梁弯曲时的正应力 知识点：1、变形几何关系 2 、物理关系 3、静力
纯弯曲梁横截面上的正应力
11.74 MPa
内max
Mmax Iz
h 2
1.44130Nm81 02m
731 6 08m4
2
78.3 MPa
例7-2 一受集中载荷的简支梁，由18号槽钢制成，如图7-7(a)所示。已知 梁的跨度 l=2 m，F=5 kN。求此梁的最大拉应力和最大压应力。 解：1、作弯矩图
h
b
d
[注：各种型钢的抗弯截面模量可从型钢表中查到]
若梁的横截面对中性轴不对称，其最大拉、压应力并不相等，这时 应分别进行计算。
思考题1：
梁发生平面弯曲时，其横截面绕______旋转。 A.梁的轴线 B.中性轴 C.截面的对称轴 D.截面的上（或下）边缘
答案 B.
扭转时横截面才绕轴线旋转，A不对。弯曲时横截面是绕中性轴旋转。 中性轴不一定是对称轴，中性轴过形心，不会在上、下边缘，所以C、D不 对。
抗弯截面模量
max
M Wz
四、截面惯性矩与抗弯截面模量
1、矩形截面
Iz
1b3h, 12
Wz 1 6b2h
c
z
h
y b
2、圆形截面
Iz
d4,
64
Wz 32d3
d
c
3、圆环形截面
d
d
z
D
Iz
D4(14),
64
Wz 32D3(14)
y
D
思考： Wz ?
Z
各种型钢的抗弯截面模量可从型钢表中查到若梁的横截面对中性轴不对称其最大拉压应力并不相等这时应分别进行计算
一、纯弯曲和横力弯曲的概念
剪力“FQ” 切应力“τ”； 弯矩“M” 正应力“σ”
１、纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无剪应
材料力学梁的应力知识点总结
材料力学梁的应力知识点总结梁是一种常见的结构元件，在工程中广泛应用。
了解梁的应力知识点对于工程设计和分析非常重要，本文将对材料力学梁的应力知识点进行总结。
1. 弯曲应力在弯曲载荷下，梁会发生弯曲变形，产生弯曲应力。
弯曲应力分为正应力和剪应力两部分。
梁的顶端受拉产生正应力，底端受压产生正应力。
横截面上由于剪力的存在，产生剪应力。
弯曲应力与梁的几何形状、材料性质和载荷有关。
2. 矩形截面的弯曲应力分布对于矩形截面的梁，弯曲应力的分布是不均匀的。
顶部和底部的纤维受到最大应力，处于拉伸或压缩状态。
靠近中性轴的纤维受到较小的应力。
弯曲应力的分布可用弯矩与惯性矩的比值来表示。
3. 剪应力和剪力流在梁的截面上，由于剪力的存在，产生剪应力。
剪应力的分布是沿纵横两个方向呈对称分布的。
剪应力在截面上的变化呈线性分布，最大值出现在截面的边缘。
剪力流是指单位深度上的剪力大小，剪应力和剪力流之间存在直接的线性关系。
4. 应力分量的变换在梁的应力分析中，常常需要对应力分量进行变换。
常用的应力分量变换公式有平面应力变换公式和平面应变变换公式。
5. 横截面形状的影响梁的横截面形状对其应力分布和强度有显著影响。
常见的梁截面形状有矩形、圆形和I型等。
圆形截面具有均匀的应力分布特点，适用于承受压力的情况。
I型截面具有较高的抗弯强度，适用于悬挑梁和跨大距离的情况。
6. 梁的断裂当梁受力达到其强度极限时，可能会发生断裂。
断裂形式可以是横断面的剪断、疲劳断裂或脆性断裂等。
设计中需要考虑梁的强度和刚度，以避免出现断裂。
总结：材料力学梁的应力知识点对于工程领域非常重要。
弯曲应力、剪应力和剪力流是梁应力分析的关键内容；矩形截面的弯曲应力分布是不均匀的，可以用弯矩与惯性矩的比值表示；横截面形状对梁的应力分布和强度有重要影响。
通过深入理解和应用这些知识点，可以对梁的行为和性能进行合理评估和设计。
梁变形与梁应力部分小结
梁变形与梁应力部分小结一、梁的应力与变形公式1、平面弯曲的正应力σ公式 y Ey I M Zρσσ==研究方法：平面弯曲、纯弯曲平面假设、单向受力假设①变形几何关系（条件、方程）ρεy=（应变沿截面高度的分布规律）y ——截面上某点到中性轴的距离 ②物理关系（条件、方程）ρσyE εE ⋅=⋅= （应力沿截面高度的分布规律）③静力学关系（条件、方程）dAy Ey σdA M0ydA EσdA F A2AZAAN ⎰⎰⎰⎰=⋅====⊗ρρ⎪⎩⎪⎨⎧=⎰中性轴—Z dA y I A 2Z ()4m()⎰=⋅=→AZ Z 0dA y S S 3m 静矩 （中性轴Z 轴通过形心）2、弯曲变形基本公式（方程）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±==22Zdx y d EIM ρρ1（ρ1曲率）3、任一点处弯曲正应力的表达式（对同一截面而言）y I M