信息熵的性质
3第二章2-熵的性质
∑ P(a ) = 1
i =1 i
q
•定义自信息的数学期望为平均自信息量H(X)，称为信息熵： 定义自信息的数学期望为平均自信息量 信息熵： 定义自信息的数学期望为平均自信息量 ，称为信息熵
我们用概率矢量 来表示 率分布P(x)： 来表示概 我们用概率矢量P来表示概率分布 ：
4、扩展性 、
lim H q +1 ( p1 , p 2 ,..., p q − ε , ε ) = H q ( p1 , p 2 ,..., p q )
ε →0
因为
ε →0
lim H q +1 ( p1, p2 ,⋅ ⋅ ⋅, pq − ε , ε )
= lim{−∑ pi log pi − ( pq − ε ) log( pq − ε ) − ε log ε }
∑p
i =1
n
i
= 1,
∑q
j =1
m
j
=1
∑∑ p q
i =1 j =1 i
n
m
j
=1
p ( xi y j ) = p ( xi ) p ( y j ) = pi q j
可加性是熵函数的一个重要特性。 可加性是熵函数的一个重要特性。
证明： 证明：
H nm ( p1 q1 , p1 q 2 ,..., p1 q m , p 2 q1 ,..., p n q m )
q −1 i =1
= −∑ pi log pi =H q ( p1 , p2 ,⋅ ⋅ ⋅, pq )
i =1
ε →0 q
lim ε log ε = 0
ε →0
所以， 所以，上式成立
性质说明：信源的取值数增多时， 性质说明：信源的取值数增多时，若这些取值对应的概率 很小(接近于零 则信源的熵不变。 接近于零)， 很小 接近于零 ，则信源的熵不变。
通信原理信息熵
通信原理信息熵通信原理中的信息熵是指在信息传输中所包含的信息量的度量。
信息熵的概念最早由克劳德·香农在1948年提出，他定义了信息熵作为信息传输中的不确定性度量。
信息熵通常用来描述一个随机变量中所包含的信息量的平均值。
在通信系统中，信息熵可以用来衡量信息源的不确定性，即信息源产生的符号的平均信息量。
信息熵越高，表示信息源产生的符号越不确定，需要更多的信息来描述。
相反，信息熵越低，表示信息源产生的符号越确定，需要较少的信息来描述。
信息熵的计算公式为H(X) = - Σ P(x) log2 P(x)，其中P(x)为随机变量X取某个值的概率。
这个公式告诉我们，信息熵的计算需要知道每个符号出现的概率。
如果一个符号出现的概率很高，那么它所携带的信息量就很低，因为我们可以预测它的出现。
相反，如果一个符号出现的概率很低，那么它所携带的信息量就很高，因为它的出现是不可预测的。
信息熵的单位是比特（bit），表示信息量的大小。
一个比特表示一个二进制选择的结果，即两种可能性中的一种。
例如，抛一次硬币的结果可以用1比特来表示，因为它有两种可能的结果：正面或反面。
如果我们抛两次硬币，结果可以用2比特来表示，因为它有四种可能的结果：正正、正反、反正、反反。
在通信系统中，信息熵的概念对于设计编码方案和传输协议非常重要。
在编码方案中，我们希望尽可能地利用信息熵的特性，减少冗余信息，提高编码效率。
在传输协议中，我们需要考虑信道容量和传输速率，以确保能够有效地传输信息。
信息熵的概念也与信息压缩和数据压缩密切相关。
在信息压缩中，我们希望通过去除冗余信息来减少数据的存储空间和传输带宽。
信息熵提供了一个理论上的界限，即最低的压缩率。
在数据压缩算法中，我们可以利用信息熵的特性来设计压缩算法，以提高压缩效率。
除了信息熵，通信原理中还有其他重要的概念，如信噪比、传输速率和带宽等。
这些概念共同构成了通信系统的基础知识。
了解和理解这些概念对于设计和优化通信系统非常重要。
信息论基础——熵
信息论基础——熵
熵、联合熵与条件熵
所以
H(XY) p (x iy j)I(x iy j) p (x iy j)lo p (x ig y j)
i,j
i,j
p(xiyj)lop(g yj)p(xi/yj)
i,j
p (x iy j)lo p (y g j) p (x iy j)lo p (x g i/y j)
说明：
从数学角度： H(P)= pi ·log pi 中的和式满足交换率；
从随机变量的角度：熵只与随机变量的总体统计特性有关。
信息论基础——熵
信息熵的基本性质
一个例子：
P ( x x ) 1 a / 1 3 1 a / 2 6 1 a / 3 2 , P ( y y ) 1 a / 1 6 1 a / 2 2 1 a / 3 3 , P ( z z ) 1 a / 1 3 1 a / 2 2 1 a / 3 6 H(X)H(1,1,1)1.45(B9/iSt ym ) bol 362 H(Y)H(1,1,1)1.45(B9/iSt ym ) lob H (X )H (Y)H (Z) 623 H(Z)H(1,1,1)1.45 (B9/iSt ym ) bol 326
由熵联合熵与条件熵ijijixypxpyxp?jijyxpyp??ijjiyxpiixp???j?jyphxyhyhxy所以?xyh?iyjy?ixix??jjijijjijiyxpyxpyxiyxplogloglogxxppyyppyypp?i????熵联合熵与条件熵ijjjlogjjjypyp?h??logjijijiyxpyxp??yxhy??loglogjijijijijjiyxpyxpypyxp????例例某一二维离散信源某一二维离散信源其发出的符号只与前一个符号有关其发出的符号只与前一个符号有关即可用联合概率xxjj给出它们的关联程度给出它们的关联程度如下表所示如下表所示即可用联合概率pxpxii14194361121031??????????????????iipxpxpxpxiixxjjjjxi??求信源的熵求信源的熵hxhx条件熵条件熵hxhx22xx11和联合熵和联合熵hxhx11xx22
