人教版高中数学必修四任意角和弧度制

任意角和弧度制

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1.理解1弧度的角、弧度制的定义.

2.掌握角度与弧度的换算公式

3.熟记特殊角的弧度数

(一)角的概念： 1 任意角

正角：按顺时针方向形成的角 负角：按逆时针方向形成的角 2 象限角

定义：角的顶在原点始边与x 轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。 与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k 为任意整数） （1）在直角坐标系内讨论角：

注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0

Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或 （3）区间角的表示： ①象限角：

象限角 象限角的集合表示

第一象限角的集合 o o o {|360<<36090,x k k k α⋅⋅+∈Z } 第二象限角的集合 o o o o {|36090<<360180,x k k k α⋅+⋅+∈Z } 第三象限角的集合 o o o o {|360180<<360270,x k k k α⋅+⋅+∈Z } 第四象限角的集合

o o o o {|360270<<360360,x k k k α⋅+⋅+∈Z }

②写出图中所表示的区间角： 由α的终边所在的象限， 来判断

2α所在的象限，来判断3

α

所在的象限

(二)弧度制

1 弧度角的规定.

它的单位是rad 读作弧度

如图：∠AOB=1rad

∠AOC=2rad

周角=2πrad

定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。与圆的半径无关以弧度为单位来度量

角的制度叫弧度制。

（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

（2）角α的弧度数的绝对值

r

l

=

α（l为弧长，r为半径）

（3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）

弧度制与角度制的换算公式：弧度制=角度制*π/180o

角度制=弧度制*180o/π

2π=360o

弧度数α与弧长L与半径R的关系：L=Rα（可用来求弧长与半径）

（4）弧长公式：L=Rα；扇形面积公式：2

2

1

R

Sα

=

弧长公式：

180

r

n

l

π

=，扇形面积公式：

360

2

R

n

S

π

=

扇

（初中）

2 弧度制与角度制的换算：

因为周角的弧度数是2π，角度是360°，所以有

rad

rad

rad

rad

01745

.0

180

1

180

2

360

≈

=

=

=

π

π

π

ο

ο

ο

把上面的关系反过来写

ο

ο180

360

2=

=rad

radπ

π

81

57

30

.

57

)

180

(

1'

=

≈

=ο

ο

οrad

rad

π

ο

ο360

~

0之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

弧度0

6

π

4

π

3

π

2

π

π

3

2

π

4

3

π

6

5ππ

2

3

2π类型一：角的概念问题

o

r

C

2rad

1rad r

l=2r

o

A

A

B

1. 终边相同的角的表示

例1 若角α是第三象限的角，则角α-的终边在第______象限. 答案：二.

解析：因为α是第三象限的角，故o

o

o

o

360270<<360180,k k k α-⋅---⋅-∈Z ，则

o 360k ⋅o o o 270<<360180,k k α--⋅-∈Z ，故α-的终边在第二象限.

练习：与o 610角终边相同的角可表示为_____________. 2. 象限角的表示

例2 已知角α是第二象限角，问（1）角

2

α

是第几象限的角？（2）角2α终边的位置. 思路：先根据已知条件得出角的范围，再通过讨论k 值来确定象限角.

解析：（1）因为α是第二象限的角，故o

o

o

o

36090<<360180(k k k α⋅+⋅+∈Z )，故

︒︒︒︒+⋅<<

-⋅451802

45180k k α

o 180k ⋅o o o 45<

<18090(2

k k α

+⋅+∈Z ).当k 为偶数时，

2

α

在

第一象限；当k 为奇数时，2

α在第三象限，故2α

为第一或第三象限角.

（2）由o

o

o

o

36090<<360180(k k k α⋅+⋅+∈Z )，得

o o o 2360180<2<2360k k α⋅+⋅+ o 360(k ∈Z )，故角2α终边在下半平面.

点评：已知α所在象限，求

(n n

α

∈N *)所在象限的问题，一般都要分几种情况进行讨论.

结论：

类型二：弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的互化

例3 把下列各角的度数化为弧度数：

⑴ο

150 ⑵'3037ο ⑶'3022ο- ⑷ο315-

解 因为180

1π

=

οrad ，所以

⑴ rad rad 6

5180

150150π

π

=

⨯

=ο ⑵ rad rad 245180213721373037'ππ=⨯=⎪⎭⎫

⎝⎛=ο

ο

⑶ rad rad 8180212221223022'

ππ-=⨯-=⎪⎭⎫ ⎝

⎛

-=-ο

ο

⑷ rad rad 4

7180

315315π

π

-

=⨯

-=-ο