Z=σ ZI ——截面对中性轴的惯性M ——该截面上的弯矩值 y ——该截面上某点至中性轴之矩 4、平面弯曲剪应力公式 ①基本公式：bI S Fs Z Z *=τ 式中：b ——横截面上要计算剪应力之点处的宽度Z I ——整个截面对中性（形心）轴的惯性矩*ZS ——横截面上距中性轴为y 的横线以外部分截面对中性轴Z 的静矩②横截面上最大剪应力（危险点在中性轴上各点）记忆⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====2maxmax 3ππ16Fs A Fs 34τbh Fs 1.5A Fs23τ查表Z I ：m ax Z S 值（应用）二、平面弯曲强度条件与刚度条件1、弯曲正应力强度条件 []σσ≤=ZW M m ax （对称）[][][][])() ( 2m ax m ax σy y I M y I M Zl 1Z 压拉压拉σσσσσ≤=≤=（不对称）2、弯曲剪应力强度条件 []ττ≤=bI S Fs Z Zmaxmax m ax 危险点均在危险截面的中性轴各点处应力沿截面高度的成抛物线分布规律3、刚度条件（用叠加法求出梁中最大转角与挠度）转角[]θθ≤m ax 、()角度弧度⇒⋅πθ180m ax rad挠度[] max max ωω≤(m) 满足刚度条件三、提高弯曲强度与弯曲刚度的措施1、选择合理的截面（考虑材料力学性质） ①AW Z一般情况该比值越大越合理 工＞＞②铸铁[]压σ＞[]拉 σ，中性轴偏于受拉边 Z (中性轴) 2、合理布置梁的支座和载荷①合理布置梁的支座 ②合理布置梁的载荷 ③等强度梁（变截面梁）m ax m ax τ矩形梁 圆截面梁 工字梁危险点均在危险截面的上、下边缘点处应力沿截面高度成线性分布四、用变形比较法求解超静定（静不定）梁1、确定静定基。
梁的应力
384 MPa
t max 178 MPa , c max 384 MPa
5. C 截面曲率半径ρ
30
A
1m
FAY
B C
l = 3m
x
K
C 截面弯矩
M C 60kN m
z y
FBY
I Z 5.832 10 m
1 M EI
9
5
4
FS 90kN
x 90kN
C
EI Z MC
200 10 5.832 10 60 10
3
5
q=60kN/m
180
3. C 截面最大正应力
120
A
1m
FAY
B C
l = 3m
30
C 截面弯矩
M C 60kN m
x
K
z y
Cmax
FBY
I Z 5.832 10 m
M C ymax IZ
3
5
4
FS 90kN
x 90kN x
60 10
180
二 、纯弯曲梁横截面上的正应力公式
（一）变形几何关系： 由纯弯曲的变形规律→纵向线应变的变化规律。 1、观察实验：
2、变形规律： ⑴、横向线：仍为直线， 只是相对转动了一个角度 且仍与纵向线正交。
⑵、纵向线：由直线变为 曲线，且靠近上部的纤维 缩短，靠近下部的纤维伸 长。 3、假设： M
a
c
b
a
§ 梁横截面的正应力和正应力强度条件
一、 纯弯曲和横力弯曲的概念
剪力“Fs”——切应力“τ”； 弯矩“M”——正应力“σ”
材料力学第六章弯曲应力
但相应的最大弯矩值变为
Fl ql2
M max
4
8
375 kN m 13 kN m 388 kN m
而危险截面上的最大正应力变为
max
388103 N m 2342106 m3
165.7106
Pa
165.7
MPa
显然，梁的自重引起的最大正应力仅为
165.7 160 MPa 5.7 MPa
<2>. 相邻横向线mm和nn，在梁弯曲后仍为直线，只是
相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。
根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和 nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：
平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面， 只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后 的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。
力的值max为
max
M ym a x Iz
M
Iz ymax
M Wz
式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数（对Z轴）
