工程力学应力状态分析
土木工程力学应力状态
研究方法： 三、研究方法：取单元体
单元体：ห้องสมุดไป่ตู้单元体：微小的正六面体 原始单元体： 原始单元体：单元体各侧面上应力均已知
四、主平面 主应力 主方向
主平面：单元体中剪应力等于零的平面 主平面： 主应力： 主应力：主平面上的正应力 主方向：主平面的法线方向 主方向：
五、应力状态的分类
单向应力状态：三个主应力中， 单向应力状态：三个主应力中，只有一个 主应力不等于零的情况 二向应力状态： 二向应力状态：三个主应力中有两个主应 力不等于零的情况 三向应力状态： 三向应力状态：三个主应力皆不等于零的 情况
§2 平面应力状态分析—解析法 平面应力状态分析— 一、斜截面上的应力
已知： 已知：单元体 σx，σy，τxy=τyx， α 研究与z轴平行的任一斜截面 上的应力 轴平行的任一斜截面c 上的应力。 研究与 轴平行的任一斜截面 e上的应力。 符号规则： 符号规则： θ 角：从x轴正方向反时针转至斜截面的 轴正方向反时针转至斜截面的 外法线方向为正，反之为负。 外法线方向为正，反之为负。 正应力：拉为正，压为负。 正应力：拉为正，压为负。 剪应力： 剪应力：使微元体或其局部产生顺时针方 向转动趋势者为正，反之为负。 向转动趋势者为正，反之为负。
σ max ≤ [σ ] τ max ≤ [τ ]
实际问题：杆件的危险点处于更复杂的 实际问题： 受力状态
σ
τ
薄壁圆筒承受内压
δ
σt
σx
破坏现象
脆性材料受压 和受扭破坏
钢筋混凝土梁
二、一点的应力状态
在受力构件内，在通过 在受力构件内， 同一点各个不同方位的 截面上， 截面上，应力的大小和 方向是随截面的方位不 同而按照一定的规律变 化 通过构件内某一点的各 个不同方位的截面上的 应力及其相互关系， 应力及其相互关系，称 为点的应力状态
工程力学第21讲 应力状态分析：求斜截面应力
工程力学第21讲应力状态分析：求斜截面应力在工程力学中，应力状态分析是研究物体受到外力作用后内部应力分布的一门学科。
在实际工程中，经常需要求解物体内部某一点的应力值。
在本文中，我们将着重介绍如何求解斜截面上的应力值。
斜截面应力状态的分析是典型的三维问题，但在一些实际应用中，我们只需要在某一平面上求解应力分量。
为了方便分析，我们通常假设物体是等截面的，其剖面可以看成一个平面截形，如下图所示。
假设物体受到一个外作用力F，我们需要分析该力作用在斜截面xy上，求解点P处的应力状态（包括法向应力σn和切应力τxy）。
点P的坐标可以表示为(x,y,z)。
截面上的任一元素dA的面积可以表示为dA=dxdy，其对应的法向为b。
为了求解点P处的应力状态，我们可以采用以下的步骤：### 第一步：求解对x分量的力和对y分量的力为了便于分析，我们可以将作用力F分解成两个分量F_x和F_y，如下图所示。
在这里，我们需要注意F_x和F_y的方向。
如图所示，F_x沿x轴正方向，F_y沿y轴正方向，因为较难确定夹角a和b的正负号，所以F_x和F_y以及后面的应力分量都是以箭头的方向表示。
同时我们还需要注意到式中的F_z。
如下图所示，我们可以建立一个平面一对应着力分解后的F_x，F_y和截面。
然后我们可以求解在x和y方向上的应力分量。
对应的应力分量为：$$\sigma_x=\frac{F_x}{A_x}$$$$\sigma_y=\frac{F_y}{A_y}$$其中，Ax和Ay分别是上图中标注的x和y方向上的面积。
由于F_x和F_y都垂直于z 轴，所以在z方向上不存在应力分量。
### 第三步：求解点P处的应力状态现在我们已经求解了对x分量的力和对y分量的力在x和y方向上的应力分量，接下来我们需要求解点P处的应力状态。
如下图所示，我们需要确定切线方向上的应力σ_t和法线方向上的应力σ_n。
《工程力学》实验应力分析
r 1 2 3 4 2(1 )M
上下表面
M
r 2(1 )
E M
E r 2(1 )
R3 R4
R2 t2
R1
B
R1
R2
A
C
R4
R3
D
21
13.3 测量电桥的接法及其应用
例2 通过应变测量(1)求偏心载荷F;(2) 求e.试确定
布片、接桥方案。截面bh
y
e
y
解：(1)测F
z x
F Fe F 分析：
Me
Me
25
13.4 二向应力状态下主应力方向已知时的应力测定
1
3
B
R1
R2
A
C
R4
R3
D
解: 应力分析
1 3
沿与轴线成450方向为主方向,
故沿主应力方向布片.
