误差理论与数据处理总结
误差理论及实验数据处理
可以设法减小或排除掉的，如对试验机和应变仪等定期校准和检验。又如单向拉伸时由于夹
具装置等原因而引起的偏心问题，可以用试样安装双表或者两对面贴电阻应变片来减少这种
误差。系统误差越小，表明测量的准确度越高，也就是接近真值的程度越好。
偶然误差是由一些偶然因素所引起的，它的出现常常包含很多未知因素在内。无论怎样
差出现的可能性小。
3）随着测量次数的增加，偶然误差的平均值趋向于零。
4）偶然误差的平均值不超过某一限度。
根据以上特性，可以假定偶然误差Δ 遵循母体平均值为零
的高斯正态分布，如图Ⅰ-1 所示。
f (Δ) =
1
− Δ2
e 2σ 2
σ 2π
图Ⅰ-1 偶然误差的正态频率曲线
·97·
材料力学实验指导与实验基本训练
Δ ≤ Δ1 + Δ2 [注]：上述法则对于两个相差甚大的数在相减时是正确的。但是对两个相互十分接近的 数，在相减时有效位数大大减少，上述结论就不适用。在建立运算步骤时要尽量避免两个接 近相等的数进行相减。 2）如果经过多次连乘除后要达到 n 个有效位数，则参加运算的数字的有效位数至少要 有 (n + 1) 个或 (n + 2) 个。例如，两个 4 位有效数的数字经过两次相乘或相除后，一般只能 保证 3 位有效数。 3）如果被测的量 N 是许多独立的可以直接测量的量 x1, x2,", xn 的函数，则一个普遍的 误差公式可表示为下列形式，即
控制实验条件的一致，也不可避免偶然误差的产生，如对同一试样的尺寸多次量测其结果的
分散性即起源于偶然误差。偶然误差小，表明测量的精度高，也就是数据再现性好。
实验表明，在反复多次的观测中，偶然误差具有以下特性：
误差理论与数据处理
③ 差动法 被测量对传感器起差动作用 干扰因素起相同作用 --- 被测量的作用相加 --- 干扰的作用相减 作用：抑制干扰 提高灵敏度和线性度 ④ 比值补偿法 利用比值补偿原理 --- 影响因素在输出计算式的分子、分母上同时出现 --- 约消 例：比色高温计 --- 消除辐射率变化的影响 ⑤ 半周期偶数观测法 --- 系统误差随某因素成周期性变化 测量 --- ½变化周期 两次测量所得的周期系统误差 --- 数值相等、正负相反 --- 取平均值 自动检测 --- 检测的时间间隔为½周期（克服随时间周期变化因素的影响） 综合：传感器信号转换 --- 选频放大器、滤波器、滤色片 --- 截断/删除无用 频带（只让有用信号频带通过） --- 减轻校正、补偿难度 有影响的因素 --- 定值/较窄范围 --- 系差稳定 --- 修正值 措施 --- 恒温、稳压或稳频
如：米 --- 公制长度基准
光在真空中1s时间内传播距离的1/299792485 1m = 1650763.73
--- 氪-86的2p10-5d5能级间跃迁在真空中的辐射波长
② 理论真值：设计时给定或用数学、物理公式计算出的给定值 ③ 相对真值：标准仪器的测得值或用来作为测量标准用的标准器的值
⑧ 检测方法误差 检测方法、采样方法、测量重复次数、取样时间
⑨ 检测人员造成的误差 人员视觉、读数误差、经验、熟练程度、精神方面原因（疲劳）
4 、误差分类
按误差来源：装置误差、环境误差、方法误差、人员误差
按掌握程度：已知误差、未知误差 按变化速度：静态误差、动态误差 按特性规律：系统误差、随机误差、粗大误差
h
1 2
-K K
总体期望：无限次测量（不可能实现） --- 有限次测量代替 估计（Estimation ) --- 有限次样本推测总体参数 --- 估计值（^） 同一被测量 n 次测量 算术平均（Mean value） x 估计 真值x0
误差理论与数据处理
nx
×100%
◆ （4）方差（Variance） 方差（ 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。 度量随机变量和其数学期望之间的偏离程度。
σ2 =
就是和中心偏离的程度。 就是和中心偏离的程度。在样本容 量相同的情况下，方差越大， 量相同的情况下，方差越大，说明 数据的波动越大， 数据的波动越大，越不稳定
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） ）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 ◆加（减）：结果的末位数字所在的位置应按各量中存 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。 疑数字所在数位最少的一个为准来决定。
a. 30.4 + 4.325 = 34.725 → 34.7 b. 26.65 -3.905 = 22.745 → 22.74
106.25=1778279.41→1.8×106； pH=10.28→[H+]=5.2×10-11
2 数据处理
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.2 运算规则 （2）运算 ） 对数： ◆对数： lgx的有效数字位数由 的位数决定。 的有效数字位数由x的位数决定 的有效数字位数由 的位数决定。
1 误差理论
1.2 分类