信息论基础理论与应用考试题及答案
信息论基础理论与应用考试题及答案信息论基础理论与应用考试题一﹑填空题（每题2分，共20分）1.信息论研究的目的就是要找到信息传输过程的共同规律，以提高信息传输的（可靠性）﹑（有效性）﹑保密性和认证性，使信息传输系统达到最优化。
（考点：信息论的研究目的）2.电视屏上约有500×600=3×510个格点，按每点有10个不同的灰度等级考虑，则可组成531010⨯个不同的画面。
按等概计算，平均每个画面可提供的信息量约为（610bit /画面）。
（考点：信息量的概念及计算）3.按噪声对信号的作用功能来分类信道可分为 （加性信道）和 （乘性信道）。
（考点：信道按噪声统计特性的分类）4.英文电报有32个符号（26个英文字母加上6个字符），即q=32。
若r=2，N=1，即对信源S 的逐个符号进行二元编码，则每个英文电报符号至少要用 （5）位二元符号编码才行。
（考点：等长码编码位数的计算）5.如果采用这样一种译码函数，它对于每一个输出符号均译成具有最大后验概率的那个输入符号，则信道的错误概率最小，这种译码规则称为（最大后验概率准则）或（最小错误概率准则）。
（考点：错误概率和译码准则的概念）6.按码的结构中对信息序列处理方式不同，可将纠错码分为（分组码）和（卷积码）。
（考点：纠错码的分类）7.码C=｛（0，0，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（0，0，1，1）｝是（（4，2））线性分组码。
（考点：线性分组码的基本概念）8.定义自信息的数学期望为信源的平均自信息量，即（11()log ()log ()()q i i i i H X E P a P a P a =⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦∑）。
（考点：平均信息量的定义）9.对于一个（n,k）分组码，其最小距离为d，那么，若能纠正t个随机错误，同时能检测e（e≥t）个随机错误，则要求（d≥t+e+1）。
（考点：线性分组码的纠检错能力概念）10.和离散信道一样，对于固定的连续信道和波形信道都有一个最大的信息传输速率，称之为（信道容量）。
信息熵(informationentropy)百科物理
信息熵（informationentropy）百科物理
信息熵（informationentropy）百科物理
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信息熵（informationentropy）
信息熵(informationentropy)
是信息论中信息量的统计表述。
香农(Shannon)定义信息量为：`I=-Ksum_ip_ilnp_i`，表示信息所消除的不确定性(系统有序程度)的量度，K为待定常数，pi为事件出现的概率，$sump_i=1$。
对于N个等概率事件，pi=1/N，系统的信息量为I=-Klnpi=KlnN。
平衡态时系统热力学函数熵的最大值为$S=-ksum_iW_ilnW_i=klnOmega$，k为玻尔兹曼常数，Wi=1/为系统各状态的概率，$sum_iW_i=1$，为系统状态数，熵是无序程度的量度。
信息量I与熵S具有相同的统计意义。
设K为玻尔兹曼常数k，则信息量I可称信息熵，为
$H=-ksum_ip_ilnp_i$，信息给系统带来负熵。
如取K=1，对数底取2，熵的单位为比特(bit);取底为e，则称尼特。
信息熵是生命系统(作为非平衡系统)在形成有序结构耗散结
构时，所接受的负熵的一部分。
由查字典物理网独家提供信息熵(informationentropy)百
科物理，希望给大家提供帮助。
信息熵基本性质的研究
从某种意义上说 ,教育系统是一种包括人在内的复杂信息系统. 由于系统的变化性 、多样 性和模糊性 ,长期以来 ,教育研究和实践工作往往对教育系统及系统中的信息缺乏有效的分析 和处理 ,因而难以对教育系统进行有效的控制. 特别是在教育系统的评价体系中 ,相当多的研 究工作基本上停留在定性描述的水平 ,有失科学的严谨性. 信息科学理论中信息熵概念的引 入 ,为教育工作者提供了一种分析教育系统 、处理教育信息的有效方法 ,使得对教育教学信息 传递与接收的分析由定性分析阶段进入定量研究阶段.
可求得
Pi
=
1 n
(常数) . 同理有
P1
=
P2
=
…=
Pn
=
1 n
(常数)
, 即当
P1
=
P2
=
…=
Pn
=
1 n
时
,
H
有极大值.
2. 2 对称性
信息熵的对称性可表述为 :设某一概率系统中 n 个事件的概率分布为 ( P1 , P2 , …, Pn) , 当对事件位置的顺序进行任意置换后 ,得到新的概率分布为 ( P′1 , P′2 , …, P′n) ,并有以下关系 成立 :
个 ,在用信息熵分析教学系统时应特别注意这一性质.
对以上 概 率 系 统 予 以 扩 张 , 假 设 概 率 系 统 有 3 个 事 件 , 概 率 分 别 为 P1 、P2 、P3 , 且
P1 + P2 + P3 = 1 ,可以化为 P1 + ( P2 + P3) = 1. 不难证明上述结论仍然成立.