(section modulus in bending)，其单位为m3。
b
h d
o
z
o
z
y
y
中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面 上最大拉应力值和最大压应力值为
A
r
(b)
M z
y d A E
A
r
y2 d A EI z M
A
r
(c)
由于式(a)，(b)中的
E
r
不可能等于零，因而该两式要求：
1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零，A y d A 0 ；显
梁弯曲知识点总结
梁弯曲知识点总结一、弯曲概念在物理学和工程力学中，弯曲是指在材料受到外力作用下，产生一种曲率变化的变形形式。
在梁的情况下，当梁受到外部载荷作用时，梁将发生一种曲率变化，即梁的一部分受到压力而另一部分受到拉力，使得梁产生一种弯曲的变形形式。
梁的弯曲是梁理论研究的重要内容之一。
二、弯曲的原理梁的弯曲原理是由梁的弯矩和弯曲应力来描述的。
梁在弯曲时，横截面上的各个点受到的弯矩不同，由于弯矩的不平衡，在梁的上表面产生的张力，下表面产生的压力，产生了一种称为弯曲应力的内力形式。
弯曲应力的作用下，梁在弯曲的过程中产生了曲率变化，弯曲原理是用来描述梁在弯曲时的变形和内力情况的。
三、梁的弯曲方程梁的弯曲方程是用来描述梁在弯曲时的曲率和弯矩之间的关系的。
梁的弯曲方程可以通过力学原理和材料力学原理来推导出来。
梁的弯曲方程可以用来计算梁在受载时的弯曲变形和各个截面上的应力情况，对于工程结构的设计和分析具有非常重要的意义。
梁的弯曲方程通常包括以下几个方面：1.梁的弯曲变形方程：描述梁在弯曲时产生的曲率变化和曲线形状；2.梁的弯矩方程：描述梁在受力状况下产生的弯矩大小和分布情况；3.梁的弯曲应力方程：描述梁在弯曲状况下产生的应力大小和分布情况。
梁的弯曲方程是梁理论的核心内容，对于工程结构的设计和分析具有重要的意义。
四、梁的弯曲理论梁的弯曲理论是研究梁在受载时的弯曲变形和内力情况的理论。
梁的弯曲理论是以弹性理论和材料力学为基础的，通过对梁在弯曲时的力学原理和材料力学原理进行分析和推导，得出了梁在弯曲时的各种数学模型。
梁的弯曲理论可以应用于工程结构的设计和分析中，能够比较准确地描述梁在受载时的变形和内力情况，为工程结构的安全和稳定性提供理论依据。
梁的弯曲理论包括以下几个方面：1.梁的弯曲变形分析：描述梁在受载时产生的形状和曲率变化；2.梁的弯曲应力分析：描述梁在受载时产生的应力大小和分布情况；3.梁的弯曲挠度分析：描述梁在受载时产生的挠度大小和分布情况；4.梁的弯曲裂缝分析：描述梁在受载时产生的裂缝情况。
第八讲 弯曲正应力
)
/(h0
/
2)
5.8.1 弯曲正应力
7、常见截面的IZ和WZ
IZ = y2dA
A
Wz
=
IZ ymax
Ip =
ρ2dA
A
Wt
=
Ip ρmax
圆截面
IZ
=
d 4
64
Wz
=
d3
32
πd 4 Ip = 32
πd 3 Wt = 16
空心圆截面
IZ
=
D 4
64
(1 −
4)
Wz
=
D3
32
(1− 4 )
yzdA=0
A
y
M
z
My
y z dA
5.8.1 弯曲正应力
惯性矩的定义
y
z
dA
ρ y
O
I y =
z 2 dA
A
Iz =
y2dA
A
I yz =
yzdA
A
z
IP =
2dA
A
5.8.1 弯曲正应力
惯性矩的性质
➢ 惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，而极惯性矩，是 对点定义的。
➢ 任何平面图形对于通过其形心的对称轴和与此对称轴垂 直的轴的惯性积为零。
5.8.1 弯曲正应力
3、几何关系
变形观察
mn aa bb m x n
m´ n a´ a´ b´ b´ m´ n´
（1）平面假设： 变形前为平面的横截面变 形后仍保持为平面，且垂 直于变形后的梁轴线，只 是绕截面内某一轴线偏转 了一个角度。
5.8.1 弯曲正应力
3、几何关系
变形观察
mn aa bb m x n
梁的弯曲应力和变形
正应力分布规律：
1. 中性轴上的点应力为零；
M
2. 上下边缘的点应力最大，其余各 点的应力大小与到中性轴的距离成
正比。
M
中性轴
F
二、计算公式 F
mn
1. 变形几何关系
解：（ 1 ）求支座反力
12.75
kN m
（ 2 ）作弯矩图
max
M
max
Iz
y1
M max W1
max
M
max
Iz
y2
M max W2
（8 - 8） （8 校核哪个截面？
