误差理论与数据处理总结
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第一章 绪 论
第一节 研究误差的意义
一、研究误差的意义
1、正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减少 误差。 2、正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定 条件下得到更接近于真值的数据。 3、正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法， 以便在最经济条件下，得到最理想结果。 4、研究误差可促进理论发展。（如雷莱研究：化学方法、空气 分离方法。制氮气时，密度不同，导致后人发现惰性气体。）
修正值=真值—测量值=—绝对误差 c x x0 x
2、
相对误差
绝对误差 真值
绝对误差 测量值
相对误差：（1）有大小、方向（+ —）、无单位。常用%表示。
（2）对于相同的被测量，可用绝对误差评定精度。对于不同的
被测量或不同的物理量，可用相对误差评定精度。
3、引用误差：指的是仪器仪表表示值的相对误差。仪器仪表示
时，仍有可能存在系统误差，如含定值系统误差，其均值为
0，则 =0。
2、用于发现周期性系统误差。（阿卑—赫梅特准则） 若有一等精度测量列，按测量先后顺序将排列为
v1, v2 , vn 。如存在周期性系统误差，则相邻两残差的差值
vi vi1 ，符号也将出现周期性的正负号变化。用统计准
n1
三、系统误差的发现
（一）实验对比法（适用于不变的系统误差）：
（二）残差观察法（适用于发现有规律变化的系统误差）：P36
Vi li x 结论；任一测量值的残差为系统误差与测量
列系统系统误差平均值之差
(无法发现不变系统误差)
（三）残差校核法：
1、用于发现线性系统误差。（马利科夫准则）
Baidu Nhomakorabea
将测量列中前 K 个残差相加，后 n-K 个残差相加（当 n 为
2、环境方面：温度、气压、，光照强度、灰尘及电磁场变化。 3、人员方面：瞄准方向的不稳定，读数的不稳定。
二、随机误差的统计特性—正态分布
多数随机误差服从正态分布（不含系统误差和粗大误差），
有以下四个特征；
1、对称性： 2、单峰性： 3、有界性： 4、抵偿性：
随机误差的正态分布规律：
设被测量的真值为 L0 机误差 i 为 i li
，L一0系列式测中得i值为1,li2。, 则n测。量列中的随
正态分布密度 f
1
2
e 2 2
2
分布函数
F 1
2
e
2 2 d
2
—标准差（方均根误差） e —自然对数的底=2.7182。。。
数学期望
E
f
Vi
i 1
li
i 1
n
i 1
n
n
0
（2）残余误差代数和绝对值 n Vi 应符合： i 1
当 n 为偶数时，则
n
Vi
i 1
n A；
2
当 n 为奇数时，则
n
Vi
i 1
n 2
0.5
A；
A
为x
末位数
的一个单位。
二、系统误差的特征
系统误差特征是在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的 绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，误差按一定的规律变 化。
(a) 无补偿性：影响算术平均值的估计 (b) 可变系统误差影响测量结果分散性的估计 （1）不变系统误差（2）线性变化的系统误差：（3）周期性变化 的系统误差（4）复杂规律变化的系统误差
指明显超出统计规律预期值的误差—粗大误差。又称为疏忽误 差、过失误差、寄生误差或简称粗差。
第三节 精 度
定义：反映测量结果与真值接近程度的量。与误差的大小相对 应，因此可用误差大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误 差大则精度低。
精度可分为： （1）准确度：系统误差 （2）精密度：随机误差 （3）精确度：系统误差和随机误差。其定量特征可用测量的不 确定度（极限误差）来表示。
