函数的最值与导数 精品教案

§1.3.3 函数的最大值与最小值
【课标要求】
1．借助函数图像，直观地理解函数的最大值和最小值概念.
2．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数
)(x f 必有最大值和最小值的充分条件.
3．掌握求在闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤.
【重点难点】利用导数求函数的最大值和最小值；函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系. 【课前预习】
1.极大值，极小值的概念：
连续可导函数在某点处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），这时称在该点处函数取得 ．（极大值） 连续可导函数在某点处从左侧到右侧由“下降”变为“上升”（函数由单调递减变为单调递增），这时称在该点处函数取得 ．（极小值） 总结：连续可导函数()y f x =在0x x =处取得极大（小）值的必要条件是0x x =左右两侧的单调性的不同． 2.求函数极值的步骤：
（１）求函数()y f x =定义域；
（２）求函数()y f x =的导函数()'y f x =； （３）求出()'0f x =的根；
（４）列表判断．（检验()'f x 在方程()'0f x =两侧的根的符号，若根的左侧附近为正，右侧附近为负，则函数()y f x =在这个根处取得极大值；若根的左侧
附近为负，右侧附近为正，则函数()y f x =在这个根处取得极小值．）
（５）写出结论．
3. 请画出32()35f x x x =-+，[2,3]x ∈-的草图.
总结：我们知道，极值反映的是连续可导函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。

但是，在解决实际问题时我们更关心的是
是函数在某个区间上的最大值、最小值.
【新授内容】 情景：
问题1：由函数32()35f x x x =-+图像可得，()f x 在[2,3]-上的最大值为 ；最小值为 .（最大值为5，最小值为15-） 问题２：观察下面的函数图像，说出函数在[],a d 上的最值．
函数()y f x =在[],a b 上的最值可能是区间端点处的函数值，也可能是函数在这个
区间内的极值．因此，端点处的函数值不一定是最值，极值也不一定是最值，我们需要通过比较端点处的函数值和极值，其中最大的是最大值，最小的是最小值．
问题３：你能总结一下，连续函数在闭区间上求最值的步骤吗？ 求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；
（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值
问题４：请按照连续函数在闭区间上求最值的步骤写出完整的解题过程. 求函数32()35f x x x =-+在[2,3]x ∈-上的最大值和最小值. 解：2'()363(2)f x x x x x =-=-
令'()0f x =，得10x =，22x = 列表如下：
∴当2x =-时，函数()f x 取得最小值15- 当0x =和3x =时，函数()f x 取得最大值5.
练习1.求()1sin 2
f x x x =+在[]0,2π上的最大值与最小值.
2.求1
()1
f x x x =
++在(]1,3-上的最小值.
答案：1. 当0x =时，函数()1sin 2
f x x x =+取得最小值0； 当2x π=时，函数()1sin 2f x x x =+取得最大值π．
2. 当0x =时，函数1
()1
f x x x =++取得最小值1．
（强调规范解题格式．）
总结：第一题中若改为仅仅求函数()1sin 2
f x x x =+在[]0,2π上的最大值，可以根据单调性，只比较极大值与右端点处的函数值．因此同学们在解题中要根据实际情况有目的的比较，并非要将所有极值和端点处的函数值都进行比较． 第二题中由于函数1
()1
f x x x =++在(]1,3-上是先减后增的，因此在这个区间上的极小值就是最小值．
请同学们思考，第二题除了用导数能够求出函数在(]1,3-上的最小值，还有没有别的方法？
（思考后）还可以用基本不等式．
由于(]1,3x ∈-，因此10x +>
则1
()(1)12111f x x x =
++-≥-=+ 当且仅当1
11
x x =++，即0x =时取得最小值1．
总结：我们可以发现利用基本不等式，解题过程要比用导数求简便，因此在求函数的最值的过程中，要根据题目特点选择适当的方法求解．
【例题精讲】
例1．已知函数a x x x f +-=2362)(在[]2,2-上的最小值为37-， （1）求实数a 的值；（2）求)(x f 在[]2,2-上的最大值.
（本题是一个简单含参问题，函数的导函数中不含有参变量a ，学生自己解答，
然后对答案）
（1）3a =
（2）)(x f 在[]2,2-上的最大值为3．
例2. 已知函数ln ()x
f x x
=
（1） 求函数()f x 的单调区间；
（2） 求函数()f x 在[],2(0)a a a >上的最小值.
（第一小题学生自己解答，第二小题在学生自己思考的基础上，教师帮助分析.） （1）函数ln ()x
f x x
=在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减． （2）∵0a >
∴{}min ()min (),(2)f x f a f a =
又ln ()a
f a a =
l n (2
)
(2)
2a f a a
= ∴ln ln(2)ln ln 2
()(2)22a a a f a f a a a a
--=
-=
1当()(2)f a f a >，即2a >时，min ln(2)
()(2)2a f x f a a ==
2当()(2)f a f a <，即02a <<时，min ln ()()a
f x f a a
==．
小结 ：
求闭区间[],a b 上的连续可导函数的最大（小）值的方法是：
首先求出此函数在开区间(),a b 内的极值，然后计算函数在端点处的值，并将它们进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值. 拓展：
1.设函数32
=-+，若对于任意[2,3]
f x x x
()35
f x m
<成立，求实数m的取
x∈-都有()
值范围.
2.若不等式320
-+>对于任意1[,2]
x ax
x∈都成立，求实数a的取值范围.
2
（问题拓展的第一题是引入问题的一个引申，即转化为m大于函数32
=-+在区间[2,3]
f x x x
()35
-上的最大值，而这个答案引入已经解决了，所以很快就能得出答案，第一题为第二题做一个铺垫，第二题留作课后思考题，为下一课时含参问题做铺垫．）
【课后作业】
测试反馈10
【课后反思】
本教案是课后根据上课情况修改后的教案，上课过程中由于做练习题时学生黑板板演的时间比较长，因此练习２的另一种解法没有让学生自己总结，是教师直接给出的；例题２的第二小题的整理解题过程也是教师自己板演的，这两点比较遗憾．在修改教案时本来想换两道练习题，但是考虑到题型的多样性，最后还是没有改．在学生做练习题的过程中反映出高一所学习的三角函数的知识遗忘了很多，在今后的教学过程中在遇到相关内容的时候要及时复习回顾．。