例 2 铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=40 3×10 － 7m4 ，铸铁抗拉强度［ σ ＋］ =5m0MPa ，抗压强度
的情况，公式仍然适用。
（ 2 ）公式是从矩形截面梁导出的，但对截面为其它对称形状（如工
字形、 T 字形、圆形等）的梁，也都适用。
M max WZ
梁弯曲时，其横截面上既有拉应力也有压应力。对于中性轴为对称 轴的横截面，例如矩形、圆形和工字形等截面，其上、下边缘点到 中性轴的距离相等，故最大拉应力和最大压应力在数值上相等，可 按左式求得。
一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。
在选择梁的截面时，一般按正应力强度条件选择，选好 截面后，再按剪应力强度条件进行校核。
对于细长梁，按正应力强度条件选择截面或确定许用荷载 后，一般不再需要进行剪应力强度校核。
在下列几种特殊情况下，需要校核梁的剪应力：
（ 1 ）梁的跨度较短，或在支座附近有较大的荷载作用。 在此情况下，梁的弯矩较小，而剪力却很大。 （ 2 ）在组合工字形截面的钢梁中，当腹板的厚度较小 而工字形截面的高度较大时，腹板上的剪应力值将很大 ，而正应力值相对较小。 （ 3 ）木材在顺纹方向抗剪强度较差，木梁可能因剪应 力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。
梁的弯矩和应力关系式【最新】
第17讲教学方案——弯曲正应力第七章弯曲应力§7-1纯弯曲正应力梁的横截面上同时存在剪力和弯矩时，这种弯曲称为横弯曲。
剪力Q是横截面切向分布内力的合力；弯矩M是横截面法向分布内力的合力偶矩。
所以横弯梁横截面上将同时存在剪应力τ和正应力σ。
实践和理论都证明，其中弯矩是影响梁的强度和变形的主要因素。
因此，我们先讨论Q = 0，M = 常数的弯曲问题，这种弯曲称为纯弯曲。
图6-1所示梁的CD段为纯弯曲；其余部分则为横弯曲。
与扭转相似，分析纯弯梁横截面上的正应力，同样需要综合考虑变形、物理和静力三方面的关系。
1．变形关系——平面假设考察等截面直梁。
加载前在梁表面上画上与轴线垂直的横线，和与轴线平行的纵线，如图6-2a所示。
然后在梁的两端纵向对称面内施加一对力偶，使梁发生弯曲变形，如图图6-2b所示。
可以发现梁表面变形具有如下特征：（1）横线（m-m和n-n）仍是曲线，只是发生相对转动，但仍与纵线（如a-a，b-b）正交。
（2）纵线（a-a和b-b）弯曲成曲线，且梁的一侧伸长，另一侧缩短。
根据上述梁表面变形的特征，可以作出以下假设：梁变形后，其横截面仍保持平面，并垂直于变形后梁的轴线，只是绕着梁上某一轴转过一个角度。
与扭转时相同，这一假设也称平面假设。
此外，还假设：梁的各纵向层互不挤压，即梁的纵截面上无正应力作用。
根据上述假设，梁弯曲后，其纵向层一部分产生伸长变形，另一部分则产生缩短变形，二者交界处存在既不伸长也不缩短的一层，这一层称为中性层。
如图6-3所示。
中性层与横截面的交线为截面的中性轴。
横截面上位于中性轴两侧的各点分别承受拉应力或压应力；中性轴上各点的应力为零。
下面根据平面假设找出纵向线应变沿截面高度的变化规律。
考察梁上相距为dx 的微段（图6-4a ），其变形如图6-4b 所示。
其中x 轴沿梁的轴线，y 轴与横截面的对称轴重合，z 轴为中性轴。
则距中性轴为y 处的纵向层a-a 弯曲后的长度为θρd y )(+，其纵向正应变为ρθρθρθρεy d d d y =-+=)( （a ） 式（a ）表明：纯弯曲时梁横截面上各点的纵向线应变沿截面高度线性分布。
第六章：梁弯曲时的内力和应力
剪力图和弯矩图：以梁轴线为横坐标，分别以剪力值和弯矩值为纵坐标， 按适当比例作出剪力和弯矩沿轴线的变化曲线，称作剪力图和弯矩图。
剪力、弯矩方程便于分析和计算，剪力、弯矩图形象直观，两者对于解 决梁的弯曲强度和刚度问题都非常重要，四者均是分析弯曲问题的基础。
第三节：剪力图和弯矩图
5-5 截面
FS5 q 2 FB 5.5 kN
1 23 4
5
1 23 4
5
M5 (q 2)1 8 kN m
第三节：剪力图和弯矩图
第三节：剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图
剪力方程和弯矩方程：为了描述剪力与弯矩沿梁轴线变化的情况，沿梁 轴线选取坐标 x 表示梁截面位置，则剪力和弯矩是 x 的函数，函数的解 析表达式分别称为剪力方程和弯矩方程。
M 为常数，即对应弯矩图应为水平直线； 其他两段的弯矩图则均为斜直线。