（5）三角函数。角度误差 10'' 1'' 0.1'' 0.01''
函数值位数 5 6 7 8
第二章 误差的基本性质与处理
第一节 随机误差
定义：在相同条件下多次重复测量同一量时，以不可预定的 方式变化的（但具有统计规律的）测量误差—随机误 差。（在等精度测量条件下）
一、随机误差产生的原因
1、测量装置方面：零部件配合的不稳定性，零部件的变形， 零件表面油膜不均匀，摩擦等。
（式中 ta —置信系数，由给定的置信概率 P 1 a 和自由度 V n 1来确定，具体数值将附表 3（t 分布表）， a 为超出误
差的概率（称显著度或显著水平）常取
a 0.01, 0.02, 0.05 。n 为测量次数。）
对同一测量列，按正态分布和 t 分布分别计算，即使置信概率的
取值相同，但由于置信系数不同，求出的
测量时各种环境因数与规定的标准状态不一致造成的误差 （三）、方法误差
由于测量方法不完善所引起的误差。 （四）、人员误差
分辨能力、视觉器官的生理变化、习惯、疏忽等引起的误差。
三、误差分类
按误差的特点和性质，误差可分为系统误差、随机误差（也 称偶然误差）和粗大误差三类。 （一）系统误差 在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保 持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差—系统 误差。 如标准量值不准、一起刻度不准确引起的误差。
说明：（1）量程相同的表，精度等级高，测量精度高。
量程不同的表，精度等级高，测量精度不见得高。
（2）仪表量程选用最好测量值在量程 2/3 左右为好，能充分
发挥仪表精度等级作用。
二、误差来源
在测量过程中，按误差产生的原因可归纳为： （一）测量装置误差 1、标准量具误差 2、仪器误差： 3、附件误差： （二）环境误差
多数情况下用规则（2）来校核。
四、测量的标准差（方均根误差）
定义：
12 22 n
n2
n
i2
i 1
n
n—测量次数充分大 i li L0 （真值）
（1） 贝塞尔公式
n
Vi 2
i 1
n 1
评定单次测量不可靠性的参数还有或然误差 和平均误差 ，用残余误差表示
系统误差又可按下列分类： 1、按对误差掌握的程度分 （1）已定系统误差：指误差的绝对值和符号已确定 （2）未定系统误差：指误差的绝对值和符号未确定，但可的出 误差范围。 2、按误差出现规律分 （1）不变系统误差：（指绝对值和符号一定）相当于以定系统误 差。 （2）变化系统误差：（指绝对值和符号为变化）相当于未定系统 误差，但变化规律可知，如线性、周期性等。 （二）随机误差（random error） 在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可 预定方式变化的误差—随机误差。 （三）粗大误差
2 0
不同 t 的 t 概率积分值可由附录表 1 查出。
（二）算术平均值的极限误差 lim x
正态分布： lim x t x
t 由 P 决定
t=2.6，P=99%
2
第二节系统误差
一、系统误差产生的原因
（1）测量装置的因素：仪器设计原理的缺陷，如齿轮杠杆 测微仪直线位移和转角不成比例的误差；仪器制造和安装的 不正确，如标尺的刻度误差、刻度盘和指针的安装偏心、仪 器导轨的误差；计量校准后发现的偏差，如标准环规的直径 偏差。 （2）测量环境的因素：测量时的实际温度对标准温度的偏 差，对测量结果可以按确定规律修正的误差等等 （3）测量方法的因素：采用近似的测量方法或近似的计算 公式等所引起的误差； （4）测量人员的因素：由于测量者固有的测量习性，如读 出刻度上读数时，习惯于偏于某一个方向，记录动态测量数据时 总有一个滞后的倾向等。
i 1
n
根据正态分布随机误差的对称性，当 n ， i 0 n
n
所以
x
li
i 1
n
L0
即无限多次测量的算术平均值即为真值
2、残余误差=测量值—平均值 即 Vi li x
3、算术平均值的校核方法：
（1）
n
