变中有不变思想解题
中小学数学很重要的20种常见思想方法
中小学数学很重要的20种常见思想方法1、对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。
如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。
2、假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。
假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。
3、比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。
在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。
4、符号化思想方法用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。
如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。
如定律、公式、等。
5、类比思想方法类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。
如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。
类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。
6、转化思想方法转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。
如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。
7、分类思想方法分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。
如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。
又如三角形可以按边分，也可以按角分。
不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。
对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。
小学数学思想方法有哪些
小学数学思想方法有哪些？1、对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。
如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。
2、假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。
假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。
3、比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。
在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。
4、符号化思想方法用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。
如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。
如定律、公式、等。
5、类比思想方法类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。
如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。
类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。
6、转化思想方法转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。
如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。
7、分类思想方法分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。
如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按约数的个数分质数和合数。
又如三角形可以按边分，也可以按角分。
不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。
对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。
“变与不变”思想在小学数学教学中的应用
【关键词】小学数学；“变与不变”思想；应用【中图分类号】G623.5【文献标志码】A【文章编号】1004—0463（2020）23—0176—02“变与不变”思想是非常重要的数学思想，它在小学数学教学中的应用非常广泛。
在课堂教学中，教师应以“变”和“不变”为主线，让学生在变化的知识中找到“不变”的规律，促使学生深度学习，进而掌握最为本质的数学问题、数量关系和数学特点。
在探讨“变与不变”思想的作用、应用等外延之前，必须先弄懂到底什么是“变”，什么是“不变”。
毋庸置疑，“不变”的是在学习数学或运用数学知识解决问题时的各类定义、概念、法则、性质、规律与数量关系式等；而“变”的则是各类形式，是各类千变万化的对象，属于外延层面。
对低年级的小学生而言，课本上的知识是分散、冗杂的，他们对这些知识很难深刻理解。
作为教师，我们要想办法将知识讲得生动有趣、简洁明了，一定要着重讲“不变”的各类定义、概念、法则、性质、规律与数量关系式，将这一块的知识讲得深刻，让学生看清本质。
这样无论对象怎么发生变化，学生都能迎刃而解［1］。
万变不离其宗，对于教师来说，充分理解并且运用好“变与不变”思想对教学活动能起到事半功倍的效果。
下面，笔者结合教学实践，就“变与不变”思想在小学数学教学中的应用，谈谈自己的体会和看法。