第三节：剪力图和弯矩图
3）判断剪力图和弯矩图形状 AC、CD、DB 各段梁的剪力图均为水 平直线。在 CD 段，弯矩 M 为常数，对 应弯矩图应为水平直线；其他两段的弯 矩图则均为斜直线。
4）作剪力图和弯矩图
剪力图 弯矩图
第四节：弯曲时的正应力
第一节：梁的计算简图 第二节：弯曲时的内力计算 第三节：剪力图和弯矩图 第四节：弯曲时的正应力 第五节：正应力强度计算 第六节：弯曲切应力 第七节：提高梁弯曲强度的一些措施
第一节：梁的计算简图
第一节：梁的计算简图
一、梁的支座 梁的支座形式：工程中常见的梁的支座有以下三种形式。 1、固定铰支座：如图 a)所示，固定铰支座限制梁在支承处任何方向的 线位移，其支座反力可用两个正交分量表示，即沿梁轴线方向的 FAx 和 垂直于梁轴线方向的 FAy 。
材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)解析
M
1.平面假设： 梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形 后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。 2.单向受力假设： 假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均 处于单向受拉或受压的状态。
中性层 梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面 部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层. 中性轴
C截面
Fb/4 拉应力 压应力 B截面
20
y 20
拉应力
压应力
可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度 条件则B、C截面都要考虑。
Fb/2
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/4 考虑截面B ：
t,max
c, max
M B y1 F / 2 2 103 mm134 mm 90 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 73.8 kN
c
注：强度校核（选截面、荷载） （ 1） （ 2）
[ ]t [ ]c （等截面）只须校核Mmax处
[ ]t [ ]c （等截面）
(a)对称截面情况只须校核Mmax处使
maxt [ ]t , maxc [ ]c
(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与 M-max两处。
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
Wz 2447cm3 2447103 mm3
此时 max
M max 153MPa Wz
误差小于5%，可用
例4-17 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁 的许用拉应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁 横截面的尺寸d ，并校核梁的强度 。
工程力学材料力学弯曲应力截面计算与校核
4. 工字形截面 查型钢表，A=bh=140cm2，选用50c号（A=139cm2）
Wz = 2080cm
3
s max
M max = = 14.42MPa 11 Wz
HOHAI UNIVERSITY
例 一T形截面外伸梁及其所受荷载如图所示。求最大拉应 力及最大压应力，并画出最大拉应力截面的正应力分布图。
HOHAI UNIVERSITY
q=20kN/m
A D 4m 40 +
220 C 2m 60
B
c yc=180 x
60
z
280
1.5m
22.5 M/kN· m
y
m MB=-40kN· m MD=22.5kN· M D ytD D max s = = 21.7MPa t max D截面 上部受压、下部受拉 Iz D yt max = 180mm D M y I z = 186.6 106 m 4 D B c max 14 s = = 12.1MPa D c max yc max = 100mm Iz B、D截面为危险截面
My s = Iz
Iz
抗弯截面系数
smax =
M Wz
8
HOHAI UNIVERSITY