1.2.2 系统误差、随机误差、过失误差
◆（3）过失误差 又称粗大误差和疏忽误差。 又称粗大误差和疏忽误差。是由过程中 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、 的非随机事件如工艺泄漏、测量仪表失灵、设备故障等引发的 测量数据严重失真现象， 测量数据严重失真现象，致使测量数据的真实值与测量值之间 出现显著差异的误差。 出现显著差异的误差。
2.1 有效数字定义、运算规则
2.1.1 定义
在一个近似数中，从左边第一个不是 的数字起 的数字起， 在一个近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到精确到 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。 的位数止，这中间所有的数字都叫这个近似数字的有效数字。
误差理论及数据处理
第二章 误差理论及数据处理
除了偏差之外，还可以用极差R来表示样本平行测定值 的精密度。极差又称全距，是测定数据中的最大值与最小值 之差，R=xmax-xmin 其值愈大表明测定值愈分散。由于没有充分利用所有的数据， 故其精确性较差。偏差和极差的数值都在一定程度上反映了 测定中随机误差影响的大小。 此外还有公差，它是指生产部门对分析结果允许误差的 一种表示方法，如果分析结果的误差超出允许的公差范围， 称为超差，该项分析工作应重做。有关公差，由有关主管部 门根据分析对象作出相关规定。
第二章 误差理论及数据处理
第二章 误差理论及数据处理
上述情况说明，精密度高表明测定条件稳定， 这是保证准确度高的先决条件。精密度低的测定结 果是不可靠的，因而是不准确的。但是高精密度的 测定值中也可能包含有系统误差的影响，只有在消 除了系统误差的前提下，精密度高其准确度必然也 高。 对于含量未知的试样，由于仅凭测定的精密度 难以正确评价测定结果，因此常同时测定一个或数 个标准试样，检查标样测定值的精密度，并对照真 实值以确定它的准确度，从而对试样测定结果的可 靠性做出评价。
第二章 误差理论及数据处理
平均偏差：个别测定偏差的绝对值加和除以测量次数，
相对平均偏差：
平均偏差和相对平均偏差由于取了绝对值因而都是正值。
第二章 误差理论及数据处理
（二）标准偏差和相对标准偏差 由于在一系列测定值中，偏差小的值总是占多数，这样 按总测定次数来计算平均偏差时会使所得的结果偏小，大偏 差值得不到充分的反映。因此在数理统计中，一般不采用平 均偏差，而广泛采用标准偏差来衡量数据的精密度，它反映 了各测定值对平均值的偏离程度。标准偏差用s表示：
样本的相对标准偏差(也称为变异系数)，用Sr或RSD表示：
误差理论和测量数据处理
误差理论和测量数据处理误差理论和测量数据处理是在科学研究、工程设计和实验室测试中非常重要的一部分。
它们涉及到对测量数据的准确性和可靠性进行评估，以及对误差来源和处理方法的分析。
在本文中，我们将详细介绍误差理论和测量数据处理的基本概念、方法和应用。
一、误差理论的基本概念误差是指测量结果与真实值之间的差异。
在测量过程中，由于各种因素的影响，测量结果往往会存在一定的误差。
误差理论的目标是通过对误差进行分析和处理，提高测量结果的准确性和可靠性。
1. 系统误差和随机误差系统误差是由于测量仪器的固有缺陷、环境条件的变化等因素引起的，它们对测量结果产生恒定的偏差。
而随机误差是由于测量过程中不可避免的各种随机因素引起的，它们对测量结果产生不确定的影响。
2. 绝对误差和相对误差绝对误差是指测量结果与真实值之间的差异的绝对值，它可以用来评估测量结果的准确性。
相对误差是指绝对误差与测量结果的比值，它可以用来评估测量结果的相对准确性。
3. 精度和精确度精度是指测量结果的接近程度，它可以通过对多次测量结果的统计分析来评估。
精确度是指测量结果的稳定性和一致性，它可以通过对同一样本进行多次测量来评估。
二、测量数据处理的基本方法测量数据处理是指对测量数据进行分析、处理和解释的过程。
它包括数据的整理、数据的可视化、数据的统计分析等步骤。
1. 数据的整理数据的整理是指将原始数据进行清洗、筛选和整理，以便后续的分析和处理。
这包括去除异常值、填补缺失值、标准化数据等操作。
2. 数据的可视化数据的可视化是指将数据以图表或图像的形式展示出来，以便更直观地理解数据的分布、趋势和关系。
常用的可视化方法包括直方图、散点图、折线图等。
3. 数据的统计分析数据的统计分析是指对数据进行统计特征、相关性、回归分析等统计方法的应用。
通过统计分析，可以得到数据的均值、标准差、相关系数等指标，从而对数据进行更深入的理解。
4. 数据的模型建立数据的模型建立是指根据测量数据的特征和目标需求，建立数学模型来描述数据的变化规律。
对实验数值误差理论和数据处理
9 平均值的有效数字位数，通常和测量值相同。 当样本容量较大，在运算过程中，为减少舍 入误差，平均值可比单次测量值多保留一位 数。
3.3实验数据的初步整理
3.3.1实验数据的列表整理
1.数据的归类整理 2.数据的分组整理
3.3.2 分布规律判断的基本方法— —统计直方图
1．统计直方图 为了对某个随机变量的分布规律作出判断，