一、揭示概念本质，掌握概念中的“不变”，以“不变应万变”数学每一章节的内容基本上都是围绕一个“不变”的定义、概念、法则、性质、规律或者数量关系式知识展开的，这就要求学生对每一章节的本质规律有一个深刻的认识和理解。
同时，要求学生熟读且熟记每一章节“不变”的核心知识点。
基于同一定义、概念、法则、性质、规律与数量关系式，可以衍生出成千上万个不同的题目和对象。
这一特点就决定了学生在学习过程中必须会灵活使用，否则对象一变，学生就不能正确解决问题。
以统编版数学二年级上册第五单元的“混合运算”一课的教学为例，这一个单元的知识是对一年级学习过的加减法的知识进行纵向拓展，它涉及的算式比以前的算式看起来要长、要复杂一些。
浅谈牛吃草问题中的变中不变思想和类比思想
㊀㊀㊀㊀㊀㊀浅谈牛吃草问题中的变中不变思想和类比思想浅谈牛吃草问题中的变中不变思想和类比思想Һ陈佳娜㊀（长春吉大附中力旺实验小学，吉林㊀长春㊀１３００００）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学教育的终极目标，是让学生会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．这就是对数学教育培养人的描述，这就是数学学科的核心素养．在本质上，数学的眼光就是数学抽象，数学的思维就是逻辑推理，数学的语言就是数学模型．数学的知识点很多，知识本身固然重要，但是，教会学生如何去辨别这些知识，如何去学习，如何去思考是更加重要的．变中不变思想是与抽象有关的数学思想；类比思想是与推理有关的数学思想．数学思想的引入，使得学生在掌握知识技能的同时，感悟其中所蕴含的数学思想，形成数学抽象和推理的数学素养．ʌ关键词ɔ小学数学；牛吃草问题；数学思想‘义务教育数学课程标准（２０１１年版）“明确指出： 通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识㊁基本技能㊁基本思想㊁基本活动经验． 如果把基础知识和基本技能看作计算机的硬件设备，那么基本思想和基本活动经验便是其软件支持，优良的硬件设备可以让计算机的运行顺畅不卡顿，而灵活的软件支持才是计算机能够可持续发展的定海神针．史宁中教授也曾讲过： 在基础教育阶段，一个好的数学教育，应当更多地倾向于培养学生数学思维的习惯：会在错综复杂的事物中把握本质，进而抽象能力强；会在杂乱无章的事物中理清头绪，进而推理能力强；会在千头万绪的事物中发现规律，进而建模能力强．我结合牛吃草问题中涉及的 变中不变 和 类比 两种数学思想进行浅析．一㊁审时度势，变中不变思想的多维思考英国著名的物理学家牛顿曾编过这样一道题目：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快．这片青草供给１０头牛吃，可以吃２２天，或者供给１６头牛吃，可以吃１０天，其间一直有草生长．如果供给２５头牛吃，可以吃多少天？这种类型的题目就叫作牛顿（牛吃草）问题，亦叫作消长问题．在实际教学中，我通常鼓励学生先独立读题．可是，精读本题过后，多数学生仍如丈二的和尚摸不着头脑．究其原因是题中 无 的条件多且 有 的条件少，如何无中生有㊁化虚为实？这就需要师生共同观其经脉㊁庖丁解牛了．由于牛吃草的过程中，草不断生长，所以要想办法从变中找到不变的量．牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于匀速生长，所以每天新长的草量也可看作是 不变 的．下面对比本题中的两种吃法（如图１）．正是由于这个不变量，使牛吃草问题冲云破雾㊁豁然开朗．图１㊀两种吃法对比图下面整理出本题的解题思路（如图２）：图２㊀解题思路数学是思维的体操，比运算结果更重要的是思考问题的过程，下面给出两种解题思路供参考．思路一：可以派出５头牛去吃每天的新生草，剩下的牛吃不变的原有草．１１０ː（２５－５）＝５．５（天）思路二：数学有公平之美，若每天只让５头牛吃新生草，稍显不公平，要想让群牛平等，也可以这样操作：２５头牛每天吃草的需求量是２５份，大家齐心协力先吃每天的５份新生草，没吃饱，然后再一起分享原有草２５－５＝２０份，共享数学之公平美．１１０ː（２５－５）＝５．５（天）即可供２５头牛吃５．５天．两种思路虽算式相同，但思维过程却不同，这就是数学思维其乐无穷的关键所在．变中有不变思想，用一句俗话说则为 万变不离其宗 ．在小学阶段，数学的概念㊁法则㊁性质㊁定理㊁数量关系式（包含各种公式）等都广泛应用了变中不变思想．二㊁触类旁通，类比思想解决相似问题如果两类事物具有许多相同的属性，那么可以通过一类事物具有的性质，联想另一类事物也具有相同的性质，这种解决问题的思维方法叫类比思想．下面列举一些与牛吃草问题有异曲同工之妙的可用类㊀㊀㊀㊀㊀比思想解决的数学问题．ʌ检票问题ɔ某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来排队的人数一样多，并且每分钟检票完成的人数相同．若同时开放５个检票口，则需３０分钟检完票；若同时开６个检票口，则需２０分钟检完票．那么，第一个排队的人需等待检票多少分钟？在牛吃草问题中，我们把草分成原来的草和匀速生长的新草两个部分．在检票问题中，恰好也可以把人分成原来的人和匀速增多的新人两个部分，故我们可以把排队检票的人看作牛吃草问题中的 草 ，而每分钟检票人数相同的检票口恰好可以看作每天吃草份数同样多的 牛 ．本题解答过程如下：设每个检票口每分钟可检票１个人．人的增长速度：㊀（３０ˑ５－２０ˑ６）ː（３０－２０）＝３０ː１０＝３（人／分）．原来的人：３０ˑ５－３０ˑ３＝６０（人）或２０ˑ６－２０ˑ３＝６０（人）意味着第一个排队的人需要等到第６０个人前来排队时，才能开始检票．等待时间：６０ː３＝２０（分）．ʌ抽水问题ɔ一个水池，池底有一泉眼，水不断涌出．如果用了７台抽水机来抽，２０小时可以把水抽干；如果用８台抽水机来抽，１５小时可以把水抽干．那么，泉眼每小时涌出多少水？不难发现本题抽水机即是 牛 ，而不断涌出的水即是 生长的草 ．与抽水问题特别类似的还有排水管问题及船漏水问题．本题解答过程如下：设抽水机每小时抽１份水．涌水速度：㊀（２０ˑ７－１５ˑ８）ː（２０－１５）＝２０ː５＝４（份／时）．ʌ扶梯问题ɔ扶梯匀速地由一楼向二楼行驶着，甲㊁乙两人同时由二楼逆行去一楼．