动点问题的函数图像

动点问题的函数图像复习指要

【典例分析】

例1(2014•贵阳,第9题,3分)如图,三棱柱的体积为10,其侧棱AB上有一个点P从点A开始运动到点B停止,过P点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分,它们的体积分别为

)

x、y,则下列能表示y与x之间函数关系的大致图象就是(

考点: 动点问题的函数图象.

分析:根据截成的两个部分的体积之与等于三棱柱的体积列式表示出y与x的函数关系式,再根据一次函数的图象解答.

解答:解:∵过P点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分的体积分别为x、y, ∴x+y=10,

∴y=﹣x+10(0≤x≤10),

纵观各选项,只有A选项图象符合.

故选A.

点评:本题考查了动点问题的函数图象,比较简单,理解分成两个部分的体积的与等于三棱柱的体积就是解题的关键.

例2 (2014年•河南省,第8题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1cm,BC=2cm,点P从点A出发,以1cm/s的速度沿折线AC→CB→BA运动,最终回到点A,设点P的运动时间为x(s),

)

线段AP的长度为y(cm),则能够反映y与x之间函数关系的图象大致就是(

A. B. C.

D.

考点:动点问题的函数图象.

分析:这就是分段函数:①点P在AC边上时,y=x,它的图象就是一次函数图象的一部分;

②点P在边BC上时,利用勾股定理求得y与x的函数关系式,根据关系式选择图象;

③点P在边AB上时,利用线段间的与差关系求得y与x的函数关系式,由关系式选择图象. 解答:解:①当点P在AC边上,即0≤x≤1时,y=x,它的图象就是一次函数图象的一部分.故C 错误;

②点P在边BC上,即1＜x≤3时,根据勾股定理得AP=,即y=,

则其函数图象就是y随x的增大而增大,且不就是线段.故B、D错误;

③点P在边AB上,即3＜x≤3+时,y=+3﹣x=﹣x+3+,其函数图象就是直线的一部分. 综上所述,A选项符合题意.

故选:A.

点评:本题考查了动点问题的函数图象.此题涉及到了函数y=的图象问题,在初中阶段没有学到该函数图象,所以只要采取排除法进行解题.

例3(2014•广西桂林,第12题,3分)如图1,在等腰梯

形ABCD中,∠B=60°,PQ同时从B出发,以每秒

1单位长度分别沿BADC与BCD方向运动至相遇

时停止,设运动时间为t(秒),△BPQ的面积为S(平

房单位),S与t的函数图象如图2所示,则下列结论

错误的就是( )

A.当t=4秒时,S=43

B.AD=4

C.当4≤t≤8时,S=23t

D.当t=9秒时,BP平分梯形ABCD的面积

考点:动点问题的函数图象.

分析:根据等腰梯形的性质及动点函数图象的性质,综合判断可得答案.

解答:解:由答图2所示,动点运动过程分为三个阶段:

(1)OE段,函数图象为抛物线,运动图形如答图1﹣1所示.

此时点P在线段AB上、点Q在线段BC上运动.

△BPQ为等边三角形,其边长BP=BQ=t,高h=t,

∴S=BQ•h=t•t=t2.

由函数图象可知,当t=4秒时,S=4,故选项A正确.

(2)EF段,函数图象为直线,运动图形如答图1﹣2所示.

此时点P在线段AD上、点Q在线段BC上运动.

由函数图象可知,此阶段运动时间为4s,

∴AD=1×4=4,故选项B正确.

设直线EF的解析式为:S=kt+b,将E(4,4)、F(8,8)代入得:

,

解得,

∴S=t,故选项C错误.

(3)FG段,函数图象为直线,运动图形如答图1﹣3所示.

此时点P、Q均在线段CD上运动.

设梯形高为h,则S梯形ABCD=(AD+BC)•h=(4+8)•h=6h;

当t=9s时,DP=1,则CP=3,

∴S△BCP=S△BCD=××8×h=3h,

∴S△BCP=S梯形ABCD,即BP平分梯形ABCD的面积,故选项D正确.

综上所述,错误的结论就是C.

故选:C.

点评:本题考查了动点问题的函数图象分析,有一定的难度,解题关键就是结合函数图象与几何图形的性质求解.

例4(2014•黄冈,第8题,3分)已知:在△ABC中,BC=10,BC边上的高h=5,点E在边AB上,过点

E作EF∥BC,交AC边于点F.点D为BC上一点,连接DE、DF.设点E到BC的距离为x,则△DEF

)

的面积S关于x的函数图象大致为(

考点: 动点问题的函数图象.

分析:判断出△AEF与△ABC相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出EF,再根据三角形的面积列式表示出S与x的关系式,然后得到大致图象选择即可.

解答:解:∵EF∥BC,

∴△AEF∽△ABC,

∴=,

∴EF=•10=10﹣2x,

∴S=(10﹣2x)•x=﹣x2+5x=﹣(x ﹣)2+,

∴S与x的关系式为S=﹣(x ﹣)2+(0＜x＜10),

纵观各选项,只有D选项图象符合.

故选D.

点评:本题考查了动点问题函数图象,主要利用了相似三角形的性质,求出S与x的函数关系式就是解题的关键,也就是本题的难点.

例5(2014•山东菏泽,第8题,3分)如图,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上,设CD的长度为x,△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图

象中能表示y与x之间的函数关系的就是

考点:动点问题的函数图象.