高三数学解三角形一对一讲义

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2023届高三数学一轮复习专题解三角形讲义 (解析版)

单元（或主题）教学设计模板以下内容、形式均只供参考，参评者可自行设计。

教学过程既可以采用表格式描述，也可以采取叙事的方式。

如教学设计已经过实施，则应尽量采用写实的方式将教学过程的真实情景以及某些值得注意和思考的现象和事件描述清楚；如教学设计尚未经过实施，则应着重将教学中的关键环节以及教学过程中可能出现的问题及处理办法描述清楚。

表格中所列项目及格式仅供参考，应根据实际教学情况进行调整。

问题，体验数学在解决实际问题中的作用，提升学生数学抽象、数学建模、直观想象、数学运算的数学核心素养。

重点：掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，并能正确应用定理解三角形难点：能应用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量与几何计算有关的实际问题。

3.单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）第一课时，正弦定理及可以解决的问题第二课时，余弦定理及可以解决的问题第三课时，三角形内角和定理、正弦定理、余弦定理的选择第1课时教学设计课题正弦定理课型新授课□章/单元复习课□专题复习课√习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□1.教学内容分析本课时是解三角形复习课的起始课，由实际问题出发引起学生对定理及变形的回忆，提升学生数学建模、直观想象的核心素养；由几个典型的例题，归纳出正弦定理可以解决的类型，再由定理本身出发再次分析定理可以解决的类型，提升学生逻辑推理、数学运算的核心素养，提高学生对数学符号解读的能力。

再析定理，进而推出“三角形面积公式”，提升学生逻辑推理的核心素养。

3、你还有哪些收获？活动意图说明对于本节课的重点内容强化提问，既检测又强化重点。

“你还有哪些收获”，希望学生能够答出：三角形面积公式、SSA 的情况可能出现两解、取舍的方法、方程和数形结合的思想方法等。

环节六：课堂检测教的活动61、在中，已知 45,30,10A C c cm ︒︒===，求a 边. 2、在△ABC 中，π32,6,2===B b c ，求∠A 。

解三角形一对一辅导讲义

第一课时解三角形知识点梳理1、在∆ABC 中，若55a =，16b =，且此三角形的面积2203S =，求角C2、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于（） A ．60° B ．60°或120° C ．30°或150° D ．120°3、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（） A ．a=1,b=2 ,c=3B ．a=1,b=2 ,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1, ∠B=45°4、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形 5、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB －sinA)x 2+(sinA －sinC)x +(sinC －sinB)=0有等根，那么角B（） A ．B>60° B ．B ≥60° C ．B<60° D ．B ≤60°课前检测1.定理内容：（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即2sin sin sin a b c R A B C=== （2）余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。

即：2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-（3）面积定理：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=== 2.利用正余弦定理解三角形：（1）已知一边和两角：（2）已知两边和其中一边的对角：（3）已知两边和它们所夹的角：（4）已知三边：第二课时解三角形考点题型例1.在ΔABC 中，已知a=3，b=2，B=45°，求A,C 及边c 。

高三数学正余弦定理、解斜三角形知识精讲通用版

高三数学正余弦定理、解斜三角形知识精讲通用版【本讲主要内容】一. 本周教学内容：正余弦定理、解斜三角形【知识掌握】【知识点精析】1. 三角形面积计算公式：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，三个内角分别为A 、B 、C ，高分别为h a ，h b ，h c ，半周长为P ，外接圆、内切圆的半径为R ，r 。

（1）S △=12ah a =12bh b =12ch c（2）S △=12absinC=12acsinB=12cbsinA（3）S △=Pr （其中P 为周长之半，r 为内切圆半径）（4）S ABC =∆ 2. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin （＝2R ）。

（其中R 为外接圆半径）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题。

（1）已知两角和任一边，求其两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。

（从而进一步求出其的边和角）3. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2=b 2+c 2－2bccosA ；① b 2=c 2+a 2－2cacosB ；② c 2=a 2+b 2－2abcosC 。

③在余弦定理中，令C=90°，这时cosC=0，所以c 2=a 2+b 2。

由此可知余弦定理是勾股定理的推广。

由①②③可得：cosA=bc a c b 2222-+；cosB=cab ac 2222-+；cosC=abc b a 2222-+。

利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个角。

4. 强调几点：（１）利用余弦定理判定△ABC 的形状：⇔+=222b a c △ABC 为直角△⇔A+B=2π2c ＜⇔+22b a △ABC 为钝角△⇔A+B ＜2π 2c ＞⇔+22b a △ABC 为锐角△⇔A+B ＞2π（2）三角形的四个“心”：重心：三角形三条中线交点。

第4章第7节解三角形应用举例-2022届高三数学一轮复习讲义(新高考)

第七节解三角形应用举例一、教材概念·结论·性质重现1．仰角和俯角意义图示在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角.2.方位角意义图示从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α.3.方向角意义图示相对于某一正方向的水平角(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向；(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度意义图示(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角θ为坡角)；(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)．坡度又称为坡比.解三角形应用问题的步骤1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β．(√) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(×) (3)若点P 在点Q 的北偏东44°，则点Q 在点P 的东偏北46°． (×) (4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2．(×)2．如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°D 解析：由条件及图可知，∠A ＝∠CBA ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 的南偏西80°. 3．如图，为测量一棵树OP 的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m.30＋303解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°·sin 30°＝22×32－22×12＝6－2 4.由正弦定理得PBsin 30°＝ABsin 15°，所以PB＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度OP＝PB sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m)．4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D．若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.64解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝32km.在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，由正弦定理，得BC＝CDsin∠DBC·sin∠BDC＝32sin 45°·sin 30°＝64(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.所以AB＝64km.所以A，B两点间的距离为64km.5．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．40 m解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.考点1解三角形的实际应用——应用性考向1测量距离问题如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC 和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点)解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1.因为∠ABD＝120°，由正弦定理ABsin∠ADB＝ADsin∠ABD，解得AD＝3(km)．在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，得9＝3＋CD2＋23×32×CD．即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝33－32(km)，BC＝BD＋CD＝33－12(km)．两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5km ，而33－12<36－12＝52＝2.5，所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．1．若将本例条件“BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“BD ＝200 m ，CD ＝300 m ”，其他条件不变，求这条索道AC 的长．解：在△ABD 中，BD ＝200，∠ABD ＝120°. 因为∠ADB ＝30°，所以∠DAB ＝30°. 由正弦定理，得BD sin ∠DAB ＝ADsin ∠ABD ，所以200sin 30°＝ADsin 120°. 所以AD ＝200×sin 120°sin 30°＝200 3 (m)．在△ABC 中，DC ＝300 m ，∠ADC ＝150°，所以AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ×DC ×cos ∠ADC ＝(2003)2＋3002－2×2003×300×cos 150°＝390 000，所以AC ＝10039 m.故这条索道AC 长为10039 m.2．若将本例条件“∠ABC ＝120°，∠ADC ＝150°，BD ＝1 km ，AC ＝3 km ”变为“∠ADC ＝135°，∠CAD ＝15°，AD ＝100 m ，作CO ⊥AB ，垂足为O ，延长AD 交CO 于点E ，且CE ＝50 m ，如图”，求角θ的余弦值．解：在△ACD 中，∠ADC ＝135°， ∠CAD ＝15°，所以∠ACD ＝30°. 由正弦定理可得AC ＝100×sin 135°sin 30°＝100 2.在△ACE 中，由正弦定理可得sin ∠CEA ＝AC ·sin ∠CAE CE＝3－1，所以cos θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠CEA －π2＝sin ∠CEA ＝3－1.距离问题的解题思路这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．提醒：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正弦、余弦定理要恰当．考向2 测量高度问题如图，小明同学在山顶A 处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC ＝135°.若山高AD ＝100 m ，汽车从B 点到C 点历时14 s ，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：2≈1.414，5≈2.236.22．6 解析：因为小明在A 处测得公路上B ，C 两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD ＝60°，∠CAD ＝45°. 设这辆汽车的速度为v m/s ，则BC ＝14v . 在Rt △ABD 中，AB ＝AD cos ∠BAD ＝100cos 60°＝200. 在Rt △ACD 中，AC ＝AD cos ∠CAD ＝100cos 45°＝100 2. 在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ，所以(14v )2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos 135°，所以v ＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.解决高度问题的注意事项(1)在解决有关高度问题时，理解仰角、俯角是关键．(2)高度问题一般是把它转化成解三角形问题，要注意三角形中的边角关系的应用．若是空间的问题要注意空间图形向平面图形的转化．1．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表” )和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭” )．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为()A．a sin 53°2sin 47°B．2sin 47°a sin 53°C．a tan 26.5°tan 73.5°tan 47°D．a sin 26.5°sin 73.5°sin 47°D解析：由题意得，∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°.在△ABD中，由正弦定理可得，BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，即asin 47°＝ADsin 26.5°，则AD＝a sin 26.5°sin 47°.在△ACD中，ACAD＝sin∠ADC＝sin 73.5°，所以AC＝a sin 26.5°·sin 73.5°sin 47°.故选D．2．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P 离地面的高度OP (点O 在柱楼底部)．在地面上的A ，B 两点测得点P 的仰角分别为30°，45°，且∠ABO ＝60°，AB ＝50米，则OP 为( )A ．15米B ．25米C ．35米D ．45米B 解析：如图所示：由于∠OAP ＝30°，∠PBO ＝45°，∠ABO ＝60°，AB ＝50米，OP ⊥AO ，OP ⊥OB ．设OP ＝x ，则OA ＝3x ，OB ＝x ，在△OAB 中，由余弦定理得OA 2＝OB 2＋AB 2－2OB ·AB ·cos ∠ABO ，即(3x )2＝502＋x 2－2×50x ×12，所以x 2＋25x －1 250＝0，解得x ＝25或x ＝－50(舍)．3．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD ＝80米，∠ADB ＝135°，∠BDC ＝∠DCA ＝15°，∠ACB ＝120°，则A ，B 两点间的距离为________米．805 解析：如图，在△ACD 中，∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，所以∠DAC ＝15°.由正弦定理，得AC＝80sin 150°sin 15°＝406－24＝40(6＋2)(米)．在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠CBD＝30°.由正弦定理，得CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，所以BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝80×sin 15°sin 30°＝40(6－2)(米)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600(8＋43)＋1 600(8－43)＋2×1 600(6＋2)×(6－2)×12＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，解得AB＝805(米)，则A，B两点间的距离为805米．考点2正余弦定理在平面几何中的应用(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD ＝3，BC＝ 2.(1)若CD＝1＋3，求四边形ABCD的面积；(2)若sin∠BCD＝325，∠ADC∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin∠ADC．解：(1)如图，连接BD，在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，所以BD＝2.在△BCD 中，由余弦定理可得，cos C ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝2＋(1＋3)2－222×2×(1＋3)＝22. 因为C 为三角形的内角，故C ＝π4，所以S △ABD ＝12AB ·AD ＝12×1×3＝32， S △BCD ＝12BC ·CD sin C ＝12×2×(1＋3)×22＝1＋32，故四边形ABCD 的面积S ＝1＋232.(2)在△BCD 中，由正弦定理可得BC sin ∠BDC ＝BDsin ∠BCD ，所以sin ∠BDC ＝BC ·sin ∠BCD BD＝35. 因为∠ADC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以∠BDC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos ∠BDC ＝45，在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝AB AD ＝33，故∠ADB ＝π6，所以sin ∠ADC ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠BDC ＋π6＝35×32＋45×12＝4＋3310.正余弦定理解平面几何问题的注意点(1)图形中几何性质的挖掘往往是解题的切入点，或是问题求解的转折点． (2)根据条件或图形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等变换公式，运用正弦定理，余弦定理解题．(3)养成应用方程思想解题的意识．1．如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)，AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，AD ＝5，且∠B 与∠D 互补，则AC 的长为( )A ．7 kmB ．8 kmC ．9 kmD ．6 kmA 解析：在△ACD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD ＝34－AC 230. 在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝89－AC 280. 因为∠B ＋∠D ＝180°，所以cos B ＋cos D ＝0，即34－AC 230＋89－AC 280＝0，解得AC 2＝49.所以AC ＝7.2．(2020·山师附中高三模拟)如图，在平面四边形ABCD 中，已知AB ＝26，AD ＝3，∠ADB ＝2∠ABD ，∠BCD ＝π3.(1)求BD ；(2)求△BCD 周长的最大值．解：在△ABD 中，设BD ＝x ，∠ABD ＝α，则∠ADB ＝2α，因为AB sin 2α＝AD sin α，所以cos α＝63.由余弦定理得cos α＝x 2＋24－946x ＝63. 整理得x 2－8x ＋15＝0，解得x ＝5或x ＝3. 当x ＝3时，得∠ADB ＝2α＝π2，与AD 2＋BD 2≠AB 2矛盾，故舍去，所以BD ＝5.(2)在△BCD 中，设∠CBD ＝β，所以BD sin π3＝BC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β＝CD sin β，所以BC ＝1033sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－β，CD ＝1033sin β，所以BC ＋CD ＝1033·⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin β＋32cos β＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6≤10. 所以△BCD 周长的最大值为15.考点3 解三角形与三角函数的综合问题(2020·合肥模拟)已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)锐角△ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，求△ABC 的面积的最大值．解：(1)f (x )＝1＋cos 2x 2－3sin x cos x －12＝12cos 2x －32sin 2x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. (2)因为△ABC 为锐角三角形，所以0<A <π2，所以－π6<2A －π6<5π6. 又f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1，所以2A －π6＝π2，即A ＝π3.因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立．又a ＝2，所以bc ≤4，所以S △ABC ＝12bc sin A ≤ 3. 即△ABC 的面积的最大值为 3.解三角形与三角函数综合问题的一般步骤已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12(x ∈R )，设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝0.(1)求角C ；(2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求△ABC 的周长．解：(1)f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12＝32sin 2x －12cos 2x －1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 因为f (C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6－1＝0且C 为三角形内角，所以C ＝π3. (2)若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，则sin B －2sin A ＝0. 由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得cos π3＝a2＋4a2－3 2·a·2a＝12，解得a＝1，b＝2，故△ABC的周长为3＋ 3.。