甲每秒钟走３级台阶，乙每秒钟走２级台阶，甲１００秒到一楼，乙３００秒到一楼，扶梯有多少级台阶？这种 熊孩子 的题型难道也可以类比 牛吃草 问题？当然了！匀速增加的台阶相当于匀速生长的 草 ，甲㊁乙两人可以比作 牛 ，那么问题就迎刃而解了．本题解答过程如下：台阶增长速度：㊀（２ˑ３００－３ˑ１００）ː（３００－１００）＝３００ː２００＝１．５（级／秒）．原来的台阶：２ˑ３００－１．５ˑ３００＝１５０（级）或３ˑ１００－１．５ˑ１００＝１５０（级）．ʌ多人追及ɔ有一个人步行从某地出发，过了一段时间之后，又有甲㊁乙㊁丙三个人同时从该地出发骑车追赶步行人．甲㊁乙㊁丙三人的速度分别是１２千米／时，１６千米／时，２８千米／时．步行人的速度始终不变，也不会中途停下来，甲追上步行人花了６小时，乙追上步行人花了４小时，那么丙追上步行人需要多长时间？这虽然是行程问题中的追及问题，但与牛吃草问题本质相同．类比牛吃草问题的解法，尝试根据甲㊁乙追上步行人花的时间算出步行人的速度（相当于草的生长速度），进而求出刚出发时甲㊁乙㊁丙与步行人的距离（相当于原有草量），最后解答丙追上步行人花的时间．本题解答过程如下：步行人的速度：㊀（１２ˑ６－１６ˑ４）ː（６－４）＝８ː２＝４（千米／时）．刚出发时甲㊁乙㊁丙与步行人的距离：１２ˑ６－４ˑ６＝４８（千米）或１６ˑ４－４ˑ４＝４８（千米）．丙追及的时间：㊀４８ː（２８－４）＝４８ː２４＝２（小时）．除了以上列举的数学问题，还有很多数学问题也可类比牛吃草问题．理解了数学思想，数学知识自然水到渠成．正可谓 万变不离其宗 ，这里不再一一赘述．三㊁去伪存真，抓住数学问题精髓在小学数学教学过程中，教师要把握知识中蕴含的数学思想，抓住教学的契机，在相关的教学环节，适当渗透或点拨这些数学思想，让数学思想如春雨般浸润学生的心田．我经常看到很多学生整日在题海战术中，被搞得精疲力尽，小小年纪便对学习望而生畏． 思想 教学迫在眉睫，长春市吉大附中力旺实验小学温剑校长经常教导我们： 做有根的教育． 我想温校长所说的 根 就是根植于学生内心深处的思想教育．作为一线教师，一定要有意识地引导学生独立进行归类发现，抓住知识的本质，任题目千变万化，只要掌握了驾驭知识的思想方法，便可见微知著，源头活水不断涌来．ʌ参考文献ɔ［１］史宁中．数学基本思想１８讲［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１６．［２］王永春．小学数学思想方法解读及教学案例［Ｍ］．上海：华东师范大学出版社，２０１７．［３］吴正宪，刘劲苓，刘克臣．小学数学教学基本概念解读［Ｍ］．北京：教育科学出版社，２０１４．［４］史宁中．数学思想概论［Ｍ］．长春：东北师范大学出版社，２００８．。
浅谈“变与不变”数学思想方法
浅谈“变与不变”数学思想方法作者：陈夏芬来源：《新校园·中旬刊》2014年第12期摘要：本文阐述了“变与不变”思想方法的内涵及其数学地位，在此基础上探析了“变与不变”思想方法在小学数学教学中的具体应用。
关键词：变与不变;小学数学;教学思想一、“变与不变”思想方法的内涵苏格拉底认为，虽然特殊的事件或事物在某些方面变化或消逝，但它们的某些方面却是同一的，从不变化、从不消逝。
这句话很好地阐释了“变与不变”的哲学内涵。
“变与不变”是辩证存在的，如现象变、本质不变，局部变、整体不变，暂时变、最终不变等。
在思想方法中，对问题的思考，往往是既要考虑其变，也要考虑其不变，还要考虑两者的互换。
有些思考和思想的对象，往往是千变万化，令人眼花缭乱的，如果能抓住其本质，就可以以不变应万变，最终得以有效解决问题。
二、“变与不变”思想方法的数学地位数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。
数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体反映。
人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念——数学思想方法。
“变与不变”的思想方法，有利于解决错综复杂的问题，能透过现象看本质，根据局部把握全局等。
把“变与不变”运用到数学学习中去，可以做到举一反三，触类旁通。
因此“变与不变”思想方法具有深远的意义。
三、“变与不变”在小学数学教学中的具体应用1.在“变与不变”思想方法中掌握概念。
数学概念是数学学科知识的基础，掌握数学概念是搭起数学高楼的基石。
在“变与不变”中掌握概念，可以让学生更好地抓住概念的本质特征。
如在教学“平行四边形”这一概念的时候，通过操作与比较，让学生发现不论这个四边形的四条边怎么变，也不论四个角怎么变，只要把握住“两组对边分别平行的四边形就是平行四边形”这一不变的本质，就能正确认识“平行四边形”了。
2.在“变与不变”思想方法中探究规律。
规律是千变万化的，要透过现象看到事物的本质需要借助一定的方法和技巧。
浅谈六年级数学教学中“变中有不变”思想的渗透
浅谈六年级数学教学中“变中有不变”思想的渗透发布时间：2021-11-16T07:52:28.282Z 来源：《教育学》2021年8月总第257期作者：王盼桃[导读] 老师通过实验活动探究几个大小不同的圆的周长与直径来探索圆周率。
陕西省渭南市临渭区北塘实验小学714000摘要：小学阶段，在学习数学或用数学解决问题的过程中会面对千变万化的对象，在这些变化中找到不变的性质和规律，发现数学的本质，这就是“变中有不变”的思想。
所谓“万变不离其宗”，恰当通俗地概括了这一思想。
小学数学虽然是数学中最基础、最简单的部分，从容量和难度来看都不算大，但对于小学生来说确实是有难度的，这是由小学生的认知特点决定的。
在课堂教学中，如果能够多体现“变中有不变”的思想，将有利于更好地认识数学的本质和解决问题。
关键词：变中有不变渗透本质一、在探索抽象公式的过程中渗透“变中有不变”思想1.圆的周长公式的探索中渗透“ 变中有不变”思想。
六年级上册第一单元《圆》中圆的周长，在这个公式的探讨过程中，通过学生动手操作用绳测法或滚动法把圆的周长化曲为直，然后提出圆的周长与它的直径长短有关系。
老师通过实验活动探究几个大小不同的圆的周长与直径来探索圆周率。
为了找到其中不变的或者有规律性的变化，学生会用这两组数据中相对应的两个数相除。