采用全桥接法.
r 1 2 3 4 41
1
r
4
26
13.4 二向应力状态下主应力方向已知时的应力测定
1
3
B
R1
R2
A
C
R4
工程力学
第13章 实 验 应 力 分 析
1
第13章 实验应力分析
§13.1 概述 §13.2 电测应力分析的基本原理 §13.3 测量电桥的接法及应用 §13.4 二向应力状态下主应力已知时
的应力测定 §13.5 二向应力状态下主应力未知时
的应力测定
2
13.1 概 述
一. 为什么要进行实验应力分析
例1 已知E， , 测定max, 试确定布片、接桥方案。
M
R1
M
解：第一方案，
R2
工程力学7第七章应力状态和应变状态分析
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
0
x y
2
(
x y
2
)
2
2
2 x
y
y
y
2
090
0
x y
2
(
x y
2
2、为什么要研究一点的应力状态 单向应力状态和纯剪切应力状态的强度计算
σmax≤ [σ] τ
max≤[τ
]
梁截面上的任意点的强度如何计算？
分析材料破坏机理
F F F F T
T
3、怎么研究一点的应力状态
单元体
•各面上的应力均匀分布
• 相互平行的一对面上 应力大小相等、符号相同
满足：力的平衡条件 切应力互等定理
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法:
1.任意斜面上的应力 y
y
y
y
y
n
y
x
a
x
e
d
x
x
x
bz
x
x
x
e
x
x
y
f
yy
x
x
b
c
y
y
y
f t
应力的符号规定同前 α角以从x轴正向逆时针 转到斜面的法线为正
(设ef的面积为dA)
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
工程力学中的应力和应变分析
工程力学中的应力和应变分析工程力学是应用力学原理解决工程问题的学科，它研究物体受外力作用下的力学性质。
应力和应变是工程力学中的重要概念，它们对于分析材料的强度和变形特性具有重要意义。
本文将就工程力学中的应力和应变进行详细分析。
一、应力分析应力是指物体单位面积上的内部分子间相互作用力。
根据作用平面的不同，可以分为法向应力和剪切应力两种。
1. 法向应力法向应力是指力作用垂直于物体某一截面上的应力。
根据物体受力状态的不同，可以分为拉应力和压应力两种。
- 拉应力拉应力是指作用于物体截面上的拉力与截面面积的比值。
拉应力的计算公式为：σ = F/A其中，σ表示拉应力，F表示作用力，A表示截面面积。
- 压应力压应力是指作用于物体截面上的压力与截面面积的比值。
压应力的计算公式与拉应力类似。
2. 剪切应力剪切应力是指作用在物体截面上切向方向上的力与截面面积的比值。
剪切应力的计算公式为：τ = F/A其中，τ表示剪切应力，F表示作用力，A表示截面面积。
二、应变分析应变是指物体由于外力的作用而产生的形变程度。
根据变形情况，可以分为线性弹性应变和非线性应变。
1. 线性弹性应变线性弹性应变是指物体在小应力下，应变与应力成正比，且随应力消失而恢复原状的应变现象。
线性弹性应变的计算公式为：ε = ΔL/L其中，ε表示线性弹性应变，ΔL表示物体的长度变化，L表示物体的原始长度。
2. 非线性应变非线性应变是指物体在较大应力下，应变与应力不再呈线性关系的应变现象。
非线性应变的计算公式较为复杂，需要根据具体情况进行分析。
三、应力和应变的关系应力和应变之间存在一定的关系，常用的关系模型有胡克定律和杨氏模量。
1. 胡克定律胡克定律是描述线性弹性材料的应力和应变之间关系的基本模型。
根据胡克定律，拉应力和拉应变之间的关系可以表示为：σ = Eε其中，σ表示拉应力，E表示弹性模量，ε表示拉应变。
2. 杨氏模量杨氏模量是描述材料抵抗拉伸或压缩变形能力的物理量。
工程力学 第10章 应力状态分析
（a） （b）
对于法线为 y′ 的方向面，也可以写出类似的关于σ y′和τy′x′ 的方程。于是，从这些方程 中消去 dA 后，得到关于相互垂直的、任意方向面上正应力和切应力的公式： σ x′＝σ x cos2 θ＋σ ysin 2 θ－τxycos θsin θ －τyx sin θcos θ σ y′＝σ x sin 2 θ＋σ ycos2 θ＋τxycos θsin θ ＋τyx sin θcos θ τx′y′＝σ xcos θsin θ－σ ysin θcos θ＋τxycos2 θ－τyx sin 2 θ τy′x′＝－σ xcos θsin θ＋σ ysin θcos θ＋τxysin 2 θ－τyx cos 2 θ （10－1） （10－2） （10－3） （10－4）