如0.0121×25.64×1.05782,其0.0121为三 位有效数字，故计算结果宜记0.328
5 在所有计算式中，常数π ，e的数值，以及，1/2等 系数的有效数字位数，可以认为无限制，需要几位 就可以取几位。
6 在对数计算中，所取对数位数，应与真数的有效数 字位数相等。例如，pH12.25 和 [H+]=5.6×10-13M;
3.误差与数据处理
3．1 误差及其表示方法
误差来源
设备误差 环境误差 人员误差 方法误差
误差分类
系统误差、 随机误差、 过失误差
(1)系统误差
系统误差是由某种确定的因素造成的，使测定 结果系统偏高或偏低；当造成误差的因素不存 在时，系统误差自然会消失。
当进行重复测量时，它会重复出现。系统误差 的大小，正负是可以测定的，至少在理论上说 是可以测定的，系统误差的最重要特性是它具 有‘‘单向性” 。
对于舍去的数据，在试验报告中应注明舍去的原因或所 选用的统计方法。
1)．4d 法检验
根据测量值的正态分布可知，偏差大于3σ的测量 值出现的概率约为0.3％，此为小概率事件，而 小概率事件在有限次实验中是不可能发生的，如 果发生了则是不正常的。
即偏差大于3σ的测量值在有限次检验中是不可能 的，如果出现则为异常值，为过失所致应舍弃。 (概率不超过5%的事件称为小概率事件)。
误差理论与数据处理知识总结
1.1.1 研究误差的意义为：1)正确认识误差的性质，分析误差产生的愿意，以消除或者减小误差2)正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3)正确组织实验过程，合理设计仪器或者选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
1.2.1 误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。
1.2.2 绝对误差：某量值的测得值之差。
1.2.3 相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。
1.2.4 引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为份子，以测量范围上限值或者全量程为分母，所得比值为引用误差。
1.2.5 误差来源： 1)测量装置误差 2)环境误差 3)方法误差 4)人员误差1.2.6 误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。
1.2.7 系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或者在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。
1.2.8 随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。
1.2.9 粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。
1.3.1 精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。
1.3.2 精度可分为：1)准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2)精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3) 精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。
1.4.1 有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那末从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。
从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不管是零或者非零的数字，都叫有效数字。
1.4.2 测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。
1.4.3 数字舍入规则：保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整：1)若舍去部份的数值，大于保留部份的末位的半个单位，则末位加一2)若舍去部份的数值，小于保留部份的末位的半个单位，则末位不变3)若舍去部份的数值，等于保留部份的末位的半个单位，则末位凑成偶数。
误差理论与数据处理实验报告.
误差理论与数据处理实验报告姓名：黄大洲学号：3111002350班级：11级计测1班指导老师：陈益民实验一 误差的基本性质与处理一、实验目的了解误差的基本性质以及处理方法二、实验原理（1）算术平均值对某一量进行一系列等精度测量，由于存在随机误差，其测得值皆不相同，应以全部测得值的算术平均值作为最后的测量结果。
1、算术平均值的意义：在系列测量中，被测量所得的值的代数和除以n 而得的值成为算术平均值。