通过小组一系列的计算探究出圆周率是一个圆周长除以它的直径所得的商，是一个固定不变的数。
通过教师的指引让学生知道圆的周长随着它的直径变化而变化，而圆周长(C)与它的直径(d)所得商却是一个不变的固定的数，它就是圆周率(π)。
圆的周长和直径是变化的，而它们两数之间对应的商却是不变的，理解圆的周长计算公式为C=πd，让学生在“变中有不变”，领悟圆周率是一个固定的数。
2.圆柱的体积公式的探索中渗透“变中有不变”思想方法。
在圆柱体积公式的探究过程中，通常把圆柱转化为近似长方体，再推导出圆柱体积的计算公式。
在这一推导过程中很多老师都强调了“转化”的数学思想方法，其实还有“变中有不变”的数学思想。
小学数学常用的16种解题思想方法
数学|小学数学常用的16种思想方法数学基础打得好，对将来的升学也有较大帮助。
但是数学的学习比较抽象，小学生在学习过程中会碰到一些“拦路虎”，掌握一些方法，这些就都不怕了。
1、对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。
如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。
2、假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。
假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。
3、比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。
在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。
4、符号化思想方法用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。
如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。
如定律、公式、等。
5、类比思想方法类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。
如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。
类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。
6、转化思想方法转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。
如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。
7、分类思想方法分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。
如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。
小学数学最重要的17个思想方法(含经典例题分析)
小学数学最重要的17个思想方法(含经典例题分析)数学基础打得好，对将来的升学也有较大帮助。
但是数学的学习比较抽象，小学生在学习过程中会碰到一些“拦路虎”，掌握一些方法，这些就都不怕了。
1.对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。
如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。
2.假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。
假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。
3.比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。
在教学分数应用题中，教师要善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。
4.符号化思想方法用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。
如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。
如定律、公式、等。
5.类比思想方法类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。
如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。
类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。
6.转化思想方法转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。
如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。
7.分类思想方法分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。
如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。
在变中求不变，以不变应万变
在变中求不变，以不变应万变作者：张亚新来源：《教育·教学科研》2022年第02期数学问题千变万化，但是万变不离其宗，许多问题可以通过对比找到其中变化的量，通过变化来激活学生的思维，发现一定的数学规律，对问题进行深入思考，从而把握问题的本质，再以不变的本质应对万变的形式以及具体问题。
《义务教育数学课程标准》明确提出学生能“获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”，在我们平时的教学实践中尤其是低段教学中，对于基础知识和技能，教师往往是比较重视的，也比较容易把握教学目标，但一些教师可能就不会再有所延伸或者拓展，这样很容易忽视学生数学思想的培养。
而在后面高段学习中，其实数学思想的体会与运用尤其重要。
