光学小波变换(第8讲)

05.10.2020
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数学、图像处理、生物医学工程 领域的应用：
数学领域：用于数值分析、构造快速数值方 法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论 等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、 传递等。
图象处理领域：图象压缩、分类、识别与诊 断，去污等。
生物医学工程领域：成像方面的减少B超、 CT、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。
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小波信号
信号S(t)在某一时刻突然出 现，但很快衰减到零，是
S（t）
暂短的信号，称为小波信
号。许多光学信号，例如
远处空中的目标、显微镜
下的物体、被鉴别的指纹
等等。
t
0
它们不显著为零的分量只
分布在有限的区域内，即
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是暂态过程。
t 我们仅对 内的时间信 号感兴趣。
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一维信号的傅里叶变换和逆变换
为方便分析采用一维的信号:
G (fx) g(x)ex p i2 [fxx]dx(1)
g(x) G(fx)exip2[fxx]dxf (2)
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快速过程或暂态过程
Short-time Fourier transform
(1)式表示信号g(x)中频率为fx的成份含量为G(fx), x 可以是时间变量或空间变量, G(fx)则分别表示时间频
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傅里叶变换和傅里叶逆变换表达式:
函数图像g(x,y)的傅里叶变换和傅里叶逆变换表达式:
G (fx ,fy) g (x ,y)ex i2 p (fx x [fy y)d ] xd ,
g(x,y) G (fx,fy)ex i2 p (fxx[,fyy)d ] xd ,
Gw(f,x0) g(x)expi2(fx)w(xx0)dx（3）
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Short-time Fourier transform
在频域中的表达式:
G w ( f , x 0 ) [ W ( f ) e 2 i x f 0 ) x G p ] ( f )
W和G分别是w和g的傅里叶变换.只要有足够快的衰减 速度,窗函数就是一个局部化的函数。
ha,b(x) 1 h(xb), (5) aa
式中 b 称为小波变换的位移因子, a>0 称为伸缩因子.
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小波宽度的伸缩
右图可见当a增大时,小 波的宽度加宽(膨胀);
当a减小时,小波的宽度 变小(收缩).
(5)式表明基本小波是母 函数经平移和缩放的结 果.
基本小波即简称为小波 (Wavelet)
光学小波变换
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小波变换的概念-1
小波变换的概念是1974年由法国从事石油地质勘探 信号处理的工程师 J.Morlet 和A.Grossmann 在分 析处理地震数据时首先引进的,并成功地运用于地震 信号的分析。后来法国数学家Y.Meyer从理论上对 小波作了一系列研究,极大地丰富了现代调和分析的 内容。
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小波变换分析
在信号处理上,富里叶变换分 析的一个不足之 处是它不能作局部分析,小波变换分析正好能 弥补这一不足。
小波变换分析从有限个具局部性与振动性的 小波函数出发,通过平移与展缩使得函数的分 析在时域和频域两方面同时局部化, 因而为各 类函数空间的分析提供了较传统富里叶分析 更有 力的工具。
（3）式定义的变换即称为短时傅里叶变换(shorttime Fourier transform; STFT)。
特点是频率变量 f 和坐标变量x0同时出现在变换函数 中。 为卷积算符.
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小波变换的定义和性质
1,小波变换的定义 母函数h(x)的基本小波函数ha,b(x)定义为:
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短时傅里叶变换（STFT）
为提取局部信号g(x)的信息，引入局部化变换的概念,其 有两个要素：
1，被分析的区间要有一定的宽度 x ，仅对它附近的
信息进行处理；
2，被分析的区间有一个中心坐标xc，当xc改变时，就
可提取不同的信息。
为了实现局部化,在傅里叶变换中加入一个窗函数w(x):
1988年 Arneodo 及 Grasseau 等人将小波分析运 用于混沌动力学和分形理论以研究湍流及分形生长 现象 。
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小波变换的概念-2
小波变换是一个时间和频率的局域变换，它 能有效地从信号中提取信息，同时通过伸缩 和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度 细化分析（Multiscale Analysis），解决了 Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而 小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和 分析发展史上里程碑式的进展。
对于稳定不变的信号，处理的理想工具是傅立叶分 析。然而在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，
而小波变换分析就是一个对非稳定信号进行处理 的有力工具。
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小波变换分析的应用领域
1,数学； 2,信号分析、图象处理； 3,量子力学、理论物理； 4,军事电子对抗与武器的智能化； 5,计算机分类与识别； 6,音乐与语言的人工合成； 7,生物医学工程成像与诊断； 8,地震勘探数据处理； 9,大型机械的故障诊断等方面等等。
率或空间频率的成份含量.
如果g(x)是一个时域或空域中分布在( ,) 中
的恒稳过程或稳定分布,则傅里叶分析会给出近乎完美 的结果 ,然而在自然界和科学技术中大量的信号具有局 部或定域的特性。例如：语言信号、声纳信号、各种电 脉冲等。
这些信号只出现在一个暂短的时间间隔内，此后很快衰 减到零，这是一种快速过程或称暂态过程。
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小波变换的概念-3
信号和图像处理是当代前沿科学技术的一个重要的 组成部分，信号和图像处理的目的就是：准确地对 信息进行分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递 或存储、精确地重构（或恢复）。
从数学的角度来看，信号与图象处理都可以看作是 信号处理（图象可以看作是二维信号），在小波变 换分析的许多应用中，都可以把信号与图象的处理 归结为信号处理问题。
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