参考文献 :
[ 1 ] 薛理银. 教育信息处理原理 [ M ] . 北京 :北京师范大学出版社 ,1996. [ 2 ] 傅德荣 ,章慧敏. 教育信息处理 [ M ] . 北京 :北京师范大学出版社 ,2001. [ 3 ] 王孝玲. 教育统计学 [ M ] . 上海 :华东师范大学出版社 ,2001.
2.2熵函数的性质
2.2 熵函数的性质熵函数•H(P)是概率矢量P 的函数，称为熵函数。
•表示方法：–用H(x)表示随机变量x 的熵；–用H(P)或H(p 1, p 2 , …, p q )表示概率矢量为P = (p 1, p 2, …, p q )的q 个符号信源的熵。
–若当q =2 时，因为p 1+p 2 = 1, 所以将两个符号的熵函数写成H(p 1)或H(p 2)。
•熵函数H(P)是一种特殊函数，具有以下性质。
2、确定性：H(1,0)=H(1,0,0)=H(1,0,0…,0)=0•性质说明：这个信源是一个确知信源，其熵等于零。
3、非负性：H(P) ≥0•说明：–这种非负性合适于离散信源的熵，对连续信源来说这一性质并不存在。
以后可看到在相对熵的概念下，可能出现负值。
非负性体现信息是非负的。
4、扩展性•性质说明：信源的取值数增多时，若这些取值对应的概率很小(接近于零)，则信源的熵不变。
),...,,(),,...,,(lim 212110q q q q p p p H p p p H =−+→εεε),,,(log 211q q qi i i p p p H p p ⋅⋅⋅=−=∑=}log )log()(log {lim 110εεεεε∑−=→−−−−−=q i q q i i p p p p 所以，上式成立),,,,(lim 2110εεε−⋅⋅⋅+→q q p p p H 因为5、可加性()()(/)()()(/)(|)(|)(/)H X Y H X H Y X H X Y H Y H X Y H X Y Z H X Z H Y X Z =+=+=+统计独立信源X 和Y 的联合信源的熵等于信源X 和Y 各自的熵之和。
H(XY) = H(X)+ H(Y)可加性是熵函数的一个重要特性，正因具有可加性，才使熵函数的形式是唯一的。
222()log ()()log (/)log ()()(/)()(/):()()(/)(/)1i j i i j j i ijiji i j i j yp x y q x p x y p y x q x p x y H Y X H X H Y X p xy q x p y x p y x =−−⎡⎤=−+⎢⎥⎣⎦=+==∑∑∑∑∑∑∑利用可加性证明22()()log ()()log [()(/)]i j i j iji j i j i ijH XY p x y p x y p x y q x p y x =−=−∑∑∑∑同理=+H XY Z H X Z H Y XZ(|)(|)(/)复习链式法则()()()|H X Y HX HYX=+()()()()()()121213*********...//.../.../...n n n ni i i H X X X H X H X X H X X X H X X X X H X X X X −−==++++=∑复习熵函数的性质H(p 1,p 2,…, p n )对称性非负性极值性连续性扩展性可加性()()()()()()()()()1222122211111211122112221,,...,,...,,...,,,.,,...,,,..,,,...,||n nn n n n n n m nn i i x m i im i Xm q H q p q p q p H q q q q H p p p H XY H X H Y X p q q q p q p H X q x H q x p Y q p =∈=+=+=+∑∑定理：1. H(X/Y ) ≤H (X )2. H (XY ) ≤H (X )+H (Y )证明：222(/)((/)()log (/)()/)(/)()log ()log ()i j i j ijj ji j i j i j i j j i i p x y p x y p H X Y p x y p x y p y p y H p x X x y =−⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦⎡⎤≤−⎢⎥⎣⎦=∑∑∑∑∑∑()()/j H X y H X 与大小比较?\1211/81/825/81/8x y ()()/j H X y H X 与大小比较?定义概率矢量满足仅K-1个分量独立。
信息熵与热力学熵
信息熵与热力学熵信息熵与热力学熵December 2nd, 2011化学及热力学中所指的熵，是一种测量在动力学方面不能做功的能量总数。
熵亦被用于计算一个系统中的失序现象，用来衡量一个系统混乱程度的度量。
热力学熵熵是什么呢？宏观上--体系的熵等于可逆过程吸收或耗散的热量除以它的绝对温度，也就是一种测量在动力学方面不能做功的能量总数。
微观上--熵是大量微观粒子的位置和速度的分布概率的函数，是描述系统中大量微观粒子的无序性的宏观参数。
举例来讲果我们能看到橡皮筋的分子结构，我们会发现它的结构在拉紧和放松的状态时是不一样的。
放松的时候它的分子结构像一团乱麻交织在一起。
而在把橡皮筋拉长的时候，那些如同链状的分子就会沿着拉伸的方向比较整齐地排列起来。
于是我们可以看到两种状态：一种是自然，或者自发的状态。
在这种状态下结构呈混乱或无序状。
而另一种是在外界的拉力下规则地排列起来的状态。
这种无序的状态还可以从分子的扩散中观察到。
用一个密封的箱子，中间放一个隔板。
在隔板的左边空间注入烟。
我们把隔板去掉，左边的烟就会自然(自发)地向右边扩散，最后均匀地占满整个箱体。
这种状态称为无序。