li
x i1 ，
而
n
n
n
n
li
第二节 误差基本概念
一、误差定义及表示方法
（一）定义：被测量的值与真值差异在数值上的表现—误差。误
差=测得尺寸—真实尺寸
（二）误差表示方法（测量误差可用绝对误差表示，也可用相对
误差表示）
1、绝对误差 （测量误差） 方向（+ —）、单位、大小。
绝对误差=测得值—真值 x x x0
在实际工作中常用到修正值：为减少或消除系统误差一种处理方法。
偶 数 ， 取 ； K n 2 。 n 为 奇 数 ， K n 1 2 ）
两者相减得差值
。
K
n
K
n
Vi Vj li x lj x
i1
jK 1
i1
jK 1
若 显著不为 0，则认为测量列存在线性系统误差。 =0
d
0
方差
2
2
f
d
平均误差
f d 0.7979 4
5
此外由
2 f d 1
2
可解得或然误差为
0.6745 2 3
正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。
—曲线上拐点 A 的横坐标
度、正确度都高，从而准确度亦高。
第四节 有效数字与数据运算
一、有效数字
含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个 单位，那么从这个近似数左方起的第一个非 0 的数字，称为第一 位有效数字。从第一位有效数字起到列最末一位数字止的所有数 字，无论 0 或非 0，都是有效数字。
二、数字舍入规则（凑整） “四舍六入逢五取偶”
dn
其中 dn 极差系数（查表）
（4）最大误差法（可应用于单次测量）
真值未知，选取残余误差
Vi
，当服从正态分布。
max
Vi m a x
K
' n
（ ） Vi max xi x
1 Kn
1 （查表）
K n'
当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布或称 t 分 布计算。即
lim x ta x
2 3
n
Vi 2
i 1
n 1
4 5
n
Vi 2
i 1
n 1
测量列算术平均值的标准差
x
n
（2）别捷尔斯法
1.253
n
Vi
i 1
n n 1
（3）极差法（简便）
极差 n xmax xmin （两者从服从正态分布的 x1 xn 中选出。）
n
测量结果 ： X=
+ lim x
lim
x
也不同。
六、不等精度测量（测量次数不同引起的不等精度）
n 精度
可信赖程度 P
n=P
五、测量的极限误差
P—置信概率， 1 P =a—显著度，显著水平
（一）单次测量的极限误差 lim x
P 2
t et2 2dt 2 t
三、数据运算规则 在有效数据后多保留一位参考（安全）数字。
（1）近似加减运算。结果应与小数位数最少的数据小数位数 相同。
（2）近似乘除运算。运算以有效位最少的数据位数多取一 位，结果位数相同。
（3）近似平方或开方运算。 按乘除运算处理。 （4）对数运算。 n 位有效数字的数据该用 n 位对数表，或 （n+1）位对数表。
精度在数量上可用相对误差表示，如相对误差为 0.01%，可
以说精度为104 。
a：弹着点全部在靶上，但分散。相当于系统误差小而随机误差 大，即精密度低，正确度高。 b：弹着点集中，但偏向一方，命中率不高。相当于系统误差大
而随机误差小，即精密度高，正确度低。 c：弹着点集中靶心。相当于系统误差与随机误差均小，即精密
则。令 u ViVi1 v1v2 v2v3 i 1
vn1vn
若 u n 1 2 ，则认为该测量列中含有周期性系统误差。
—曲线右半部面积重心
B 的横坐标
—右半部面积的平分线的横坐标。
三、算术平均值
1、公理：一系列等精度测量，则 i li L0 。 L0 —真值
n
n
n
随机误差的代数和 i li L0 li nL0
i 1
i 1
i 1
n
n
li i
L0 i1
值误差=示值—真值
r 引用误差=示值误差/测量范围上限
m=ΔXm / Xm
仪器标称范围或量程内的最大绝对误差 / 该标称范围（或量程）上限
有大小，有方向，无单位，相对量程而言。
