微分方程建模举例—96年竞赛题 捕鱼问题

2ek
2 3
s40 )e0.8 ]
F3s30 F4s40
F3
3a(1
e
0.8 3
)e 0.42
k
2 3
e0.8
1.22 1011
1.6[1.22
1011
3 1.6
a(1
e
0.8 3
)(e0.42
k
2 3
s30
2ek
2 3
s40 )e0.8 ]
F4
3a(1
e
0.8 3
)
2e
k
2 3
e0.8
s30e0.8
e0.42k
2 3
,
s4
s e1
0.8
1 3
4
s40e0.8
ek
2 3
,
s s e1 0.81t2
3
3
s s e1 0.81t2
4
4
再设 s3 , s4 分别为3、4龄鱼在产卵期平均数
量，n 为3、4龄鱼产卵数量之和，t 按月计
s3
1 4
4 0
s31e0.8 t12dt
15 4
集中产卵。 并给出3、4龄鱼产卵的数量关系：
在一个季节里， 每条 4 龄鱼产卵量为 1.109105 (个) 每条 3 龄鱼产卵量为 1 1.109105 (个)
2 成活率（1龄鱼条数与产卵总量 n 之比）
1.22 1011 (1.22 1011 n)
4、并固定每年投入的捕捞能力（如渔船数，下网 次数）及 3、4 龄鱼捕捞强度系数的比值。
[1
e
(
0.8
k
)
2 3
]
i 0,1,2,3,4
4
则，五年内的收获量为 Gi 15.91012 g
i0
一 问题的分析 1、给出了各年龄组鱼群的转化规律；
1 龄鱼 2 龄鱼 3 龄鱼
4 龄鱼
自然 死亡
产 第4季度 卵
捕
获 1，2，3季度收获
2、给出了它们的相对自然死亡率；
N (t t) N (t)
N (t)t
t 0,
dN
Ndt
3、 给出了鱼产卵的时间分布； 只有3、4龄鱼在每年的9、10、11、12月份
[3] 再把 s11, s21, s31, s41,作为第2年捕获前的初值
重复[2]，根据递推关系算出下一年的
s12 , s22 , s32 , s42 ,
[4] 再重复[2]、[3]当计算到年初与年末的各龄 鱼的数量一致时，即鱼群稳定为止，根据
G P3m3 P4m4 算出年捕获量；
[5] 另定 k 值，重复[1]~[4]； [6] 根据年捕获量最大原则，最后确定最佳的 k 值。
年的捕获量达到最大：
G 0.3852 1012 g
以上是问题的第一问。
第二问：五年内的收获量
再利用初值 s30 10.110 9 , s40 3.29 10 9
递推关系
s1 A s0
计算
Gi
m3
0.42k s3i 0.8 0.42k
[1
e
(
0.80.42
k
)
2 3
]
m4
k s4i 0.8 k
渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前 的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞 能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时 单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群的条数成正比， 比例系数不妨称为捕捞强度系数。通常使用 13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄 鱼，其两个捕捞强度系数之比为 0.42 : 1 。渔业 上称这种方式为固定努力量捕捞。
s41
s3
s30
e0.8
e0.24k
2 3
3 鱼群持续变化的递推关系
s11 F3s30 F4s40
s21 s10 e0.8
s31 s20 e0.8
s41
s30
e0.8
e0.24k
2 3
s1
A
s0
பைடு நூலகம்
s11 0
s21 s31 s41
e0.8 0 0
0 0 e0.8 0
捕捞强度系数k：单位时间捕捞量与各年龄组鱼
群条数成正比。
目标：
dN kN dt
要求选择一定的捕捞强度系数，使得各年龄组鱼量在
各年开始捕捞前条数不变（保证可持续捕获的要求），
并在此条件下，得到以重量计的最大捕获量。
二 主要变量说明
主要变量：各龄鱼的数量。
sit ：表示（t+1）年 i 龄鱼的数量，
最优捕鱼策略 （1996 年全国大学生数学建模竞赛 A题） 为了保护人类赖以生存的自然环境，可再 生资源（如渔业、林业）的开发必须适度。一 种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的 前提下，追求最大产量或最佳效益。 考虑对某种鱼（鳀鱼）的最有捕捞策略：
鳀鱼：体长三寸到四寸，侧扁，腹部呈圆柱形， 眼、口大，无侧线，生活在海中。
P3
0.42k s30 0.8 0.42k
[1
e(0.80.42k
)
2 3
]
P4
k s40 0.8 k
[1
e(0.8k
)
2 3
]
又设每条 3 龄鱼和 4 龄鱼的数量分别为m3,和m4克
m3 17.86, m4 22.99
则每年捕获鳀鱼的总重量
G P3m3 P4m4 克
优化模型
max G
s.t.
s1
P3m 3 As0
P4m4
k 0
四 模型求解
优化模型
max G
s.t.
