现代控制理论能控性、能观测性

解：
1 0
SC [b Ab] 1 1
rank Sc=2 能控
SC
1
1 1
0 1
1 P1 [01]1
0 1
1
1
P
P1
P1
A
1
0
1 1
P
1
1
0
1 1
则
A
PAP1
0 1
1 1
b
Pb
0 1
二、线性定常系统的输出能控性
在分析和设计控制中,系统的被控量往 往不是系统的状态,而是系统输出,必须研 究系统的输出是否能控.设:
B 0 0 1
1 0 0
0 1 0
1 0 0
Br 1
0 1
1 0
0 0
行线性无关
B
r 2
1
0
0
不全为零
能控
6. 线性变换后系统的能控性不变
设
.
x Ax Bu
令
x
SPC
x
[
B
AB . An1B] 则：x Ax Bu
其中：A P1AP, B P1B
SC
[B
AB
n1
A
B]
rank Sc rank[P1B (P1AP)P1B(P1AP)n1 P1B] rank[P1B P1AB P1An1B]
0 1 0 0
0
0
1
0
A
0
0
0
1
a1 a2 a3 an1
0
0
b 0
1
且：
证明： PA AP (由A PAP1 推得 )
P1A P2
P2 A P1A2 P3
Pn2 A P1 An2 Pn1 Pn1 A P1 An1 Pn
例：
. 1 1 1 求x能控1标准0型x． 1u
y 6x2
表明:状态变量 x1, x2 都可通过选择输入u而由
始点 终点完全能控.
输出y只能反映状态变量 能观测.
x
2
,所以
x1
不
例2:取 iL 和uc 作为状态变量,u—输入,
y= uc --输出.
L
+ iL R1
(1)当 R1R4 R2R3 R2 状态可控，可观测
u -
R3 uc
R4
(2)当 R1R4 R2R3 uc
解：rank[CB CABD]=rank[1 -2 0]=1=q
输出能控
rankSc=rank[b Ab]=1<2
状态不能控
三、线性定常连续系统的能观性
在实际工程实践中,往往需要知道状态变 量,而由于各种原因,不一定都能直接获取, 但输入变量总是可以获取和测量的.
能观性—能否通过对输出的测量来确定 系统的状态变量．
u只能控制 iL，
0
不可控，不可观测．
一、线性系统能控性和能观性的概念 含义：
能控性：u(t) x(t) 状态方程 能观性：y(t) x(t) 输出方程
1. 定义：
.
设 x Ax Bu
若存在一分段连续控制向量u(t)，
能移在到任[t0意t终f ]内态将x系(t统f )从，任则意该系状统态x完(t0转全)
An1B n
1 3 2 2 1
例：
.
x
0
2
0 x
1
1 u
0 1 3 1 1
.
x
x1
Fra Baidu bibliotek
x2
.
u
u1 u2
判x3断 能控性
解： Sc [B AB A2B]
2 1 3 2 5 4
1
1
2
2
4
4
1 1 2 2 4 4
rank =2<3,不能控
Sc
对于：
行数＜列数的情况下求秩时：
，
且
x Px
则可以经过
将A化为约当型.
如下:
且 ri1 ri2 rii i
由 Bik (k 1,2,,i ) 的最后一行组
成的矩阵：
Bir
bri1 bri 2
对i
1, 2,
brii
则系统能控
, l均为行线性无关
.
例：设 x Ax Bu ，已知
0 0 0
1
0
0
0 1 0
rank P1[B AB An1B]
rank[B AB An1B]
rank SC
P1 满秩矩阵
系统的能控性不变
7. 定理4：
.
设 x Ax bu
如则果必系存统在能 一控 个， 非则 奇异SC变换[BXABPA1nx1B]
可将状态方程化为能控标准型：
.
x Ax bu
其中：
A PAP1 b pb
第八章 现代控制理论能控性、能观测性
一、线性系统能控性和能观性的概念 二、线性定常系统的输出能控性 三、线性定常连续系统的能观性 四、线性定常连续系统的能观性
例1: 给定系统的状态空间描述:
.
x1
.
x 2
4 0
0 5
x1 x2
1 2u
解:展开 y 0. 6x
.
x1 4x1 u x2 5x2 2u
.
x Ax Bu y Cx Du
x Rn, y Rq,u Rp 定义:在 [t0 , t f上] ,任意 y(t0 ) y(t f ) 0
解出u(t), 输出能控 ．
2. 定理：
系统输出完全能控的充要条件：
例： . 4 1 1
x
2
3x 2u
判断系y统是1否输0出x 能控．
.
例：设系统的状态方程为 x Ax bu
其中：
A
1
0
1
2
b
b1 b2
试判断系统的能控性．
解： Sc [b Ab]
b 而Sbc 1是b任A意b值，bb12且ra1nbk11Sb2cb2=2
20
2
则该系统能控．
5.
当Ａ的特征 值 l ( l重根）,
1
(1重根）1
22
(2重根l ）n
能控．
说明：
① 任意初态 x(t0 ) x(状态空间中任
一点),零终态 x(t f ) ＝０ 能控
② 零初态x(t0) 0
任意终态 x(t f ) x
能达
2. 定理1
设 x Ax Bu
状态完全可控的充要条件是能控性矩阵：
Sc B AB
An1B的秩为n
即： rankSc rank B AB
设线性定常连续系统状态空间表式： . x Ax Bu y Cx Du
1. 定义：对任意给定u(t)，在[t0 , t f ]
其中：
A
1
0
0
2
b
b1 b2
试判断该系统的能控性．
解： Sc [b Ab]
Sc b Ab
如果rank S c
b1 b2
=2,
1b1 2b2
b1b2 (2
1)
则必须要求b1 0, b2 0
.
4. 定理3：设x Ax Bu ，
若Ａ为约当型，则状态完全能控的 充要条件是：
对应的每一个约当块的最后一行相 应的Ｂ阵中所有的行元素不全为零．
rank Sc =rank[Sc ScT ]nn
.
3. 定理2：若x Ax Bu ，
若Ａ为对角型，则状态完全能控的 充要条件为：
Ｂ中没有任意一行的元素全为零．
x1
1
x1
b11u1b12u2
b1 pu p
x2 2 x2 b21u1b22u2 b2 pu p
.
例：线性系统的状态方程为x Ax bu