高三三角函数一对一讲义

XX教育，让每个孩子更优秀!XX教育学科教师辅导讲义组长签字：一、导入目录1、任意角的概念与弧度制2、任意角的三角函数3、三角函数的图像与性质4、三角恒等变换5、课堂习题与小结~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~二、课前自主学习复习学过的角度的知识~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}(360k k ︒∈}(180k k ∈}()90180k k Z +∈}()36090360k k k Z α︒︒+<<+∈ }()90360180360k k k Z α︒︒+<<+∈ }()180360270360k k k Z α︒︒+<<+∈ }()270360360360k k k Z α︒︒+<<+∈、区分第一象限角、锐角以及小于90的角}()36090360k k k Z α︒︒<<+∈}90 小于90的角：}90为第二象限角，那么2α为第几象限角？π+90120角030 45 60 90 120 135 150 180 2703604π 3π 2π 2 34π 5 π32πsin α tan α cos α 第一象限：0,0.>>y x sin α>0,cos α>0,tan α>0, 第二象限：0,0.><y x sin α>0,cos α<0,tan α<0, 第三象限：0,0.<<y x sin α<0,cos α<0,tan α>0, 第四象限：0,0.<>y x sin α<0,cos α>0,tan α<0, 4、三角函数线设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交于点T.由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有（Ⅳ）（Ⅱ）（Ⅰ）（Ⅲ）αα= cot1αcosα2sinαcosαsinααcos -，3、周期函数：一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，T 叫做该函数的周期.4、⑴)sin(ϕω+=x A y 对称轴：令2x k πωϕπ+=+，得ωϕππ-+=2k x对称中心：πϕωk x =+，得ωϕπ-=k x ，))(0,(Z k k ∈-ωϕπ；⑵)cos(ϕω+=x A y 对称轴：令πϕωk x =+，得ωϕπ-=k x ；对称中心：2ππϕω+=+k x ，得ωϕππ-+=2k x ，))(0,2(Z k k ∈-+ωϕππ；⑶周期公式:①函数sin()y A x ωϕ=+及cos()y A x ωϕ=+的周期ωπ2=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).②函数()φω+=x A y tan 的周期ωπ=T (A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0).5、三角函数的图像与性质表格sin y x =cos y x = tan y x =图像定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1- []1,1-R最值当22x k ππ=+()k Z ∈时，当()2x k k Z π=∈时，既无最大值也无最小值函数性质8. 函数的变换：（1）函数的平移变换① 将图像沿轴向左（右）平移个单位（左加右减）② 将图像沿轴向上（下）平移个单位（上加下减）（2）函数的伸缩变换：① 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（缩短，伸长）② 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍（伸长，缩短）（3）函数的对称变换：)0)(()(>±=→=a a x f y x f y )(x f y =x a )0()()(>±=→=b b x f y x f y )(x f y =y b )0)(()(>=→=w wx f y x f y )(x f y =w 11>w 10<<w )0)(()(>=→=A x Af y x f y )(x f y =1>A 10<<AA ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角4.（08全国二10）．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（）A ．1 B ． 2 C ．3 D ．25.（08安徽卷8）函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（）A ．6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π=~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~五、归纳总结认真思考下列问题：1、通过本堂课的学习我收获了什么？在知识点标题上画“√”2、我还有哪些没有解决的困惑？在知识点标题上画“×”~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~六、课后作业1.（08福建卷7）函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，则g(x )的解析式为( ) A.-sin x B.sin x C.-cos x D.cos x2.（08广东卷5）已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（）A 、最小正周期为π的奇函数B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数3.（08海南卷11）函数()cos 22sin f x x x =+的最小值和最大值分别为（）A. －3，1B. －2，2C. －3，32 D. －2，324.（08湖北卷7）将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移3π个单位长度得到图象F ′，若F ′的一条对称轴是直线,1x π=则θ的一个可能取值是（） A.512π B.512π- C.1112π D.1112π-5.（08江西卷6）函数sin ()sin 2sin2xf x xx =+是（）A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数6.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．27.（08山东卷10）已知π4cos sin 365αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（） A ．235-B ．235C ．45-D ．458.（08陕西卷1）sin330︒等于（）A ．32-B ．12-C ．12D ．32。

适用于教育机构高考数学专题辅导讲义《10解三角形》

2bc
＝－， 2
C的正弦值．
3 ∴ A＝120°，∴ sin A＝ 2 ，
a
c
再根据正弦定理，有 sin A＝ sin C，
c
5 3 53
∴ sin C＝ asin A＝ 7× 2 ＝ 14 .
2. 命题方向：与面积有关的问题
[ 例 2] 在△ ABC中， A＝60°， b＝ 1，其面积为，则△ ABC外接圆的直径是 ________．
7．在△ ABC中，a，b，c 分别是∠
A，∠B，∠ C的对边长，
已知
a，b，c 成等比数列，
且
a2－ c2＝ ac－ bc，求∠
bsin A及 c
B
3
的值．
[ 解析 ] ∵ a，b， c 成等比数列， ∴ b2＝ac，又∵ a2－ c2＝ac－ bc，∴ b2＋ c2－ a2＝ bc.
在△ ABC中，由余弦定理得 b2＋ c2－a2 1
(1) 当 A＝60°时， C＝180°－ A－ B＝75°，
bsin C ∴ c＝ sin B＝
2sin75 ° sin45 °
＝
6＋ 2
2 .
(2) 当 A＝120°时， C＝180°－ A－ B＝15°，
bsin C 2sin15 ° 6－ 2 ∴ c＝ sin B＝ sin45 ° ＝ 2 .
a
13 2 39
2R＝ sin A＝
＝ 3
3.
2
2 39 即△ ABC外接圆的直径是 3 .
2 39 [ 答案 ]
3
跟踪练习 2 ： (2008 ·江苏 )满足条件 AB＝ 2，AC ＝ 2BC 的△ ABC 的面积的最大值为 ________．

