公共经济学2章公共产品理论
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公共产品的非竞争性和非排他性决定应由 公共部门来提供，那么私人部门提供并不意 味着供给量为零，但它是依靠“道德机制” 得以实现，使产量的供给严重不足，不能满 足资源有效配置的需要。
公共产品私人提供的低效率
公共产品 A
AB为生产可能边界线，I1、 I2、I3是社会无差异曲线， 切点E表示公共产品与私人 产品的组合社会福利达到最 大化。
非竞争性
有 排他性 能
无
排他性
无 无
有
私人产品
公共资源
纯公共品
很高
不高
排他成本
排他性,非竞争性产品
三、搭便车问题
1、 出于公共物品具有非排他的性质，搭便车的 问题就不可避免地产生了。
所谓搭便车(免费搭车)，是对那些试图不付 出任何代价就能得到利益的行为的一种形象比 喻。 它是指某些人享受了公共物品的消费．但却 逃避支付公共物品的生产成本的一种行为。
•
三、搭便车问题
2、搭便车行为产生的原因 自然原因：即公共物品自己本身存在消费的非 排他性。也就是说，消费者如果需要消费公共 物品不需要支付任何的费用，这决定了消费者 在这种情况下不会支付无谓的价格。 主观原因：即人的一种道德行为，是人自身的 利己性的表现。大卫· 休谟早在1740年提出“公 共的悲剧”。
MSR MSC 价，在Ql供给以上，DD=DB。
A所 消 费 的 私 人 产 品 数 量 XA
A2 A1
(a)
2.2 纯公 共产 品 最优 提供 的一 般 均衡 模型
X A
M A1
A2
P
O T
Q
G
T
公 共 产 品 G的 数 量
B所 消 费 的 私 人 产 品 数 量 XB
B3 B2
(b)
1．私人产品的有效供给
假定社会上只有A、B两人。
DA、DB线分别代表个人A、 DD线SS线的交于E，均衡价格 B对私人产品的需求。差异 为PD，均衡产量为Q0，它是 由收入水平造成。对这—产 P DB 所有消费者消费量的总和，其 品在不同价格下的市场需求 中QA为A的消费量，QB为B的 量，可通过加总在各个价格 水平A、B两人各自的需求 消费量， SS DA G 量得到，这样市场需求曲线 P1 QA+QB=Q0， DD就是A、B两人需求曲线 在私人产品条件下，由于没 E 的水平相加， P0 有外溢性现象，消费者个人从 即DD＝DA+DB。 DD=DA+DB 某一产品消费中获得的边际效 DD线之所以会在G点出现拐 用也就是这一产品的社会边际 折。是当价格上升为P1 效用，这样，在E点社会边际成 时．A的需求将为零，这时 本等于社会边际收益．实现了 只有B用需求。在P1价格以 O QA QB Q0 Q 上， 帕累托最优。私人产品帕累托 最优的实现条件： DD=DB 需求水平相加 MSR=MSC
要找函数z f ( x, y )在附加条件 ( x, y ) 0下的可能极值点，
f x ( x, y ) x ( x, y ) 0
( x, y ) 0 解出xy与，这样得到的（x, y )就是函数f ( x, y )在附加条件 ( x, y ) 0下的可能的极值点。
•
⑵搭便车行为本身是资源成本无法收回，
影响资本投入的回报，是一种缺乏效率的表 现。 这就决定了在市场行为下，公共物品供 给会出现严重的短缺，从而造成社会福利的 损耗。
在现实生活中，政府正是一方面以征税手 段取得资金，另一方面．又将征税取得的资金 用于公共物品或服务的供给上。
第二节 公共产品的有效供给 一、公共产品供给主体的确定
为什么公共产品的社会需求是 垂直相加？在公共产品场合， 每个人所支配的是同样数量的 公共产品，但他们所愿意支付 的价格是不同的 。
2．公共产品的有效供给
假定社会上只有A、B两人。
P
DD=DA+DB
DB
SS E
P0
PB PA
• 公共产品一旦提供出来，任何 DA、DB线分别代表个人A、 公共产品的均衡价格P。是所 B对公共产品的需求。 人部可以消费它，不管是否出于 有社会成员愿意为Qo单位公 • 萨缪尔森称其为“虚假的需求 本人的愿望，每个消费者的消费 曲线”，因为在实际生活中， 共产品所支付的价格的总和， 量都是相同的。较高的人会对公 人们一般不会明确表示出他们 PA+PB=P0。 共产品支付较高的价格。 消费一定量的公共产品的边际 因为消费者的出价是与其消 全社会对一定数量的公共产 效用是多少．愿意出多少的价 品愿意支付的价格(税收)应由不同 格。但是，借助于这种需求曲 费公共产品所获得的边际效用 线对分析问题却是合帮助的。 个人愿意支付的价格加总得到。