在物理学里我们可以用熵的概念来描述某一种状态自发变化的方向。
比如把有规则排列的状态称为低熵而混乱的状态对应于高熵而熵则是无序性的定量量度。
热力学第二定律的结论是：一个孤立系统的熵永不减少。
换句话说，物质世界的状态总是自发地转变成无序；从低熵变到高熵。
比如，当外力去除之后，整齐排列的分子就会自然地向紊乱的状态转变；而箱子左边的烟一定会自发地向右边扩散。
这就是著名的熵增定律，熵增原理表示自然界会越来越无序。
信息熵那么信息熵是什么呢？一个 X 值域为x1,...,xn的随机变量的熵值 H 定义为：其中，E 代表了期望函数，而 I(X) 是 X 的信息量（又称为信息本体）。
I(X) 本身是个随机变量。
如果p 代表了X 的机率质量函数（probability mass function），则熵的公式可以表示为：信息熵可以认为是系统中所含有的平均信息量大小，也可以认为是描述一个系统需要的最小存储空间长度，即最少用多少个存储空间就可以描述这个系统。
第二章 信源和信息熵
第二章 信源和信息熵
2.1 信源的数学模型及分类
通信系统模型及信息传输模型：
第二章 信源和信息熵
一、离散无记忆信源
例：扔一颗质地均匀的正方体骰子，研究其下落后， 朝上一面的点数。每次试验结果必然是1点、2点、3点、 4点、5点、6点中的某一个面朝上。每次试验只随机出 现其中一种消息，不可能出现这个集合以外的消息， 考察此事件信源的数学模型。
• 平均符号熵就是信源符号序列中平均每个信 源符号所携带的信息量。
• 条件熵≤无条件熵；条件较多的熵≤条件较少 的熵，所以：
第二章 信源和信息熵
离 散 平 稳 信 源 性 质（H1(X)<∞时）：
• 条件熵随N的增加是递减的； • 平均符号熵≥条件熵； • 平均符号熵HN(X)随N增加是递减的； • 极限熵
且：I(X1;X2)＝I(X2;X1)
第二章 信源和信息熵
注意：任何无源处理总是丢失信息的，至多保持原来 的信息，这是信息不可增性的一种表现。
二、离散平稳信源的极限熵 设信源输出一系列符号序列X1,X2, ‥XN 概率分布： 联合熵：
定义序列的平均符号熵＝总和/序列长度，即：
第二章 信源和信息熵
即：收信者所获得的信息量应等于信息传输前 后不确定性的减少的量。
例：设一条电线上串联8个灯泡，且损坏的可 能性为等概，若仅有一个坏灯泡，须获知多少 信息量才可确认？
第二章 信源和信息熵
例解：
测量前，P1(x)＝1/8，存在不确定性： I(P1(x))＝log8＝3bit
第一次测量获得信息量： 第二次测量获得信息量： 第三次测量获得信息量： 每次测量获得1bit信息量，需三次测量可确定坏灯泡
例：运用熵函数的递增性，计算熵函数 H（1/3,1/3,1/6,1/6）的数值。
信息熵及其性质和应用
2012 年 06 月 25 日课程论文任务书学生姓名指导教师吴慧论文题目信息熵及其性质和应用论文内容（需明确列出研究的问题）：研究信息熵的目的就是为了更深入的了解信息熵，更好的了解信息熵的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。
文中介绍了信息熵的定义和性质及其应用。
使我们对信息熵有跟深入的了解。
资料、数据、技术水平等方面的要求：论文要符合一般学术论文的写作规范，具备学术性、科学性和一定的创造性。
文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。
内容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。
参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。
发出任务书日期 06月15日完成论文日期 06月25日教研室意见（签字）院长意见（签字）信息熵及其性质和应用信息与计算科学专业指导教师吴慧摘要：信息熵是随机变量不确定性的度量，文中从信息熵的定义出发，结合信息熵的性质，介绍了目前信息熵在具体问题中的应用。
信息是一个十分通俗而又广泛的名词，它是人类认识世界、改造世界的知识源泉。
人类社会发展的速度，在一定程度上取决于人类对信息利用的水平，所以对信息的度量就很有必要。
香农提出信息的一种度量，熵的定义形式，它是随机变量不确定性的度量，文中主要介绍熵的性质及其应用。
关键词；信息熵性质应用Information entropy and its properties and Application Student majoring in Information and Computing Science Specialty dongqiangTutor WuHuiAbstract：information entropy is a measure of uncertainty of random variable, this paper from the definition of information entropy, combined with the nature of information entropy, information entropy, introduced the specific issues in the application rmation is a very popular and widely noun, it is human understanding of the world, transforming the world knowledge source . The human society development speed, depend on on certain level the human make use of information level, so the measurement information is necessary.Shannon put forward the informa-tion a kind of measurement, the definition of entropy form, it is the uncertainty of random variable metric, this paper mainly introduces the property of entropy and its application.Key words:information entropy properties application引言:作为一种通俗的解释，熵是一种不规则性的测量尺度．