2020年湖北省宜昌市一中、恩施高中高一上学期末联考数学试题及答案

2020年湖北省宜昌市一中、恩施高中高一上学期末联考数学试题及答案一、单选题1．设集合{A x y ==，{}3log ,19B y y x x ==≤≤，A B =（ ）A ．∅B ．[]1,2C ．[]0,2D ．[]1,3【答案】B【解析】求出集合A 、B ，然后利用交集的定义可求出集合AB .【详解】{{}[)101,A x y x x ===-≥=+∞，由于函数3log y x =为增函数，当19x ≤≤时，333log 1log log 9x ≤≤，即30log 2x ≤≤，即{}[]3log ,190,2B y y x x ==≤≤=，因此，[]1,2A B =.故选：B. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了函数定义域和对数函数值域的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．1y =，0y x =B ．()()22log 1log 2y x x =-++，()()2log 12y x x =-+C ．y x =，y =D ．11x x y e e -+=⋅，2t y e =【答案】D【解析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可． 【详解】对于A 选项，函数1y =的定义域为R ，函数0y x =的定义域为{}0x x ≠，两个函数的定义域不相同，A 选项中的两个函数不是同一函数； 对于B选项，由1020x x ->⎧⎨+>⎩，可得1x >，函数()()22log 1log 2y x x =-++的定义域为()1,+∞，解不等式()()120x x -+>，解得2x <-或1x >，则函数()()2log 12y x x =-+的定义域为()(),21,-∞-⋃+∞，两个函数的定义域不相同，B 选项中的两个函数不是同一函数；对于C 选项，两个函数的定义域均为R ，且y x==，两个函数的对应法则不相同， C 选项中的两个函数不是同一函数；对于D 选项，两个函数的定义域均为R ，且112x x x y e e e -+=⋅=，两个函数的对应法则相同，D 选项中的两个函数是同一函数. 故选：D. 【点睛】本题主要考查两个函数是否为同一函数，判断函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键，比较基础． 3．若向量()3,2a =，(),6b x =，且//a b ，则x 的值为（ ）A ．9B ．1-C ．4-D ．9-【答案】A【解析】根据共线向量的坐标表示可得出关于实数x 的方程，求出即可. 【详解】向量()3,2a =，(),6b x =，且//a b ，23618x ∴=⨯=，解得9x =. 故选：A. 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，关键是掌握向量平行的坐标表示，属于基础题．4．三个数1eπ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1e π，1ln π的大小关系为（ ）A ．111ln ee πππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ B ．111ln ee πππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．111ln ee πππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．111ln e e πππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭【答案】A【解析】利用指数函数、对数函数的单调性比较三个数与0和1的大小关系，从而可得出三个数的大小关系.【详解】指数函数1xy π⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数，所以01101e ππ⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 指数函数x y e =为增函数，所以101e e π>=；对数函数ln y x =为()0,∞+上的增函数，所以1lnln10π<=.因此，111ln ee πππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查推理能力，是基础题． 5．已知方程()23log 0kx x k +=<的实根0x 满足()01,2x ∈，则k 的取值范围为（ ） A ．3k <- B ．10k -<< C ．31k -<<- D ．3k <-或10k -<<【答案】C【解析】构造函数()2log 3f x kx x =-+，判断出函数()y f x =为减函数，由题意得出()()1020f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩，解出不等式组即可得出实数k 的取值范围. 【详解】构造函数()2log 3f x kx x =-+，0k <，函数3y kx =+为减函数，又函数2log y x =为增函数，所以，函数()2log 3f x kx x =-+为减函数，由于方程()23log 0kx x k +=<的实根0x 满足()01,2x ∈，则()()1302220f k f k ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩， 解得31k -<<-. 故选：C. 【点睛】本题考查利用方程根的取值范围求参数的取值范围，利用函数的单调性得出端点函数值符号是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．已知cos cos tan sin sin ααααα+=+则的值为 （ ） A ．﹣1 B ．﹣2C ．12D ．2【答案】D【解析】试题分析：∵sin cos αα+=∴2(sin cos )2αα+=，∴1sin cos 2αα=， ∴cos sin cos 1tan 2sin cos sin sin cos ααααααααα+=+==．【考点】平方关系、商数关系．7．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ） A ．2 B ．sin1 C ．2sin1 D ．