角函数的概念同角三角函数的基本关系式诱导公式重难点分析与出题角度归纳

Xx 学校学科教师辅导讲义

一）一、定义：角可以看作成平面内一条射线绕着端点从一个位置到另一个位置所称的图形。旋转开始时的射线、终止时

的射线分别叫作_______、_______,射线的端点O 叫做_________.按逆时针方向旋转形成的角叫做_______,顺时针方向旋转形成的角叫做_______,若一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个_______。

二、在直角坐标系内讨论角：

（1）角的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边（除端点外）在第几项先，就说这个角是第几象限角（或

者说这个角属于第几象限）；

例如：30°、390°、-330°等都是第一象限角；120°、480°、-240°等都是第二象限角；240°、600°、-120°等

都是第三象限角；-30°、-390°、330°等都是第四象限角。

注意：锐角_____第一象限角，但第一象限角_______锐角；钝角______第二象限角，但第二象限角________钝角。（填

“都是”或者“不都是”）

（2）若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任一象限。 例如：直角、周角、平角都不属于任一象限。 三、终边相同的角（重点）

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={Z k k ∈•+=︒,360/αββ

}，即任一与角α终

边相同的角都可以表示为角α与整个周角的和。

四、1弧度角的定义：我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。单位符号是 rad,读作弧度。2、弧度

数：在单位圆中，当圆心角为周角时，它所对的弧长为2π，所以周角的弧度数为2π，周角是2πrad 的角. 任意一个0°~360°的角的弧度数必然适合不等式 0≤x<2π. 任一正角的弧度数都是一个正实数；,任一负角的弧度数都是一个负实数； 零角的弧度数是0.

五、弧度制与角度制的换算 360°=2πrad ；180°=πrad ；1°=

180πrad ≈；1rad=π

180

≈°≈57°18′。

六、弧长公式l=r •α

七、设

是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）

则P 与原点的距离0222

2>+=

+=y x y

x r

八、比值

r

y 叫做的正弦 记作： r y =αsin ； 比值

r

x 叫做的余弦 记作： r

x =αcos ；

比值

x

y 叫做的正切 记作： x

y =

α

tan ； 比值

y

x 叫做

的余切 记作： y

x =

αcot ；

比值

x

r 叫做的正割 记作： x

r

=

αsec ；比值

y r 叫做

的余割 记作： y

r

=

αcsc 。

⑤定义域：

α

α

α

tan cos sin ===y y y )(2

Z k k R

R ∈+≠π

πα αααcsc sec cot ===y y y )

()(2)

(Z k k Z k k Z k k ∈≠∈+≠∈≠παπ

παπα

三角函数

定义域

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

sin α

cos α

tan α

九．公式: 1cos sin

22

=+αα

αα

tan cos = 1cot tan =⋅αα

十、公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin （2kπ+α）=sinα k∈z ；cos （2kπ+α）=cosα k∈z ；tan （2kπ+α）=tanα k∈z 。 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin （π+α）=－sinα ；cos （π+α）=－cosα ；tan （π+α）=tanα 。 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：

sin （－α）=－sinα ；cos （－α）=cosα ；tan （－α）=－tanα

公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）=sinα ；cos （π－α）=－cosα ；tan （π－α）=－tanα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）=－sinα ；cos （2π－α）=cosα ；tan （2π－α）=－tanα 公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin （π/2+α）=cosα ；cos （π/2+α）=－sinα ；tan （π/2+α）=－cotα。 sin （π/2－α）=cosα ；cos （π/2－α）=sinα ； tan （π/2－α）=cotα 。

推算公式：3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin （3π/2+α）=－cosα ；cos （3π/2+α）=sinα ；tan （3π/2+α）=－cotα 。 sin （3π/2－α）=－cosα ；cos （3π/2－α）=－sinα ；tan （3π/2－α）=cotα 。 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。

“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦

变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。

符号判断口诀：

“一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说： 第一象限内任何一个角的四种

三角函数值都是“+”； 第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”； 第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”； 第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。

二）、重难点分析

一、象限角的表示。

例 1、写出终边在x 轴正半轴、负半轴，y 轴正半轴、负半轴上的角的集合。 例 2、写出终边在x 轴，y 周上的角的集合。 例 3、写出终边在坐标轴上的角的集合。

练习一：1、写出第一、二、三、四象限角的集合。 二、同角三角函数的基本关系式应用的基本题型。

1、求值题型。已知一个角的某个函数值，求该角的其它函数值。

（1）已知一个角的一个具体的三角函数值及这个角所在象限。求该角的其他三角函数值。 例 4、 已知5

4

sin =

α

，并且α是第二象限角，求α的其他三角函数值． 练习二：1．已知2

1

cos =

θ ， 是第一θ象限角 求θtan 的值． （2）已知一个角的一个具体的三角函数值但该角所在的象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数确定这个角所在的象限，然后分不同的情况来求解。 例 5、已知17

8

cos -

=α

，求sin α、tan α的值． 练习三：1．已知2tan =α，求αsin 的值。

（3）一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，但该角所在象限没有给出，这时一般有两组解。 例 6、已知=α

cos a ，求αsin 的值。

练习四：1.已知2tan =αb ，求αcos 的值。

2、化简题型。化简三角函数式的一般要求是：能求出值得要求求出值；函数种类尽可能少；化简后

的式子项数尽可能少；函数次数尽可能低；尽可能使分母不含三角形式和根号等。

3、证明题型。证明三角形等式和条件等式的实际是消除两端的诧异，就是有目标的化简。根据不同题型，可采用： （1）左边⇒右边；（2）右边⇒左边；（3）右边、左边⇒中间 例 8、证明：1cos cos sin sin sin sin 222222

=+-+∂βαβαβ。

例9、证明：12

sin 2sin 2sin

222

<++C

B A （其中A 、B 、

C 为⊿ABC 的内角）