设 1l ，2l ，…,n l 为n 次测量所得的值，则算术平均值121...nin i l l l l x n n=++==∑算术平均值与真值最为接近，由概率论大数定律可知，若测量次数无限增加，则算术平均值x 必然趋近于真值0L 。
i v = i l -xi l ——第i 个测量值，i =1,2,...,;n i v ——i l 的残余误差（简称残差）2、算术平均值的计算校核算术平均值及其残余误差的计算是否正确，可用求得的残余误差代数和性质来校核。
残余误差代数和为：11n niii i v l nx ===-∑∑当x 为未经凑整的准确数时，则有：1nii v==∑01）残余误差代数和应符合：当1n ii l =∑=nx ，求得的x 为非凑整的准确数时，1nii v =∑为零；当1nii l =∑>nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为正；其大小为求x 时的余数。
当1n ii l =∑<nx ，求得的x 为凑整的非准确数时，1nii v =∑为负；其大小为求x 时的亏数。
2）残余误差代数和绝对值应符合： 当n 为偶数时，1ni i v =∑≤2n A; 当n 为奇数时，1ni i v =∑≤0.52n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭式中A 为实际求得的算术平均值x 末位数的一个单位。
（2）测量的标准差测量的标准偏差称为标准差，也可以称之为均方根误差。
1、测量列中单次测量的标准差2222121...nini nnδδδδσ=+++==∑式中 n —测量次数（应充分大）i δ —测得值与被测量值的真值之差211nii vn σ==-∑2、测量列算术平均值的标准差：x nσσ=三、实验内容：1．对某一轴径等精度测量8次，得到下表数据，求测量结果。
误差理论与数据处理
误差理论与数据处理1. 绪论1.1 数据测量的基本概念1.1.1 基本概念（1）物理量物理量是反映物理现象的状态及其过程特征的数值量。
一般物理量都是有因次的量，即它们都有相应的单位，数值为1的物理量称为单位物理量，或称为单位；同一物理量可以用不同的物理单位来描述，如能量可以用焦耳、千瓦小时等不同单位来表述。
（2）量值一般由一个数乘以测量单位所表示的特定量的大小。
无量纲的SI单位是“1”。
（3）测量以确定量值为目的的一组操作，操作的结果可以得到真值，即得到数据，这组操作称为测量。
例如：用米尺测得桌子的长度为1.2米。
（4）测量结果测量结果就是根据已有的信息和条件对被测物理量进行的最佳估计，即是物理量真值的最佳估计。
在测量结果的完整表述中，应包括测量误差，必要时还应给出自由度及置信概率。
测量结果还具有重复性和重现性。
重复性是指在相同的测量条件下，对同一被测物理量进行连续多次测量所得结果之间的一致性。
相同的测量条件即称之为“重复性条件”，主要包括：相同的测量程序、相同的测量仪器、相同的观测者、相同的地点、在短期内的重复测量、相同的测量环境。
若每次的测量条件都相同，则在一定的误差范围内，每一次测量结果的可靠性是相同的，这些测量服从同一分布。
重现性是指在改变测量条件下，对被测物理量进行多次测量时，每一次测量结果之间的一致性，即在一定的误差范围内，每一次测量结果的可靠性是相同的，这些测量值服从同一分布。
（4）测量方法测量方法是指根据给定的测量原理，在测量中所用的并按类别描述的一组操作逻辑次序和划分方法，常见的有替代法、微差法、零位法、异号法等。
总之，数据测量就是用单位物理量去描述或表示某一未知的同类物理量的大小。
1.1.2 数据测量的分类数据测量的方法很多，下面介绍常见的三种分类方法，即按计量的性质、测量的目的和测量值的获得方法分类。
（1）按计量的性质分可分为：检定、检测和校准。
检定：由法定计量部门（或其他法定授权组织），为确定和证实计量器是否完全满足检定规程的要求而进行的全部工作。
第二章《误差理论与数据处理》
n
i2
i 1
n
n
实际上真值一般情况下是 未知，在有限次测量下，用残 余误差代替随机误差可得到标 准差的估计值：
ˆ
v
i 1
n
2 i
n 1
该证明如下：
（一）构建残余误差与随机误差之间的关系：
i li L0
x
n
结论
在n次测量的等精度测量中，算术平均值 1 n 的标准差是单次测量标准差 n ， ， x 。但 也不是n越大越好，因为 n 要出较大的劳动， 而且 难保证测量条件的恒定，从而引入新 n 的误差。一般情况下去n=10为宜。
标准差的计算还有别捷尔斯法，极差法， 最大误差法等。
（4）别捷尔斯（Peters）法
1.253
v
i 1 n
ห้องสมุดไป่ตู้
n
i
n n 1
x 1.253
v
i 1
i
n
n 1
（4）极差法
等精度多次测量被测值 x1 ,x2 ,x3 ,......,xn 服从正态分布，在其中选取最大值 xmax 与最小 值 xmin，则两者之差称为极差：n xmax xmin 标准差的无偏估计： n
n1 n2
x1
i 1
1i
n1
n1
, x2
n2
i 1
2i
n2
,..., xm
m
l
i 1
nm
mi
nm
x ( l1i l2i ... lmi ) / ni
i 1 i 1 i 1 i 1