2cos1【答案】C【解析】设扇形的半径为r ，可得出扇形的弧长为()4202l r r =-<<，利用二次函数的基本性质可求得扇形面积的最大值，求出对应的r 的值，进而求出扇形的圆心角的弧度数，然后利用等腰三角形的性质可求出扇形的弦长AB .【详解】设扇形的半径为r ，可得出扇形的弧长为()4202l r r =-<<，所以，扇形的面积为()()22114221122S lr r r r r r ==-=-+=--+， 当1r =时，该扇形的面积取到最大值1，扇形的弧长为422l r =-=，此时2lAOB r∠==， 如下图所示：取AB的中点C，则OC AB∠=，因此，AOC⊥，且1===.22sin12sin1AB AC r故选：C.【点睛】本题考查扇形面积最值的计算，同时也考查了扇形弦长的计算，涉及二次函数基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.)，则下面结8．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3论正确的是( )A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，个单位长度，得到曲线C2再把得到的曲线向右平移π6B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，个单位长度，得到曲线C2再把得到的曲线向左平移π12C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，2个单位长度，得到曲线C2再把得到的曲线向右平移π6D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，2个单位长度，得到曲线C2再把得到的曲线向左平移π12【答案】D【解析】把C1上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标2不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x+π12）=cos （2x+π6）=sin （2x+2π3）的图象，即曲线C 2，故选D ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.9．函数ln |1|x y e x =--的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数的形式和图象，分1x ≥和01x <<两种情况去绝对值，判断选项. 【详解】 当1x ≥时，()ln 111xy ex x x =--=--=，当01x <<时，()ln ln 1111xx y ex e x x x-=--=--=+- 只有D 满足条件.故选：D 【点睛】本题考查含绝对值图象的识别，属于基础题型. 一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.10．函数()y f x =满足()2f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，(),sin cos ,sin cos x x xf x x x x≤=>，则函数()lg y f x x =-的零点个数为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13【答案】B【解析】由题意可知，函数()y f x =是周期为2π的周期函数，函数()lg y f x x =-的零点个数等价于函数()y f x =与函数lg y x =图象的交点个数，作出两个函数的图象，观察两个函数图象的交点个数即可. 【详解】函数()y f x =满足()2f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则函数()y f x =是周期为2π的周期函数，令()lg 0f x x -=可得()lg f x x =，函数()lg y f x x =-的零点个数等价于函数()y f x =与函数lg y x =图象的交点个数，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，(),sin cos ,sin cos x x x f x x x x≤=>，则()max 1f x =，如下图所示：由于13104π<，当10x >时，lg 1x，此时，函数()y f x =与函数lg y x =的图象没有公共点，由上图可知，函数()y f x =与函数lg y x =的图象共有11个交点，因此，函数()lg y f x x =-的零点个数为11. 故选：B. 【点睛】本题考查函数的零点个数，将问题转化为两个函数图象的交点个数是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.11．已知函数())221log 121xxe f x x x e -=++++，则不等式()2sin 212f x ->，()0,x π∈的解集为（）A ．,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．5,1212ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．50,,1212πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】设函数()()2g x f x =-，判断出该函数为R 上的奇函数且为减函数，将所求不等式化为()()2sin 210g x g ->，利用函数()y g x =的单调性得出2sin 210x -<，然后在区间()0,π上解此不等式即可.【详解】设函数()())212log 1xxe g xf x x e -=-=++，则()00g =，对任意的x ∈Rx x >≥0x >在R 上恒成立，所以，函数()y g x =的定义域为R .