低段学生可能对复杂深度的数学思想理解有困难，但是教师不能“知难避难”，应该结合低段学生的年龄特点设计课堂教学，采用简单活泼的活动形式让学生初步感悟以及理解数学的基本思想与方法。
“变与不变”思想是小学数学的学习中一个重要的思想方法，许多数学问题的解决正是运用了这种思想。
在小学数学教材中，“变与不变”的思想贯穿所有年级，也有很多“变与不变”的素材值得教师好好学习利用，促使学生获得基本的数学思想。
下面，从笔者的几个教学案例看如何在小学低段的教学中渗透“变与不变”的数学思想。
（一）运用“变与不变”思想体会数学概念在小学数学的教学当中，数学概念是基础知识，也是教学的核心内容，想要学习好数学的内容，前提是要有对数学概念的正确理解。
数学的概念比较抽象难懂，小学数学学习中概念性知识比较多，小学生尤其低段学生由于其年龄特点，很难长时间集中注意力，对概念性内容兴趣不高，可能会感觉枯燥乏味。
在教学中，教师应该一边渗透“变与不变”思想，一边把学生的认知以及教学要求紧密地结合起来。
在数学问题中可以找出其中的不变量，利用这些不变量来引导学生观察分析变化量，学生在观察分析对比的过程中，了解概念的内涵，能够更好地体会概念的本质，并将之内化为自己的知识和经验，灵活运用到解决问题的具体情境中去。
变中有不变的数学例子
变中有不变的数学例子一、从肤浅到深入，在“变”与“不变”中感知知识的形成过程知识的获取和认识不是一蹴而就的，而是有其内在联系的，需要循序渐进，在多变的外形下引导学生经历逐步内化的认知过程，促使其真正触及概念的本质，掌握知识的原理。
如教学“倍的认识”一课，新授环节通过设计三个层次的教学，让学生在“变”与“不变”中逐步深化对“倍”的认识。
第一个层次，教师利用课件进行动态演示，在第一行画2个圆，告诉学生可以把它看作一份圈起来，并称它为“1个2”，再出示第二行的圆，让学生一起来数一数共有几个2。
在此基础上告诉学生：第一行有1个2，第二行有3个2，像这样就可以说，第二行的个数是第一行的3倍。
接着，通过逐步增加第二行圆的个数，让学生认识4倍、5倍、6倍直至幾倍。
第二个层次，保持第二行圆的个数（12个）不变，变化第一行圆的个数（从2个变成4个），追问学生：“第二行圆的个数是否还是第一行的6倍？”让学生试着圈一圈。
学生在圈的过程中发现第一行有1个4，第二行有3个4，第二行的个数是第一行的3倍。
接着去掉第一行的一个圆，变成3个，再次让学生圈一圈，学生发现第一行有1个3，第二行有4个3，第二行的个数是第一行的4倍。
最后，比较三次变圆的过程，提问：“第二行都是12个圆，可为什么有的第二行是第一行的6倍，有的第二行是第一行的4倍，还有的第二行是第一行的3倍呢？”通过探究学生明白：要知道第二行的个数是第一行的几倍，关键是要看清第一行是几个为一份的，第二行有这样的几份，第二行的个数就是第一行的几倍。
第三个层次，屏幕隐去上面图框中的圆，只留下图框，引导学生思考：第一行除了可以画2个圆、3个圆、4个圆，你觉得还可以画什么？逐步引导学生说出：还可以画三角形、正方形、红花、蓝花等。
最后小结：不管第一行是什么物体，也不管有几个，只要把第一行的数量看作一份，第二行有这样的几份，就可以说，第二行的个数是第一行的几倍。
上述三个层次，由浅入深，教师通过对例题的巧妙扩容，将倍的概念先解构再建构，让学生在“变”与“不变”的智慧演绎中，不断获得更清晰的概念表象，“倍”的模型也在学生头脑中悄然生长。
《变中有不变的思想的体会》
《变中有不变的思想的体会》读《小学数学教学与思想方法》体会——抽象思想中“变中有不变思想”“有限有无限”读后感想河北沧州贾庆祥电脑问题，不能语言交流，很遗憾，作为三组成员，对不起你们。
写作能力所限，一定会有很多词不达意之处或很多不合适的地方，以后我会努力：多挣钱，换电脑；多学习，换脑子；多交流，换思路。
人类认识世界，就是在寻找世界变化中的不变；人类改造世界，就是建立在不变的基础上进行的实践活动。
中国古人寻求的“道”，古希腊人寻求的“”，无一例外都是在探索世界发展的规律。
我们今天的学习又何尝不是在寻求变化的课堂中数学学科的规律，找到那不变的也就是数学的本质。
人类的活动是否都是在“变”中寻找那“不变”，并用“不变”的理论指导改造世界的实践活动（愚见）——变中不变思想伴随人类的认识活动、实践活动。
春种秋收、历法等太多的事实证实了“变中不变的思想”在人类认识中的巨大作用。
一、对数学中变中不变思想的理解“在学习数学或运用数学解决问题过程中，会面对千变万化的对象，在这些变化中找到不变的性质和规律，发现数学的本质，这就是数学中变中不变的思想。
”数学作为一门科学，自然同其他自然科学一样，有其内在的规律；“形而上为道，形而下为器”，而数学介于“道”与“器”之间的“形”（没记错的话这是史宁中教授所说），是最接近哲学的，数学连接着道和器，是抽象的存在，是从器走向道的必经之路，通过对“器”的认识达到“道”，古希腊人认为我们生活的世界是由按数学的方式构造的（不变），产生了“欧式几何”，将数学抽象化，将概念与物质实体分开，用数学描述抽象的存在，不再停留在具体的物质及物质变化中（而是从这些具体的物质及物质变化中找到“不变的”规律），使数学应用获得了一般性（不变）。
希腊人寻求确定和理解概念、性质的最完美的形式，最完美的状态是永恒的（不变）。
中外数学家都是在寻找世界的“不变”和实现“变中的不变”（对否。
）。
以不变为基础进行数学活动，在变化的数学世界中找到不变，这样的循环往复推动数学的发展，。
变中有不变思想总结
变中有不变思想总结变中有不变，是说在不断的变化之中，存在着一些不变的思想和价值观念。
无论是社会的变迁、科技的发展还是个人的成长，都会伴随着一些不变的思想和价值。
首先，尽管社会不断发展变化，但人的追求幸福和快乐的愿望是不变的。
无论是古代还是现代，无论是偏远乡村还是繁华城市，每个人都希望自己和家人能够过上幸福美满的生活。
这是一个不变的思想，推动着人们努力工作，追求自己的梦想。
其次，人们对于正义和公平的追求也是不变的。
无论是在古代的斗争中，还是现代社会的各种冲突中，人们都追求着正义和公平。
无论社会制度如何变化，无论经济发展到什么程度，人们都相信，只有正义和公平才能保持社会的稳定和和谐。
这种思想是不可动摇的信念，也是社会进步的动力。
此外，人们对于爱和友情的需求也是不变的。
人是社会性动物，需要与他人建立联系和互动。