图 10－3 正负号规则
n θ角－从 x 正方向反时针转至 x′正方向者为正；反之为负。 n 正应力—拉为正；压为负。 n 切应力—使微元或其局部产生顺时针方向转动趋势者为正；反之为负。
图 10－3 中所示的θ角及正应力和切应力τxy 均为正；τyx 为负。
10－2－2 微元的局部平衡
为确定平面应力状态中任意方向面(法线为 x′ ，方向角为 θ)上的应力，将微元从任意方 向面处截为两部分。考察其中任意部分，其受力如图 10－3b 所示，假定任意方向面上的正 应力σ x′和切应力τx′y′ 均为正方向。 于是，根据力的平衡方程 ∑ Fx′＝0 和 ∑ F y′＝0 , 可以写出：
图 10－4 不同坐标系中应力状态的表达形式
或者说从一种坐标系 Oxy 变换到另一坐标系 Ox′ y′ 。例如图 10－4a、b 中所示的两种微元， 若二者的应力满足式（10－1）－（10－4） ，则二者表示了同一点的应力状态。由于坐标系 Ox′ y′ 是任意的，因此，同一点的应力状态可以有无穷多种表达形式。在无穷多种表达形式 中有没有一种简单的、 但又能反映一点应力状态本质内涵的表达形式？为了回答这一问题需 要引入主应力的的概念。
工程力学-应力状态
sy
n
例1 已知 sx= –100MPa、sy =50MPa 、tx = – 60MPa，a = –30º
cos[2 ( 30)] ( 60)sin[2 ( 30)]
114.5MPa
τ 30
上海应用技术学院
τ T WP
此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑s 、t 的影响。 又如：受内压容器筒壁
上海应用技术学院
sy
A 筒壁某点A处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。 又如：火车车轮与铁轨接触处表层
4
sx
s s
A
s
A点应力：为三向受压状态。 此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构 件的破坏形式。
s
OC CFcos2 α DFsin2 α σx σy σx σy cos2 α τ x sin2 α σ α 2 2
上海应用技术学院
证明： H点横坐标： OM 纵坐标： MH CD与s 轴夹角为2a0
OM σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α σ α
ty
e
cos2 α τ x sin2 α
b
sy
切线方向上： Σ F 0 τ
τ α d A (σ x d A cos α )sin α ( τ x d A cos α )cos α (σ y d A sin α )cos α ( τ y d A sin α )sin α 0
∴ τ α σ x sin α cos α σ y sin α cos α τ x cos2 α τ y sin 2 α
上海应用技术学院
三维应力状态分析
三维应力状态分析
三维应力状态分析是工程力学中十分重要的一部分，它主要用于研
究物体内部各点的应力状态，并进一步分析物体在外力作用下的变形
和破坏情况。
本文将从应力的定义、三维应力分量、三维应力状态、
应力变换等几个方面展开探讨。
一、应力的定义
应力是描述物体内部单位面积上的力的作用情况的物理量，通常用
符号σ表示。
在三维坐标系下，应力可以分为三个方向上的分量：x方
向的应力σx，y方向的应力σy，z方向的应力σz。
其中，正应力代表
拉伸，负应力代表压缩。
二、三维应力分量
在三维空间中，一个点的应力状态可以用一个三维应力向量来表示，即：
σ = [σx, σy, σz]
三、三维应力状态
3D 应力分析会把其看到的那个body中的应力性质视的非常细致，
大部分的情况都会是标准状态非常好，而且力学方面的注意要细致而
恰当，所有的这些都是房屋抗震的基础；另一方面，首要条件是钢筋
混凝土类造体抗的震能。
四、应力变换
应力在不同坐标系之间的转换是三维应力分析中一个重要的内容。
在工程实践中，通常会遇到需要将应力从一个坐标系转换到另一个坐标系的情况，这时候就需要应力变换的知识来进行分析。
五、结论
