计算方法——总复习资料

计算方法——总复习
第1章 绪论
误差的概念 误差的传播 注意的问题
误差
相对误差
er ( x )
e( x ) x
x x
x
相对误差限：相对误差的绝对值的上界
er ( x*)
( x*)
x*
r ( x*)
有效数字
如果近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到 x* 的第一位非零数字共有n 位,我们称 x* 有n 位有效数字。
定义：用 x* 表示 x 的近似值，并将x*表示成 x* 0.a1a2 an 10m
若其误差限 e(x*) x * x 1 10mn
2
,则称 x*具有 n 位有效数字, 这里 m 是整数, a1 0.
定理1 设近似值 x* 0.a1a2 an 10m 有n位
有效数字 a1 0 。则其相对误差限为
定理2 Ax=b 可用高 斯消元法求解的充分必要条 件是：系数矩阵 A 的各阶顺序主子式均不为零.
高斯主元素消元法
一 列主元素消元法
第 k 步先选列主元aik(k) , 其次将aik(k)（行对换）换到
akk(k)的位置上,再消元，其中
|
ai(kk )
|
max
kln
|
a
(k lk
)
|
二 完全主元素消元法
er ( x*)
1 2a1
10n1
绝对误差限 相对误差限
e( x) 1 10mn 2
er ( x)
1 2a1
10n1
n为有效数字 m为科学计数法中的
0.a1a2 as 10m , a1 0
误差的传播
(x y) (x) ( y)
r ((xy) ) r (x ) r ( y)
第 k 步先选主元aij(k) , 其次将aij(k) （行、列对换）换
到
akk(k)的位置上,
再消元,
其中|
ai(jk )
|
max
kl,sn
|
al(sk )
|
P15,2题
高斯—若当消元法
在高斯消元过程中，先将主元素化为1，而后 将主元所在列的其它元素均化为零，最后将系数 矩阵化为单位矩阵 I，无需回代就可求得原方程的 解，此法称为高斯—约当消元法。
(1) 若 0 ( x ) 1 , 则迭代过程在 x的 邻近
为线性收敛；
(2) 若 (x) (x) ( p1)(x) 0 ,( p)(x) 0,
则迭代过程在 x 的邻近为 p 阶收敛。
牛顿切线法
xk1
xk
f ( xk ) f ( xk )
(k 0,1,
)
1、当 x为 单根时，牛顿迭代法在根 的x附近至少 是二阶收敛的；
x0
)
(
xk
x0 )
单点割线法在单根附近是线性收敛的。
第3章 线性方程组求解
高斯消元法 高斯主元素消元法 高斯——若当消元法 矩阵分解 向量与矩阵的范数、误差分析 迭代法、雅可比、高斯—塞德尔迭代法
高斯消元法
a1(11) a1(12) a1(1n) b1(1) a2(11) a2(12) a2(1n) b2(1)
若 f ( x0 ) f (b) 0 ,则 x∈(x0 , b ), 令 a1= x0 , b1=b。
二分法
x
xn
1 2
(bn
an )
1 2n1
(b
a
)
迭代法
将方程 f (x)= 0 化为等价方程 x ( x),
然后在隔根区间内取一点 x0 ，按下式计算
xk1 ( xk ) (k 0,1, 2, )
ln( n1)rn1 rn
a2(22) a2(2n) b2(2)
an( nn)
bn( n)
其中lik= aik(k) /akk(k), k=1,2,…,n ,i=k+1 , k+2 , … , n 。
高斯消元法
定理1 如果在消元过程中A的主元素ak(kk1) 0 (k=1,2,…,n) ,则可通过高斯消元法求出Ax=b 的解.
高斯-若尔当消元法的运算量比高斯消元法大。
矩阵分解
设 f (x) 在区间[a , b ]上连续, f (a) f (b) 0 ,则[a , b]
内有方程的根。 取[ a , b ]的中点
x0
1 (a 2
b),
将区间一分为二。若 f ( x0 ) = 0, 则 x0 就是方程的根,
否则判别根 x在 x0 的左侧还是右侧。
若 f (a) f ( x0 ) 0 ,则 x∈( a , x0 ), 令 a1= a , b1=x0 ;
2、当 x为 m重根时，牛顿迭代法在根 x的 附近是线性
收敛的。
定理 设 f ( x) 在 [a,b]满足
(1) f (a) f (b) 0 (2) x [a, b], f ( x), f ( x)均存在,
且f ( x)与f ( x)的符号均保持不变。 (3) f ( x0 ) f ( x) 0, x0、x [a, b]。
a1(11) a1(12) a1(1n) b1(1)
a2(22) a2(2n) b2(2)
an(11)
an(12)
an(1n)
bn(1)
ili21r,1,rni
an( 22)
an(2n)
bn( 2 )
a1(11) a1(12) a1(1n) b1(1)
ili32r,2, nri
r
((
x y
)
)
r
(
x
)
r
(
y
)
误差的传播
e[ f ( x )] df ( x) f ( x)dx f ( x )e( x )
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注意的问题
注意避免两个相近数的相减 防止大数 “吃掉” 小数 避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值
第2章 方程求根
二分法 迭代法 牛顿切线法 割线法
二分法
则方程 f ( x) 0 在 [a,b]上有且只有一个实根， 由牛顿法迭代公式计算得到的近似解序列 { xn } 收敛于方程 f ( x) 0 的根 x。
双点割线法或记忆割线法
xk1
xk
f
(
xk
f )
( xk f
) (
xk
1
)
(
xk
xk1 )
收敛阶为
单点割线法
xk 1
xk
f
(
f ( xk ) xk ) f (
计算结果生成数列 x0 , x1,, xk ,
定理 2 若方程 x ( x) 之根的某邻域
U x | x x 内 ( x) 存在,且存在正常数
0<L<1，使 ( x) L 1, x U
定理 3 设 x为 x ( x) 之根,在 x的 邻域 U内 ( x) 有连续的 p 阶导数，则