无论是古代还是现代，人们需要他人的陪伴和理解。
爱和友情是人际关系的基石，无论社会怎样变化，人们都渴望与他人建立起深厚的情感纽带。
同时，人们对于知识和智慧的追求也是不变的。
在人类的进化过程中，知识是人类进步的源泉。
古代的哲学家、现代的科学家，无论他们身处何地，他们都追求着真理的发现和知识的积累。
这种追求是人类文明不断进步的动力。
另外，宗教和信仰也是人们心中的不变。
无论是古代还是现代，宗教和信仰都是人们对于生命意义的探寻和回答。
它们给人们提供了信仰的支持和心灵的寄托，使人们在变幻的世界中保持着内心的宁静和坚定。
虽然世界在不断变化，但这些不变的思想和价值观念在人类的历史长河中扮演着重要的角色。
它们给予人们方向和坚持，是人们在追求幸福、追求正义、追求爱和渴求智慧时的底气和动力。
无论环境和时代如何变迁，这些不变的思想和价值观念都成为人们引领自己生活的永恒明灯。
综上所述，变中有不变，是因为在变化的背后存在着一些不变的思想和价值观念。
无论是对于幸福和快乐的追求，还是对于正义和公平的向往，无论是爱和友情的渴望，还是对于知识和智慧的追求，这些不变的思想和价值观念都在人类的历史中起到了重要的作用。
“变中有不变”思想在教学中的实践与探索
2021年10期50扫描二维码，获取更多本文相关信息学科进展引 言数学作为一门抽象性较强的学科，小学生学习起来或多或少存在比较吃力的现象。
因此，教师在小学数学教学中应为学生创设良好的教学情境，并以直观的形式去表达抽象的数学知识，由此使学生更好地理解与掌握数学知识。
但是在实际教学中，有的学生对数学概念、性质、法则等认识比较浅显与片面，难以深刻理解数学知识，无法把握数学的本质，难以脱离具体情境，面对同样的问题，如果换一种提法，就不知该如何解题了[1]。
这就要求教师将“变中有不变”的思想渗透到小学数学教学中，以此使学生通过改变情境、形式等，达到触类旁通的学习效果。
一、在概念比较中发现“变中有不变”在数学知识学习过程中，要想真正理解与掌握数学知识，学生就应对数学概念进行正确的理解，但是数学概念具有抽象性的特点，这使教师开展教学面临一定的挑战。
很多数学概念之间是密切联系的，它们之间有很多的相似之处。
因此，教师应引导学生对相关或相似的概念进行比较与辨析，发现“变中有不变”，由此将数学概念发生、发展的脉络理顺，从而使其对数学概念的本质特征有清晰的认识。
与此同时，教师需要对学生求同又求异的思维品质进行培养。
例如，在“圆柱与圆锥”教学中，教师可以让学生复习以往所学的知识，包括圆、长方体、正方体的特征，然“变中有不变”思想在教学中的实践与探索方 洁（福建省莆田市荔城区北高中心小学，福建莆田 351148）摘 要：数学作为小学阶段的主要课程之一，能培养学生的逻辑思维能力，有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。
数学是一门抽象性较强的学科，学生学习起来有一定的难度，为了提高学生的学习效率，教师应将以往传统的教学方式予以改革，将新型教学法应用于课堂教学中，由此为取得理想的教学效果奠定基础。
教师将“变中有不变”的思想渗透到小学数学教学中，能帮助学生透过变化的情境与形式，掌握数学本质，使学生更好地学习数学知识，从而达到触类旁通、举一反三的效果。
数学教学中“变中有不变”思想的渗透
数学教学中“变中有不变”思想的渗透作者：陈云来源：《教育研究与评论（小学教育教学）》2018年第07期摘要：教师应在数学教学中渗透“变中有不变”思想，帮助学生透过变化的情境、形式等现象，抓住不变的数学本质，将数学知识和问题连点成线、连线成面，达到举一反三、触类旁通的效果。
具体而言，应让学生在概念比较中发现“变中有不变”，在知识联系中感受“变中有不变”，在问题解决中运用“变中有不变”。
关键词：变中有不变概念比较知识联系问题解决数学是抽象的，其数量关系和空间形式都是脱离了具体事物的高度抽象。
小学数学虽然是其最基础、最简单的部分，容量和难度并不大，但是对于小学生而言，仍然是有一定挑战的。
基于此，小学数学教学往往注重具体情境的营造和直观形式的表达，教材的编排也是分散式、螺旋式的，是逐步抽象的。
这确实能在一定程度上帮助学生接受和理解抽象的数学与数学的抽象，但另一方面，又有可能导致学生对数学概念、性质、法则等的认识和理解是肤浅的、割裂的、片面的，难以脱离具体情境，对数学问题的分析和解决也会出现令人无奈的现象——同样的问题换一种提法，就不会做了。
这就要求教师在课堂教学中渗透“变中有不变”思想，帮助学生透过变化的情境、形式等现象，抓住不变的数学本质，将数学知识和问题连点成线、连线成面，达到举一反三、触类旁通的效果。
一、在概念比较中发现“变中有不变”数学概念是构成数学知识的基础，正确理解数学概念是掌握数学知识的前提。
但是数学概念的抽象性使得数学概念的教学相对棘手。
同时，考虑到学生的理解能力，小学数学中的很多概念不能进行严格定义，只能采取粗略描述或具体举例的方式给出。
好在数学概念之间是相互联系的，且有很多相似之处。
因此，在数学概念教学中，教师可以引导学生比较、辨析相关或相似的概念，发现“变中有不变”，从而理顺数学概念发生、发展的脉络，更加充分且清晰地认识、理解概念的本质特征，同时培养学生求同又求异的思维品质。
例如，无论一个整数有多大，本质上都是利用十进位值制计数原理计数，即利用0～9这10个数字，放在不同的数位上表示不同的大小。
在问题提出中感悟“变与不变”思想——“周长”单元拓展课教学实录
师：这是一个长方形（图略），由3×2=6（个）正方形拼组而成，每个正方形的边长为1。
这个长方形的周长是多少？师：现在取走1个正方形（如图1。
注：本文插图均为示意图），你能提出什么数学问题？图1问题提出1：剩下新图形的周长是多少？问题提出2：图形的周长会变吗？师：请你来指一指、说一说，哪里减少了？哪里增加了？生1：可以这样补来补去（指图1），用“×”表示周长减少的部分，用“√”表示周长增加的部分。
可以看出，增加的部分与减少的部分正好相等，所以周长不变。
生2：增加的与减少的互相抵消了，所以周长不变。
教师操作课件，动态平移演示图形形状的变化，与原图相比，周长不变。
然后引导学生进行审辩，取走前后比较，图形大小、形状变了，周长不变。
（如表1）［1］表1变图形大小图形形状不变周长长度审辩1.平移思想在图形周长计算上的运用。