误差理论与数据处理笔记
误差理论与数据处理笔记研究误差的意义：1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。
2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据。
3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。
误差=测得值－真值（真值可以分为理论真值和约定真值）（一）绝对误差某量值的测得值和真值之差为绝对误差，通常简称为误差，即绝对误差=测得值－真值，所在实际工作中，经常使用修正值，为消除系统误差而用代数法加到测量结果上的值成为修正值。
修正值与误差值的大小相等而方向相反，测得值加修正值后可以消除该误差的影响。
（二）相对误差（有大小、方向）绝对误差与被测量的真值之比值成为相对误差。
相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值相对误差通常以百分数（%）来表示。
（三）引用误差：一种简化和使用方便的仪器仪表值的相对误差。
数据处理：object：array_like数组，公开数组接口的任何对象，array方法返回数组的对象，或任何（嵌套）序列。
dtype：数据类型，可选数组所需的数据类型。
如果没有给出，那么类型将被确定为保持序列中的对象所需的最小类型。
此参数只能用于“upcast”数组。
copy：bool，可选。
如果为true（默认值），则复制对象。
否则，只有当array返回副本，obj 是嵌套序列，或者需要副本来满足任何其他要求（dtype，顺序等）时，才会进行复制。
order：{‘K’，‘A’，‘C’，‘F’}，可选指定阵列的内存布局。
如果object不是数组，则新创建的数组将按C顺序排列（行主要），除非指定了F，在这种情况下，它将采用Fortran顺序（专业列）。
如果object是一个数组，则以下成立。
list=source_data.values.tolist()csv转换为listnp.array整理成二维矩阵关于np.wherenp.where()[0]表示行的索引，np.where()[1]则表示列的索引。
误差理论与数据处理
误差理论与数据处理
1误差理论
误差(error)理论是科学测量中一项重要的理论，它描述了测量结
果与理论结果之间的差异，以及这种差异的大小和方向。
当一项测量
结果与理论相符时，这种差异就会减少到一定的程度，从而减少测量
不确定性，使测量结果更精确和准确。
误差分析也是一种重要的测量方法，它主要是根据实际测量结果
来估算实际测量数据与理论测量数据之间的差异，从而决定测量后的
数据处理方式[1]。
通过分析误差，可以有效估算测量数据的有效位数，进而使测量结果更加准确。
2数据处理
数据处理是控制实验测量的一个重要步骤，它可以改善实验测量
的精确程度。
通过数据处理，可以提供准确可靠的实验结果，这对于
建立精确的模型以及验证理论，都有着重要的意义。
数据处理有很多种方法，但最重要的一点是要确定准确的误差结果。
通常可以采用统计方法，如均值、标准差和变异系数，对实验数
据进行精确的数据分析，从而估算实验数据的有效位数和有效位数之
间的差值。
一旦变值较大，就可以采取一定的措施进行纠偏，使实验
数据趋于稳定，从而提高实验数据的准确性。
数据处理本身也可以用于处理和优化测量误差，从而提高测量精度。
这一过程通常包括：编辑测量误差数据，对某些超出预想范围的测量数据进行排除处理，将误差分布情况用图表展示出来，并从中分析出结论性结果。
综上所述，误差理论和数据处理在科学测量中起着非常重要的作用，准确的误差分析可以令实验结果更加有效可靠，而精确的数据处理也可以改善测量精度，可以提供准确的实验数据，为理论的验证和模型的建立提供有力支撑。
误差理论与数据处理
第2章 误差的基本性质与处理
第一节 随机误差
一、随机误差产生的原因
当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一 系列不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有 误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出 现后，不能预测下一个数据的大小和方向。但就误差整体 而言，却明显具有某种统计规律。 随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因 素构成，主要有以下几方面： ① 测量装置方面的因素 零部件变形及其不稳定 ② 环境方面的因素 ③ 人为方面的因素
测量环 境误差
测量方 法误差
测量人 员误差
测量设备误差
以固定形式复现标准量值的器具， 如标准电阻、标准量块、标准砝 码等等，他们本身体现的量值， 不可避免地存在误差。一般要求 标准器件的误差占总误差的 1/3～1/10。 测量装置在制造过程中由于设计、制 造、装配、检定等的不完善，以及在 使用过程中，由于元器件的老化、机 械部件磨损和疲劳等因素而使设备所 产生的误差。 测量仪器所 带附件和附 属工具所带 来的误差。
−∞ +∞