A所 消 费 的 个 人 产 品 数 量 XA A2 A3
A4
L
A1
L
O T4 T3 T2 T1
A2 A1
A4 A3
T1 T2 T3 T4 公 共 产 品 G的 数量
个 人 B的 序 数 效 用 函 数 UB W0 W1 U
W2
图 2-5 社 会 资 源 最 优 配 置 轨 迹
B W2 W0 W1 O U 个 人 A的 序 数 效 用 函 数 UA
“公共的悲剧”(Public Tragedy)
指在一个社会中．如果有公共物品或 劳务的存在，免费搭车者的出现就是不可避 免的、而如果社会所有的成员都成为免费搭 车者的话，结果最终是任何人无法享受到公 共物品的好处。
3、对经济的影响
⑴由于搭便车问题的存在，使市场对公共 物品的配置无法达到最优化，换句话说市场 无能力使之达到帕累托最优。 一个社会的成员越多，人们免费搭车的 欲望就越强烈，从而因免费搭车者问题而导 致公共物品或服务供给量下降的可能性就越 大。
E H
F
I1
I2
C I3
O G
①在三种选择中，私人部门 提供公共产品只能是C点， 造成效率损失，损失的数量 是I1和I3之间社会福利水平 的差额，这是由成本无法补 偿所带来的低效率。
②公共部门提供公共产品是以征 B 私人产品 税为代价的，强调要通过预算的 程序来供给，但生产可有公共部 门来承担，也可由私人部门来承 担。
图1表明一旦向任何一个提供了一定数量的某种纯粹 的公共物品，那么，在这个既定数量的该种公共物品 上无论添加多少消费者，其边际成本均等于零。
成本 200
在一定数量的纯粹公共物品上 增加任何数量的消费者的边际 成本
消费者数量
图1
图2表明 假设纯粹的公共物品的平均成本是不变的， 即它的平均成本为每单位200元，其边际成本也会是 200元，即生产该公共物品的边际成本肯定是正数。
B1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
XB
N B3 B2 B1
O B2
私人产品总数X
G
公 共 产 品 G的 数 量
F X1 (c)
X A
XB
P
X1
E
Q
B2
O
G1
G
G2
F
公 共 产 品 G的 数 量
图 2-4 资 源 在 私 人 产 品 和 公 共 产 品 之 间 的 配 置
二、公共产品的有效供给的条件
• 公共产品必须由公共部门来提供，那么 政府如何有效率地来提供公共产品呢？ 如前所述，任一种产品的市场均衡产量、 价格由其供给曲线和需求曲线的交点决定，需 求曲线应与该产品消费方的边际效用曲线相— 致，供给曲线应与该产品生产方的边际成本曲 线相一致。 社会边际收益等于社会边际成本。
公共产品私人提供的低效率
公共产品 A 公共部门提供公共产品也未必使 社会福利达到最大化。未在E点， 而在AB线之内，出现低效率。
①配置低效率—使公共产品供给 过多。
E H
F
②无效率—机构臃肿，人浮于事， 预算遭到浪费。
I1
没有出现E点的原因： ①信息不充分； ②偏好加总困难；
I2
C O G
I3
B 私人产品 ③政治家和消费者都有“近视” 的弱点。 ④对政府缺乏有效的激励和约束
G
DA
O
Q0 Q1 需求垂直相加
Q
相一致的，所以所有消费者出 这样公共产品的市场需求曲线DD 价的总和就是其边际效用的总 就应是每个人的需求曲线的垂直 和，这样，在E点社会边际成 相加，即DD=DA+DB。 本等于社会边际收益，实现了 DD线之所以会在G点出现拐折， 帕累托最优。因此，公共产品 是因为当供给量在QI以上时、A 帕累托最优的实现条件； 不愿意付任何价钱，只有B愿意出
特征1、非排他性---无法排除他人从 公共产品中获利
是指在技术上不可能将拒绝为它支付 费用的个人或厂商排除在公共物品或服务的 受益范围之外。 也可以说公共物品或服务不能因为拒绝 付款的个人或厂商而停止。任何人也都不能 用拒绝付款的办法来把自己所不喜欢的公共 物品或服务排除齐其享用范围之外。
原因
1、纯粹公共物品大都是那种在技术上不易 排斥众多受益者的产品，如国防等。 2、是某些公共物品在技术上虽然排他，但 排他的成本十分昂贵，以致经济上不可行。
特征2、非竞争性----当一种商品在增加 一个消费者时不会引起生产成本的增加.
