第四章控制系统根轨迹法

(5)分离点及分离角
1 1 1 ; d 1 1.27,d 2 4.73 d 0 d ( 2) d ( 3)
θd
(2k 1)π (2k 1)π π 3π , l 2 2 2 (k 0,1)
例7 系统开环传递函数 G(s)
Kg s(s 1)(s 2)
4.1
4.1.1 根轨迹
根轨迹概念与根轨迹方程
当系统某个参数（如开环根轨迹增益Kg）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在s复平面上移动的轨 迹称为系统根轨迹。
绘制根轨迹时，先要在s复平面上绘制出系统的开 环零点和极点。开环零点用“○”表示；开环极点用 “×”表示；根轨迹上标出的箭头表示闭环系统特征 根随着开环根轨迹增益Kg增加时的变化趋势；根轨迹 上标出的数值代表与闭环特征根位置相对应的开环根 轨迹增益Kg的数值。
4.2.1
根轨迹绘制规则及根轨迹的绘制
根轨迹绘制规则
规则一、根轨迹起点和终点 根轨迹起于开环极点，终于开环零点。如果开环零点 数m小于开环极点数n，则有n-m条根轨迹终止于无穷远处。 规则二、根轨迹分支数(条数) j 根轨迹分支数等于开环极点数。 规则三、根轨迹对称性 σ 根轨迹对称于实轴。 规则四、实轴上根轨迹 实轴上的某区段，如果它的右侧开环零点和开环极点 数目之和为奇数，则该区段必是根轨迹的一部分。
式中
l 为分离点处根轨迹条数(即重根数)。
分离点的特性 根轨迹的分离点或位于实轴上或以共轭形式成对出现 在复平面中。一般情况下，根轨迹分离点位于实轴上。 如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间(其中 一个可以是无限极点)，那么这两个极点之间至少存在一个 分离点；同样，如果根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零 点之间(其中一个可以是无限零点)，那么这两个零点之间 至少有一个分离点。
p1 0
-j1.41
渐近线交点 σ
φa
p z
j j 1 i 1
-2
-1
σ
i
a

nm
0 ( 1) ( 2) 0 1
3
σa=-1
渐近线与正实轴夹角 (5)分离点及分离角
1 1 1 0; d 1 0.42,d 2 1.58 d 0 d ( 1) d ( 2)
p z
j
n
m
(5)闭环根轨迹如图
j p2 z1 p1 0 σ
i
σa
j 1
i 1
nm

0 ( 2) ( 1) 1
21
渐近线与正实轴夹角
(2k 1)π (2k 1)π φa π nm 1 (k 0)
-2
σa
-1
例6 系统开环传递函数
G(s)
j
p z
j
n
m
180°
i
60° σ
σa
j 1
i 1
nm