这一种解释起源于香农在通讯理论的研究中，为确定信息量而提出的一种熵测度．对于离散概率分布p=(p 1,p…，p n )，香农熵定义为H(X)=E[I()]=log 在i x ∑-i p i p p 1+p 2+p 3+…p k =1的条件下，为使H （X ）最大，显然是p i ＝1/k （i=1,2,…，k ），即在等概率分布情况下H(X)达到最大值，换句话说，熵的值与不规则度（如果以等概率分布作为不规则性的极端表现）是一致的．这是熵作为一个概率测度的理论基础．物理学的发展为熵理论提供了更为现实的应用背景，热力学的第二法则既是所谓熵增大的法则，对孤立的系统，系统的热力学状态只能假定在熵增大的方向上起变化，Boltzmann 原理把熵引入了热力学的研究领域，他所提供的著名关系式S=klogw （ｗ是系统状态的概率）是后来Planck 的量变论及爱因斯坦的光量子理论开展的基础．人们对熵的认识和应用很长一段时间内都局限于理论物理领域，直到本世纪中叶，一些人开始注意到熵对系统不确定性度量的一般性，试图在行为科学和社会科学中更广泛地引用熵，对一些复杂现象加以刻划。
信息熵的概念及其在信息论中的应用
信息熵的概念及其在信息论中的应用信息熵是信息论中的一个重要概念，用来衡量信息的不确定性和随机性。
在信息论的发展中，信息熵被广泛应用于数据压缩、密码学和通信领域等。
本文将详细介绍信息熵的概念和其在信息论中的应用。
一、信息熵的概念信息熵是由美国科学家克劳德·香农（Claude Shannon）在1948年提出的，它是用来衡量随机变量中所包含的信息量。
香农认为，一个事件的信息量和它的不确定性是成正比的。
如果一个事件是确定的，它所包含的信息量就很小；相反，如果一个事件是完全不确定的，那么它所包含的信息量就会很大。
信息熵的计算公式如下：H(X) = -ΣP(x)log(P(x))其中，H(X)代表随机变量X的信息熵，P(x)代表随机变量X取值为x的概率，log代表以2为底的对数运算。
信息熵的单位通常用比特（bit）来表示，表示一个系统所能提供的平均信息量。
比特值越大，代表信息的不确定性越高，信息量越大。
信息熵的概念与热力学中的熵有些相似，都是用来衡量混乱程度或者不确定性的指标。
而信息熵则更加关注于信息的有序性和随机性。
二、信息熵的应用1. 数据压缩信息熵在数据压缩中发挥着重要作用。
根据信息熵的原理，如果某段数据的信息熵较高，那么这段数据中存在较多的冗余信息。
通过将冗余信息删除或者使用更简洁的编码方式表示，可以实现对数据的压缩。
在实际应用中，常用的数据压缩算法如Huffman编码和Lempel-Ziv 编码等都是基于信息熵的原理设计的。
这些算法通过对数据进行分组和编码，去除数据中的冗余信息，从而实现高效的数据压缩。
2. 密码学信息熵在密码学中也有广泛的应用。
在设计密码算法时，我们希望生成的密钥具有高度的随机性和不可预测性，以保证密码的安全性。
信息熵可以被用来评估生成密钥的质量。
如果密钥的信息熵较高，说明密钥具有较高的随机性，对于攻击者来说更加难以猜测。
因此，在密码学中，信息熵可以作为评估密钥强度的一个重要指标。
熵的基本性质
熵熵熵熵熵熵
熵是一种常用的信息学量，它表示随机变量所具有的不确定性。
熵的基本性质包括：
1.熵是非负的，即熵值始终大于等于零。
2.熵是可加的，即对于两个独立的随机变量X和Y，它们的
熵之和等于两者单独的熵之和，即H(X,Y)=H(X)+H(Y)。
3.熵是可比较的，即对于两个随机变量X和Y，若它们的熵
值相等，则X和Y的不确定性是相同的。
4.熵可以减少，即对于随机变量X，如果知道了其条件概
率分布P(Y|X)，则X的熵减少了H(X|Y)的值。
5.熵是信息的度量，因此可以用来衡量信息的有效性和信
息的效率。
希望这些信息对您有帮助。
信息熵及其性质和应用
农业大学本科生课程论文论文题目信息熵及其性质和应用学生专业班级信息与计算科学09级2班学生学号20093992指导教师吴慧完成时间 2012年06月25日2012 年06 月25 日课程论文任务书学生指导教师吴慧论文题目信息熵及其性质和应用论文容（需明确列出研究的问题）：研究信息熵的目的就是为了更深入的了解信息熵，更好的了解信息熵的作用，更好地使用它解决现实生活中的问题。
文中介绍了信息熵的定义和性质及其应用。
使我们对信息熵有跟深入的了解。
资料、数据、技术水平等方面的要求：论文要符合一般学术论文的写作规，具备学术性、科学性和一定的创造性。
文字要流畅、语言要准确、论点要清楚、论据要准确、论证要完整、严密，有独立的观点和见解。
容要理论联系实际，计算数据要求准确，涉及到他人的观点、统计数据或计算公式等要标明出处，结论要写的概括简短。
参考文献的书写按论文中引用的先后顺序连续编码。
发出任务书日期06月15日完成论文日期06月25日教研室意见（签字）院长意见（签字）信息熵及其性质和应用信息与计算科学专业指导教师吴慧摘要：信息熵是随机变量不确定性的度量，文中从信息熵的定义出发，结合信息熵的性质，介绍了目前信息熵在具体问题中的应用。