()())()()2211log log 11x x x xx x e e e g x x x e e e ------⎤-=-+=+⎥⎦++)21log 1x x e x e -=++， ()()))2211log log 11xx xxe e g x g x x x e e --∴+-=+++++)()22222log log 1log 10xx x x ⎡⎤==+-==⎢⎥⎣⎦，()()g x g x ∴-=-，所以，函数()y g x =为奇函数， 当0x ≤时，由于函数u x 为减函数，函数2log y u =为增函数，所以，函数())2log h x x=在(],0-∞上为减函数，()()21121111xx x x xe e x e e eϕ-+-===-+++在(],0-∞上为减函数， 所以，函数()y g x =在(],0-∞上为减函数，则该函数在区间[)0,+∞上也为减函数，由于函数()y g x =在R 上连续，所以，函数()y g x =在R 上为减函数，由()2sin 212f x ->，可得()2sin 2120f x -->，即()()2sin 210g x g ->，所以，2sin 210x -<，即1sin 22x <，()0,x π∈，()20,2x π∴∈， 所以026x π<<或5226x ππ<<，解得012x π<<或512x ππ<<，因此，不等式()2sin 212f x ->，()0,x π∈的解集为50,,1212πππ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数的单调性解函数不等式，涉及正弦函数基本性质的应用，判断出函数的奇偶性和单调性是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 12．已知函数()2(43)3,0,log (1)1,0ax a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >，且a 1≠）在R上单调递减，且关于x 的方程()2f x x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是A ．20,3⎛⎤⎥⎝⎦B．[23，34]C ．[13，23]{34}D ．[13，23）{34}【答案】C【解析】试题分析：由()f x 在R 上单调递减可知34013{313401a a a a -≥≥⇒≤≤<<，由方程()2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，可知32,a ≤，1233a ≤≤，又34a =时，抛物线2(43)3y x a x a =+-+与直线2y x =-相切，也符合题意，∴实数a 的取值范围是123[,]334⎧⎫⋃⎨⎬⎩⎭，故选C.【考点】函数性质综合应用【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题13．已知()2,1a =，()1,2b =-，若()4,7ma nb -=，则m n +的值为_____． 【答案】5【解析】根据向量的坐标运算建立关于实数m 、n 的方程组，解出即可. 【详解】()2,1a =，()1,2b =-，且()()2,24,7ma nb m n m n -=-+=，则有2427m n m n -=⎧⎨+=⎩， 解得32m n =⎧⎨=⎩，因此，5m n +=.故答案为：5. 【点睛】本题考查利用平面向量坐标运算求参数，根据坐标运算建立方程组是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 14．若3log 21x =，则44x x -+=_____．【答案】829【解析】利用对数的运算以及对数与指数的互化可得出23x =，可得出49x =，进而可计算出44x x -+的值.【详解】33log 2log 21x x ==，23x ∴=，则()()224229xx x ===，因此，18244999x x -+=+=. 故答案为：829.【点睛】本题考查指数和对数的运算，掌握对数和指数的运算律是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.15．函数()12log sin 26f x x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间为_____．【答案】(),126k k k Z ππππ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦【解析】根据题意求函数sin 26u x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的增区间且满足sin 206x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，由此可得出关于x 的不等式，解出即可得出函数()y f x =的单调递减区间. 【详解】 对于函数()12log sin 26f x x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，自变量x 满足sin 206x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 由于外层函数12log y u=为减函数，要求函数()12log sin 26f x x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间，即求内层函数sin 26u x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间，令()22262k x k k Z ππππ<+≤+∈，解得()126k x k k Z ππππ-<≤+∈， 因此，函数()12log sin 26f x x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间为(),126k k k Z ππππ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦. 故答案为：(),126k k k Z ππππ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查复合对数函数单调区间的求解，涉及了正弦型函数单调区间的求解，在解题时不要忽略函数的定义域的求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16．下面5个说法中正确的序号为_____． ①函数()22x f x x =-有两个零点；②函数tan 216y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象关于点,13π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ③若α是第三象限角，则sincos 22sincos22αα+的取值集合为{}2,0-；④锐角三角形ABC 中一定有sin cos A B >； ⑤已知()1xx a f x a =+（0a >且1a ≠），同一平面内有O 、A 、B 、C 四个不同的点，若()()OA f x OB f x OC =+-，则A 、B 、C 必定三点共线． 