艺术生高考数学专题讲义：考点37 直线及其方程

考点三十七 直线及其方程

知识梳理

1．直线的倾斜角

(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率

(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π

2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率

通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.

(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1

. (3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系

每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下：

3．直线方程的五种形式

4．过P 1(11222(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1； (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1； (3)若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0； (4)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0.

5．线段的中点坐标公式

若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧

x ＝x 1＋x

2

2y ＝y 1

＋y 2

2

，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．

典例剖析

题型一 直线的倾斜角和斜率

例1 已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的倾斜角等于__________． 答案 56π

解析 斜率k ＝

－1－33－(－3)

＝－3

3，

又∵θ∈[0，π)， ∴θ＝5

6

π.

变式训练 经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π

4，则y ＝__________．

答案 －3

解析 由2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋4

2＝y ＋2，

得y ＋2＝tan 3π

4＝－1.∴y ＝－3.

解题要点 求斜率的常见方法：

1．若已知倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．

2．若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1

x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．

3．若已知直线的一般式方程ax ＋by ＋c ＝0，一般根据公式k ＝－a

b 求斜率．

题型二 直线方程的求解

例2 已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；

(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．

解析 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2

－2－2，

即x ＋2y －4＝0.

(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋3

2

＝2.

BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y

2＝1，

即2x －3y ＋6＝0.

(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－1

2，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.

由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．

由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0. 变式训练 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为

1010

； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.

解析 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝

10

10

(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±1

3.

故所求直线方程为y ＝±1

3(x ＋4)．

即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.

(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y

12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，

从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.

故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；

当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.

故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.

综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.

解题要点 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．