通过对三维应力状态分析的讨论，我们可以更好地理解物体内部各点的应力情况，有助于设计和工程实践中的应力分析和结构设计。
希望本文的内容能为相关领域的研究和实践提供一定的参考，同时也欢迎各界同仁对三维应力状态分析进行更深入的研究和探讨。
工程力学第2节 二向应力状态分析
例12-1 已知构件内某点处的应力单元体如图所示，
试求斜截面上的正应力 和切应力 。
解：按正负号规定则有：
x 60 MPa x 120 MPa y 80 MPa 300
代入公式得：
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
78.9MPa
低碳钢试件扭转破坏是被剪断的，且其抗剪能力
低于其抗拉能力。
铸铁试件扭转破坏是被拉断的，且其抗拉能力低 于其抗剪能力。
例12-3 图示单元体，x=100MPa，x= –20MPa，
y=30MPa。试求：1） = 40º的斜截面上的 和 ； 2）确定A点处的max、max和它们所在的位置。
x
y
2
sin 2
x
cos2
121MPa
二、主应力和极限切应力
1、主应力和主平面
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
将公式 对 求一阶导数、并令其为0：
d d
x
2
y
(2 sin
由切应力互等定理有x=y，并利用三角关系：
sin2 1 cos2 、 cos2 1 cos2 及
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2sin cos sin 2 对以上二式进行整理得到：
x
y
2
x
y
2
工程力学-应力状态与应力状态分析
8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。
（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:321σσσ≥≥最大切应力为132max σστ-=（2）任斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（3) 主应力的大小22minmax )2(2xyyx yx τσσσσσ+-±+=主平面的方位y x xytg σστα--=2204、主应变12122x y xyx y()tg εεεεγϕεε⎡=+±⎣=-5、广义胡克定律)]([1z y x x E σσμσε+-=)]([1x z y y E σσμσε+-=)]([1y x z z E σσμσε+-=G zxzx τγ=G yzyz τγ=，G xyxy τγ=6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。
”8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处的原始单元体。
图8.1[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。
再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。
截取出的单元体如图8.1(d)所示。
(2)分析单元体各面上的应力:A 点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为：z M y I σ=bI QS z z*=τ由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ；前后边面为自由表面，应力为零。
工程力学第13章应力状态分析和强度理论
max
m in
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 xy
——主应力的大小
3)、 切应力 的极值及所在截面
由
x
y
2
sin 2
xy cos 2 ,
令 d
0
d 1
tan
21
x 2 xy
y
(1 ; 1 1 900 )
——最大切应力 所在的位置
z
x
y y
x
z x
2
I 3 1
(1)求平行于σ1的方向面的应力σα 、 τα ,其上之应力与σ1 无关.
1
3
II 2
(2)求平行于σ2的方向面的应力σα、 τα ,其上之应力与σ2 无关.
2
III 1 3
2
(3)求平行于σ3的方向面的应力σα 、 τα ,其上之应力与σ3 无关.