高考数学一轮总结复习讲义第四章解三角形讲义

第四章解三角形命题研究(1) 因为 cos B= ,0<B<π, 所以 sin 又 cos B= ,sin B= , 故 cos A=- × + × =- .因为 0<A<π, 所以 sin A= = . B= = = .所以,cos =cos Acos +sin Asin =-× + × = . 由正弦定理= , 得 AB= = =5 .(2) 在△ABC中,A+B+C=π, 所以 A =π-(B+C),于是 cos A=-cos(B+C)=-cos =-cos Bcos+sin B · sin ,考纲解读考点内容解读要求五年高考统计2013 2014 2015 2016 2017常考题型展望热度1. 正弦、余弦定理1. 在三角形中求边或角2. 判断三角形的形状1. 求解实质问题中的B14 题5 分15 题14 分填空题解答题★★★2. 解三角形及其应用边、角2. 解三角形与三角函数的综合应用B18 题16 分18 题16 分18 题16 分填空题解答题★★★剖析解读江苏高考对本部分的内容是每年必考 , 所以这部分内容是高考热门 , 试题种类主假如解答题 , 偶考填空题 .(1) 考小题 , 重在能力 : 主要和其余知知趣综合 , 表现知识的交汇性 , 一般和平面向量、不等式、函数等知识相联合 , 对能力要求较高 .(2) 考大题 , 重在实质 : 和三角函数有关知知趣交融 , 考察正、余弦定理与三角变换的娴熟运用 .(3) 考应用 , 融入三角形之中 : 以实质问题为背景 , 经过成立数学模型解决问题 , 主要考察运用三角公式进行恒等变换的能力 .五年高考考点一正弦、余弦定理1.(2016 课标全国Ⅰ改编 ,4,5 分) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 已知 a= ,c=2,cos A= , 则 b=. 答案 32.(2016 山东改编 ,8,5 分) △ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c. 已知 b=c,a2=2b 2(1-sin A). 则 A=. 答案3.(2016 天津理改编 ,3,5 分) 在△ABC 中, 若 AB= ,BC=3,∠C=120° , 则 AC=. 答案 14.(2016 北京,13,5 分) 在△ABC 中, ∠A= ,a= c, 则 =. 答案 15.(2015 北京,12,5 分) 在△ABC 中,a=4,b=5,c=6, 则 =. 答案 16.(2015 天津,13,5 分) 在△ABC 中, 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知△ABC 的面积为 3 ,b-c=2,cos A=- , 则 a 的值为 . 答案 87.(2015 重庆,13,5 分) 在△ABC 中,B=120° ,AB= ,A 的角均分线 AD= , 则 AC=. 答案8.(2015 福建,12,4 分) 若锐角△ABC 的面积为 10 , 且 AB=5,AC=8,则 BC 等于. 答案 79.(2014 江苏,14,5 分) 若△ABC 的内角知足 sin A+ sin B=2sin C, 则 cos C 的最小值是 .答案10.(2016 四川,18,12 分) 在△ABC 中, 角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, 且 + = . (1) 证明:sin Asin B=sin C; (2) 若 b 2+c 2-a2+c 2-a2= bc, 求 tan B. 分析 (1) 证明 : 依据正弦定理 , 可设 = = =k(k>0).则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C. 代入 + = 中, 有+ = , 变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在△ABC中, 由 A+B+C=π, 得 sin(A+B)=sin( π-C)=sin C,所以 sin Asin B=sin C.2+c2-a 2= bc,(2) 由已知 ,b依据余弦定理的推论 , 有 cos A= = .所以 sin A= = .由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以 sin B= cos B+ sin B,故 tan B= =4.教师用书专用 (11 —18)11.(2017 课标全国Ⅱ文 ,16,5 分) △ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若 2bcos B=acos C+ccos A, 则B=.答案 60°12.(2017 课标全国Ⅰ文改编 ,11,5 分) △ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 已知 sin B+sin A(sin C-cosC)=0,a=2,c= , 则 C=.答案13.(2017 山东理改编 ,9,5 分) 在△ABC中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 若△ABC为锐角三角形 , 且知足 sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C, 则以下等式成立的是 .①a=2b;②b=2a;③A=2B;④B=2A.答案①14.(2014 天津,12,5 分) 在△ABC中, 内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c. 已知 b-c= a,2sin B=3sin C, 则 cos A 的值为 .答案 -15.(2014 课标Ⅰ,16,5 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边 ,a=2, 且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C, 则△ABC面积的最大值为 .答案16.(2013 浙江理 ,16,4 分) 在△ABC中, ∠C=90° ,M 是 BC的中点 . 若 sin ∠BAM= , 则 sin ∠BAC=.答案17.(2014 湖南,18,12 分) 如图, 在平面四边形 ABCD中,AD=1,CD=2,AC= .(1) 求 cos∠CAD的值;(2) 若 cos∠BAD=- ,sin ∠CBA= , 求 BC的长.分析 (1) 在△ADC中, 由余弦定理 , 得cos∠CAD= = = .(2) 设∠BAC=α, 则α=∠BAD- ∠CAD.因为 cos∠CAD= ,cos ∠BAD=- ,所以 sin ∠CAD= = = ,sin ∠BAD= = = .于是 sin α=sin( ∠BAD- ∠CAD)=sin ∠BADcos∠CAD- cos∠BADsin∠CAD= × - × = .在△ABC中, 由正弦定理 , 得 = ,故 BC= = =3.18.(2014 辽宁,17,12 分) 在△ABC中, 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 a>c. 已知· =2,cos B= ,b=3. 求:(1)a 和 c 的值;(2)cos(B-C) 的值.分析 (1) 由· =2 得 c· acos B=2,又 cos B= , 所以 ac=6.由余弦定理 , 得 a2+c2=b2+2accos B.又 b=3, 所以 a2+c2=9+2× 2=13.解得 a=2,c=3 或 a=3,c=2.因为 a>c, 所以 a=3,c=2.(2) 在△ABC中,sin B= = = ,由正弦定理 , 得 sin C= sin B= × = .因为 a=b>c, 所以 C为锐角 .所以 cos C= = = .于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= × + × = .考点二解三角形及其应用1.(2017 浙江,14,5 分) 已知△ABC,AB=AC=4,BC=2点. D为 AB延伸线上一点 ,BD=2, 连接 CD,则△BDC的面积是,cos ∠BDC=.答案 ;2.(2016 课标全国Ⅱ ,15,5 分) △ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若 cos A= ,cos C= ,a=1, 则 b=.答案3.(2015 湖北,13,5 分) 如图, 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 , 到 A处时测得公路北侧一山顶 D在西偏北 30°的方向上 , 行驶 600 m 后抵达 B处, 测得此山顶在西偏北 75°的方向上 , 仰角为 30° , 则此山的高度CD=m.答案 1004.(2017 江苏,18,16 分) 如图, 水平搁置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为 32 cm, 容器Ⅰ的底面对角线 AC的长为 10 cm, 容器Ⅱ的两底面对角线 EG,E1G1 的长分别为 14 cm 和 62 cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水 , 水深均为 12 cm. 现有一根玻璃棒 l, 其长度为 40 cm.( 容器厚度、玻璃棒粗细均忽视不计 )(1) 将 l 放在容器Ⅰ中 ,l 的一端置于点 A处, 另一端置于侧棱 C C1 上, 求 l 没入水中部分的长度 ;(2) 将 l 放在容器Ⅱ中 ,l 的一端置于点 E处, 另一端置于侧棱 GG1 上, 求 l 没入水中部分的长度 .分析本小题主要考察正棱柱、正棱台的观点 , 考察正弦定理、余弦定理等基础知识 , 考察空间想象能力和运用数学模型及数学知识剖析和解决实质问题的能力 .(1) 由正棱柱的定义 ,CC1⊥平面 ABCD,所以平面 A1ACC1⊥平面 ABCD,CC1⊥AC.记玻璃棒的另一端落在 C C1 上点 M处.因为 AC=10 ,AM=40,所以 MC= =30, 进而 sin ∠MAC= .记 A M与水面的交点为 P1, 过 P1 作 P1Q1⊥AC,Q1 为垂足 ,则 P1Q1⊥平面 ABCD,故 P1Q1=12, 进而 AP1 = =16.答: 玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 16 cm.( 假如将“没入水中部分”理解为“水面以上部分” , 则结果为 24 cm)(2) 如图,O,O1 是正棱台的两底面中心 .由正棱台的定义 ,OO1⊥平面 EFGH,所以平面 E1EGG1⊥平面 EFGH,O1O⊥EG.同理, 平面 E1EGG1⊥平面 E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.记玻璃棒的另一端落在 GG1 上点 N处.过 G作 G K⊥E1G1,K 为垂足 , 则 GK=O1O=32.因为 EG=14,E1G1=62, 所以 KG1= =24, 进而 G G1= = =40.设∠EGG1=α, ∠ENG=β,则 sin α=sin =cos∠KGG1= .因为 <α<π, 所以 cos α=- .在△ENG中, 由正弦定理可得 = , 解得 sin β= .因为 0<β< , 所以 cos β= .于是 sin ∠NEG=sin( π- α- β)=sin( α+β)=sin αcos β +cos αsin β= × + × = .记 EN与水面的交点为 P2, 过 P2 作 P2Q2⊥EG,交 E G的延伸线于 Q2, 则 P2Q2⊥平面 EFGH,故 P2Q2=12, 进而EP2 = =20.答: 玻璃棒 l 没入水中部分的长度为 20 cm.( 假如将“没入水中部分”理解为“水面以上部分” , 则结果为 20 cm)5.(2014 江苏,18,16 分) 如图, 为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时建立一个圆形保护区 . 规划要求 : 新桥 BC与河岸 AB垂直; 保护区的界限为圆心 M在线段 OA上并与 BC相切的圆 , 且古桥两头 O和 A到该圆上随意一点的距离均许多于 80 m. 经丈量 , 点 A 位于点 O正北方向 60 m 处, 点 C位于点 O正东方向 170 m 处(OC 为河岸),tan ∠BCO= .(1) 求新桥 BC的长 ;(2) 当 OM多长时 , 圆形保护区的面积最大 ?分析解法一 :(1) 如图, 以 O为坐标原点 ,OC 所在直线为 x 轴, 成立平面直角坐标系 xOy.由条件知 A(0,60),C(170,0),直线 BC的斜率 k BC=- tan ∠BCO=- .因为 AB⊥BC,所以直线 AB的斜率 k AB= .设点 B 的坐标为 (a,b),则 k BC= =- ,k AB= = .解得 a=80,b=120.所以 BC= =150(m).所以新桥 BC的长是 150 m.(2) 设保护区的界限圆 M的半径为 r m,OM=d m(0≤d≤60).由条件知 , 直线 BC的方程为 y=- (x-170), 即 4x+3y-680=0.因为圆 M与直线 BC相切, 故点 M(0,d) 到直线 BC的距离是 r, 即 r= = .因为 O和 A到圆 M上随意一点的距离均许多于 80 m,所以即解得 10≤d≤35.