[0 ( 1) ( 2)] 0 1 3
-2
-1
-60°
0
σa
(3)渐近线与正实轴夹角
φa (2k 1)π (2k 1)π π π , π, nm 3 3 3 (k 0,1)
规则五、根轨迹渐近线 当开环根轨迹增益Kg增加时，若某一条根轨迹越来 越趋近于某一直线，则该直线称为根轨迹渐近线。 渐近线条数：如果开环零点数m小于开环极点数n，则当 根轨迹增益Kg趋近无穷时，有n-m条渐近线。 渐近线与实轴交点
σa
p z
j j 1 i 1
n
m
i
nm
渐近线与实轴正方向夹角
自动控制原理
潘 维 加
长沙理工大学电气与信息工程学院
第四章 根轨迹法
根轨迹法是一种图解方法，它是由美国学者伊万 思（W.R.Evans）在1948年发表《控制系统图解分析》
一文中提出的。它是依据反馈控制系统开、闭环传递
函数之间的内在联系，提出的一种由开环传递函数绘 制闭环系统根轨迹的方法。它是s域分析方法。
(2)闭环极点之积与开环零、极点有如下关系
n n m
s p
j j 1 j 1
j
Kg
z
i 1
i
根轨迹的绘制规则见教材表4-1。
4.2.2
根轨迹的绘制
绘制根轨迹的步骤 （1）将系统开环传递函数化为零、极点标准形式； （2）求出系统的开环零点和极点，并标在s平面上； （3）确定根轨迹分支数； （4）确定实轴上根轨迹； （5）绘制根轨迹渐近线； （6）确定根轨迹分离点及分离角； （7）确定根轨迹起始角和终止角； （8）求出根轨迹与虚轴交点； （9）绘制根轨迹，并标出根轨迹运动方向。
K g (s 3) s(s 2)
，试绘制系统闭环根轨迹。
解(1)开环零点、极点
开环极点：p1=0，p2=-2，开环零点：z1=-3。 (2)根轨迹分支数 n=2 (3)实轴上根轨迹(-2,0)，(-∞,-3) (4)渐近线条数 n-m=2-1=1，渐近线交点
p z
j
n
m
i
σa
j 1
例4 单位负反馈控制系统的开环传递函数为
G(s) Kg s(s 1)(s 2)
求其根轨迹与虚轴的交点。 解 闭环特征方程
D(s) s(s 1)(s 2) K g s 3 3s 2 2s K g 0
令s=j
D(jω ) jω (jω 1)(jω 2) K g (jω ) 3 3(jω ) 2 2jω K g 0
P2的出射角
θ p2 180


j 1
m
(pi z j )

j 1 j i
n
(pi p j ) 180 (135 90 ) 45
P3的出射角
θ p 180
3


j 1
m
(pi z j )

j 1 j i
n
(pi p j ) 180 ( 135 ) ( 90 ) 405 (45 )
(2k 1)π φa nm k 0,1,2,
例2 单位负反馈控制系统的开环传递函数
G(s) Kg s(s 1)(s 2)
试绘制其根轨迹的渐近线。 解(1)渐近线条数 开环极点：p1=0，p2=-1，p3=-2，n=3； 无开环零点，m=0。 渐近线条数：n-m=3 (2)渐近线交点
(6)根轨迹与虚轴交点 令s=j s(s+1)(s+2)+Kg=0
(2k 1)π (2k 1)π π π , π, ; (k 0,1) 闭环特征方程 nm 3 3 3
(jω ) 3 3(jω ) 2 2jω K g 0
j -90 j