例2、槽形刚体内放置一边长为a = 10 cm 正方形钢块，试求钢 块的三个主应力。F = 8 kN，E = 200 GPa, μ = 0.3。
Fy
解：1) 研究对象ຫໍສະໝຸດ 正方形钢块y F 80 MPa, A
x
?,
z 0.
x 0, y ?, z ? .
y
x b
a
c x x
y
b x
x
a y
c
y t
n 单元体各面面积
x bc : dA
ab: dAcos ac : dAsin
设：斜截面面积为ｄA，由分离体平衡得：
工程力学中的应力和应变的分析
工程力学中的应力和应变的分析工程力学是研究物体在外力作用下受力与变形规律的学科。
在工程力学中，应力和应变是两个重要的概念，用于描述物体受到外力作用后的力学响应和变形情况。
本文将对工程力学中的应力和应变进行深入的分析和探讨。
一、应力的概念和分类应力是描述物体单位面积内的内力或外力的物理量，用σ表示。
在力的作用下，物体的形状、大小和方向都会发生变化，而应力则用来描述物体内部各点受力状态的大小和方向。
应力可以分为正应力和剪应力两种类型。
1. 正应力：正应力是指垂直于物体截面的力在该截面上的作用效果。
正应力可分为拉应力和压应力两种情况。
拉应力是指垂直于物体截面的力使得截面上的物质向外扩张，压应力则是指垂直于物体截面的力使得截面上的物质向内收缩。
2. 剪应力：剪应力是指与物体截面平行的力在该截面上的作用效果。
剪应力是由于物体受到外部力的平行作用而引起的变形。
剪应力会使得物体的截面发生平行于力的方向的切变变形。
二、应变的概念和分类应变是描述物体相对于原始形状发生变形时各点之间相对位置的改变程度的物理量，用ε表示。
应变描述了物体受到外力作用后的变形程度和特征。
应变可分为线性应变和剪切应变两种类型。
1. 线性应变：线性应变是一种改变物体长度的应变形式，也称为伸长应变。
线性应变正比于物体所受力的大小，并与物体原始长度之比成正比。
线性应变的表达式为ε = ΔL / L0，其中ΔL为线段在力作用下伸长的长度，L0为线段的原始长度。
2. 剪切应变：剪切应变是一种改变物体形状的应变形式，也称为变形应变。
剪切应变是与物体所受剪力大小成正比，与物体的长度无关。
剪切应变的表达式为γ = Δx / h，其中Δx为剪切前后平行于力方向的线段之间的位移，h为物体在该方向上的高度。
三、应力和应变之间的关系应力和应变之间存在一定的关系，通常可以通过弹性模量来表示。
弹性模量是描述物体材料抵抗形变能力的物理量，用E表示。
主要用于刻画物体在受力作用后，恢复原始形状的能力。
工程力学之应力状态分析和强度计算PPT(50张)
3
2 主应变：主应力方向上的应变
1 1 2 3 1 2 3 1 2 3
工
1 单独作用 2 单独作用 3 单独作用
程 力
1
1
2
3
E
E
E
学
2
1
E
2
E
3
E
3
1
E
2
E
3
E
同时作用
1
1
E
( 2 ) ( 3
E
E
)
13
§10.应力状态分析和强度理论—— 广义胡克定律
Fn 0
A x Ax cos y Ay sin x Ax sin y Ay cos 0
F 0
A x Ax sin y Ay cos x Ax cos y Ay sin 0
x
2
y
x
y
2
cos 2
x
sin
2
x
2
y
sin
2
x
cos 2 7
§10.应力状态分析和强度理论——平面应力状态分析
=0
tg2o
2 x x y
9
§10.应力状态分析和强度理论——平面应力状态分析
x 2y(x 2y)2(x)2sin 2 ()
工 程
(x 2y)2(x)2cos2 ()
力
学 ● 最大和最小剪应力
21 0
or
max min
(
x
2平面与主平面的夹角为45°： 1 0 45
(2)相互平行的平面上，应力大小和性质完全相同。 (3) 相邻垂直面上的切应力根据切应力互等定理确定.