是指某一个人或厂商对公共物品或服务 的享用的同时，并不排斥和妨碍别人或厂商 对其的享用，而且也不会减少其他人或厂商 享用该种公共物品或服务的数量与质量。这 种非竞争性是因为公共物品一般都具有效用 不可分割的性质。 因为这一不可分割的性质，公共物品在 自身产生拥挤之前．每增加一个消费者的边 际成本部等于0。
公共产品提供的局部均衡模型
• 2.1.1 庇古模型
• 庇古（A．C．Pigou，18771959）运用功利主义的方法，假 定：每个人都从公共产品的消费 中受益（获得效用）；公共产品 的提供支付成本即交纳税收；纳 税会给纳税人（即公共产品的消 费者）带来负效用。庇古把税收 产生的负效用，定义为放弃私人 产品消费的机会成本。他认为， 公共产品应该持续提供到最后一 元钱所得到的正边际社会效用等 于为最后一元公共产品而纳税的 负边际效用相等时。
2.1.2鲍温模型
价格
价格
D D=DA+DB
D DB S
DB S DA P PB
P
DA
S
D=DA+DB
S PA Q
O
QA
QB
Q
D
私人产品数量
图 2－ 2 私 人 产 品 的 需 求 与 供 给
D
公共产品数量
图 2-3 公 共 产 品 的 需 求 与 供 给
为什么私人产品的市场需 求是水平相加？在私人产 品的场合，每个个人是价 格的接受者，他们调整的 只能是产品的数量。
图 2-6 社 会 资 源 配 置 极 乐 点
三、林达尔均衡
公共产品有效供应的机制应该是怎样的 呢?
瑞典经济学家林达尔(Erik Lindahl)从另一角 度进行了公共产品有效供给的研究，提出了较有 启发性的理论模型．西方经济学家称之为“林达 尔均衡”(Lindahl Equilibrium). 因为瑞典经济学家维克塞尔(Knut wicksell)也 做过类似的经济研究，所以也有人将这一模型称 为公共产品供给的维—林模型。
•
纯粹的私人物品或服务与纯粹的公 共物品或服务的区别：（萨缪尔森）
(2)对于纯粹的公共物品或服务来说，
x xi
换言之，对于任何一个消费者来说，他为了消 费而实际可支配的公共物品或服务的数量xi就 是该公共物品的总量(X)，这意昧着公共物品在 消费者之间是不能分割的。
骤二 、 判 定 公 共 产 品 的 步
第二章 公共产品理论
第一节 公共产品的定义 第二节 公共产品的有效供给
第三节 混合产品 第四节 外部效应及其纠正
第一节 公共产品的定义
西方将经济分为 : 私人部门---生产的产品叫“私人产品” 公共部门---生产的产品叫“公共产品” 一、公共产品 定义：每个人消费这种物品不会导致别人对该 物品消费的减少。 萨缪尔森
成本 200
MC=AC
生产纯粹公共产品的边际成 本
纯粹公共产品数量 图2
纯粹的私人物品或服务与纯粹的公共 物品或服务的区别：（萨缪尔森）
•
(1)对于纯粹的私人物品或服务来说
x xi
即某一“物品或服务的总量(X)等于每一个 消费者拥有或消费的该商品的数量(xi)的总 和，这意昧着私人物品或服务在人与人之间 是完全可分割的.