2.在角上取，周长不变。
师：从右上角取走1个正方形，周长不变。
仔细观察（指图2），你有什么发现？我们可以得出一个什么结论？学生类比推理，分别从4个角上取走1个正方形，各自周长不变。
引导学生用一句话归纳概括。
图2生：从任意角上取走1个正方形，周长不变。
设计意图：“从右上角取走1个正方形”是本节课研究的起点［2］。
减少正方形的个数，引起图形大小发生变化，同样图形形状也跟着发生变化。
通过运动平移转化，前后图形对比、辨析，引导学生关注图形大小（形状）变化与周长变化之间的相关性，深度理解“图形对应边的长度相等，那么图形的周长也相等”，全面观察分——“周长”单元拓展课教学实录◇畅东燕李怀军在问题提出中68析，发现规律，归纳概括，得出结论“从角上取走1个正方形，周长不变”，初步体会到周长与图形的大小之间没有必然的依存关系。
师：“从角上取走1个正方形，周长不变”，这句话中你觉得哪个词很重要？预设：角上（取的位置）、1个（取的数量）、周长不变（取的结果）。
师：你能改变（替换）其中一个关键词，提出一个新问题吗？问题提出3：取走中间的1个正方形，周长变不变？问题提出4：取走2个正方形，周长是多少？问题提出5：取走几个正方形，周长会变吗？……教师引导学生从取的位置和数量两方面对以上问题分类，确定问题解决的序列。
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变中有不变专题3、电场中的时间守恒例题：A 、B 表示真空中相距为d 的平行金属板，极板长为L ，加上电压后，其间的电场可视为匀强电场，在0t =时，将图13所示的方形波加在A 、B 上，且U A U =0，U B 0=，此时恰有一带电微粒沿两板中央飞入电场。
微粒质量为m （不计重力），带电量为q ，速度大小为v ，离开电场时恰能平行于金属板飞出，求（1）所加交变电压U 0的取值范围，（2）所加电压的频率应满足什么条件？分析：若要粒子恰能平行于金属板方向飞出，就要粒子在离开电场时只有平行于金属板的速度，而垂直于金属板方向的速度为零。
带电粒子在进入电场以后只受电场力作用，但电场力是周期性地变化的，在这种周期性电场力的作用下，带电粒子的运动可以分为这样两个分运动：垂直于电场方向的匀速直线运动；平行于电场方向的匀变速直线运动（加速度大小不变）。
平行于电场方向的运动是比较复杂的：第一个半周内，粒子做初速度为零的匀加速运动，第二个半周内，做匀减速直线运动，末速度变为零；第三、四个半周期内的运动依次重复第一、二两个半周期内的运动。
由粒子的运动情况分析可知，要使粒子能平行于金属板飞出，必须满足二个条件：一是粒子在电场中运动的时间只能是电压周期的整数倍，即t nT =，这样才能证证粒子离开电场时只具有平行于金属板方向的速度；二是粒子不能落到极板B 上，在电场中平行于电场方向运动的距离要小于极板间距离的一半，即/2y d 。
这两个条件就是问题的临界条件。
解：由上面的分析有临界条件：t nT =，2ds <， 结合垂直于电场方向的运动规律和平行于电场方向的运动规律：L t v =（无论电场怎么变出电场时间不变）， 0qU qE a m md==，221()2224T naT s a n =⨯=。
联立以上各式得：22202qLv nmd U <、nv f L =，(1,2,3.......)n =。
评价：本题是有电场的交替性引发的时间守恒问题。
三、空间几何守恒量（对称性与守恒量） 1、长度守恒例题：带电粒子射入圆形磁场。
A 、径向入射，入射点与磁场圆心的连线永远不变，并且入射点磁场圆心以及轨道圆心三者构成的三角形具有相对不变性。
B 、非径向入射，入射点与磁场圆心的连线永远不变，并且入射点磁场圆心以及轨道圆心三者构成的三角形具有相对不变性。
注明：如果速度大小变了则产生的动态圆的圆心的轨迹不变为垂直入射方向的直线。
例1.由碰撞对称的改变速度方向而引发的动圆问题。
如图:在x 轴下方有匀强电场,磁感应强度为B,方向垂直xoy 平面向外,P 是y 轴上距原点为h 的一点,N 0为x 轴上距原点为a 的一点,A 是一块平行于x 轴的挡板,与x 轴的距离为2h,A 的中点在y 轴上,长度略小于2a,带电粒子与挡板碰撞前后,x 方向的分速度不变,y 方向的分速度反向,大小不变,质量为m,电量为q(q>0)的粒子从P 点瞄准N 0点入射,最后又通过P 点,不计重力,求入射速度的所有可能值.解:设粒子入射速度为v,第一次射出磁场的点为0N ',与板碰撞后再次进入磁场的位置为1N ,粒子在磁场中运动的轨道半径为R,根据圆周运动运动和牛顿第二定律有:qBm vR =(1) 粒子的速率不变,每次进入磁场与射出磁场位置的间距x 1保持不变(几何量不变),由图示几何关系(几何量守恒,对称性得到):θsin 2001R N N x ='= (2) 粒子射出磁场与下一次进入磁场位置的距离x 2始终不变,与10N N '相等, 由图可以看出a x =2 (3)设粒子最终离开磁场时,与挡板相碰n 次)3,2,1,0(⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n若粒子能回到P 点, 由对称性,出射点x 的坐标应为-a,即(水平距离差约束): ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-+a nx x n 2)1(21 (4)由(3)(4)解得: a n n x 121++=(5) 若粒子与板发生碰撞有(碰撞约束): 421ax x >- (6)由(3) (4)(6)得n<3,联立(1)(2)(5)得:P N 0A ON ’1N ’0N 0N 1Pa n n m Bq v )1()2(sin 2++⋅=θ把22sin h a h +=θ代入得: 0,22=+=n h a mhBqav 1,43221=+=n h a mh Bqav2,32222=+=n h a mhBqav .评价:本题解题思路:几何守恒量,对称美,边界条件,多次碰撞多解。
该题为碰撞使速度方向变化而产生的动态圆问题.递推关系很重要,利用入射位置与出射位置的关系,如两点距离不变,入射方向与半径的夹角出射方向与半径的夹角相等,最后再对水平位移和竖直位移进行相应的约束,关键是找出几何不变量.。