r 等级 S 级： m≤S%
所产生的最大绝对误差：ΔXm=±Xm×S%
r x 最大相对误差为： x=ΔXm / X=±Xm/ ×S%
第一节 研究误差的意义
一、研究误差的意义
1、正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减少 误差。 2、正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定 条件下得到更接近于真值的数据。 3、正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法， 以便在最经济条件下，得到最理想结果。 4、研究误差可促进理论发展。（如雷莱研究：化学方法、空气 分离方法。制氮气时，密度不同，导致后人发现惰性气体。）
修正值=真值—测量值=—绝对误差 c x x0 x
2、
相对误差
绝对误差 真值
绝对误差 测量值
相对误差：（1）有大小、方向（+ —）、无单位。常用%表示。
（2）对于相同的被测量，可用绝对误差评定精度。对于不同的
被测量或不同的物理量，可用相对误差评定精度。
3、引用误差：指的是仪器仪表表示值的相对误差。仪器仪表示
时，仍有可能存在系统误差，如含定值系统误差，其均值为
0，则 =0。
2、用于发现周期性系统误差。（阿卑—赫梅特准则） 若有一等精度测量列，按测量先后顺序将排列为
v1, v2 , vn 。如存在周期性系统误差，则相邻两残差的差值
vi vi1 ，符号也将出现周期性的正负号变化。用统计准
n1
三、系统误差的发现
（一）实验对比法（适用于不变的系统误差）：
（二）残差观察法（适用于发现有规律变化的系统误差）：P36
Vi li x 结论；任一测量值的残差为系统误差与测量
列系统系统误差平均值之差
(无法发现不变系统误差)
（三）残差校核法：
1、用于发现线性系统误差。（马利科夫准则）
Baidu Nhomakorabea
将测量列中前 K 个残差相加，后 n-K 个残差相加（当 n 为
2、环境方面：温度、气压、，光照强度、灰尘及电磁场变化。 3、人员方面：瞄准方向的不稳定，读数的不稳定。
二、随机误差的统计特性—正态分布
多数随机误差服从正态分布（不含系统误差和粗大误差），
有以下四个特征；
1、对称性： 2、单峰性： 3、有界性： 4、抵偿性：
随机误差的正态分布规律：
设被测量的真值为 L0 机误差 i 为 i li
，L一0系列式测中得i值为1,li2。, 则n测。量列中的随
正态分布密度 f
1
2
e 2 2
2
分布函数
F 1
2
e
2 2 d
2
—标准差（方均根误差） e —自然对数的底=2.7182。。。
数学期望
E
f
Vi
i 1
li
i 1
n
i 1
n
n
0
（2）残余误差代数和绝对值 n Vi 应符合： i 1
当 n 为偶数时，则
n
Vi
i 1
n A；
2
当 n 为奇数时，则
n
Vi
i 1
n 2
0.5
A；
A
为x
末位数
的一个单位。
二、系统误差的特征
系统误差特征是在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的 绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，误差按一定的规律变 化。
(a) 无补偿性：影响算术平均值的估计 (b) 可变系统误差影响测量结果分散性的估计 （1）不变系统误差（2）线性变化的系统误差：（3）周期性变化 的系统误差（4）复杂规律变化的系统误差
指明显超出统计规律预期值的误差—粗大误差。又称为疏忽误 差、过失误差、寄生误差或简称粗差。
第三节 精 度
定义：反映测量结果与真值接近程度的量。与误差的大小相对 应，因此可用误差大小来表示精度的高低，误差小则精度高，误 差大则精度低。
精度可分为： （1）准确度：系统误差 （2）精密度：随机误差 （3）精确度：系统误差和随机误差。其定量特征可用测量的不 确定度（极限误差）来表示。
（5）三角函数。角度误差 10'' 1'' 0.1'' 0.01''