(2-4) (2-5)
其平均误差为： ρ 此外由 ∫− ρ f ( δ ) d δ
θ =
∫
+∞
−∞
| δ | f (δ ) d δ ≈
=
1 2
4 σ 5
(2-6)
2 σ 3
可解得或然误差为 ：
ρ = 0 . 6745 σ ≈
(2-7)
由式（2-2）可以推导出： ① 有 f ( ± δ ) > 0 , f (+δ ) = f (−δ ) 可推知分布具有对称性，即绝对值相 等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性； ② 当δ=0时有 f max (δ ) = f (0) ，即 f (±δ ) < f (0) ，可推知单峰性，即绝对值 小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为误差的单峰性； ③ 虽然函数 f (δ ) 的存在区间是[-∞,+∞]，但实际上，随机误差δ只 是出现在一个有限的区间内，即[-kσ,+kσ],称为误差的有界性； n ④ 随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零： → ∞ lim n 这称为误差的补偿性。
误差理论与数据处理实验报告
误差理论与数据处理实验报告误差理论与数据处理实验报告引言在科学研究和实验中，数据处理是一个非常重要的环节。
无论是物理实验、化学实验还是生物实验，准确地处理和分析数据都是确保实验结果可靠性的关键。
而误差理论则是帮助我们理解和评估实验数据误差的重要工具。
本实验旨在通过实际测量和数据处理，探讨误差理论在实验中的应用。
实验方法本实验选取了一个简单的物理实验——测量金属丝的长度。
实验仪器包括一个卷尺和一根金属丝。
实验步骤如下：1. 将金属丝拉直并固定在水平桌面上，确保其两端与桌面平行。
2. 使用卷尺测量金属丝的长度，并记录下测量值。
实验数据我们进行了多次测量，得到了如下的数据：1. 0.98 m2. 0.99 m3. 0.97 m4. 0.96 m5. 0.99 m数据处理在进行数据处理之前，我们首先需要了解误差的来源和分类。
误差可以分为系统误差和随机误差。
系统误差是由于测量仪器、实验条件等固有因素引起的，它会使所有测量结果偏离真实值。
而随机误差则是由于实验操作、环境因素等不可控制的因素引起的，它会导致多次测量结果的离散程度。
在本实验中，由于卷尺的精确度限制和实验操作的不确定性，我们可以认为测量结果中包含了一定的系统误差和随机误差。
接下来，我们需要计算平均值和标准偏差来评估数据的准确性和可靠性。
平均值（x̄）的计算公式为：x̄ = (x₁ + x₂ + ... + xn) / n其中，x₁、x₂、...、xn为测量结果，n为测量次数。
标准偏差（σ）的计算公式为：σ = √[(1/(n-1)) * ((x₁-x̄)² + (x₂-x̄)² + ... + (xn-x̄)²)]其中，x₁、x₂、...、xn为测量结果，x̄为平均值，n为测量次数。
根据实验数据，我们可以计算得到金属丝长度的平均值和标准偏差。
结果与讨论根据实验数据的计算，我们得到金属丝长度的平均值为0.978 m，标准偏差为0.015 m。
误差理论及数据处理
§2.1定量分析中的误差定量分析的目的是准确确定试样中物质的含量。
因此要求结果准确可靠。
但在定量分析的过程中，由于受到所采用的分析方法、仪器和试剂，工作环境和分析者自身等主客观的分析方法仪器和试剂工作环境和分析者自身等主客观因素的制约，所得的结果与待测组分的真实含量不可能完全相符，它们之间的差值就称为误差。
即使同分析者在相同相符，它们之间的差值就称为误差。
即使同一分析者在相同的条件下，对同一试样进行多次测定，其结果也不等同。
因此，在分析过程中误差是客观存在且不可避免的，它可能出在定过的每步中响析结的准确性现在测定过程的每一步中。
从而影响分析结果的准确性。
因此，我们不仅要对试样进行测定，还需根据实际要求，对分析结果的可靠性和精确程度做出合理的评价和正确的表示。
析结果的可靠性和精确程度做出合理的评价和正确的表示同时还应查明产生误差的原因及其规律性，采取减免误差的有效措施，从而不断提高分析测定的准确程度有效措施，从而不断提高分析测定的准确程度。
第一节测定值的准确度与精密度在实际工作中，常根据准确度和精密度评价测定结果的优劣。
在实际工作中常根据准确度和精密度评价测定结果的优劣一、准确度与误差真值是试样中某组分客观存在的真实含量，测定值x与真值T 真值是试样中某组分客观存在的真实含量测定值相接近的程度称为准确度。
测定值与真值愈接近，其误差越小，测定结果的准确度越高。
因此误差的大小是衡量准确度高低的标志，其表示方法如下：绝对误差：E a=x-T相对误差：E r=E a/T×100%测定值如果进行了平行测定，测定值的平均值统计X:测定值。
如果进行了平行测定，x:测定值的平均值。
统计学证明，在一组平行测定值中，平均值是最可信赖的，它反映了该组数据的集中趋势，因此人们常用平均值表示测定结果。
当测定值大于真值时误差为正值，表明测定结果偏高；反之误差为负，测定值偏低。
因此绝对误差和相对误差都有正负误差为负测定值偏低因此绝对误差和相对误差都有正负之分。