故当 d=10 时,r= 最大, 即圆面积最大 .所以当 OM=10 m时, 圆形保护区的面积最大 .解法二 :(1) 如图, 延伸 OA,CB交于点 F.因为 tan ∠FCO= ,所以 sin ∠FCO= ,cos ∠FCO= .因为 OA=60 m,OC=170 m,所以 OF=OCta∠n FCO= m,CF= = m, 进而 AF=OF-OA= m.因为 O A⊥OC,所以 cos∠AFB=sin∠FCO= .又因为 AB⊥BC,所以 BF=AFcos∠AFB= m, 进而 BC=CF-BF=150 m.所以新桥 BC的长是 150 m.(2) 设保护区的界限圆 M与 BC的切点为 D,连接 MD,则 MD⊥BC,且 MD是圆 M的半径 , 设 MD=r m,OM=d m(≤0 d≤60).因为 O A⊥OC,所以 sin ∠CFO=co∠s FCO.故由(1) 知 sin ∠CFO= = = = , 所以 r= .因为 O和 A到圆 M上随意一点的距离均许多于 80 m,所以即解得 10≤d≤35.故当 d=10 时,r= 最大, 即圆面积最大 .所以当 OM=10 m时, 圆形保护区的面积最大 .6.(2013 江苏,18,16 分) 如图, 旅客从某旅行景区的景点 A处下山至 C处有两种路径 . 一种是从 A沿直线步行到C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B, 而后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位旅客从 A 处下山 , 甲沿 AC匀速步行 , 速度为 50 m/min. 在甲出发 2 min 后, 乙从 A乘缆车到 B, 在B处逗留 1 min 后, 再从 B 匀速步行到 C.假定缆车匀速直线运转的速度为 130 m/min, 山路 AC长为 1 260 m, 经丈量,cos A= ,cos C= .(1) 求索道 AB的长 ;(2) 问乙出发多少分钟后 , 乙在缆车上与甲的距离最短 ?(3) 为使两位旅客在 C处相互等候的时间不超出 3 分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围内 ?分析 (1) 在△ABC中, 因为 cos A= ,cos C= ,所以 sin A= ,sin C= .进而 sin B=sin[ π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= × + × = .由 = , 得AB= ×sin C= × =1 040(m).所以索道 AB的长为 1 040 m.(2) 设乙出发 t 分钟后 , 甲、乙两旅客距离为 d m, 此时, 甲行走了 (100+50t)m, 乙距离 A处 130t m, 所以由余弦定理得2+(130t) 2- 2×130t ×(100+50t) × =200(37t 2-70t+50),d 2=(100+50t)2=(100+50t)因 0≤t ≤ , 即 0≤t ≤8,故当 t= min 时, 甲、乙两旅客距离最短 .(3) 由 = , 得 BC= ×sin A= × =500(m).乙从 B 出发时 , 甲已走了 50×(2+8+1)=550(m), 还需走 710 m 才能抵达 C.设乙步行的速度为 v m/min, 由题意得 -3≤ - ≤3,解得≤v≤ , 所认为使两位旅客在 C处相互等候的时间不超出 3 分钟, 乙步行的速度应控制在( 单位 :m/min) 范围内 .教师用书专用 (7 —16)7.(2013 福建理 ,13,4 分) 如图, 在△ABC中, 已知点 D在 BC边上,AD⊥AC,sin ∠BAC= ,AB=3 ,AD=3, 则 BD的长为.答案8.(2016 天津,15,13 分) 在△ABC中, 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 asin 2B= bsin A.(1) 求 B;(2) 若 cos A= , 求 sin C 的值.分析 (1) 在△ABC中, 由 = , 可得 asin B=bsin A, 又由 asin 2B= bsin A, 得 2asin Bcos B= bsin A= asin B, 所以 cos B= , 得 B= .(2) 由 cos A= , 可得 sin A= ,则 sin C=sin[ π-(A+B)]=sin(A+B)=sin= sin A+ cos A= .9.(2016 浙江,16,14 分) 在△ABC中, 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 b+c=2acos B.(1) 证明:A=2B;(2) 若 cos B= , 求 cos C 的值.分析 (1) 证明 : 由正弦定理得 sin B+sin C=2sin Acos B,故 2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是 sin B=sin(A-B).又 A,B∈(0, π), 故 0<A-B<π,所以,B=π-(A-B) 或 B=A-B,所以 A =π( 舍去) 或 A=2B,所以,A=2B.(2) 由 cos B= 得 sin B= ,cos 2B=2cos 2B-1=- ,故 cos A=- ,sin A= ,cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B= .10.(2014 陕西,16,12 分) △ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.(1) 若 a,b,c 成等差数列 , 证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2) 若 a,b,c 成等比数列 , 求 cos B 的最小值 .分析 (1) 证明: ∵a,b,c 成等差数列 , ∴a+c=2b.由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B.∵sin B=sin[ π-(A+C)]=sin(A+C),∴sin A+sin C=2sin(A+C).2=ac.(2) ∵a,b,c 成等比数列 ,∴b由余弦定理得 cos B= = ≥ = ,当且仅当 a=c 时等号成立 .∴cos B 的最小值为 .11.(2015 课标Ⅱ,17,12 分) △ABC中,D 是 BC上的点 , AD均分∠BAC,BD=2DC.(1) 求 ;(2) 若∠BAC=60°, 求∠B.分析 (1) 由正弦定理得= , = .因为 AD均分∠BAC,BD=2DC,所以 = = .(2) 因为∠C=180° - ( ∠BAC+∠B), ∠BAC=60°,所以 sin ∠C=sin( ∠BAC+∠B)= cos∠B+ sin ∠B.由(1) 知 2sin ∠B=sin∠C,所以 tan ∠B= , 即∠B=30°.12.(2015 浙江,16,14 分) 在△A BC中, 内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c. 已知 A= ,b 2-a 2= c2.(1) 求 tan C 的值;(2) 若△ABC的面积为 3, 求 b 的值.2= c2 及正弦定理得 sin 2B- = sin 2C, 所以-cos 2B=sin 2C.分析 (1) 由 b 2-a2-a由 A= , 即 B+C= π, 得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,2C,所以 2sin Ccos C=sin解得 tan C=2.(2) 由 tan C=2,C ∈(0, π) 得 sin C= ,cos C= .又因为 sin B=sin(A+C)=sin , 所以 sin B= .由正弦定理得 c= b,又因为 A= , bcsin A=3, 所以 bc=6 , 故 b=3.13.(2015 陕西,17,12 分) △ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 向量 m=(a, b) 与 n=(cos A,sin B) 平行.(1) 求 A;(2) 若 a= ,b=2, 求△ABC的面积 .分析 (1) 因为 m∥n, 所以 asin B- bcos A=0,由正弦定理 , 得 sin Asin B- sin Bcos A=0,又 sin B ≠0, 进而 tan A= ,因为 0<A<π, 所以 A= .(2) 解法一 : 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A 及a= ,b=2,A= ,得 7=4+c2-2c, 即 c2-2c-3=0,因为 c>0, 所以 c=3.故△ABC的面积为 bcsin A= .解法二 : 由正弦定理 , 得 = ,进而 sin B= ,又由 a>b, 知 A>B,所以 cos B= .故 sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos +cos Bsin = .所以△ABC的面积为 absin C= .14.(2015 湖南,17,12 分) 设△ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=btan A, 且 B 为钝角 .(1) 证明:B-A= ;(2) 求 sin A+sin C 的取值范围 .分析 (1) 证明 : 由 a=btan A 及正弦定理 , 得 = = , 所以 sin B=cos A, 即 sin B=sin .又 B 为钝角 , 所以 +A∈ , 故 B= +A, 即 B-A= .(2) 由(1) 知,C=π-(A+B)= π- = -2A>0,所以 A∈ .于是 sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin 2A+sin A+1=-2 + .因为 0<A< , 所以 0<sin A< ,所以 <-2 + ≤ .由此可知 sin A+sin C 的取值范围是 .15.(2013 课标全国Ⅰ理 ,17,12 分) 如图, 在△ABC中, ∠ABC=90°,AB= ,BC=1,P 为△ABC内一点, ∠BPC=90°.(1) 若 PB= , 求 PA;(2) 若∠APB=150°, 求 tan ∠PBA.分析 (1) 由已知得, ∠PBC=60°, 所以∠PBA=30°.在△PBA中, 由余弦定理得 PA 2=3+ - 2×× cos 30 °= . 故 PA= .(2) 设∠PBA=α, 由已知得 PB=sin α.在△PBA中, 由正弦定理得 = ,化简得 cos α=4sin α.所以 tan α= , 即 tan ∠PBA= .16.(2014 浙江,18,14 分) 在△ABC中, 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 a≠b,c= ,cos 2A-cos 2B= sin Acos A- sin Bcos B.(1) 求角 C的大小 ;(2) 若 sin A= , 求△ABC的面积 .分析 (1) 由题意得- = sin 2A- sin 2B,即 sin 2A- cos 2A= sin 2B- cos 2B,sin =sin .由 a≠b, 得 A≠B,又 A+B∈(0, π), 得2A- +2B- =π,即 A+B= ,所以 C= .(2) 由(1) 及 c= ,sin A= , = , 得 a= ,由 a<c, 得 A<C.进而 cos A= ,故 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= ,所以, △ABC的面积为 S= acsin B= .三年模拟A 组 2016—2018 年模拟·基础题组考点一正弦、余弦定理1.( 苏教必 5, 一,1, 变式) 若△ABC的面积为 ,BC=2,C =60° , 则边 AB的长度等于 .答案 22=2bc,sin C=3sin B, 则 A=.2.(2017 江苏苏州期中 ,8) 在△ABC中, 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 若 a 2-b2-b答案 60°3.(2017 江苏南京高淳质检 ,6) 在△ABC中, 已知 A=45° ,C=105° ,BC= , 则 AC=.答案 14.(2017 江苏徐州沛县中学质检 ,9) 在△ABC中, 已知 BC=2,AC= ,B= , 那么△ABC的面积是 .答案5.(2017 江苏泰州姜堰期中 ,16) 设△ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 a=1,b=2,cos C= .(1) 求△ABC的周长 ;(2) 求 cos(A-C) 的值.2=a2+b2-2abcos C=1+4- 2× 1× 2× =4,分析 (1) 由余弦定理可得 ,c所以 c=2,所以△ABC的周长为 5.(2) 在△ABC中, 因为 cos C= , 所以 sin C= ,由 = , 可得 sin A= ,由余弦定理得 cos A= = ,所以 cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C= .考点二解三角形及其应用6.(2018 江苏姜堰中学期中 ) 分别从地面上距离旗杆底端 10 米、20 米、30 米的 A,B,C 处测得杆顶的仰角为α, β, γ, 且α+β+γ=90° , 则旗杆高米.