对于剪切弯曲梁，这时两个基本假设并不成立。但实验和理 论分析表明，当l/h（跨高比）较大（>5）时，采用该正应 力公式计算的误差很小，满足工程的精度要求。 这时
s
=
M(x)y Iz Mmax Wz
M(x) 1 = ρ( x ) E Iz
* 3 3 Sz = 70 60 220 = 924 10 mm 1
1 =
* FQ S z 1
I zd
梁弯曲时的正应力
梁弯曲时的正应力§7-1 梁弯曲时的正应力一、纯弯曲时的正应力如图7-2a 所示的简支梁，荷载与支座反力都作用在梁的纵向对称平面内，其剪力图和弯矩图加图7-2b 、c 所示。
在梁的AC 和DB 段内，各横截面上同时有剪力和弯矩，这种弯曲称为剪力弯曲或横力弯曲。
在CD 段中，各横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲。
b )c )a )图7-2为了使问题简单，现以矩形截面梁为例，推导梁在纯弯曲时横截面上的正应力。
其方法和推导圆轴在扭转时的剪应力公式的方法相同，从几何变形、物理关系和静力学关系等三方面考虑。
1、几何变形为观察梁纯弯曲时的表面变形情况，在矩形截面梁的表面画上一些纵向直线和横向直线，形成许多小矩形，然后在梁两端对称位置上加集中荷载P ，梁受力后产生对称变形，在两个集中荷载之间的区段产生纯弯曲变形，如图7-3所示。
从实验中观察到如下现象：m n nma )b )d )ij i j图7-31）所有纵向直线均变为曲线，靠近顶面（凹边）的纵向线缩短，靠近底面（凸边）的纵向线伸长，如图7-3b 中的i ′—i ′和j ′—j ′。
2）所有横向直线仍为直线，只是各横向线之间作了相对转动，但仍与变形后的纵向线正交, 如图7-3b 中的m ′—m ′。
3）变形后横截面的高度不变，而宽度在纵向线伸长区减小，在纵向线缩短区增大，如图7-3b 右所示。
根据以上观察到的现象，并将表面横向直线看作梁的横截面，可作如下假设：1）平面假设：变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕某轴旋转了一个角度，但仍垂直于梁变形后的轴线。
2）单向受力假设：认为梁由无数微纵向纤维组成。
各纵向纤维的变形只是简单的拉伸或压缩，各纵向纤维无挤压现象。
根据平面假设，梁变形后的横截面转动，使得梁的凸边纤维伸长，凹边纤维缩短。
由变形的连续性可知，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短，此层纤维称为中性层，如图7-3d 所示。
梁弯曲时的正应力 知识点：1、变形几何关系 2 、物理关系 3、静力
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
正应力公式: 当正应力不超过材料的比例极限 时可应用虎克定律，可得cd处的正 应力为： σ=Eε=Ey/ρ。 由上式可知，横截面上任一点的 弯曲正应力与该点到中性轴的距离 成正比，即正应力沿截面高度呈线 性变化，在中性轴处，y=0，所以正 应力也为零。
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
梁弯曲时的正应力
知识点：1、变形几何关系 2 、物理关系 3、静力平衡关系
4、强度条件 5、提高梁抗弯能力的措施
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
平截面规律：纯弯曲梁变形后名横截面仍保持为一平面。这个变
形规律称为。
中性层：由于变形的连续性，在伸长纤维与缩短纤维之间，必然存
解：1、求支座反力：FA=2.5kN；FB=10.5kN，画出弯矩 图如 b)，最大正弯矩在C点，最大负弯矩在B点，即：C点 为上压下拉，而B点为上拉下压 2、求出B截面最大应力 最大拉应力（上边缘）：
M B y1 4 10 6 52 27.26MPa 4 Iz 763 10
图（8.1)
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
正应力的计算公式： σ=My/Iz。 其中：Iz为截面对z轴的惯性矩 最大正应力公式
max
M ymax Iz
max
M Wz
惯性矩计算
bh3 I z y 2 dA h y 2 (bdy) A 2 12 Iz I z bh2 Wz h ymax 2 6
h 2
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
三、梁弯曲的内力、变形、应力