误差理论与数据处理期末报告范文
误差理论与数据处理期末报告范文一、引言在科学实验和数据处理中，误差是一个不可避免的因素。
误差的存在会影响到数据的准确性和可靠性，因此正确理解误差是非常重要的。
误差理论作为一门独立的学科，主要研究在实验测量和数据处理中各种类型误差的产生、传递和处理的方法。
在本次报告中，我们将对误差理论的基本概念和数据处理方法进行介绍和分析。
二、误差理论的基本概念1. 误差的分类在实验测量和数据处理中，误差可以分为系统误差和随机误差两种基本类型。
系统误差是由某种固定原因引起的，通常具有一定的方向性和大小；而随机误差是由众多偶然因素造成的，其大小和方向是随机的，无法准确预测。
另外，在实际应用中还会遇到仪器误差、人为误差等其他类型的误差。
2. 误差的传递在实验测量过程中，误差会随着测量数据的传递而累积。
例如，测量仪器的精度、环境条件、操作者技术等因素都会对最终结果产生影响。
因此，在数据处理过程中需要考虑到误差的传递规律，采取相应的措施来减小误差的影响。
3. 误差的表示与估计误差通常通过误差限、标准差、置信度等指标来表示和估计。
误差限表示了测量结果的准确性，标准差表示了数据的离散程度，置信度则表示了对测量结果的信赖程度。
这些指标可以帮助我们更准确地评估测量数据的质量，从而做出科学合理的判断。
三、数据处理方法1. 数据整理在实验测量过程中，可能会出现各种原始数据，需要对其进行整理和筛选。
通常可以采用平均值、中值、众数等方法来处理数据，消除异常值和噪声。
2. 数据分析数据分析是对收集到的数据进行统计和推断的过程。
通过统计方法，可以得出数据的分布特征、相关性和趋势等信息，从而进行科学分析和判断。
3. 数据模型数据模型是描述数据之间关系和规律的数学模型。
通过建立数据模型，可以预测未来趋势、探索潜在规律、优化决策等。
常见的数据模型包括线性回归、非线性回归、时间序列分析等。
四、实例分析为了更好地理解误差理论与数据处理的原理和方法，我们通过一个实例来进行分析。
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2 3
n
Vi 2
i 1
n 1
4 5
n
Vi 2
i 1
n 1
测量列算术平均值的标准差
x
n
（2）别捷尔斯法
1.253
n
Vi
i 1
n n 1
（3）极差法（简便）
极差 n xmax xmin （两者从服从正态分布的 x1 xn 中选出。）
n
（5）三角函数。角度误差 10'' 1'' 0.1'' 0.01''
函数值位数 5 6 7 8
第二章 误差的基本性质与处理
第一节 随机误差
定义：在相同条件下多次重复测量同一量时，以不可预定的 方式变化的（但具有统计规律的）测量误差—随机误 差。（在等精度测量条件下）
一、随机误差产生的原因
1、测量装置方面：零部件配合的不稳定性，零部件的变形， 零件表面油膜不均匀，摩擦等。
Vi
i 1
li
i 1
n
i 1
n
n
0
（2）残余误差代数和绝对值 n Vi 应符合： i 1
当 n 为偶数时，则
n
Vi
i 1
n A；
2
当 n 为奇数时，则
n
Vi
i 1
n 2
0.5
A；
A
为x
末位数
的一个单位。
dn
其中 dn 极差系数（查表）
（4）最大误差法（可应用于单次测量）
真值未知，选取残余误差
Vi
，当服从正态分布。
max
Vi m a x
K
' n
（ ） Vi max xi x
1 Kn
1 （查表）
K n'
当测量列的测量次数较少时，应按“学生氏”分布或称 t 分 布计算。即
lim x ta x
系统误差又可按下列分类： 1、按对误差掌握的程度分 （1）已定系统误差：指误差的绝对值和符号已确定 （2）未定系统误差：指误差的绝对值和符号未确定，但可的出 误差范围。 2、按误差出现规律分 （1）不变系统误差：（指绝对值和符号一定）相当于以定系统误 差。 （2）变化系统误差：（指绝对值和符号为变化）相当于未定系统 误差，但变化规律可知，如线性、周期性等。 （二）随机误差（random error） 在相同测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可 预定方式变化的误差—随机误差。 （三）粗大误差
（式中 ta —置信系数，由给定的置信概率 P 1 a 和自由度 V n 1来确定，具体数值将附表 3（t 分布表）， a 为超出误
差的概率（称显著度或显著水平）常取
a 0.01, 0.02, 0.05 。n 为测量次数。）
对同一测量列，按正态分布和 t 分布分别计算，即使置信概率的
取值相同，但由于置信系数不同，求出的
度、正确度都高，从而准确度亦高。
第四节 有效数字与数据运算
一、有效数字
含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个 单位，那么从这个近似数左方起的第一个非 0 的数字，称为第一 位有效数字。从第一位有效数字起到列最末一位数字止的所有数 字，无论 0 或非 0，都是有效数字。
二、数字舍入规则（凑整） “四舍六入逢五取偶”
则。令 u ViVi1 v1v2 v2v3 i 1
vn1vn
若 u n 1 2 ，则认为该测量列中含有周期性系统误差。