答案 107.(2016 江苏南通、扬州、泰州调研 ,15) 在斜三角形 ABC中,tan A+tan B+tan Atan B=1.(1) 求角 C的大小 ;(2) 若 A=15° ,AB= , 求△ABC的周长 .分析 (1) 因为 tan A+tan B+tan Atan B=1, 即 tan A+tan B=1-tan Atan B.因为在斜三角形 ABC中,1- tan Atan B ≠0,所以 tan(A+B)= =1,即 tan(180 ° -C)=1, 亦即 tan C=-1.因为 0° <C<180° , 所以 C=135° .(2) 在△ABC中,A=15° ,C=135° , 则 B=180° -A- C=30° .△ABC中, 由正弦定理得 = = =2,故 BC=2sin 15° =2sin(45 ° - 30° )=2(sin 45 ° cos 30 ° - cos 45 ° sin 30 ° )= ,CA=2sin 30° =1.所以△ABC的周长为 AB+CA+BC= +1+ = .B 组 2016—2018 年模拟·提高题组( 满分:100 分时间:50 分钟 )一、填空题 ( 每题 5 分, 共 25 分)1.(2018 江苏东台安丰高级中学月考 ) 设△ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 c=b+1=a+2,C=2A, 则△ABC的面积等于 .答案2.(2018 江苏海安中学阶段测试 ) 在△ABC中, 已知 AB=5,BC=3,B=2A,则边 AC的长为 .答案 23.(2018 江苏南通中学高三阶段测试 ) 在△ABC中, 角 A、B、C的对边挨次为 a、b、c, 若△ABC为锐角三角形 , 且2=ab, 则 - +2sin C 的取值范围是 .知足 c 2-b2-b答案4.(2018 江苏盐城高三 ( 上) 期中) 在△ABC中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 A= ,a=4 , 角 A 的均分线交边BC于点 D,此中 AD=3 , 则 S△ABC=.答案 125.( 苏教必 5, 一,2, 变式) 在△ABC中, 已知 AB= ,cos ∠ABC= ,AC 边上的中线 BD= , 则 sin A=.答案二、解答题 ( 共 75 分)6.(2018 江苏徐州铜山中学期中 ) 已知△ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 且 a+2c=2bcos A.(1) 求角 B的大小 ;(2) 若 b=2 ,a+c=4, 求△ABC的面积 .分析 (1) 因为 a+2c=2bcos A, 所以 sin A+2sin C=2sin Bcos A,因为 C=π-(A+B), 所以 sin A+2sin(A+B)=2sin Bcos A.即 sin A+2sin Acos B+2cos Asin B=2sin Bcos A,所以 sin A · (1+2cos B)=0.因为 sin A ≠0, 所以 cos B=- ,又因为 0<B<π, 所以 B= .2+c2 +ac=12,(2) 由余弦定理得 ,a即(a+c) 2-ac=12.2-ac=12.又因为 a+c=4, 所以 ac=4,所以 S△ABC= acsin B= × 4× = .7.(2017 江苏无锡期中 ,15) 在△ABC中, 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 已知 bsin A= acos B.(1) 求 B 的值;(2) 若 cos Asin C= , 求角 A 的值.分析 (1) 因为 = , 所以 bsin A=asin B,又 bsin A= acos B, 所以 acos B=asin B,所以 tan B= , 所以 B= .(2) 因为 cos Asin C= , 所以 cos Asin = ,所以 cos A = cos 2A+ sin A ·cos A= · + sin 2A= ,所以 sin =- ,因为 0<A< , 所以 2A+ ∈ ,所以 2A+ = ,A= .8.(2017 江苏苏北四市摸底 ,15) 在△ABC中, 已知角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 且 tan B=2,tan C=3.(1) 求角 A的大小 ;(2) 若 c=3, 求 b 的长.分析 (1) 因为 tan B=2,tan C=3,A+B+C= π,所以 tan A=tan[ π-(B+C)]=-tan(B+C)=-=- =1,又 A∈(0, π), 所以 A= .(2) 因为 tan B= =2, 且 sin 2B+cos2B=1,B∈(0, π),所以 sin B= ,同理可得 ,sin C= .由正弦定理 , 得 b= = =2 .9.(2017 江苏南通中学期中 ,17) 在△ABC中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=b(sin C+cos C).(1) 求 B;(2) 若 A= ,D 为△ABC外一点 ,DB=2,DC=1, 求四边形 ABDC面积的最大值 .分析 (1) 在△ABC中, ∵a=b(sin C+cos C),∴sin A=sin B(sin C+cos C),∴sin ( π-B-C)=sin B(sin C+cos C),∴sin(B+C)=sin B(sin C+cos C),∴sin Bcos C+cos Bsin C=sin Bsin C+sin Bcos C,∴cos Bsin C=sin Bsin C,又∵C∈(0, π), 故 sin C ≠0,∴cos B=sin B, 即 tan B=1.又 B∈(0, π), ∴B= .(2) 在△BCD中,DB=2,DC=1,2 2 2BC =1 +2 - 2×1×2×cos D=5 -4cos D.由(1) 可知∠ABC= , 又 A= ,∴△ABC为等腰直角三角形 ,S△ABC= BC2= -cos D,又 S△BDC= BD·DC·sin D=sin D,∴S四边形 ABDC= -cos D+sin D= + sin ,∴当 D= 时, 四边形 ABDC的面积获得最大值 , 最大值为 + .10.(2017 江苏南京、盐城一模 ) 在△ABC中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边 , 且 bsin 2C=csin B.(1) 求角 C;(2) 若 sin = , 求 sin A 的值.分析 (1) 由 bsin 2C=csin B,得 2sin Bsin Ccos C=sin Csin B,因为 sin B>0,sin C>0, 所以 cos C= ,又 C∈(0, π), 所以 C= .(2) 因为 C= , 所以 B∈ , 所以 B- ∈ ,又 sin = , 所以 cos = = .又 A+B= , 即 A= -B,所以 sin A=sin =sin=sin cos -cos sin= × - × = .C组 2016—2018 年模拟·方法题组方法 1 三角形中的几何计算1.(2016 江苏清江中学周练 ,17) 如图, △ABC为向来角三角形草坪 , 此中∠C=90°,BC=2 米,AB=4 米, 为了重修草坪, 设计师准备了两套方案 :方案一 : 扩大为一个直角三角形 , 此中斜边 DE过点 B, 且与 AC平行 ,DF 过点 A,EF 过点 C.方案二 : 扩大为一个等边三角形 , 此中 DE过点 B,DF 过点 A,EF 过点 C.(1) 求方案一中三角形 DEF的面积 S1 的最小值 ;(2) 求方案二中三角形 DEF的面积 S2 的最大值 .分析 (1) 设∠ACF=α, α∈ ,则 AF=2 sin α,FC=2 cos α,因为 DE∥AC,所以∠E= α, ∠CBE=∠ACB=90°, 且 = , 所以 EC= , = , 解得 AD= .所以 S1= =3× +4 ,所以当且仅当 sin 2 α=1, 即α= 时,S 1 取最小值 7+4 .(2) 在三角形 DBA中, 设∠DBA=β, β∈ , 则 = ,解得 DB= sin ,在三角形 CBE中, 易知∠BCE=β, 则由 = , 解得 EB= sin β,则等边三角形 DEF的边长为 sin + sin β= (2sin β+ cos β),所以边长的最大值为 , 所以面积 S2 的最大值为× = .方法 2 利用正、余弦定理判断三角形的形状2. 在△ABC中, 若 B=60°,2b=a+c, 试判断△ABC 的形状 .分析解法一: ∵2b=a+c,∴2sin B=sin A+sin C.∵B=60°, ∴A+C=120°.∴2sin 60 °=sin(120 ° -C)+sin C.睁开整理得 sin C+ cos C=1.∴sin(C+30 °)=1. ∵0°<C<120°, ∴C+30°=90°.∴C=60°.故 A=60°. ∴△ABC 为等边三角形 .2 2 2解法二 : 由余弦定理 , 得 b =a +c -2accos B.∵B=60°,b= ,∴ =a 2+c2- 2accos 60 °, 化简得 (a-c)2+c2- 2accos 60 °, 化简得 (a-c)2=0,∴a=c.又 B=60°, ∴a=b=c.∴△ABC为等边三角形 .3. 在△ABC中,a 、b、c 分别表示三个内角 A、B、C的对边 , 假如(a的形状 .分析解法一 : 已知等式可化为a 2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b 2[-sin(A+B)-sin(A-B)],2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b 2[-sin(A+B)-sin(A-B)],2+b2)sin(A-B)=(a 2-b 2)sin(A+B), 判断三角形∴2a 2cos Asin B=2b 2cos Asin B=2b 2cos Bsin A.由正弦定理可知上式可化为sin 2Acos Asin B=s in 2Bcos Bsin A,∴sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0, ∴sin 2A=sin 2B, 由 2A,2B∈(0,2 π), 得 2A=2B或 2A=π-2B,即 A=B或 A= -B,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形 .解法二 : 同解法一可得 2a 2cos Asin B=2b2cos Asin B=2b 由正、余弦定理 , 可得2sin Acos B.2 2a b· =b a· ,∴a2(b 2+c2-a 2)=b 2(a 2+c2 -b 2),整理得 (a2-b 2)(a 2+b2-c 2)=0,∴a=b 或 a2+b2=c2,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形 .方法 3 解三角形应用题的方法4.(2018 江苏东台安丰中学月考 ) 如图, 在海岸线 l 一侧 C处有一个漂亮的小岛 , 某旅行企业为方便旅客 , 在 l 上建立了 A,B 两个报名点 , 知足 A,B,C 中随意两点间的距离为 10 km. 企业拟按以下思路运作 :A,B 两处旅客分别乘车集中到 AB之间的中转点 D处( 点 D异于 A,B 两点), 而后乘同一艘游轮前去 C岛. 据统计 , 每批旅客 A 处需发车2 辆,B 处需发车 4 辆, 每辆汽车每千米耗资 2 元, 游轮每千米耗资 12 元. 设∠CDA=α, 每批旅客从各自报名点到C岛所需运输成本为 S元 .(1) 写出 S对于α的函数表达式 , 并指出α的取值范围 ;(2) 问: 中转点 D距离 A 处多远时 ,S 最小?分析 (1) 由题知在△ ACD 中, ∠CAD= ,AC=10,∠ACD= - α.由正弦定理知 = = ,即 CD= ,AD= ,所以 S=4AD+8BD+12CD=12CD-4AD+80= +80=20 · +60 .(2)S'=20 · , 令 S'=0 得 cos α= .当 <cos α< 时,S'<0; 当- <cos α< 时,S'>0,所以当 cos α= 时,S 获得最小值 , 此时 sin α= ,AD= = ,所以中转点 D距 A 处 km 时, 运输成本 S最小 .5. 如图 ,A,B 是海面上位于东西方向且相距 5(3+ ) 海里的两个观察点 . 现位于 A 点北偏东 45° ,B 点北偏西60°的 D点有一艘轮船发出求救信号 , 位于 B 点南偏西 60°且与 B点相距 20 海里的 C点的营救船立刻前去营救, 其航行速度为 30 海里/ 小时, 则该营救船抵达 D点需要多长时间 ?分析由题意知 AB=5(3+ ) 海里,∠DBA=90° - 60° =30° , ∠DAB=90° - 45° =45° ,∴∠ADB=18°0 - (45° +30° )=105° .在△DAB中, 由正弦定理得 = ,DB= == ==10 ( 海里).∠DBC=∠DBA+∠ABC=30° +(90° - 60° )=60° ,BC=20 海里 , 在△DBC中, 由余弦定理得CD2 =BD2+BC2- 2BD· BC· cos∠DBC=300+1 200- 2× 10 × 20 × =900,∴CD=30海里, 则需要的时间 t= =1( 小时),即该营救船抵达 D点需要 1 小时.。