P2
j
j3 135
P2
j3
P1 -135 -j3
P2
j3
P1

-3 90
P3
P1

-3
P3
-3
P3
-j3
-j3
规则八 、根轨迹与虚轴交点 根轨迹与虚轴交点对应于系统特征方程的纯虚根。 有两种求法： (1)直接将s=j代入特征方程，并令其实部和虚部分别为零， 联立方程即可求出交点值和相应的Kg值。即 令s =j，有
该式称为根轨迹方程。
假设系统开环传递函数有m个零点、n个极点，将上式 写成零、极点的形式，有
Kg G(s)H(s)
(s z
i 1 j
m
i
) 1
(s p
j 1
n
)
式中
所以
zi为开环零点，pj为开环极点，Kg为根轨迹增益。
Kg
sz
i 1 j
百度文库
m
i
s p
j 1
试绘制系统闭环根轨迹。
解(1)开环零点、极点
j 开环极点：p1=0，p2=-1，p3=-2，无开环有限零点 d =-0.42 (2)根轨迹分支数 n=3 K =0.38 (3)实轴上根轨迹(-1,0),(- ∞,-2) p3 p2 (4)渐近线条数 n -m=3m - 0=3 n
1
g
j1.41 Kg=6
例5 系统开环传递函数 解(1)开环零点、极点
G(s)
K g (s 1) s(s 2)
，试绘制系统闭环根轨迹。
开环极点：p1=0，p2=-2，开环零点： z1=-1。 (2)根轨迹分支数 n=2 (3)实轴上根轨迹(-1,0)，(-∞,-2) (4)渐近线条数 n-m=2-1=1 渐近线交点
令实部、虚部分别等于零，
2 3ω K g 0 3 ω 2ω 0
联立解得 1=0， 2,3=±1.41，Kg=6
规则九、开环零极点与闭环极点特性 (1)当n - m≥2时，闭环极点之和等于开环极点之和，即
s p
j j 1 j 1
n
n
j
式中 sj为闭环极点。
i 1 j 1 j i n m
即，根轨迹进入复数零点的入射角等于180加上各极点到 该零点诸矢量相角之和减去其它零点到该零点诸矢量相角 之和。
例3 单位负反馈控制系统的开环传递函数为
G(s) Kg s(s 3 j3)(s 3 j3)
试求极点p2,3=-3±j3的出射角。 解 开环极点p1=0，p2=-3+j3，p3=-3-j3，无开环零点。
例1 系统开环传递函数为
G(s)
Kg s(s 2)
，Kg为开环根轨迹增益，
试确定系统闭环特征根随开环根轨迹增益Kg增加时的变化轨迹。 解 系统有两个开环有限极点 p1=0， p2= -2，无开环有限零点。 闭环系统传递函数
Kg C(s) G(s) Φ(s) 2 R(s) 1 G(s) s 2s K g
1 G k (jω ) 0
K g 与虚轴交点的根迹增益 ω 与虚轴交点的频率 Re[1 G k (jω )] 0 Im[1 G k (jω )] 0
(2)根据系统特征方程，列劳斯表，并令其第一列中包含有 Kg的元素为零，求出临界根迹增益Kg值，再由s2行的系数构 成辅助方程，求出交点的值。
j
d
d2
d
d1 σ
规则七、根轨迹出射角和入射角 根轨迹离开复数极点的角度称为出射角；根轨迹进入 复数零点的角度称为入射角。
极点pi的出射角 θ p i 180 (pi z j ) (pi p j ) j 1 j 1 j i m n
即，根轨迹离开复数极点的出射角等于180加上各零点到 该极点诸矢量相角之和减去其它极点到该极点诸矢量相角 之和。 零点zi的入射角 φ zi 180 (z i p j ) (z i z j )
4.1.2
根轨迹方程
根轨迹是闭环系统特征方程根的集合，绘制根轨迹实 质上是计算闭环系统特征方程的根。 设控制系统方框图
R(s)
G(s)
H(s)
C(s)
闭环系统传递函数 闭环特征方程 即
G(s) Φ(s) 1 G(s)H(s)
D(s) 1 G(s)H(s) 0
G(s)H(s) 1
Kg=∞
R(s)
Kg s(s 2)
C(s)
j
闭环系统特征方程
闭环系统特征根
D(s) s 2 2s K g 0
Kg=0
p2
Kg=1 p1
σ
-2
-1
0 Kg=0
s 1,2 1 1 K g
Kg=∞
改变Kg值，可求得相应的特征根。将所有特征根绘制在s 复平面上，即为系统根轨迹，如图所示。
规则六、根轨迹分离点与分离角 两条或两条以上根轨迹分支在s平面上相遇又立即分 开的点称为根轨迹分离点。
分离点的坐标方程 式中

1 1 d p j i 1 d z i j 1
n

m
pj为开环极点，zi为开环零点。
根轨迹离开分离点处切线与实轴正方向的夹角称为根 轨迹的分离角。
分离角
(2k 1)π θd ; k 0,1 l
n
1
幅值条件
(s z ) (s p
i i 1 j 1
m
n
j
) (2k 1)π (k 0,1,2, )
相角条件
复平面上的s点，如果是闭环极点，那么它与开环零、 极点所组成的矢量必满足幅值条件和相角条件。 相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件。
4.2
i 1
nm

0 ( 2) ( 3) 1
21
(6)绘制根轨迹
Kg=7.46 d2 -4.73 z1 -3 p2 -2
Kg=0.54
d1
j p1 σ a 0 1 σ
渐近线与正实轴的夹角
φa (2k 1)π (2k 1)π π; (k 0) nm 1
-1.27