二、系统误差的特征
系统误差特征是在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的 绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，误差按一定的规律变 化。
(a) 无补偿性：影响算术平均值的估计 (b) 可变系统误差影响测量结果分散性的估计 （1）不变系统误差（2）线性变化的系统误差：（3）周期性变化 的系统误差（4）复杂规律变化的系统误差
时，仍有可能存在系统误差，如含定值系统误差，其均值为
0，则 =0。
2、用于发现周期性系统误差。（阿卑—赫梅特准则） 若有一等精度测量列，按测量先后顺序将排列为
v1, v2 , vn 。如存在周期性系统误差，则相邻两残差的差值
vi vi1 ，符号也将出现周期性的正负号变化。用统计准
n1
i 1
n
根据正态分布随机误差的对称性，当 n ， i 0 n
n
所以
x
li
i 1
n
L0
即无限多次测量的算术平均值即为真值
2、残余误差=测量值—平均 即 Vi li x
3、算术平均值的校核方法：
（1）
n
li
x i1 ，
而
n
n
n
n
li
三、系统误差的发现
（一）实验对比法（适用于不变的系统误差）：
（二）残差观察法（适用于发现有规律变化的系统误差）：P36
Vi li x 结论；任一测量值的残差为系统误差与测量
列系统系统误差平均值之差
(无法发现不变系统误差)
（三）残差校核法：
1、用于发现线性系统误差。（马利科夫准则）
将测量列中前 K 个残差相加，后 n-K 个残差相加（当 n 为
—曲线右半部面积重心
B 的横坐标
—右半部面积的平分线的横坐标。
三、算术平均值
1、公理：一系列等精度测量，则 i li L0 。 L0 —真值
n
n
n
随机误差的代数和 i li L0 li nL0
i 1
i 1
i 1
n
n
li i
L0 i1
值误差=示值—真值
r 引用误差=示值误差/测量范围上限
m=ΔXm / Xm
仪器标称范围或量程内的最大绝对误差 / 该标称范围（或量程）上限
有大小，有方向，无单位，相对量程而言。
r 等级 S 级： m≤S%
所产生的最大绝对误差：ΔXm=±Xm×S%
r x 最大相对误差为： x=ΔXm / X=±Xm/ ×S%
精度在数量上可用相对误差表示，如相对误差为 0.01%，可
以说精度为104 。
a：弹着点全部在靶上，但分散。相当于系统误差小而随机误差 大，即精密度低，正确度高。 b：弹着点集中，但偏向一方，命中率不高。相当于系统误差大
而随机误差小，即精密度高，正确度低。 c：弹着点集中靶心。相当于系统误差与随机误差均小，即精密
测量结果 ： X=
+ lim x
lim
x
也不同。
六、不等精度测量（测量次数不同引起的不等精度）
n 精度
可信赖程度 P
n=P
五、测量的极限误差
P—置信概率， 1 P =a—显著度，显著水平
（一）单次测量的极限误差 lim x
P 2
t et2 2dt 2 t
2 0
不同 t 的 t 概率积分值可由附录表 1 查出。
（二）算术平均值的极限误差 lim x
正态分布： lim x t x
t 由 P 决定
t=2.6，P=99%
2
第二节系统误差
一、系统误差产生的原因
（1）测量装置的因素：仪器设计原理的缺陷，如齿轮杠杆 测微仪直线位移和转角不成比例的误差；仪器制造和安装的 不正确，如标尺的刻度误差、刻度盘和指针的安装偏心、仪 器导轨的误差；计量校准后发现的偏差，如标准环规的直径 偏差。 （2）测量环境的因素：测量时的实际温度对标准温度的偏 差，对测量结果可以按确定规律修正的误差等等 （3）测量方法的因素：采用近似的测量方法或近似的计算 公式等所引起的误差； （4）测量人员的因素：由于测量者固有的测量习性，如读 出刻度上读数时，习惯于偏于某一个方向，记录动态测量数据时 总有一个滞后的倾向等。
d
0
方差
2
2
f
d
平均误差
f d 0.7979 4
5
此外由
2 f d 1
2
可解得或然误差为
0.6745 2 3
正态分布曲线以及各精度参数在图中的坐标。
—曲线上拐点 A 的横坐标
2、环境方面：温度、气压、，光照强度、灰尘及电磁场变化。 3、人员方面：瞄准方向的不稳定，读数的不稳定。
二、随机误差的统计特性—正态分布
多数随机误差服从正态分布（不含系统误差和粗大误差），
有以下四个特征；
1、对称性： 2、单峰性： 3、有界性： 4、抵偿性：
随机误差的正态分布规律：
设被测量的真值为 L0 机误差 i 为 i li
偶 数 ， 取 ； K n 2 。 n 为 奇 数 ， K n 1 2 ）
两者相减得差值
。
K
n
K
n
Vi Vj li x lj x
i1
jK 1
i1
jK 1
若 显著不为 0，则认为测量列存在线性系统误差。 =0
修正值=真值—测量值=—绝对误差 c x x0 x
2、
相对误差
绝对误差 真值
绝对误差 测量值
相对误差：（1）有大小、方向（+ —）、无单位。常用%表示。
（2）对于相同的被测量，可用绝对误差评定精度。对于不同的
被测量或不同的物理量，可用相对误差评定精度。
3、引用误差：指的是仪器仪表表示值的相对误差。仪器仪表示