高三数学-高考复习讲义-解三角形讲义资料(Word版)

高三数学-高考复习讲义-解三角形设ABC ∆中a b c 、、分别是角A B C 、、所对的边，R 为ABC ∆的外接圆半径，r 为ABC ∆内切圆半径，S 为ABC ∆的面积．三角形内角和定理：A B C π++=．正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===．余弦定理：Cab b a c B ac c a b Abc c b a cos 2cos 2cos 2222222222⋅-+=⋅-+=⋅-+=．三角形面积公式：1sin 2S ab C =11sin sin 22bc A ac B == 注意：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边一、利用正余弦定理求解三角形【例1】在ABC ∆中，角A B C ，，的对边为,,a b c ，若，则角A =（）A ．30B ．30105或C ．60D ．60120或【例2】在ABC ∆中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A. 20,45,80b A C ===B. 30,28,60a c B === C. 14,16,45a b A ===D. 12,15,120a c A ===【例3】在锐角ABC ∆中，边长1,2a b ==，则边长c 的取值范围是_______.【例4】已知下列各三角形的两边及一边的对角，先判断三角形是否有解，若有解，再解该三角形.(1)07,8,105a b A === (2)010,20,80a b A ===(3)010,60a b A ===(4)06,30a b A ===︒===45,2,3B b a【例5】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b cos A +a cos B ＝2c cos C ，△ABC 的面积为．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若a ＝2，求边长c ．【例6】在ABC ∆中，c b a 、、为角C B A 、、所对的三边，已知222+c b a bc -=．（1）求角A 的值；（2）若a =cos C =，求c 的长.【巩固训练】1.在ABC ∆中，若1,60,a C c ===则A 的值为（） A ．︒30 B ．︒60 C ．30150︒︒或 D ．60120︒︒或 2在ABC ∆中，若B a b sin 2=，则A 等于（） A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或3边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（） A ．090B ．0120C ．0135D ．01504.在△ABC 中，若sin A ：sin B ：sin C ＝5：7：8，则∠B 的大小是．5.在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的条件． 7.在△ABC 中，已知，，，则a ＝． 8.在ABC △中，若43tan =A ，︒=120C ，32=BC ，则AB =（） A.3 B.4C.5D.69.已知ABC ∆的外接圆半径为5，=6,=8,a b 则此三角形（）A ．有一解B .有两解C ．无解D ．不能确定10.根据下列条件，判断三角形解的个数：（1）a = 80，b = 100，A =30°___________；（2）a = 50，b = 100，A =30°__________ ；（3）a = 40，b = 100，A =30°___________；二、正、余弦定理判断三角形形状【例8】在ABC ∆中，cos cos sin sin A B A B >，则ABC ∆为（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定【例9】在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C =，则ABC ∆的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【例10】ABC ∆的三边分别为,,a b c 且满足c a b ac b +==2,2,则此三角形是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【例11】在ABC ∆中，若,cos cos cos C c B b A a =+则ABC ∆的形状是什么？【巩固训练】1．在ABC ∆中，若,12,10,9===c b a 则ABC ∆的形状是_________。

(完整版)解三角形完整讲义

正余弦定理知识要点：3、解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如 A 、 B 、 C ），由 A+B+C = π求 C ，由正弦定理求 a 、b ；（2）已知两边和夹角（如 a 、b 、c ），应用余弦定理求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C = π，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如 a 、b 、A ），应用正弦定理求 B ，由 A+B+C = π求 C ，再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边 a 、b 、c ，应余弦定理求 A 、B ，再由 A+B+C = π，求角 C 。

4、判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式5、解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解” 。

