艺术生高考数学专题讲义：考点37 直线及其方程

考点三十七 直线及其方程知识梳理1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫作直线l 的倾斜角．当直线l 和x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. (2)倾斜角的范围为[0°，180°)． 2．直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan α.(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1. (3) 直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率，倾斜角是90°的直线斜率不存在．它们之间的关系如下：3．直线方程的五种形式4．过P 1(11222(1)若x 1＝x 2，且y 1≠y 2时，直线垂直于x 轴，方程为x ＝x 1； (2)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2时，直线垂直于y 轴，方程为y ＝y 1； (3)若x 1＝x 2＝0，且y 1≠y 2时，直线即为y 轴，方程为x ＝0； (4)若x 1≠x 2，且y 1＝y 2＝0时，直线即为x 轴，方程为y ＝0.5．线段的中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x22y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．典例剖析题型一 直线的倾斜角和斜率例1 已知两点A (－3，3)，B (3，－1)，则直线AB 的倾斜角等于__________． 答案 56π解析 斜率k ＝－1－33－(－3)＝－33，又∵θ∈[0，π)， ∴θ＝56π.变式训练 经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝__________．答案 －3解析 由2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋42＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π4＝－1.∴y ＝－3.解题要点 求斜率的常见方法：1．若已知倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．2．若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．3．若已知直线的一般式方程ax ＋by ＋c ＝0，一般根据公式k ＝－ab 求斜率．题型二 直线方程的求解例2 已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2，1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．解析 (1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 边的中线AD 过点A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12，则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0. 变式训练 根据所给条件求直线的方程： (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解析 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)， 从而cos α＝±31010，则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)．即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋(10－5k )＝0. 由点线距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.解题要点 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．题型三 直线的截距式方程有关的易错题例3 过点P (－2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为__________________． 答案 x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0解析 (1)当截距不为0时，设所求直线方程为x a ＋ya ＝1，即x ＋y －a ＝0.∵点P (－2，3)在直线l 上，∴－2＋3－a ＝0， ∴a ＝1，所求直线l 的方程为x ＋y －1＝0.(2)当截距为0时，设所求直线方程为y ＝kx ，则有3＝－2k ，即k ＝－32，此时直线l 的方程为y ＝－32x ，即3x ＋2y ＝0.综上，直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x ＋2y ＝0.变式训练 过点M (－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________． 答案 y ＝－53x 或x －y ＋8＝0解析 (1)当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；(2)当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a .代入点(－3，5)，得a ＝－8.即直线方程为x －y ＋8＝0.解题要点 1.弄清截距和距离的区别：截距不是距离，而是一个坐标值，纵截距是直线与y 轴交点的纵坐标值，横截距是直线与x 轴交点的横坐标值．截距可为一切实数，而距离是一个非负数．2.在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．3.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形，注意分类讨论思想的运用.当堂练习1．已知直线l ：y ＝x ，则直线l 的倾斜角为__________． 答案 π4解析 ∵k ＝1.故倾斜角为π4.2．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为__________． 答案 2x ＋y －1＝0解析 因所求直线与直线x －2y ＋3＝0垂直，故可设为2x ＋y ＋m ＝0. 又因为所求直线过点(－1,3)，所以有2×(－1)＋3＋m ＝0，解得m ＝－1.故所求直线方程为2x ＋y －1＝0.3. 如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则k 1、k 2、k 3 的大小关系是__________．答案 k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的斜率角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.4．（2015山东理）一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为__________． 答案 －43或－34解析 由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.5．过点(2,1)且在x 轴上截距与在y 轴上截距之和为6的直线方程为________． 答案 x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0解析 由题意可设直线方程为x a ＋yb＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.课后作业一、 填空题1．过两点(－1,1)和(0,3)的直线在x 轴上的截距为__________． 答案 －32解析 过两点(－1,1)和(0,3)的直线方程为y －13－1＝x －(－1)0－(－1) ，即y ＝2x ＋3，令y ＝0得x ＝－32，即为所求．2．已知直线l 1：(a －1)x ＋2y ＋1＝0与l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于__________． 答案 －1或2解析 由l 1∥l 2，得(a －1)×a －2×1＝0，即a 2－a －2＝0，解得a ＝－1或a ＝2. 当a ＝－1时，l 1：－2x ＋2y ＋1＝0，即2x －2y －1＝0， l 2：x －y ＋3＝0，显然l 1∥l 2. 当a ＝2时，l 1：x ＋2y ＋1＝0， l 2：x ＋2y ＋3＝0，显然l 1∥l 2， 综上，a ＝－1或2.3．已知A (3,4)，B (－1,0)，则过AB 的中点且倾斜角为120°的直线方程是__________． 答案 3x ＋y －2－3＝0解析 由题意可知A 、B 两点的中点坐标为(1,2)，且所求直线的斜率k ＝tan120°＝－ 3 ∴直线方程为y －2＝－3(x －1)，即3x ＋y －2－3＝0.4．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是__________． 答案 －2或1解析 由题意，知a ≠0，令x ＝0，得y ＝2＋a ；令y ＝0，得x ＝a ＋2a ，故2＋a ＝a ＋2a ，解得a ＝－2或a ＝1.5．直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0的倾斜角是__________． 答案 50°解析 将直线x cos140°＋y sin40°＋1＝0化成x cos40°－y sin40°－1＝0，其斜率为k ＝cos40°sin40°＝tan50°，倾斜角为50°.6．直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0平行，则l 的方程是_________________． 答案 2x －3y ＋8＝0解析 ∵2x －3y ＋4＝0的斜率为k ＝23，∴所求的直线方程为y －2＝23(x ＋1)，即2x －3y ＋8＝0.7．若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为__________． 答案 1解析 ∵k MN ＝m －4－2－m＝1，∴m ＝1.8．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为__________． 答案3解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°， tan60°＝ 3.9．若过点P (1－a,1＋a )与Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是__________． 答案 (－2,1)解析 k ＝tan α＝2a －(1＋a )3－(1－a ) ＝a －1a ＋2. ∵α为钝角，∴a －1a ＋2＜0，即(a －1)(a ＋2)＜0，故－2＜a ＜1. 10．过两直线x ＋3y －10＝0和y ＝3x 的交点，并且与原点距离为1的直线方程为__________． 答案 x ＝1或4x －3y ＋5＝0解析 设所求直线为(x ＋3y －10)＋λ(3x －y )＝0， 整理得(1＋3λ)x ＋(3－λ)y －10＝0. 由点到直线距离公式得|－10|(1＋3λ)2＋(3－λ)2＝1，解得λ＝±3.∴所求直线为x ＝1或4x －3y ＋5＝0.11．直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． 答案 [0，π6]∪[56π，π)解析 由题知k ＝－33cos θ，故k ∈[－33，33]，结合正切函数的图象，当k ∈[0，33]时，直线倾斜角α∈[0，π6]，当k ∈[－33，0)时，直线倾斜角α∈[56π，π)，故直线的倾斜角的范围是[0，π6]∪[56π，π)．二、解答题12．求经过点(－2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程． 解析 设所求直线方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎨⎧－2a ＋2b＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.， ∴所求直线方程为2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0． 13．已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求： (1)△ABC 的平行于BC 边的中位线的一般式方程和截距式方程； (2)BC 边的中线的一般式方程，并化为截距式方程．解析 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB 、AC 中点坐标为⎝⎛⎭⎫72，1，⎝⎛⎭⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117－y11＝1.。