【答案】②④⑤【解析】利用零点存在定理以及()()240f f ==可判断命题①的正误；求出函数tan 216y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的对称中心坐标，利用赋值法可判断命题②的正误；确定2α的象限，去绝对值，求出sincos 22sincos22αααα+的取值集合，可判断命题③的正误；利用正弦函数的单调性可判断命题④的正误；计算出()()1f x f x +-=，可判断命题⑤的正误.【详解】 对于命题①，()1102f -=-<，()010f =>，由零点存在定理知，函数()22xf x x =-在区间()1,0-上有零点，又()()240f f ==，则函数()22x f x x =-的零点个数大于2，命题①错误；对于命题②，令()262k x k Z ππ-=∈，解得()124k x k Z ππ=+∈， 令1k =，可得3x π=，所以，函数tan 216y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象关于点,13π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，命题②正确； 对于命题③，如下图所示：由于角α为第三象限角，由等分象限法知，角2α是第二象限或第四象限角.若角2α是第二象限角，sin02α>，cos02α<，sin cos 22110sincos22αααα+=-=；若角2α是第四象限角，sin02α<，cos02α>，sin cos22110sincos22αα+=-+=.命题③错误；对于命题④，由于ABC ∆是锐角三角形，则2A B π+>，所以2B A π-<，即022B A ππ<-<<，因为正弦函数在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，所以，sin sin cos 2A B B π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，命题④正确；对于命题⑤，()1xx a f x a =+，则()()1111x x x x x x xa a a f x a a a a ----⋅-===++⋅+，()()1111x x xa f x f x a a ∴+-=+=++，()()OA f x OB f x OC =+-，A ∴、B 、C 三点共线，命题⑤正确.因此，正确说法的序号为：②④⑤. 故答案为：②④⑤. 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及函数零点个数、三角函数符号和基本性质、以及利用向量共线处理三点共线问题，考查推理能力，属于中等题.三、解答题17．（116127⎛⎫+⎪⎝⎭（2）已知tan 2θ=-，求22sin cos cos θθθ+-的值．【答案】（1）lg 33-；（2）75． 【解析】（1）根据指数与对数的运算律可计算出所求代数式的值；（2）将所求代数式化为2222sin cos cos 2sin sin cos cos θθθθθθθ+-=++，并除以22sin cos θθ+，然后在分式的分子和分母中同时除以2cos θ，然后代入tan θ的值计算即可. 【详解】 （1）1136611327⨯⎛⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭121111lg 3lg 3333⎛⎫=-+=-+-=- ⎪⎝⎭； （2）tan 2θ=-，2222sin cos cos 2sin sin cos cos θθθθθθθ+-=++()()2222222222212sin sin cos cos 2tan tan 17sin cos tan 1521θθθθθθθθθ⨯--+++++====++-+. 【点睛】本题考查指数、对数的运算，同时也考查了弦化切思想的应用，考查计算能力，属于基础题. 18．已知集合A 为函数()222log 21y xax a =-+-的定义域，集合{}ln 2lg1000B x e x =≤≤．（1）当1a =-时，求()RA B ；（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()()(),20,23,-∞-+∞；（2）()(),14,-∞⋃+∞． 【解析】（1）求出集合A 、B ，然后利用补集和交集的定义可求出集合()RA B ；（2）由A B A ⋃=可得出B A ⊆，可得出关于实数a 的不等式组，解出即可. 【详解】 （1）据题意{}()(){}22210110A x x ax a x x a x a ⎡⎤⎡⎤=-+->=--⋅-+>⎣⎦⎣⎦()(),11,a a =-∞-++∞，当1a =-时，()(),20,A =-∞-+∞.{}[]ln 2lg10002,3B x e x =≤≤=，所以()(),23,R B =-∞+∞，因此，()()()(),20,23,RA B =-∞-+∞；（2）A B A =，B A ∴⊆，所以12a +<或13a ->，解得1a <或4a >，因此，实数a 的取值范围是()(),14,-∞⋃+∞. 【点睛】本题考查集合的基本运算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，考查运算求解能力，属于中等题. 19．在ABC ∆中，3AE EC =，2BD DC =，点P 为AD 与BE 的交点，记AB a =，AC b =．（1）用a 、b 表示AD 、BE ； （2）求:BP PE ．【答案】（1）1233AD a b =+；34BE b a =-（2）83． 【解析】（1）由2BD DC =可求得1233AD a b =+，34AE b =，再由平面向量的减法可得出BE 关于a 、b 的表达式；（2）由B 、P 、E 三点共线，可BP PE λ=，0λ>，由A 、P 、D 三点共线，设AP PD μ=，0μ>，根据平面向量的线性运算得出AD 关于a 、b 的两个表达式，由此可得出关于实数λ、μ的方程组，解出即可得出:BP PE 的值.【详解】 （1）2BD DC =，()2AD AB AC AD=∴--，即12123333AD AB AC a b =+=+， 43343b AE EC AC ===，因此，3344BE AE AB AC AB b a =-=-=-；（2）B 、P 、E 三点共线，令BP PE λ=，0λ>，则有()AP AB AE AP λ-=-，即()13141AP a b λλλ=+++． 