信息是一个十分通俗而又广泛的名词，它是人类认识世界、改造世界的知识源泉。
人类社会发展的速度，在一定程度上取决于人类对信息利用的水平，所以对信息的度量就很有必要。
香农提出信息的一种度量，熵的定义形式，它是随机变量不确定性的度量，文中主要介绍熵的性质及其应用。
关键词；信息熵性质应用Information entropy and its properties andApplicationStudent majoring in Information and Computing Science Specialty dongqiangTutor WuHuiAbstract：information entropy is a measure of uncertainty of random variable, this paper from the definition of information entropy, combined with the nature of information entropy, information entropy, introduced the specific issues in the application rmation is a very popular and widely noun, it is human understanding of the world, transforming the world knowledge source . The human society development speed, depend on on certain level the human make use of information level, so the measurement information is necessary.Shannon put forward the informa-tion a kind of measurement, the definition of entropy form, it is the uncertainty of random variable metric, this paper mainly introduces the property of entropy and its application.Key words:information entropy properties application引言:作为一种通俗的解释，熵是一种不规则性的测量尺度．这一种解释起源于香农在通讯理论的研究中，为确定信息量而提出的一种熵测度．对于离散概率分布p=(p 1,p …，p n )，香农熵定义为H(X)=E[I(i x )]=∑-i p log i p 在p 1+p 2+p 3+…p k =1的条件下，为使H （X ）最大，显然是p i ＝1/k （i=1,2,…，k ），即在等概率分布情况下H(X)达到最大值，换句话说，熵的值与不规则度（如果以等概率分布作为不规则性的极端表现）是一致的．这是熵作为一个概率测度的理论基础．物理学的发展为熵理论提供了更为现实的应用背景，热力学的第二法则既是所谓熵增大的法则，对孤立的系统，系统的热力学状态只能假定在熵增大的方向上起变化，Boltzmann 原理把熵引入了热力学的研究领域，他所提供的著名关系式S=klogw （ｗ是系统状态的概率）是后来Planck 的量变论及爱因斯坦的光量子理论开展的基础．人们对熵的认识和应用很长一段时间都局限于理论物理领域，直到本世纪中叶，一些人开始注意到熵对系统不确定性度量的一般性，试图在行为科学和社会科学中更广泛地引用熵，对一些复杂现象加以刻划。
第5讲信息熵
1第5讲 随机变量的信息熵在概率论和统计学中，随机变量表示随机试验结果的观测值。
随机变量的取值是不确定的,但是服从一定的概率分布。
因此，每个取值都有自己的信息量.平均每个取值的信息量称为该随机变量的信息熵。
信息熵这个名称是冯诺依曼向香农推荐的。
在物理学中，熵是物理系统的状态函数，用于度量一个物理系统内部状态和运动的无序性。
物理学中的熵也称为热熵.信息熵的表达式与热熵的表达式类似，可以视为热熵的推广。
香农用信息熵度量一个物理系统内部状态和运动的不确定性。
信息熵是信息论的核心和基础概念，具有多种物理意义。
香农所创立的信息论是从定义和研究信息熵开始的。
这一讲我们学习信息熵的定义和性质。
1. 信息熵我们这里考虑离散型随机变量的信息熵，连续型随机变量的信息熵以后有时间再讨论,读者也可以看课本上的定义,先简单地了解一下。
定义1。
1 设离散型随机变量X 的概率空间为1212......n n x x x X p p p P ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦我们把X 的所有取值的自信息的期望称为X 的平均自信息量，通常称为信息熵，简称熵（entropy ），记为H(X)，即11()[()]logni i iH X E I X p p ===∑ (比特)信息熵也称为香农熵。
注意，熵H (X )是X 的概率分布P 的函数，因此也记为H (P ).定义1。
2 信息熵表达式中的对数底可取任何大于等于2的整数r,所得结果称为r —进制熵，记为H r （X )，其单位为“r-进制单位”。
我们有()()log r X H H rX =2注意，在关于熵的表达式中,我们仍然约定0log 00 0log00x==， 信息熵的物理意义：信息熵可从多种不同角度来理解.（1） H （X ）是随机变量X 的取值所能提供的平均信息量。
（2） 统计学中用H （X ）表征随机变量X 的不确定性,也就是随机性的大小。
例如，假设有甲乙两只箱子,每个箱子里都存放着100个球.甲里面有红蓝色球各50个，乙里面红、蓝色的球分别为99个和1个。