2、角度守恒扭摆器是同步辐射装置中的插入件，能使粒子的运动轨迹发生扭摆。
其简化模型如图：Ⅰ、Ⅱ两处的条形匀强磁场区边界竖直，相距为L ，磁场方向相反且垂直纸面。
一质量为m 、电量为-q 、重力不计的粒子，从靠近平行板电容器MN 板处由静止释放，极板间电压为U ，粒子经电场加速后平行于纸面射入Ⅰ区，射入时速度与水平和方向夹角θ=30º，⑪当Ⅰ区宽度L 1=L 、磁感应强度大小B 1=B 0时，粒子从Ⅰ区右边界射出时速度与水平方向夹角也为30º，求B 0及粒子在Ⅰ区运动的时间t 。
⑫若Ⅱ区宽度L 2=L 1=L 、磁感应强度大小B 2=B 1=B 0，求粒子在Ⅰ区的最高点与Ⅱ区的最低点之间的高度差h 。
⑬若L 2=L 1=L 、B 1=B 0，为使粒子能返回Ⅰ区，求B 2应满足的条件。
⑭若B 1≠B 2，L 1≠L 2，且已保证了粒子能从Ⅱ区右边界射出。
为使粒子从Ⅱ区右边界射出的方向与从Ⅰ区左边界射出的方向总相同，求B 1、B 2、L 1、L 2之间应满足的关系式。
【解析】（1）如图1所示，设粒子射入磁场I 区的速度为v ， 在磁场I 区做圆周运动半径为1R ， 由动能定理和牛顿第二定律得：212qU mv =，①201v qvB m R =，②由几何关系得12R L L ==，③联立①②③得，0B =设粒子在I 区做圆周运动周期为T ，运动时间为t ，12R T v π=，⑤ 02360t T θ=，⑥联立①③⑤⑥式解得t =（2）设粒子在磁场II 区做圆周运动半径为2R ，由牛顿第二定律得：2222vqB R m R =，⑧由几何知识得12()(1cos )tan h R R L θθ=+-+，⑨联立②③⑧⑨式解得(23h L =-，⑩ （3）如图2所示，为使粒子能再次返回到I 区应满足2(1sin )R L θ+≤， ⑪联立①⑧○11式解得2B ≥⑫图2图1（4）如图3（或图4）所示，设粒子射出磁场I 区时速度与水平方向的夹角为α， 由几何知识可得1111(sin sin )(sin sin )L R L R θαθα=+=-或，⑬2222(sin sin )(sin sin )L R L R θαθα=+=-或，⑭联立②⑧○13○14式解得1122B L B L =。
⑮评价：本题是有平行磁场一发的一类角度守恒问题，对于平行磁场一般用三角函数或勾股定理来建立联系。
对于圆形磁场也有入射方向与半径的夹角总等于出射方向与半径的夹角为以几何守恒量即追寻守恒量的思想，有时还用到平行磁场和轨道圆交换运动方式来完成解题即动中有静的思想。
图3图43、三角形守恒例题：2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内。
若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α＝40°，已知地球半径R 、地球自转周期T 、地球表面重力加速度g （视为常量）和光速c 。
试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）。
建模如图：解：设m 为卫星质量，M 为地球质量，r 为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地心转动的角速度，由万有引力定律和牛顿定律有，2224mM G mr r Tπ= （1） 式中G 为万有引力恒量， 又mg RMm G=2，得2gR GM = （2） 设嘉峪关到同步卫星的距离为L ，如图所示，由余弦定理αcos 222rR R r L -+= （3） 所求时间为，cLt = （4） 由以上各式得：ca gT R R R gT R t cos 42431222232222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππ （5）评价：本题目是由于卫星和地球同时运动引出的动静问题，虽然两者都运动但是有地表上的一点、卫星及中心天体的几何中心构成的三角形是不动的，体现了动中有静的物理思想。
4、动态圆守恒（粒子速度方向变化轨道圆的大小不变只是绕某点转动）模型如下图例题：.由速度方向变化引发的动圆或动圆弧问题例题：如图所示：在a x 30≤≤区域内存在与ｘ0ｙ平面垂直的匀强电场，磁感应强度大小为B ，在ｔ＝0时刻，一位于坐标原点的粒子源在ｘｏｙ平面内发射出大量同种带粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与ｙ轴正方向的夹角分布在0－1800范围内。
已知沿ｙ轴正方向发射的粒子在ｔ＝ｔ0时刻刚好从磁场边界上P （a a ,3）点离开磁场，求： （1） 粒子在磁场中做圆周运动的半径R 。
（2） 此时仍在磁场中的粒子的初速度方向与ｙ轴正方向夹角的取值范围。
（3） 从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。
解: (1)如图333tan ==∠aa PoB ,030=∠∴PoB 由几何关系,32πϕ=∠所以粒子在磁场中运动的时间30Tt = (1) 由几何关系: Ra=-)sin(ϕπ (2)a R 332= (2)由于方向变化,因此扇形P O O '将绕顺时针转动,且弦OP 绕O转动,以O 为圆心OP 为半径画圆与磁场两边界有交点MN,由几何守恒量知,以OM 为弦的扇形的初速度与OM 夹角,等于以OP 为弦的扇形的初速度方向与OP 方向的夹角.等于3π.因此有OM 为弦的扇形的初速度v m 与y 轴正向的夹角为3π,v N 为32π.因此有323πθπ≤≤.(3)由题知,t 为在磁场中运动时间最长的带电粒子的运动时间,t 最长v 大小不变,要求回旋角最大,弧长最大,如图:当轨迹与右边界相切时,t 有最大值.有几何关系和对称性可知:NB MOPO ’OP,3cos r r a -=θ又因为v 大小不变,因此332aRr =, 21cos =θ,3πθ=,0232222t T T t ==-=∴πθπ, 也可有对称性直接求出t=2t 0.评价:本题考查了由于v 方向变化而引出动态圆问题,解决问题的方法就是以动态圆弧对应的弦为半径画圆处理,及对应弦端点的轨迹方程的应用,并且考虑空间约束.做题过程体现了对称性的作用(也体现了在运动和变化过程中寻找几何守恒量的重要性)。