目录引言 (2)一杆件受拉压的内力、应力、变形 (2)1.1轴向拉压的内力、轴力图 (2)1.2 轴向拉压杆横截面上的应力 (5)1.3 轴向拉压杆横截面上的变形 (7)1.4 圣维南原理 (9)1.5 工程结构实例分析 (11)二圆轴扭转 (15)2.1、扭转的力学模型及ANSYS建模 (15)2.2、圆轴扭转时，横截面上的内力偶矩------扭矩 (15)2.3、圆轴扭转时，横截面上的应力、强度条件 (15)(1) 横截面上的切应力 (15)(2) 极惯性矩与抗扭截面系数 (15)三、梁弯曲的内力、变形、应力 (20)3.1 梁的弯曲内力、变形 (20)3.2 弯曲应力 (27)3.3 工程实例： (31)四、压杆稳定 (35)4.1、压杆稳定的概念 (35)4.2、临界压力 (35)4.3、三类压杆的临界载荷 (36)4.4、压杆稳定性计算 (36)4.5 工程实例4 (38)引 言《材料力学》是机械、土木类工科学生重要的技术基础课，其计算方法和思想在工程计算中应用非常广泛。
为了使学生对课内知识体系有一个比较清晰的感性认识，锻炼学生的求真精神和实践动手能力，进一步培养学生的综合创造力，兴趣小组的学生们在教师的指导下基于ANSYS 有限元分析软件对《材料力学》的某些知识点进行数值计算与模拟，得到相关的数据、云图或动画，从而对理论公式进行形象验证，更开阔了学生的视野，提高了学生的CAE 水平。
本研究内容包括三部分：（1）对《材料力学》课程中的基本内容，包括拉压、剪切、扭转、弯曲的内力、应力、变形、压杆稳定、动载荷、疲劳强度、圣维南原理等重要理论知识点情况通过ANSYS 进行分析，得到内力、变形、应力、应变相关的数据、云图或动画；（2）对重要知识点的典型例题通过ANSYS 进行计算，并与理论计算结果进行对比验证。
（3）对《材料力学》理论知识能够解决的典型工程实际问题进行建模、分析与计算。
一 杆件受拉压的内力、应力、变形1.1轴向拉压的内力、轴力图在工程结构和机械中，发生轴向拉伸或压缩的构件是很常见的。
梁的弯曲应力
第8章梁的弯曲应力梁在荷载作用下，横截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。
弯矩是垂直于横截面的分布内力的合力偶矩；而剪力是切于横截面的分布内力的合力。
所以，弯矩只与横截面上的正应力σ相关，而剪力只与剪应力τ相关。
本章研究正应力σ和剪应力τ的分布规律，从而对平面弯曲梁的强度进行计算。
并简要介绍一点的应力状态和强度理论。
8.1梁的弯曲正应力平面弯曲情况下，一般梁横截面上既有弯矩又有剪力，如图8.1所示梁的AC、DB段。
而在CD段内，梁横截面上剪力等于零，而只有弯矩，这种情况称为纯弯曲。
下面推导梁纯弯曲时横截面上的正应力公式。
应综合考虑变形几何关系、物理关系和静力学关系等三个方面。
8.1.1 弯曲正应力一般公式1、变形几何关系为研究梁弯曲时的变形规律，可通过试验，观察弯曲变形的现象。
取一具有对称截面的矩形截面梁，在其中段的侧面上，画两条垂直于梁轴线的横线mm和nn，再在两横线间靠近上、下边缘处画两条纵线ab和cd，如图8.2(a)所示。
然后按图8.1(a)所示施加荷载，使梁的中段处于纯弯曲状态。
从试验中可以观察到图8 .2(b)情况：（1）梁表面的横线仍为直线，仍与纵线正交，只是横线间作相对转动。
（2）纵线变为曲线，而且靠近梁顶面的纵线缩短，靠近梁底面的纵线伸长。
（3）在纵线伸长区，梁的宽度减小，而在纵线缩短区，梁的宽度则增加，情况与轴向拉、压时的变形相似。
根据上述现象，对梁内变形与受力作如下假设：变形后，横截面仍保持平面，且仍与纵线正交；同时，梁内各纵向纤维仅承受轴向拉应力或压应力。
前者称为弯曲平面假设；后者称为单向受力假设。
根据平面假设，横截面上各点处均无剪切变形，因此，纯弯时梁的横截面上不存在剪应力。
根据平面假设，梁弯曲时部分纤维伸长，部分纤维缩短，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层，如图8.2(c)所示。
中性层与横截面的交线称为中性轴。
对于具有对称截面的梁，在平面弯曲的情况下，由于荷载及梁的变形都对称于纵向对称面，因而中性轴必与截面的对称轴垂直。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中性轴：中性层与横截面的交线。
线应变的公式：
cd cd y d d y d cd
注：对于一个确定的截面来说，其曲率半径ρ是个常 数，因此上式说明同一截面处任一点纵向纤维的线 应变与该点到中性层的距离成正比
图（8.2）
