2，3，4}，然后进行并集的运算即可；（2）可以求出∁U A={x|-1≤x≤3}，从而根据（∁U A）∩B={x|0≤x≤3}即可得出m-2=0，从而得出m=2．考查描述法、列举法的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，以及交集、并集和补集的运算．19.【答案】解：（1）f（x）在区间[0，+∞）上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，==．∵x1-x2＜0，（x1+1）（x2+1）＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴函数f（x）在区间[0，+∞）上是增函数．（2）由（1）知函数f（x）在区间[2，9]上是增函数，故函数f（x）在区间[2，9]上的最大值为，最小值为．【解析】本题考查函数的单调性的判断与应用，函数的最值的求法，考查计算能力．（1）利用函数的单调性的定义证明即可．（2）利用函数的单调性，求解函数的最值即可．20.【答案】解：(1)设x＜0，则-x＞0，，又f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x），于是x＜0时，，所以；(2)由(1)及二次函数知,f(x)的增区间为[1,+∞)，[-1,0]，单调减区间是(-∞,-1]，[0,1]，又函数在区间上具有单调性,且a+2-a=2，所以或，即a+2≤-1或a≥1，解得a≤-3或a≥1.故实数的取值范围是.【解析】本题考查函数的奇偶性及单调性,同时考查分段函数与二次函数，属于中档题.(1)设x<0,则-x>0，由偶函数及已知解析式即可求解;(2)由二次函数得出f(x)的单调区间,由于的区间长度为2，所以或,建立不等式求解可.21.【答案】解:（I）当0≤x＜6时，由题意，设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．由表格数据得，解得,所以，当0≤x＜6时，,当x≥6时，,由表格数据可得，解得t＝7,所以当x≥6时，,综上，,（II）当0≤x＜6时，, 当x=4时，当x≥6时，单凋递减，当x=6时，,由，所以f（x）的最大值为4.【解析】本题考查函数模型及二次函数和指数函数.(I)由表中数据,结合二次函数和指数函数,分段求解即可.(II)由二次函数和指数函数的性质求解即可.22.【答案】解：（1）任取x1，x2∈[-1，1]且x1＜x2，则-x2∈[-1，1]，∵f（x）为奇函数，∴f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=•（x1-x2），由已知得＞0，x1-x2＜0，∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在[-1，1]上单调递增．（2）∵f（1）=1，f（x）在[-1，1]上单调递增，∴在[-1，1]上，f（x）≤1．问题转化为m2-2am+1≥1，即m2-2am≥0，对a∈[-1，1]恒成立．下面来求m的取值范围．设g（a）=-2m•a+m2≥0．①若m=0，则g（a）=0≥0，对a∈[-1，1]恒成立．②若m≠0，则g（a）为a的一次函数，若g（a）≥0，对a∈[-1，1]恒成立，必须g（-1）≥0，且g（1）≥0，∴m≤-2或m≥2．∴m的取值范围是m=0或m≥2或m≤-2．【解析】（1）利用函数单调性的定义，结合函数奇偶性和条件进行证明即可（2）利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解（3）结合不等式恒成立，利用参数分离法进行求解即可本题主要考查函数奇偶性和单调性的证明和应用，以及不等式恒成立问题的应用，利用参数分离法以及定义法是解决本题的关键．。