又A 、P 、D 三点共线，则再设AP PD μ=，0μ>，则有()AP AD APμ=-，即()()213131AP AD a bμμμμμμ==++++，由平面向量基本定理可知，()()()1131324131μλμλμλμ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪++⎩，()23141λλλ∴=++，即83λ=． 因此，8:3BP PE =． 【点睛】本题考查利用基底表示向量，同时也考查了利用平面向量的基本定理求参数，考查计算能力，属于中等题. 20．某公司每年生产、销售某种产品的成本包含广告费用支出和浮动成本两部分，该产品的年产量为x 万件，每年投入的广告费为10x 万元，另外，当年产量不超过50万件时，浮动成本为21102x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭万元，当年产量超过50万件时，浮动成本为20000521300x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭万元．若每万件该产品销售价格为60万元，且每年该产品都能销售完．（1）设年利润为()f x （万元），试求()f x 关于x 的函数关系式；（2）年产量x 为多少万件时，该公司所获利润()f x 最大？并求出最大利润． 【答案】（1）()2140,5022000021300,50x x x f x x x x ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪--+>⎪⎩； （2）当年产量x 为100万件时，该公司所获利润了()f x 最大，最大利润为900万元．【解析】（1）直接由题意列分段函数可得函数()y f x =的解析式；（2）分段利用配方法与双勾函数的单调性求最值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）由题意可得，当50x ≤时，()22116010104022f x x x x x x x ⎛⎫=--+=-+ ⎪⎝⎭，当50x >时，()2000020000601052130021300f x x x x x x x ⎛⎫=--+-=--+ ⎪⎝⎭. 因此，()2140,5022000021300,50x x x f x x x x ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪--+>⎪⎩； （2）当50x ≤时，()()2211404080022f x x x x =-+=--+， 当40x =时，()max 800f x =（万元）； 当50x >时，()20000100002130021300f x x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭， 对于函数10000y x x=+，任取1250100x x <<≤， 则()121212121210000100001000010000y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()21121212121212121000010000100001x x x x x x x x x x x x x x x x ---⎛⎫=-+=--= ⎪⎝⎭， 1250100x x <<≤，120x x ∴-<，12010000x x <<，所以，120y y ->，所以，函数10000y x x=+在区间(]50,100上为减函数， 同理可证函数10000y x x=+在区间[)100,+∞上为增函数， 所以，函数()y f x =在区间(]50,100上为增函数，在区间[)100,+∞上为减函数，当100x =时，()()max 1000010021001300900100f x f ⎛⎫==-⨯++= ⎪⎝⎭（万元）.综上，当年产量x 为100万件时，该公司所获利润()f x 最大，最大利润为900万元． 【点睛】本题考查分段函数模型的应用，训练了利用二次函数求最值与双勾函数的单调性求最值，是中档题．21．如图，已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，点A 、B 分别是()f x 的图象与y 轴、x 轴的交点，C 、D 分别是()f x 的图象上横坐标为2π、23π的两点，//CD x 轴，且A 、B 、D 三点共线．（1）求函数()y f x =的解析式； （2）若()1213f α=，,123ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求4f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）若关于x 的函数()2log 4g x f x k π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰好有一个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）5413f πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭；（3）2⎡⎣． 【解析】（1）求出B 点的横坐标，线段CD 中点坐标，再求函数()y f x =的最小正周期T ，从而求出ω、ϕ的值，即可写出函数解析式；（2）由题意得出12sin 2313πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再利用诱导公式可求出4f πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（3）由函数()y g x =的解析式，利用分离常数法得出2log cos 23k x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求出,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，cos 23x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的范围，可得出关于k 的不等式，解出即可. 