(+) 社 会 的 边 际 效 用 G N
C G
A 公共产品的数量 T C'
N
证明见45页
(-) T 图 2－ 1 庇 古 的 公 共 产 品 提 供 图
拉格朗日乘数法
可以先作拉格朗日函数L( x, y ) f ( x, y ) ( x, y ) 其中为参数，求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零， 然后与 ( x, y ) 0联立起来： f y ( x, y ) y ( x, y ) 0
公共产品私人提供的低效率
公共产品 A
AB为生产可能边界线，I1、 I2、I3是社会无差异曲线， 切点E表示公共产品与私人 产品的组合社会福利达到最 大化。
非竞争性
有 排他性 能
无
排他性
无 无
有
私人产品
公共资源
纯公共品
很高
不高
排他成本
排他性,非竞争性产品
三、搭便车问题
1、 出于公共物品具有非排他的性质，搭便车的 问题就不可避免地产生了。
所谓搭便车(免费搭车)，是对那些试图不付 出任何代价就能得到利益的行为的一种形象比 喻。 它是指某些人享受了公共物品的消费．但却 逃避支付公共物品的生产成本的一种行为。
•
三、搭便车问题
2、搭便车行为产生的原因 自然原因：即公共物品自己本身存在消费的非 排他性。也就是说，消费者如果需要消费公共 物品不需要支付任何的费用，这决定了消费者 在这种情况下不会支付无谓的价格。 主观原因：即人的一种道德行为，是人自身的 利己性的表现。大卫· 休谟早在1740年提出“公 共的悲剧”。
MSR MSC 价，在Ql供给以上，DD=DB。
A所 消 费 的 私 人 产 品 数 量 XA
A2 A1
(a)
2.2 纯公 共产 品 最优 提供 的一 般 均衡 模型
X A
M A1
A2
P
O T
Q
G
T
公 共 产 品 G的 数 量
B所 消 费 的 私 人 产 品 数 量 XB
B3 B2
(b)
1．私人产品的有效供给
假定社会上只有A、B两人。
DA、DB线分别代表个人A、 DD线SS线的交于E，均衡价格 B对私人产品的需求。差异 为PD，均衡产量为Q0，它是 由收入水平造成。对这—产 P DB 所有消费者消费量的总和，其 品在不同价格下的市场需求 中QA为A的消费量，QB为B的 量，可通过加总在各个价格 水平A、B两人各自的需求 消费量， SS DA G 量得到，这样市场需求曲线 P1 QA+QB=Q0， DD就是A、B两人需求曲线 在私人产品条件下，由于没 E 的水平相加， P0 有外溢性现象，消费者个人从 即DD＝DA+DB。 DD=DA+DB 某一产品消费中获得的边际效 DD线之所以会在G点出现拐 用也就是这一产品的社会边际 折。是当价格上升为P1 效用，这样，在E点社会边际成 时．A的需求将为零，这时 本等于社会边际收益．实现了 只有B用需求。在P1价格以 O QA QB Q0 Q 上， 帕累托最优。私人产品帕累托 最优的实现条件： DD=DB 需求水平相加 MSR=MSC
要找函数z f ( x, y )在附加条件 ( x, y ) 0下的可能极值点，
f x ( x, y ) x ( x, y ) 0
( x, y ) 0 解出xy与，这样得到的（x, y )就是函数f ( x, y )在附加条件 ( x, y ) 0下的可能的极值点。
•
⑵搭便车行为本身是资源成本无法收回，
影响资本投入的回报，是一种缺乏效率的表 现。 这就决定了在市场行为下，公共物品供 给会出现严重的短缺，从而造成社会福利的 损耗。
在现实生活中，政府正是一方面以征税手 段取得资金，另一方面．又将征税取得的资金 用于公共物品或服务的供给上。
第二节 公共产品的有效供给 一、公共产品供给主体的确定
为什么公共产品的社会需求是 垂直相加？在公共产品场合， 每个人所支配的是同样数量的 公共产品，但他们所愿意支付 的价格是不同的 。
2．公共产品的有效供给
假定社会上只有A、B两人。
P
DD=DA+DB
DB
SS E
P0
PB PA
• 公共产品一旦提供出来，任何 DA、DB线分别代表个人A、 公共产品的均衡价格P。是所 B对公共产品的需求。 人部可以消费它，不管是否出于 有社会成员愿意为Qo单位公 • 萨缪尔森称其为“虚假的需求 本人的愿望，每个消费者的消费 曲线”，因为在实际生活中， 共产品所支付的价格的总和， 量都是相同的。较高的人会对公 人们一般不会明确表示出他们 PA+PB=P0。 共产品支付较高的价格。 消费一定量的公共产品的边际 因为消费者的出价是与其消 全社会对一定数量的公共产 效用是多少．愿意出多少的价 品愿意支付的价格(税收)应由不同 格。但是，借助于这种需求曲 费公共产品所获得的边际效用 线对分析问题却是合帮助的。 个人愿意支付的价格加总得到。