log 信息熵
log 信息熵信息熵（Information entropy）是信息论中用来度量随机变量不确定性的概念。
它由克劳德·香农（Claude Shannon）在1948年提出，并成为信息论的重要基础之一。
1. 信息熵的定义在信息论中，信息熵用来衡量一个随机变量的不确定性或者信息量。
对于一个离散型随机变量X，其信息熵H(X)的定义如下：H(X) = ΣP(x) log P(x)其中，P(x)表示随机变量X取值为x的概率。
信息熵的单位通常用比特（bit）来表示。
2. 信息熵的计算为了计算信息熵，需要知道随机变量X的概率分布。
假设X有n个可能的取值{x1, x2, ..., xn}，对应的概率分布为{p1, p2, ..., pn}。
则信息熵的计算公式为：H(X) = Σpi log pi其中，Σ表示求和运算。
根据这个公式，可以计算出随机变量X的信息熵。
3. 信息熵的性质信息熵具有以下几个性质：信息熵始终大于等于零，即H(X) >= 0。
当且仅当随机变量X是确定性的（即只有一个可能的取值）时，信息熵为零。
如果随机变量的取值越均匀，即各个取值的概率接近相等，那么信息熵越大。
反之，如果某些取值的概率远大于其他取值，那么信息熵越小。
信息熵是对称的，即H(X) = H(Y)当且仅当随机变量X和Y具有相同的概率分布。
如果一个随机变量可以表示为多个随机变量的联合分布，那么它的信息熵等于这些随机变量的信息熵之和。
4. 信息熵的应用信息熵在许多领域都有广泛的应用，下面列举了一些常见的应用场景：信息压缩：信息熵可以用来衡量信息的压缩效率。
对于一个离散型随机变量X，如果我们能够将其编码成一个二进制串，使得平均编码长度接近于信息熵H(X)，那么就能够实现高效的信息压缩。
数据压缩：信息熵可以用来评估数据的冗余度。
如果数据的信息熵较低，说明数据中存在较高的冗余性，可以通过压缩算法去除冗余信息，从而减少存储空间或者传输带宽。
信息熵的概念及其在信息论中的应用
信息熵的概念及其在信息论中的应用信息熵是信息论中一个重要的概念，它被用来衡量一段信息的不确定性或者说信息的平均编码长度。
熵的概念最早由克劳德·香农在1948年提出，对于信息的量化和信源编码具有重要的理论和实际应用。
本文将对信息熵的概念进行详细的介绍，并探讨其在信息论中的应用。
一、信息熵的定义信息熵可以看作是一个信源所产生的信息的不确定性度量。
当一个信源产生的符号具有均匀分布时，熵的值最大；而当信源的输出符号呈现高度集中的分布时，熵的值最小。
具体地，对于一个离散型信源，其熵的定义如下：H(X) = -Σp(x)log2p(x)，其中，H(X)表示信源X的熵，p(x)表示信源X输出符号x出现的概率。
二、信息熵的解释信息熵可以理解为对信息的平均编码长度的期望。
在信息论中，我们可以通过霍夫曼编码等方法对信息进行编码，使得熵最小化，从而达到最高的编码效率。
假设信源X有n个符号，出现的概率分别为p1, p2, ..., pn，则信源X的平均编码长度L为：L = ΣpiLi，其中，Li为信源X的符号i的编码长度。
根据不等式关系log2(p1/p2) <= p1/p2，我们可以得到：H(X) = -Σp(x)log2p(x) <= Σp(x) * (-log2p(x)) = Σp(x)log2(1/p(x)) = Σp(x)log2n = log2n，即熵的值小于等于log2n，其中n为符号的个数。
当n个符号均匀分布时，熵的值达到最大，即log2n。
三、信息熵的应用信息熵在信息论中具有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 数据压缩信息熵在数据压缩中起到重要的作用。
根据信息论的原理，我们可以利用数据的统计特性进行有损压缩。
对于频率出现较高的符号，我们可以分配较短的编码，而对于出现频率较低的符号，则分配较长的编码。
通过这种方式，我们可以大大减少数据的存储空间，提高传输效率。
2. 通信系统信息熵在通信系统中也有重要应用。
信息熵定义
信息熵定义信息熵是指系统内部信息的分布状态及其表示的随机性，它可以代表系统的复杂性和完整性。
信息熵的主要目的是评估和度量系统的性质，即其信息的复杂性程度。
这一概念可以追溯到数学著名学者香农的信息理论，基于香农的理论，信息熵使用信息的熵的概念来表示消息的形式的随机性和复杂性，以及它在模型里的分布。
信息熵的定义可以用熵来表示系统的某种特征，比如熵越高，表明系统信息随机性和复杂性越大。
根据熵的定义，系统信息的分布可以分为两类：随机和确定。
随机信息分布表明，系统中不同消息的概率相等，而确定信息分布则表明，系统中不同消息的概率不相等。
同时，熵还可以表示系统的一致性，即当系统的某些信息的概率发生变化时，熵的大小也会发生变化。
在统计学中，信息熵定义为可以表示系统信息分布的熵，定义为： S= -∑iPi log2 Pi其中Pi是信息分布中每个可能状态的概率，i表示每个状态，而S表示信息熵。
总的来说，信息熵是一种用于衡量系统复杂性的数学概念，它可以用来测量和表示系统中消息的随机性和确定性。
此外，信息熵还可以用来衡量系统的一致性，即当系统的某些信息的概率发生变化时，熵的大小也会发生变化。
【应用】信息熵在各种应用领域中得到了广泛的应用，比如自然语言处理、信息编码、信号处理、生物信息处理等等。
其中最重要的应用之一是在信息系统诊断和评估方面。
由于信息熵可以表示系统的性质，所以它可以用来确定和诊断系统中潜在的问题，以及分析系统的质量和可靠性。
此外，信息熵还可以用来指导和优化系统，因为它反映了系统复杂性的变化。
例如，可以利用信息熵的变化来检测和优化信息系统的性能，从而为系统提供更好的性能。
信息熵还可以用于安全攻击识别。
例如，可以利用信息熵来识别恶意攻击，因为熵的值会发生显著变化，以反映僵尸网络攻击或其他形式的攻击。