4
§10.应力状态分析和强度理论——概 述
工程力学之应力状态分析和强度计算
工程力学之应力状态分析和强度计算工程力学是研究物体受力和变形规律的学科，其基础之一就是应力状态分析和强度计算。
应力状态分析主要是通过计算和评估物体内部的应力分布情况，强度计算则是根据应力状态来确定物体的强度和稳定性。
应力状态分析是力学中的一个重要步骤，它不仅可以用来评估物体的受力情况，还可以为工程设计提供依据。
在进行应力状态分析时，首先需要确定物体所受的外力，然后利用力学原理和相关公式计算物体内部的应力分布。
具体来说，首先我们需要确定物体所受的外力，包括静力、动力以及热力等，这些外力会作用在物体的不同部位上。
然后，通过应用牛顿第二定律、平衡方程等力学原理，可以计算得到物体内部的应力分布情况。
在实际工程中，通常使用数值计算方法来解决这些力学方程，比如有限元法和边界元法等。
强度计算则是根据应力状态来评估物体的强度和稳定性，以确定物体是否满足设计和使用要求。
在进行强度计算时，首先需要确定物体的强度参数，比如抗拉强度、屈服强度、抗剪强度等。
然后，根据物体所受的应力状态，通过应力分析和计算，可以得到物体内部的应力大小。
接下来，比较物体内部的应力和其强度参数，就可以判断物体是否安全和稳定。
应力状态分析和强度计算在各个工程领域中都有广泛的应用。
在土木工程中，它可以用来评估建筑物、桥梁和道路等结构的受力情况，以确保它们的安全使用。
在机械工程中，它可以用来评估机械零件和设备的强度和稳定性，以确保它们能够正常工作。
在航空航天工程中，它可以用来评估飞机和航天器在各种飞行状态下的受力情况，以确保它们在高速和极端环境下的安全性。
总之，应力状态分析和强度计算是工程力学的重要内容，它们不仅可以为工程设计提供依据，还可以用来评估物体的强度和稳定性。
在实际应用中，我们可以通过数值计算的方法来解决应力分析和强度计算问题，从而确保工程项目的安全性和可靠性。
在工程实践中，应力状态分析和强度计算是非常重要的步骤，涉及到许多领域，如结构工程、材料工程、土木工程等。
工程力学-应力状态与应力状态分析
8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。
（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:321σσσ≥≥最大切应力为132max σστ-=（2）任斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（3) 主应力的大小22minmax )2(2xyyx yx τσσσσσ+-±+=主平面的方位yx xytg σστα--=2204、主应变122122x y x y xy xyx y()()tg εεεεεεγγϕεε⎡=+±-+⎣=-5、广义胡克定律)]([1z y x x E σσμσε+-=)]([1xzyy Eσσμσε+-=)]([1yxzz Eσσμσε+-=Gzxzxτγ=Gyzyzτγ=，Gxyxyτγ=6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。
”8.1试画出下图8.1(a)所示简支梁A点处的原始单元体。
图8.1[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。
再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。
截取出的单元体如图8.1(d)所示。
(2)分析单元体各面上的应力:A点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为：zMyIσ=bIQSzz*=τ由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ；前后边面为自由表面，应力为零。
在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图8.1(d)。
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2 x x
y
即τmax 、τmin 作用面是互相垂直的面，为α1截面和
α1+90o截面，且α1=α0+45o 。
2. ( x y )cos 21 2 x sin 21 0
1
x
2
y
Байду номын сангаас
x
2
y
cos 21
x
sin 21
即τmax 、τmin作用面上
1
x
y
2
3.
max min
x
y
2
(
x
2
x y 0 45o
x y 0 45o
x y
x 0 x 0
0 45o 0 45o
4.
max min
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 x
max min x y
即对于同一点互相垂直面上的正应力之和是常量。
三、最大切应力及其作用平面的位置
求与z 轴平行所有截面上的最大切应力及方位
D
FN A
F
dt
20 103 50 2106
63.7MPa
D
T
WP
M
d2t / 2
2 (600) 502 2 109
76.4MPa
D 63.7MPa D 76.4MPa
⑵ 作出D点的应力状态图 x 63.7MPa y 0 120o
x 76.4MPa
x
y
2
x
y
x 1.04MPa y 0 x 0.469MPa
40o
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
1.04 1.04 cos 80o 0.469 sin 80o
2
2
1.07MPa
x
y
2
sin 2
x
cos 2
1.04 sin 80o 0.469 cos 80o 2
0.59MPa
C
M Iz
y
25103 600103 / 4 200 6003 1012 / 12
1.04MPa
C
3FS 2bh
(1
4 y2 h2
)
3 50103 2 200 600106
(1
4 1502 106 6002 106
)
0.469MPa
C 1.04MPa C 0.469MPa
⑶ 作出C 点的应力状态图
单元体三对面的应力已知 ，单元体平衡
单元体任意部分平衡
由截面法和平衡条件可求 得任意方位面上的应力，即 点在任意方位的应力。
二、应力状态的分类
1.主平面 单元体上无切应力的平面。
2.主应力 作用在主平面上的正应力。
3.应力状态的分类 任何点的应力状态总可找到三对互相垂直的主平 面构成的六面体，作用三对主应力，且有：
max min
x
y
2
(
x
2
y
)2
2 x
1.