A所 消 费 的 个 人 产 品 数 量 XA A2 A3
A4
L
A1
L
O T4 T3 T2 T1
A2 A1
A4 A3
T1 T2 T3 T4 公 共 产 品 G的 数量
个 人 B的 序 数 效 用 函 数 UB W0 W1 U
W2
图 2-5 社 会 资 源 最 优 配 置 轨 迹
B W2 W0 W1 O U 个 人 A的 序 数 效 用 函 数 UA
“公共的悲剧”(Public Tragedy)
指在一个社会中．如果有公共物品或 劳务的存在，免费搭车者的出现就是不可避 免的、而如果社会所有的成员都成为免费搭 车者的话，结果最终是任何人无法享受到公 共物品的好处。
3、对经济的影响
⑴由于搭便车问题的存在，使市场对公共 物品的配置无法达到最优化，换句话说市场 无能力使之达到帕累托最优。 一个社会的成员越多，人们免费搭车的 欲望就越强烈，从而因免费搭车者问题而导 致公共物品或服务供给量下降的可能性就越 大。
E H
F
I1
I2
C I3
O G
①在三种选择中，私人部门 提供公共产品只能是C点， 造成效率损失，损失的数量 是I1和I3之间社会福利水平 的差额，这是由成本无法补 偿所带来的低效率。
②公共部门提供公共产品是以征 B 私人产品 税为代价的，强调要通过预算的 程序来供给，但生产可有公共部 门来承担，也可由私人部门来承 担。
图1表明一旦向任何一个提供了一定数量的某种纯粹 的公共物品，那么，在这个既定数量的该种公共物品 上无论添加多少消费者，其边际成本均等于零。
成本 200
在一定数量的纯粹公共物品上 增加任何数量的消费者的边际 成本
消费者数量
图1
图2表明 假设纯粹的公共物品的平均成本是不变的， 即它的平均成本为每单位200元，其边际成本也会是 200元，即生产该公共物品的边际成本肯定是正数。
B1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
XB
N B3 B2 B1
O B2
私人产品总数X
G
公 共 产 品 G的 数 量
F X1 (c)
X A
XB
P
X1
E
Q
B2
O
G1
G
G2
F
公 共 产 品 G的 数 量
图 2-4 资 源 在 私 人 产 品 和 公 共 产 品 之 间 的 配 置
二、公共产品的有效供给的条件
• 公共产品必须由公共部门来提供，那么 政府如何有效率地来提供公共产品呢？ 如前所述，任一种产品的市场均衡产量、 价格由其供给曲线和需求曲线的交点决定，需 求曲线应与该产品消费方的边际效用曲线相— 致，供给曲线应与该产品生产方的边际成本曲 线相一致。 社会边际收益等于社会边际成本。
公共产品私人提供的低效率
公共产品 A 公共部门提供公共产品也未必使 社会福利达到最大化。未在E点， 而在AB线之内，出现低效率。
①配置低效率—使公共产品供给 过多。
E H
F
②无效率—机构臃肿，人浮于事， 预算遭到浪费。
I1
没有出现E点的原因： ①信息不充分； ②偏好加总困难；
I2
C O G
I3
B 私人产品 ③政治家和消费者都有“近视” 的弱点。 ④对政府缺乏有效的激励和约束
G
DA
O
Q0 Q1 需求垂直相加
Q
相一致的，所以所有消费者出 这样公共产品的市场需求曲线DD 价的总和就是其边际效用的总 就应是每个人的需求曲线的垂直 和，这样，在E点社会边际成 相加，即DD=DA+DB。 本等于社会边际收益，实现了 DD线之所以会在G点出现拐折， 帕累托最优。因此，公共产品 是因为当供给量在QI以上时、A 帕累托最优的实现条件； 不愿意付任何价钱，只有B愿意出
特征1、非排他性---无法排除他人从 公共产品中获利
是指在技术上不可能将拒绝为它支付 费用的个人或厂商排除在公共物品或服务的 受益范围之外。 也可以说公共物品或服务不能因为拒绝 付款的个人或厂商而停止。任何人也都不能 用拒绝付款的办法来把自己所不喜欢的公共 物品或服务排除齐其享用范围之外。
原因
1、纯粹公共物品大都是那种在技术上不易 排斥众多受益者的产品，如国防等。 2、是某些公共物品在技术上虽然排他，但 排他的成本十分昂贵，以致经济上不可行。
特征2、非竞争性----当一种商品在增加 一个消费者时不会引起生产成本的增加.