函数值位数 5 6 7 8
第二章 误差的基本性质与处理
第一节 随机误差
定义：在相同条件下多次重复测量同一量时，以不可预定的 方式变化的（但具有统计规律的）测量误差—随机误 差。（在等精度测量条件下）
一、随机误差产生的原因
1、测量装置方面：零部件配合的不稳定性，零部件的变形， 零件表面油膜不均匀，摩擦等。
（式中 ta —置信系数，由给定的置信概率 P 1 a 和自由度 V n 1来确定，具体数值将附表 3（t 分布表）， a 为超出误
差的概率（称显著度或显著水平）常取
a 0.01, 0.02, 0.05 。n 为测量次数。）
对同一测量列，按正态分布和 t 分布分别计算，即使置信概率的
取值相同，但由于置信系数不同，求出的
测量时各种环境因数与规定的标准状态不一致造成的误差 （三）、方法误差
由于测量方法不完善所引起的误差。 （四）、人员误差
分辨能力、视觉器官的生理变化、习惯、疏忽等引起的误差。
三、误差分类
按误差的特点和性质，误差可分为系统误差、随机误差（也 称偶然误差）和粗大误差三类。 （一）系统误差 在相同条件下，多次测量同一量值时，该误差的绝对值和符号保 持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差—系统 误差。 如标准量值不准、一起刻度不准确引起的误差。
说明：（1）量程相同的表，精度等级高，测量精度高。
量程不同的表，精度等级高，测量精度不见得高。
（2）仪表量程选用最好测量值在量程 2/3 左右为好，能充分
发挥仪表精度等级作用。
二、误差来源
在测量过程中，按误差产生的原因可归纳为： （一）测量装置误差 1、标准量具误差 2、仪器误差： 3、附件误差： （二）环境误差
多数情况下用规则（2）来校核。
四、测量的标准差（方均根误差）
定义：
12 22 n
n2
n
i2
i 1
n
n—测量次数充分大 i li L0 （真值）
（1） 贝塞尔公式
n
Vi 2
i 1
n 1
评定单次测量不可靠性的参数还有或然误差 和平均误差 ，用残余误差表示
系统误差又可按下列分类： 1、按对误差掌握的程度分 （1）已定系统误差：指误差的绝对值和符号已确定 （2）未定系统误差：指误差的绝对值和符号未确定，但可的出 误差范围。 2、按误差出现规律分 （1）不变系统误差：（指绝对值和符号一定）相当于以定系统误 差。 （2）变化系统误差：（指绝对值和符号为变化）相当于未定系统 误差，但变化规律可知，如线性、周期性等。 （二）随机误差（random error） 在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可 预定方式变化的误差—随机误差。 （三）粗大误差
2 0
不同 t 的 t 概率积分值可由附录表 1 查出。
（二）算术平均值的极限误差 lim x
正态分布： lim x t x
t 由 P 决定
t=2.6，P=99%
2
第二节系统误差
一、系统误差产生的原因
（1）测量装置的因素：仪器设计原理的缺陷，如齿轮杠杆 测微仪直线位移和转角不成比例的误差；仪器制造和安装的 不正确，如标尺的刻度误差、刻度盘和指针的安装偏心、仪 器导轨的误差；计量校准后发现的偏差，如标准环规的直径 偏差。 （2）测量环境的因素：测量时的实际温度对标准温度的偏 差，对测量结果可以按确定规律修正的误差等等 （3）测量方法的因素：采用近似的测量方法或近似的计算 公式等所引起的误差； （4）测量人员的因素：由于测量者固有的测量习性，如读 出刻度上读数时，习惯于偏于某一个方向，记录动态测量数据时 总有一个滞后的倾向等。
i 1
n
根据正态分布随机误差的对称性，当 n ， i 0 n
n
所以
x
li
i 1
n
L0
即无限多次测量的算术平均值即为真值
2、残余误差=测量值—平均值 即 Vi li x
3、算术平均值的校核方法：
（1）
n
li
x i1 ，
而
n
n
n
n
li
第二节 误差基本概念
一、误差定义及表示方法
（一）定义：被测量的值与真值差异在数值上的表现—误差。误