【详解】（1）根据题意，点A 与点D 关于点B 对称，B ∴点的横坐标为120233ππ⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭.又点C 与点D 关于直线12722312x πππ⎛⎫=⨯+=⎪⎝⎭对称，∴函数()y f x =的最小正周期23471T πππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭=⨯，22Tπω∴==， 又2sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()23k k Z πϕπ∴+=∈， 解得()3k k Z πϕπ=+∈，0ϕπ<<，3πϕ∴=，因此，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）由()12sin 2313f παα⎛⎫=+=⎪⎝⎭，,123ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2,32ππαπ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，所以，5cos 2313πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，所以5sin 2sin 2cos 244332313f ππππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦；（3）()22log cos 2log 43g x f x k x k ππ⎛⎫⎛⎫=--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0g x =，得2log cos 23k x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,323x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1cos 2,032x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以210log 2k ≤≤，解得1≤k所以实数k 的取值范围是⎡⎣.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题以及三角函数值的计算，也考查了函数与方程思想方法，是综合题． 22．已知函数()245f x x x a =++-，()148x g x m m -=⋅-+． （1）若函数()y f x =在区间[]1,1-上存在零点，求实数a 的取值范围；（2）当0a =时，若对任意的1x 、[]21,2x ∈，()()12f xg x ≤恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若函数()y f x =在[],2t 上的值城为区间D ，是否存在常数t ，使得区间D 的长度为64t -？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．（注：区间[],p q 的长度为q p -）．【答案】（1）[]0,8；（2）13⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，；（3）存在常数4t =--或52t =-满足题意.【解析】（1）求出函数的对称轴，得到函数的单调性，建立关于a 的不等式组，解出即可；（2）依题意，函数()y f x =在[]1,2上的最大值小于等于函数()y g x =在[]1,2上的最小值，此时可以分离变量，也可以直接求解；（3）通过讨论t 的范围，结合函数的单调性以及()2f 、()2f -的值，得到关于t 的方程，解出即可． 【详解】（1）由题意得，函数()y f x =的对称轴为2x =-， 故函数()y f x =在区间[]1,1-上为增函数， 函数()y f x =在区间[]1,1-上存在零点，()()1010f f ⎧-≤⎪∴⎨≥⎪⎩，即800a a -≤⎧⎨≥⎩，解得08a ≤≤，故实数a 的取值范围为[]0,8；（2）依题意，函数()y f x =在[]1,2上的最大值小于等于函数()y g x =在[]1,2上的最小值，当0a =时，()()224529f x x x x =+-=+-，易知，函数()y f x =在[]1,2上的最大值为()22497f =-=.法一：当0m >时，函数()148x g x m m -=⋅-+在[]1,2上为增函数，则()()min 187g x g ==>，符合题意； 当0m <时，函数()148x g x m m -=⋅-+在[]1,2上为减函数，则()()min 2387g x g m ==+≥，解得103m -≤<. 综上，实数m 的取值范围为13⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，； 法二：依题意，1487x m m -⋅-+≥对任意[]1,2x ∈都成立，12x ≤≤，1144x -∴≤≤，则10413x -≤-≤，当1x =时，则有87≥，显然成立；当1x ≠时，则1141x m -≥--对任意(]1,2x ∈都成立， 则函数1141x y -=--为增函数，故max 13y =-，即13m ≥-. 综上，实数m 的取值范围为13⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，； （3）依题意2640t t <⎧⎨->⎩，解得32t <.①当6t ≤-时，当[],2x t ∈时，()()max f x f t =，()()min 2f x f =-，即()()2,D f f t =-⎡⎤⎣⎦，()()224464f t f t t t --=++=-，即2820t t +-=，解得4t =--②当62t -<≤-时，当[],2x t ∈时，()()max 2f x f =，()()min 2f x f =-，()()2,2D f f =-⎡⎤⎣⎦，()()221664f f t ∴--==-，解得52t =-； ③当322t -<<时，当[],2x t ∈时，()()max 2f x f =，()()min f x f t =，()(),2D f t f =⎡⎤⎣⎦，()()2241264f f t t t t ∴-=--+=-，解得t =不符合，舍去；综上，存在常数4t =--52t =-满足题意. 【点睛】本题考查函数性质的综合运用，考查函数值域的求法及不等式的恒成立问题，考查转化思想及分类讨论思想，属于中档题．。