6、已知三角形两边 a,b,这两边夹角 C ，则 S ＝1/2 * absinC7、三角学中的射影定理：在△ ABC 中， b a cosC c cosA ，⋯8、两内角与其正弦值：在△ ABC 中， A B sin A sinB ，例题】在锐角三角形 ABC 中，有 (A ． cosA>sinB 且 cosB>sinAC ． cosA>sinB 且 cosB<sinA正弦定理专题：公式的直接应用1、已知 △ ABC 中， a2，b 3， B 60o ，那么角 A 等于（）A ． 135oB ． 90oC ．45oD ．30o2、在△ ABC 中， a ＝ 2 3 ，b ＝ 2 2 ， B ＝ 45°，则 A 等于（ C ）A ．30°B ． 60°C ．60°或 120°D ． 30°或 150°3、△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ，c ，若 c 2，b 6，B 120o ，则 a1、正弦定理a sin Ab sin B 2R 或变形： a:b:c sinCsin A :sin B :sin C .2a b 22c 2bc cos AcosA2、余弦定理：b 22a 2 c 2accosB 或 cosB2cb 2 2 a 2ba cosCcosCb 22c 2 a2bc222a cb 22ac222b 2a c2abB )B ． cosA<sinB 且 cosB<sinA D ． cosA<sinB 且 cosB>sinA9、三角形内切圆的半径：2S bc，特别地， r 直a b c 斜616、已知 ABC 的内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若sin A ，b3sinB ，33则 a 等于．（ 3 ）336 12 6,12 6 24)2、已知 △ ABC 的周长为 2 1，且sinA sinB 2sinC ．（1）求边 AB 的长；1（2）若 △ ABC 的面积为 sin C ，求角 C 的度数．专题：三角形个数4、已知△ ABC中，A 30o ， C 105o ， b 8，则 a 等于（B ）A ． 4B.4 2C.4 3D.4 55、在△ ABC 中，a＝10，B=60°,C=45° ,则 c 等于（ B）A ． 10 3B ． 10 3 1C ． 3 1D ． 10 3C ． 3D ． 2等于（）A ． 6B ．27、△ ABC 中， B 45o，C60o ， c 1，则最短边的边长等于（B.3: 2两部分，则 cosA （ C ）1 13 A .B .C .324cos2Acos2B119、在△ ABC 中，证2222ab 2a 2b 2D .0证明：cos2Acos2B 1 2sin 2 Ab 21 2sin2 Bb 21 1 sin2 A sin 2 B 222 2 2a b a b由正弦定理得：sin 2 Aa 22sinb 2cos2A 2a专题：两边之和1、在△ ABC 中，A ＝60°， B ＝45°， cos2B b 21b 2ab 12， a ＝；b ＝ .8、△ ABC 中，A:B1: 2，C 的平分线 CD 把三角形面积分成1、△ ABC中，∠ A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ ABC （ C ） A.有一个解 B.有两个解C.无解D.不能确定2、Δ ABC中,a=1,b= 3 , ∠ A=30° ,则∠ B等于（ B ）A．60°B．60°或120° C．30°或150° D．120°3、在△ ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ D ）A．b = 10，A = 45°， B = 70°B．a = 60，c = 48，B = 100°C．a = 7，b = 5，A = 80°D．a = 14，b = 16，A = 45°4、符合下列条件的三角形有且只有一个的是（ D ）A．a=1,b=2 ,c=3 B．a=1,b= 2 ,∠ A=30°专题：等比叠加D. 32专题：变式应用1、在△ ABC中，若∠ A:∠ B:∠C=1:2:3,则a : b : c 1: 3:22、已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶3 ∶2，则A∶B∶C等于( A )A．1∶2∶3B．2∶3∶1C．1：3：2D．3：1：23、在△ ABC 中，周长为7.5cm ，且sinA ：sinB：sinC＝4：5：6,下列结论：① a:b:c4:5:6② a:b:c 2: 5 : 6 ③a2cm,b 2.5cm,c 3cm④ A: B:C 4:5:6其中成立的个数是( C )A．0 个B． 1 个C．2个D．3个5、C．a=1,b=2,∠ A=100°C．b=c=1, ∠B=45°在△ ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情况是（A．无解B．一解C．二解B）D．不能确定6、满足A=45 ,c= 6 ,a=2 的△ ABC 的个数记为m, 则 a m 的值为（ A ）7、8、A．4 B．2 C．1 D．不定已知△ ABC 中，a181,b 209,A 121 ，则此三角形解的情况是无解在△ ABC中，已知50 3 ，c 150 ，B 30o，则边长a。

高考数学讲义解三角形.参考教案.教师版

正余弦定理和解三角形的实际应用要求层次重难点正余弦定理C 使学生掌握正、余弦定理及其变形；能够灵活运用正、余弦定理解题解三角形C1.直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a . (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2.(勾股定理) (2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；(3)边角之间的关系：(锐角三角函数定义)sin A ＝cos B ＝a c ，cos A ＝sin B ＝bc ，tan A ＝a b. 2.斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边. (1)三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π.(2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.知识内容高考要求模块框架解三角形2sin sin sin a b cR A B C===.(R 为外接圆半径) (3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨⎪⎪=+-⎩+-⎪=⎪⎩3.三角形的面积公式：(1)S △＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高)； (2) S △＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3) S △＝2sin sin 2sin()a B C B C +＝2sin sin 2sin()b C A C A +＝2sin sin 2sin()c A BA B +；(4) S △＝2R 2sin A sin B sin C .(R 为外接圆半径) (5) S △＝4abcR； (6) S △＝()()()s s a s b s c ---；1()2s a b c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；(海伦公式)(7) S △＝r ·s . 4.解三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设△ABC 的三边为a 、b 、c ，对应的三个角为A 、B 、C . (1)角与角关系：A +B +C = π；(2)边与边关系：a + b > c ，b + c > a ，c + a > b ，a -b < c ，b -c < a ，c -a > b ； (3)边与角关系：正余弦定理. 5.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点.6.推论：正余弦定理的边角互换功能①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R= ③sin sin sin a b c A B C ===sin sin sin a b c A B C++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C =⑤222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+- 222sin sin sin 2sin sin cos B C A C A B =+- 222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-7.三角形中的基本关系式：sin()sin ,cos()cos B C A B C A +=+=-，sincos ,cos sin 2222B C A B C A++== 解斜三角形和证明三角形全等或相似类似，已知条件必须能确定这个三角形，才能求出唯一的其他未知条件的解．如果已知条件不能确定一个三角形，则可能无解或有两板块一. 三角形中的有关问题【例1】 ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B = （）A ．14 B ．34C D【考点】三角形中的有关问题【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】利用余弦定理【答案】B【例2】在ABC ∆中，下列等式总能成立的是（）()A cos cos a C c A = ()B sin sin b C c A =()C sin sin ab C bc B = ()D sin sin a C c A =【考点】三角形中的有关问题【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】略【答案】D【例3】 △ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于（）A.231+ B.1+3 C.232+ D.2+3【考点】三角形中的有关问题【难度】1星【题型】选择【关键词】无【解析】 ∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .又△ABC 的面积为23，且∠B =30°，故由S △ABC =21ac sin B =21ac sin30°=41ac =23，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12.由余弦定理，得cos B =ac b c a 2222-+=6212422⨯--b b =442-b =23，解得b 2=4+23.又b 为边长，∴b =1+3.【答案】B【例4】在锐角ABC ∆中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.【考点】三角形中的有关问题【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】由2222221212c c⎧+>⎪⎨+>⎪⎩c <<，同时也满足任意两边之和大于第三边【答案】【例5】已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为．【考点】三角形中的有关问题【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】由已知得060B =，再由余弦定理可得【例6】在△ABC 中，7,8,9a b c ===，则AC 边上的中线BD 长为．【考点】三角形中的有关问题【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】 22222211()2()cos 2211()2()cos()22c b BD b BD ADB a b BD b BD ADB π⎧=+-⨯⨯⨯∠⎪⎪⎨⎪=+-⨯⨯⨯-∠⎪⎩ 两式相加可得【答案】7【例7】在ABC △，角,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若三角形的面积14S =()222a b c +-，则∠C 的度数是_______. 【考点】三角形中的有关问题【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】由S=41()222a b c +-得21absinC=41·2abcosC.∴tanC=1.∴C=4π. 【答案】45°【例8】在ABC △中，sin A =CB CB cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状.【考点】三角形中的有关问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】略【答案】应用正弦定理、余弦定理，可得a =abcb a ca b ac cb 22222222-++-++，所以()()()2222b a b c a c bc b c -+-=+. 所以()()()233b c a b c bc b c +=+++. 所以222a b bc c bc =-++.所以222a b c =+. 所以ABC △是直角三角形.板块二.解三角形综合【例9】 E ，F 是等腰直角ABC △斜边AB 上的三等分点，则tan ECF =∠A ．1627B ．23CD ．34【考点】解三角形综合【难度】3星【题型】选择【关键词】2010年，江西，高考【解析】略【答案】D ；【例10】在ABC ∆中，若1b =，c =，2π3C ∠=，则a = ．【考点】解三角形综合【难度】3星【题型】填空【关键词】2010年，北京，高考【解析】略【答案】1【例11】设ABC △是锐角三角形，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且22ππsin sin sin sin 33A B B B ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．⑴求角A 的值；⑵12AB AC ⋅=u u u r u u u r，a =b ，c （其中b c <）．【考点】三角函数的单调性与值域【难度】5星【题型】解答【关键词】2010年，安徽，高考【解析】略【答案】⑴因为2211sin sin cos sin 22A B B B B B ⎫=+-+⎪⎪⎝⎭⎝⎭222313cos sin sin 444B B B =-+=，所以sin A =，又A 为锐角，所以π3A =． ⑵由12AB AC ⋅=u u u r u u u r可得cos 12cb A =． ①由（Ⅰ）知π3A =，所以24cb = ②由余弦定理知2222cos a c b cb A =+-，将a =2252c b += ③③+②2⨯，得()2100c b +=，所以10c b +=．因此，c ，b 是一元二次方程210240t t -+=的两个根．解此方程并由c b >知6c =，4b =．【例12】某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位m ），如示意图，垂直放置的标杆BC高度4m h =，仰角ABE α∠=，ADE β∠=⑴ 该小组已经测得一组α、β的值，tan 1.24α=，tan 11.20β=，请据此算出H的值；⑵ 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d （单位m ），使α与β之差较大，可以提高测量精度，若电视塔实际高度为125m ，试问d 为多少时，a β-最大？αβBCEAD【考点】解三角形综合【难度】5星【题型】解答【关键词】2010年，江苏，高考【解析】略【答案】⑴ 由tan HAB α=，tan h BD β=及，tan H AD β=AB BD AD +=，得αβBCEADH htan tan tan H h Hαββ+=解得：tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20h H ααβ⨯===--因此，算出的电视塔的高度h 是124m ． ⑵ 由题设知d AB =，得tan H dα=，由tan tan H h AB AD BD ββ=-=-，得tan H hdβ-=，所以tan tan tan()()1tan tan h H H h d dαβαβαβ--==-++当且仅当()H H h d d-=，即d ===时，上式取等号）所以当d =时，tan()αβ-最大．因为π02βα<<<，则π02αβ<-<，所以当d =时，αβ-最大．故所求的d是．【例13】已知ABC △的内角A ，B 及其对边a ，b ．满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．【考点】解三角形综合【难度】5星【题型】解答【关键词】2010年，全国卷Ⅰ，高考【解析】略【答案】由cot cot a b a A b B +=+及正弦定理得sin sin cot cos A B A B +=+， sin cot cos sin A A B B -=-，从而ππππsin cos cos sin cos sin sin cos 4444aA A B B -=-，ππsin sin 44A B ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又0πA B <+<，故ππ44A B -=-，π2A B +=，所以，π2C =．板块三.实际应用问题【例14】甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为030，则甲、乙两楼的高分别是（）A B ,C ,m D【考点】实际应用问题【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】略【答案】A【例15】一只汽球在2250m 的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A 点处的俯角为018，汽球向前飞行了2000m 后，又测得A 点处的俯角为082，则山的高度为（精确到1m ）（） A 1988mB 2096mC 3125mD 2451m 【考点】实际应用问题【难度】2星【题型】选择【关键词】无【解析】略【答案】B【例16】已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛，A 向北偏东025方向，B 向西偏北020方向，若A 的航行速度为25 nmi/h ，B 的速度是A 的35，过三小时后，A 、B 的距离是．【考点】实际应用问题【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】略【答案】90.8 nmi【例17】上海浦东有两建筑物A 、B ，由于建筑物中间有障碍物，无法丈量出它们之间的距离，请你在浦西不过江，利用斜三角形的知识，设计一个测量建筑物A 、B 间距离的方案，并给出具体的计算方法．【考点】实际应用问题【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】略【答案】在浦西选取C 、D 测得 CD a =，∠ADC=α，∠A CD=β，∠BCD=θ，∠BDC=ϕ在△BCD 中：BC=sin sin sin sin()CD a B ϕϕθϕ⋅=+在△ACD 中： sin sin sin sin()CD a AC A αααβ⋅==+ 在△ABC 中 222cos AB BC AC BC AC BCA =+-∠g g2222222sin sin 2sin sin cos()sin ()sin ()sin()sin()a a a ϕαϕαθβθϕαβθϕαβ=+--++++【例18】如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC 。