x
2
y
sin
20
x
cos
20
0
0 0
即σmax 、σmin 作用面上τ = 0，即α0截面为主平面，σmax、 σmin为主应力。
2.
tan 20
2 x x
y
即σmax 、σmin 作用面是互相垂直的面，为α0截面和 α0+90o截面。
3. σmax作用面方位角度α0
y
)2
2 x
max
max
min
2
例：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的 破坏现象。
解：圆轴扭转时横截面边缘处切应力最大
T M
WP WP
作应力状态图
x y 0
x
max min
x
y
2
(
x
y
2
)2
2 x
0
1 2
arctan(
2 x x
y
)
45o
45o
圆轴扭转时表面各点σmax所在平面连成倾角为45o的螺旋面， 由于铸铁抗拉强度低，所以试件沿此螺旋面断裂破坏。
2
cos 2
x
sin 2
63.7 63.7 cos 240o (76.4) sin 240o 22
50.3MPa
x
y
2
sin 2
x
cos 2
d 0 d
( x y )cos 21 2 x sin 21 0
解得：
tan 21
x 2 x
y
可确定两个相互垂直
的截面 1,1 90
代入平面应力状态下任意斜截面上切应力表达式
max min
(
x
2
y
)2
2 x
1.
tan 21
x 2 x
y
tan
20
例：矩形截面简支梁在跨中作用集中力F。已知F =100kN，l = 2m ，b = 200mm ，h = 600mm ，α =40o，求离支座l /4 处截面C点 在斜截面n-n上的应力。
解：⑴ 求C 点所在截面的剪力、弯矩 F
FS 2 50kN M Fl 25kN m
8 ⑵ 求C 点在横截面上的正应力、切应力
⑴ σx 、τx 是法线与x 轴平行的面上的正应力与切应力，即x
面上的正应力与切应力；σy 、τy 是法线与y 轴平行的面上的正应 力与切应力，即y 面上的正应力与切应力。
⑵ 正应力：拉应力为正，压应力为负；切应力：对单元体 内任意点的矩顺时针为正，反之为负。
⑶ 斜截面角度：从x 轴正向转到斜截面外法线所转过的角度， 逆时针转为正，顺时针转为负。
例：一薄壁圆筒受扭转和拉伸同时作用如图。已知圆筒的平 均直径d = 50mm，壁厚t = 2mm，外力偶M = 600N·m，拉力F
= 20kN。薄壁管截面的抗扭系数可近似取为WP= πd2t / 2。试用
解析法求过点D 指定斜截面上的应力、点的主应力和主方向及 最大切应力。
解：⑴ 求D 点在横截面上的正应力、切应力
二、主应力及主平面位置
求与z 轴平行所有截面上的最大（小）正应力及方位
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
d 0 d
x
2
y
(2 sin
20 )
x (2cos
20 )
0
解得：
x
2
y
sin
20
x
cos
20
0
tan 20
2 x x
y
可确定两个相互垂直
的截面 0 ,0 90
代入平面应力状态下任意斜截面上正应力表达式，得：
1 2 3
（按代数值大小排序）
·三向应力状态 ·二向应力状态 ·单向应力状态
三个主应力都不等于零。 两个主应力不等于零。 只一个主应力不等于零。
§13-2 平面应力状态应力分 析的解析法
一、任意斜截面上的正应力和切应力
Fn 0 : F 0 :
dA ( xdAcos )sin ( xdAcos )cos ( ydAsin )cos ( ydAsin )sin 0
dA ( xdAcos )cos ( xdAcos )sin ( ydAsin )cos ( xdAsin )sin 0
平面应力状态下任意斜截面上应力表达式
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2
x
y
2
x
y
2
cos 2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos 2