差=测得尺寸—真实尺寸
（二）误差表示方法（测量误差可用绝对误差表示，也可用相对
误差表示）
1、绝对误差 （测量误差） 方向（+ —）、单位、大小。
绝对误差=测得值—真值 x x x0
在实际工作中常用到修正值：为减少或消除系统误差一种处理方法。
偶 数 ， 取 ； K n 2 。 n 为 奇 数 ， K n 1 2 ）
两者相减得差值
。
K
n
K
n
Vi Vj li x lj x
i1
jK 1
i1
jK 1
若 显著不为 0，则认为测量列存在线性系统误差。 =0
d
0
方差
2
2
f
d
平均误差
f d 0.7979 4
5
此外由
2 f d 1
2
可解得或然误差为
0.6745 2 3
正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。
—曲线上拐点 A 的横坐标
度、正确度都高，从而准确度亦高。
第四节 有效数字与数据运算
一、有效数字
含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个 单位，那么从这个近似数左方起的第一个非 0 的数字，称为第一 位有效数字。从第一位有效数字起到列最末一位数字止的所有数 字，无论 0 或非 0，都是有效数字。
二、数字舍入规则（凑整） “四舍六入逢五取偶”
dn
其中 dn 极差系数（查表）
（4）最大误差法（可应用于单次测量）
真值未知，选取残余误差
Vi
，当服从正态分布。
max
Vi m a x
K
' n
（ ） Vi max xi x
1 Kn
1 （查表）
K n'
当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布或称 t 分 布计算。即
lim x ta x
2 3
n
Vi 2
i 1
n 1
4 5
n
Vi 2
i 1
n 1
测量列算术平均值的标准差
x
n
（2）别捷尔斯法
1.253
n
Vi
i 1
n n 1
（3）极差法（简便）
极差 n xmax xmin （两者从服从正态分布的 x1 xn 中选出。）
n
测量结果 ： X=
+ lim x
lim
x
也不同。
六、不等精度测量（测量次数不同引起的不等精度）
n 精度
可信赖程度 P
n=P
五、测量的极限误差
P—置信概率， 1 P =a—显著度，显著水平
（一）单次测量的极限误差 lim x
P 2
t et2 2dt 2 t
三、数据运算规则 在有效数据后多保留一位参考（安全）数字。
（1）近似加减运算。结果应与小数位数最少的数据小数位数 相同。
（2）近似乘除运算。运算以有效位最少的数据位数多取一 位，结果位数相同。
（3）近似平方或开方运算。 按乘除运算处理。 （4）对数运算。 n 位有效数字的数据该用 n 位对数表，或 （n+1）位对数表。
精度在数量上可用相对误差表示，如相对误差为 0.01%，可
以说精度为104 。
a：弹着点全部在靶上，但分散。相当于系统误差小而随机误差 大，即精密度低，正确度高。 b：弹着点集中，但偏向一方，命中率不高。相当于系统误差大
而随机误差小，即精密度高，正确度低。 c：弹着点集中靶心。相当于系统误差与随机误差均小，即精密
则。令 u ViVi1 v1v2 v2v3 i 1
vn1vn
若 u n 1 2 ，则认为该测量列中含有周期性系统误差。
—曲线右半部面积重心
B 的横坐标
—右半部面积的平分线的横坐标。
三、算术平均值
1、公理：一系列等精度测量，则 i li L0 。 L0 —真值
n
n
n
随机误差的代数和 i li L0 li nL0
i 1
i 1
i 1
n
n
li i
L0 i1
值误差=示值—真值
r 引用误差=示值误差/测量范围上限
m=ΔXm / Xm
仪器标称范围或量程内的最大绝对误差 / 该标称范围（或量程）上限
有大小，有方向，无单位，相对量程而言。
r 等级 S 级： m≤S%
所产生的最大绝对误差：ΔXm=±Xm×S%
r x 最大相对误差为： x=ΔXm / X=±Xm/ ×S%