2020高中数学第1章解三角形章末复习课讲义 5

第1章解三角形利用正、余弦定理解三角形【例1】ABC A B C a，b，c.已知b＋c＝2a cos B.（1)证明：A＝2B；(2）若△ABC的面积S＝错误!，求角A的大小．［解] (1）证明：由正弦定理得sin B＋sin C＝2sin A cos B，故2sin A cos B＝sin B＋sin（A＋B)＝sin B＋sin A cos B＋cos A sin B，于是sin B＝sin(A－B）．又A,B∈（0，π），故0〈A－B〈π，所以B＝π－(A－B）或B ＝A－B,因此A＝π（舍去)或A＝2B，所以A＝2B.（2)由S＝错误!，得错误!ab sin C＝错误!，故有sin B sin C＝错误!sin 2B＝sin B cos B，因为sin B≠0，所以sin C＝cos B，又B，C∈(0，π），所以C＝错误!±B.当B＋C＝错误!时,A＝错误!；当C－B＝错误!时，A＝错误!.综上，A＝错误!或A＝错误!。

解三角形的一般方法1已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C,由正弦定理求a，b.2已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B ＋C＝π，求另一角。

3已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况。

4已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.1．(2019·全国卷Ⅲ）△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b，c.已知a sin错误!＝b sin A.（1)求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．［解] (1)由题设及正弦定理得sin A sin错误!＝sin B sin A.因为sin A≠0，所以sin错误!＝sin B。

由A＋B＋C＝180°，可得sin错误!＝cos错误!,故cos错误!＝2sin 错误! cos错误!。

高三同步课程数学讲义：解三角形【学生版】

高三课程同步数学讲义“解三角形”讲义编号：本讲义目的在于让同学了解解三角形的思想，掌握不同的解三角形的方法，可以熟练使用正余弦定理及三角形相关的知识来成功完成解三角形的解题过程。

已知c b a 、、分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且。

（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若，求的值。

知识点二：具体问题中利用正弦定理解三角形。

知识点三：具体问题中利用余弦定理解三角形。

知识点四：同时利用正余弦定理解三角形。

知识点五：解三角形与实际问题的结合。

1. 解三角形思想的宏观认识。

情况一：已知一边二角（a 、B 、C ）——选用正弦定理。

一般解法为：由180=++C B A 求角A ，由正弦定理求出b 、c ，在有解时只有一解。

情况二：已知两边和夹角（a 、b 、C ）——选用余弦定理。

一般解法为：由余弦定理求第三边，由正弦定理求出小边所对的角，再由180=++C B A 求出另一角，在有解时只有一解。

情况三：已知三边（a 、b 、c ）——选用余弦定理。

一般解法为：由余弦定理求出角A 、B ，再结合180=++C B A 求出角C ，在有解时只有一解。

情况四：已知两边和其中一边的对角（a 、b 、A ）——选用正弦定理。

一般解法为：由正弦定理求出角B ，由180=++C B A 求出角C ，再使用正弦定理求出c ，可有两解、一解或无解。

2. 具体问题中利用正弦定理解三角形。

例1 在△ABC ，内角A ，B ，C 所对的边长分别c b 、、a .b A B c C B a 21cos sin cos sin =+且b a >,B= （）A ．B ．C ．D ．3.具体问题中利用余弦定理解三角形例2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a 、、若a ＝4，A ＝，则该三角形面积的最大值是( )A ．22B ．33C ．34D ．244.同时利用正余弦定理解三角形例3 在△ABC 中，C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤．则A 的取值范围是（）A ．（0，]B ．[，）C ．（0，]D ．[，）解三角形与实际问题的结合。

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XX教育，让每个孩子更优秀!XX教育学科教师辅导讲义组长签字：一、导入目录1、必备基础知识2、不同类型典型例题及应用~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~二、课前自主学习梳理中学阶段学习的三角形的相关知识和定理~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~三、知识梳理+经典例题知识点一：三角形中各元素间的关系1、在直角△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。

（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinA ＝cosB ＝c a ，cosA ＝sinB ＝c b ，tanA ＝b a。

2、斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。

（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。

（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等R C cB b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2＝b2＋c2－2bccosA ； b2＝c2＋a2－2cacosB ； c2＝a2＋b2－2abcosC知识点二：三角形的面积公式（1）∆S ＝21aha ＝21bhb ＝21chc （ha 、hb 、hc 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）∆S ＝21absinC ＝21bcsinA ＝21acsinB ；（3）三角形面积=abc/4R(其中R 是三角形外接圆半径） (4) S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)] （其中（p=(a+b+c)/2））知识点三：解三角形由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。

经典例题：题型1：正、余弦定理例1．（1）在∆ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形；（2）在∆ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。

解：（1）根据三角形内角和定理，0180()=-+C A B 000180(32.081.8)=-+066.2=；根据正弦定理， 00sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；根据正弦定理，0sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A（2）根据正弦定理， 0sin 28sin40sin 0.8999.20==≈b A B a因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B①当064≈B 时， 00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，0sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A②当0116≈B 时，00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，00sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器题型2：三角形面积4560,105.A ==13tan(4560)2313++==---,45sin(105= 20180,sin 1(sin 2)2A A A <<∴>=-另解 (sin -A由面积公式得21bcsinA=21acsinB 。

∵b2=ac ，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB 。

∴cB b sin =sinA=23。

评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。

题型4：正、余弦定理判断三角形形状例4．在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosB ＝sinC =sin （A ＋B ）=sinAcosB+cosAsinB ∴sin （A －B ）＝0，∴A ＝B 另解：角化边点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径题型5：三角形中求值问题例5．ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值。

解析：由A+B+C=π，得B+C 2=π2 －A 2，所以有cos B+C 2 =sin A2。

cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin2A 2 + 2sin A 2=－2(sin A 2 － 12)2+ 32；当sin A 2 = 12，即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为32。

点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。

题型6：正余弦定理的实际应用例6．（2009辽宁卷文，理）如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B ，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。

测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为，，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为，AC=0.1km 。

试探究图中B ，D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B ，D 的距离（计算结果精确到0.01km ， 1.414，2.449）解:在△ABC 中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD=BA ，在△ABC 中，即AB=因此，BD=故B ，D 的距离约为0.33km 。

点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。

三、思维总结1．解斜三角形的常规思维方法是：750300602≈6≈,ABCsin CBCA sin ∠=∠A AB ,2062315sin ACsin60+=。

km 33.020623≈+（1）已知两角和一边（如A 、B 、C ），由A+B+C = π求C ，由正弦定理求a 、b ；（2）已知两边和夹角（如a 、b 、c ），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a 、b 、A ），应用正弦定理求B ，由A+B+C = π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a 、b 、c ，应余弦定理求A 、B ，再由A+B+C = π，求角C 。

2．三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，… 3．两内角与其正弦值：在△ABC 中，B A B A sin sin <⇔<，…4．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~五、归纳总结 1、正玄定理 2、余弦定理3、解三角形4、求解三角形面积认真思考下列问题：1、通过本堂课的学习我收获了什么？在知识点标题上画“√”2、我还有哪些没有解决的困惑？在知识点标题上画“×”~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~六、课后作业1.（2010上海文数18.）若△的三个内角满足，则△ （）（A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.2.（2010天津理数7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若，，则A=( )（A ）（B ）（C ）（D ）3.（2010湖北理数）3.在中，a=15,b=10,A=60°，则=A －BC －D4.（2010广东理数）11.已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .5（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于，的取值范围为 .ABC sin :sin :sin 5:11:13A B C =ABC 223a b bc -=sin 23sin C B =03006001200150ABC ∆cos B 22322363633ABC ∆1,2,BC B A ==cos ACA AC（2009全国卷Ⅰ理）在中，内角A 、B 、C 的对边长分别为、、，已知，且求b7．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tan C A C A ++的值。

8.（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且（I ）求的值；（II ）若，求的值。

9.（2010陕西文数17）（本小题满分12分）在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.10.（2010辽宁文数17）（本小题满分12分）在中，分别为内角的对边，且（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，试判断的形状.ABC ∆a b c 222a c b -=sin cos 3cos sin ,A C A C =ABC ∆A B 、A B C 、、a b c 、、510sin ,sin 510A B ==A B +21a b -=-a b c 、、ABC ∆a b c 、、A B C 、、2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++A sin sin 1B C +=ABC ∆。