最后，信息熵还用于系统建模和设计，例如系统建模、仿真和设计等。
在这些工作中，信息熵可以用来衡量系统的复杂性，以及相关参数的变化情况，从而改进系统的性能和可用性。
第5讲信息熵
1第5讲 随机变量的信息熵在概率论和统计学中，随机变量表示随机试验结果的观测值。
随机变量的取值是不确定的，但是服从一定的概率分布。
因此，每个取值都有自己的信息量。
平均每个取值的信息量称为该随机变量的信息熵。
信息熵这个名称是冯诺依曼向香农推荐的。
在物理学中，熵是物理系统的状态函数，用于度量一个物理系统内部状态和运动的无序性。
物理学中的熵也称为热熵。
信息熵的表达式与热熵的表达式类似，可以视为热熵的推广。
香农用信息熵度量一个物理系统内部状态和运动的不确定性。
信息熵是信息论的核心和基础概念，具有多种物理意义。
香农所创立的信息论是从定义和研究信息熵开始的。
这一讲我们学习信息熵的定义和性质。
1. 信息熵我们这里考虑离散型随机变量的信息熵，连续型随机变量的信息熵以后有时间再讨论，读者也可以看课本上的定义，先简单地了解一下。
定义1.1 设离散型随机变量X 的概率空间为1212......n n x x x X p p p P ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦我们把X 的所有取值的自信息的期望称为X 的平均自信息量，通常称为信息熵，简称熵（entropy ），记为H(X)，即11()[()]logni i iH X E I X p p ===∑ (比特)信息熵也称为香农熵。
注意，熵H (X )是X 的概率分布P 的函数，因此也记为H (P )。
定义1.2 信息熵表达式中的对数底可取任何大于等于2的整数r ，所得结果称为r-进制熵，记为H r (X )，其单位为“r-进制单位”。
我们有2()()log r X H H rX =注意，在关于熵的表达式中，我们仍然约定0log 00 0log00x==， 信息熵的物理意义：信息熵可从多种不同角度来理解。
（1） H(X)是随机变量X 的取值所能提供的平均信息量。
（2） 统计学中用H(X)表征随机变量X 的不确定性，也就是随机性的大小。
例如，假设有甲乙两只箱子，每个箱子里都存放着100个球。
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即H(X)>0。
因为随机变量X的所有取值的概率分布为0<P(x i )<1。
当取对数的底大于１时，logP(x i )<0 ,而-P(x i )logP(x i )>0 ,则得到的熵是正值，只有当随机变量是一确知量时，熵才等于零。这种非负性对于离散信源的熵来说，这一性质并不存在。
4、可加性
信息熵表征了信源整体的统计特征，是总体的平均不确定性的量度。对某一特定的信源，其信息熵只有一个，因统计特性不同，其熵也不同。例如，两个信源，其概率空间分别为：
经计算可知，H(Y)>H(X),说明信源Y比信源X的平均不确定性要大，即在事件发生之前，分析信源Y，由于事件y 1 ,y 2是等概率的，难以猜测哪一个事件会发生；而信源X，虽然也存在不确定性，但大致可以知道, x 1出现的可能性要大。正如两场足球赛，其中一场，双方势均力敌；而另一场双方实力悬殊很大。当然,人们希望看第一场，因为胜负难卜，一旦赛完，人们获得信息量大。
信息熵的性质（摘自互动维客：,更多内容请访问互动维客！）
一、信息熵
自信息I(xi)是指信源（物理系统）某一事件发生时所包含的信息量，物理系统内不同事件发生时，其信息量不同，所以自信息I(xi)是一个随机变量，它不能用来作为整个系统的信息的量度。
山农定义自信息的数学期望为信息熵，即信源的平均信息量:
5、极值性
信源各个状态为零概率分布时，熵值最大，并且等于信源输出状态数，因为当P(x1)=P(x2)=...= P(xN)=1/N时，
例如，信源有两种状态时，概率空间
其H(X)-P(x1)关系如下图所示,当P(x 1 )=1/2时，熵有最大值。以上分析表明，对于具有N个状态的离散信源，只有在
信源N个状态等概率出现的情况下，信息熵才能达到最大值。这也表明，等概率分布信源的平均不确定性最大，这是一个很重要的结论，称为最大离散熵定理。
上图还进一步说明，如果二进制信源输出是确定的，即P(x 1 )= 1，则H(X)=0，此时表明该信源不提供任何信息；反之，当信源输出为等概率发生时，信源的熵达到最大值，等于1bit信息量。
也可以这样理解，信息熵H(X)表征了变量X的随机性。如上例，变量Y取y 1和y 2是等概率的，所以其随机性大；而变量X取x 1比x 2的概率要大的多，这时变量X的随机性就小。因此，熵反映了变量的随机性，也是表征随机量统计特性的一个特征参数。
二、信息熵的基本性质
1、对称性
当概率空间中P(x 1 ), ) P(x 2 )…序任意互换时，熵函数的值不变，例如下面两个信源空间:
其信息熵H(X)=H(Y)。该性质说明，熵只与随机变量的总体结构有关，与信源总体的统计特性有关，同时也说明所定义的熵有其局限性，它不能描述事件本身的主观意义。
2、确定性
如果信源的输出只有一个状态是必然的,即P(x 1 )=1 , P(x2)=P(x3)=… =0 ,则信源的熵:
这个性质表明，信源的输出虽有不同形态，但其中一种是必然的，这意味着其他状态不可能出现。那么，这个信源是一个确知信源，其熵为零。
即统计独立信源X和Y的联合信源的熵等于它们各自的熵之和。
如果有两个随机变量X和Y，它们彼此是统计独立பைடு நூலகம்，即X的概率分布为［P(x 1 ),P(x 2 ),..., P(xN)］,而Y的分布概率为［P(y1), P(y2),... ,P(yM)］,则联合信源的熵
可加性是熵函数的一个重要特性，正因为有可加性，所以可以证明熵函数的形式是唯一的。