s1
P3m 3 As0
P4m4
k 0
取一个 k 值，就可得到一个 G，现须选取恰 当的 k 值，使年收获量 G 最大。
具体算法如下： [1] 选定 k 值；
[2] 根据递推关系分别算出 s11, s21, s31, s41,
四 计算结果与分析
k 0.1 2.0 10.0 14 15.50 15.7 15.9 16.1 16.3 17
总捕获量G(×1012g) k
0.02165
0.5
0.2374
5.0
0.3674
12.2
0.3795
14.95
0.38496
15.6
0.38507
15.8
0.38515
16.0
0.38519
i=1,2,3,4; t=0,1,2,3,4;
k ：表示4 龄鱼捕捞强度系数，则
3 龄鱼捕捞强度系数为 0.42k
G ：表示所捕捞鱼的重量
n ：3,4 龄鱼的产卵总数
三 模型建立
建模关键： 建立各相关量与捕捞强度系数 k 的关系，
控制 k 到最佳数值，在满足可持续捕获的条 件下达到最大收获量。
1 鱼数量变化的一般模型 各龄鱼的数量须经一段时间，才能达到稳定 状态，即到平衡年时，年末和年初的各龄鱼 的数量基本保持不变。
1.22 1011
1.6[1.22
1011
3 1.6
a(1
e
0.8 3
)( e 0.42 k
2 3
s30
2e
k
2 3
s40 )e0.8 ]
2）2 龄鱼由上一年 1 龄鱼转化而成，即
s21 s1 s10 e0.8
3）3 龄鱼即上一年末 2 龄鱼
s31 s2 s20 e0.8
4）4 龄鱼即上一年末 3 龄鱼
1）建立数学模型分析如何实现可持续捕获 （即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数 不变），并且在此前提下得到最高的年收获量 （捕捞总量）。
2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年， 合同要求5 年后鱼群的生产能力不能受到太大 破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别 为122，29.7，10.1，3.29（×109条），如果 仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取 怎样的策略才能使总收获量最高。
s11, s12 , s31, s14 , 12月末，各龄鱼群数量为
s1, s2 , s3, s4 , 卵的总数量为 n，t 按年算，则
1~8月份，捕捞季节。经捕捞及自然死亡，8月末
s11
s e , 0.8
2 3
10
s12
s e , 0.8
2 3
20
s s e , s s e , 1
(
0.80.42k
16.2
0.38519
16.4
0.3848
18
总捕获量G(×1012g) 0.09076 0.3248 0.3761 0.38446 0.38502 0.38512 0.38518 0.38520 0.38517 0.3833
由计算结果表，可知，当 k 16.2时，捕获量 G 随 k 的增大而增大，当 k 16.2时，捕获量 G 随 k 的增大而减小。故可取 k 16.2 时，其稳定
自然死亡情况下
ds(t) s(t)
dt
st s(0)et
（1）
有捕捞情况下
ds(t) ( k )s(t)
dt
s t s(0)e( k )t
（2）
2 各龄鱼数量变化的具体模型
设年初各龄鱼数量分别为 s10 , s20 , s30 , s40 ,
8月末，经捕捞及自然死亡后的各龄鱼群数量为
F3 0
0
e e 0.8
0.42
k
2 3
F4 s10
0 s20
0 0
s30 s40
4 捕获量的数学模型
对于一种可捕获鱼而言，设一年内捕获量为P，
初值为s(0)，则 P可表示为
2
P
k
3
s(0)e(0.8k )t dt
k
s
(0)
[1
e
(
0.8
k
)
2 3
]
0.8 k
0
1~8月份，捕捞 3 龄鱼和 4 龄鱼的数量分别为
化而成，即
s11
n
1.22 1011 1.22 1011
n
s11
n
1.22 1011 1.22 1011
n
3a(1
e
0.8 3
)( e 0.42
k
2 3
s30
2e
k
2 3
s40 )e0.8
1.22
1011
1.6[1.22
1011
3 1.6
a(1
e
0.8 3
)(e
0.42
k
2 3
s30
假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，…，4 龄 鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55， 17.86，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率均 为0.8（1/年），这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平 均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105(个)，3龄鱼的 产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产 卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1 龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵量n之比）为 1.22×1011/(1.22 ×1011+n）。
s31
(1
e
0.8 3
)
s4
1 4
4 0
s14
e
0.8
t 12
dt
15 4
s14
(1
e
0.8 3
)
1 产卵期产卵总量为 n 2 s3 a s4 a
a 为平均每条4 龄鱼产卵个数， a 1.109105 个。
设 s11, s21, s31, s41, 为第2年各龄鱼的初值数量，
则有
1）1龄鱼由卵孵化并成活下来的那部分卵子转
)
2 3
1
(
0.8k
)
2 3
3
30
4
40
9~12月份，产卵季节。期间无捕捞，则12月末
s1
s e1 0.813 1
s10e0.8 ,
s2
s e1 0.813 2
s20e0.8 ,
s s e1 0.81t2
3
3
t4
s s e , 1
(0.80.42k
)
2 3
3
30
s e1 0.813 3