gzdy
Hale Waihona Puke jxlxz工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
3、适当布置载荷和支座位置 在梁的内力一章中知道，梁的弯矩图与载荷作用 的位置和梁的支承位置有关。在可能的情况下，如查 适当地调整载荷或支承的位置，可以减小梁的最大弯 矩，增大梁的抗弯能力。 对于梁上的集中载荷，如要能适当地将它分散， 也可提高梁的抗弯强度。
h 2
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
正应力强度条件
max
M max WZ
对于脆性材料，其抗拉和抗压强度不同，宜选用中性 轴不是截面对称轴梁，并分别对抗拉和抗压应力建立 强度条件
max
max
gzdy
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
提高梁抗弯能力的措施 1、采用变截面梁 在工程实际中不少构件都采用了变截面 梁的形式 1）在厂房建筑中经常采用的鱼腹梁。 2）桥式起重机的大梁 3）汽车以及其他车辆上经常使用的叠 板弹簧等等 2、选用合理截面 可以用比值Wz /A来衡量截面的经济程 度。这个比值愈大，所采用的截面愈经 济合理。
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
例1 图示T形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力[σ]＝ 30MPa，许用压应力[σ]＝60MPa，截面尺寸如图。截 面对形心轴z的惯性矩Iz＝763mm4，且y1=52cm。试校 核梁的强度。
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
B
最大压应力（下边缘）：
M B y2 4 10 6 88 46.13MPa 4 Iz 763 10
B
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
3、求出C截面最大应力 最大拉应力（下边缘）：
M C y2 2.5 10 6 88 28.83MPa 4 Iz 763 10
C
最大压应力（上边缘）：
M C y1 2.5 10 6 52 17 .04 MPa Iz 763 10 4
C
由计算可见： 最大拉应力在C点且σCmax=28.83MPa<[σ]＋ =30MPa 最大压应力在B点且σBmax=46.13MPa<[σ]－ ＝60MPa 故梁强度足够
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
梁弯曲时的正应力
知识点：1、变形几何关系 2 、物理关系 3、静力平衡关系
4、强度条件 5、提高梁抗弯能力的措施
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
平截面规律：纯弯曲梁变形后名横截面仍保持为一平面。这个变
形规律称为。
中性层：由于变形的连续性，在伸长纤维与缩短纤维之间，必然存
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
正应力公式: 当正应力不超过材料的比例极限 时可应用虎克定律，可得cd处的正 应力为： σ=Eε=Ey/ρ。 由上式可知，横截面上任一点的 弯曲正应力与该点到中性轴的距离 成正比，即正应力沿截面高度呈线 性变化，在中性轴处，y=0，所以正 应力也为零。
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
小结： 1、强度条件： 1）塑性材料
max
M max WZ
2）脆性材料 max
max
2、提高梁抗弯能力的措施
gzdy
jxlxz
图（8.1)
gzdy
jxlxz
工程力学 第八章平面弯曲的应力与强度计算
正应力的计算公式： σ=My/Iz。 其中：Iz为截面对z轴的惯性矩 最大正应力公式
max
M ymax Iz
max
M Wz
惯性矩计算
bh3 I z y 2 dA h y 2 (bdy) A 2 12 Iz I z bh2 Wz h ymax 2 6
解：1、求支座反力：FA=2.5kN；FB=10.5kN，画出弯矩 图如 b)，最大正弯矩在C点，最大负弯矩在B点，即：C点 为上压下拉，而B点为上拉下压 2、求出B截面最大应力 最大拉应力（上边缘）：
M B y1 4 10 6 52 27.26MPa 4 Iz 763 10