是指某一个人或厂商对公共物品或服务 的享用的同时，并不排斥和妨碍别人或厂商 对其的享用，而且也不会减少其他人或厂商 享用该种公共物品或服务的数量与质量。这 种非竞争性是因为公共物品一般都具有效用 不可分割的性质。 因为这一不可分割的性质，公共物品在 自身产生拥挤之前．每增加一个消费者的边 际成本部等于0。
公共产品提供的局部均衡模型
• 2.1.1 庇古模型
• 庇古（A．C．Pigou，18771959）运用功利主义的方法，假 定：每个人都从公共产品的消费 中受益（获得效用）；公共产品 的提供支付成本即交纳税收；纳 税会给纳税人（即公共产品的消 费者）带来负效用。庇古把税收 产生的负效用，定义为放弃私人 产品消费的机会成本。他认为， 公共产品应该持续提供到最后一 元钱所得到的正边际社会效用等 于为最后一元公共产品而纳税的 负边际效用相等时。
2.1.2鲍温模型
价格
价格
D D=DA+DB
D DB S
DB S DA P PB
P
DA
S
D=DA+DB
S PA Q
O
QA
QB
Q
D
私人产品数量
图 2－ 2 私 人 产 品 的 需 求 与 供 给
D
公共产品数量
图 2-3 公 共 产 品 的 需 求 与 供 给
为什么私人产品的市场需 求是水平相加？在私人产 品的场合，每个个人是价 格的接受者，他们调整的 只能是产品的数量。
图 2-6 社 会 资 源 配 置 极 乐 点
三、林达尔均衡
公共产品有效供应的机制应该是怎样的 呢?
瑞典经济学家林达尔(Erik Lindahl)从另一角 度进行了公共产品有效供给的研究，提出了较有 启发性的理论模型．西方经济学家称之为“林达 尔均衡”(Lindahl Equilibrium). 因为瑞典经济学家维克塞尔(Knut wicksell)也 做过类似的经济研究，所以也有人将这一模型称 为公共产品供给的维—林模型。
•
纯粹的私人物品或服务与纯粹的公 共物品或服务的区别：（萨缪尔森）
(2)对于纯粹的公共物品或服务来说，
x xi
换言之，对于任何一个消费者来说，他为了消 费而实际可支配的公共物品或服务的数量xi就 是该公共物品的总量(X)，这意昧着公共物品在 消费者之间是不能分割的。
骤二 、 判 定 公 共 产 品 的 步
第二章 公共产品理论
第一节 公共产品的定义 第二节 公共产品的有效供给
第三节 混合产品 第四节 外部效应及其纠正
第一节 公共产品的定义
西方将经济分为 : 私人部门---生产的产品叫“私人产品” 公共部门---生产的产品叫“公共产品” 一、公共产品 定义：每个人消费这种物品不会导致别人对该 物品消费的减少。 萨缪尔森
成本 200
MC=AC
生产纯粹公共产品的边际成 本
纯粹公共产品数量 图2
纯粹的私人物品或服务与纯粹的公共 物品或服务的区别：（萨缪尔森）
•
(1)对于纯粹的私人物品或服务来说
x xi
即某一“物品或服务的总量(X)等于每一个 消费者拥有或消费的该商品的数量(xi)的总 和，这意昧着私人物品或服务在人与人之间 是完全可分割的.
(+) 社 会 的 边 际 效 用 G N
C G
A 公共产品的数量 T C'
N
证明见45页
(-) T 图 2－ 1 庇 古 的 公 共 产 品 提 供 图
拉格朗日乘数法
可以先作拉格朗日函数L( x, y ) f ( x, y ) ( x, y ) 其中为参数，求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零， 然后与 ( x, y ) 0联立起来： f y ( x, y ) y ( x, y ) 0