运筹学上机试题5-图论
运筹学图论
6、赋地权有图一：个对数一wi个j，无则向称图图GG的为每赋一权条图边，(wvii,j称vj)为，边相(应vi,vj) 上的权。
7、网络：在赋权的有向图D中指定一点，称为发点， 指定另一点称为收点，其它点称为中间点，并把D 中的每一条弧的赋权数称为弧的容量，D就称为网 络。
完所有桥但不能回到原处； c、一个图奇顶点的个数大于“2”时，不可能既不重复，
也不遗漏走完而且回到原处。
2021/6/21
9
案例1：有甲、乙、丙、丁、戊、己六名运动员报名参加A、B、 C、D、E、F六个项目的比赛。如表所示中打的是各运动员报 名参加的比赛项目。问六个项目的比赛顺序应如何安排，做到 每名运动员都不连续地参加两项比赛。
A
B
C
D
E
F
甲
√
乙
√
丙
丁
√
戊
√
己
A●
C●
√ √
√ √
B ●
●D
√
√
√
√
√
√
√
√
A-C-B-F-E-D
2021/6/21
●
●
10
E
F
案例2： 某厂办公室在三天内开一个会，请10位领导 第一天上午开幕式A 第三天下午闭幕式F 每天每位领导只能开半天会。
领导 1
2
3
4
5
6
7
8
9
内容
A
√√√
√
√
B
√
√
√√
第五章 图与网络分析
§1 图与网络的基本概念 §2 最小生成树问题 §3 最短路问题 §4 最大流问题
运筹学-图论
根据此图便可找到渡河方法。
(1,1,1,1) (1,1,1,0) (1,1,0,1) (1,0,1,1) (1,0,1,0) (0,0,0,0) (0,0,0,1) (0,0,1,0) (0,1,0,0) (0,1,0,1)
简单链：(v1 , v2 , v3 , v4 ,v5 , v3 )
v2
简单圈： (v4 , v1 , v2 , v3 , v5 , v7 , v6 ,v3 , v4 )
v6
v4
v5
v3
v7
连通图：图中任意两点之间均至少有一条通路，否则称为不连通 图。
v1 v5
v1
v6
v2
v2
v4
v3
v5
v4
v3
连通图
以后除特别声明，均指初等链和初等圈。
不连通图
有向图：关联边有方向 弧：有向图的边 a=(u ,v),起点u ,终点v； 路：若有从 u 到 v 不考虑方向的链,且 各方向一致,则称之为从u到v 的 路； 初等路: 各顶点都不相同的路； 初等回路:u = v 的初等路; 连通图： 若不考虑方向是
无向连通图; 强连通图：任两点有路;
端点的度 d(v)：点 v 作为端点的边的个数 奇点：d(v)=奇数；
偶点：d(v) = 偶数； 悬挂点：d(v)=1； 悬挂边：与悬挂点连接的边； 孤立点：d(v)=0； 空图：E = ，无边图
v1
v3
v5 v6
v2
v4
图 5.7
v5
v4
V={v1 , v2 , v3 , v4 , v5 ,v6 , v7 }
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否则称为闭链或 回路或圈；
运筹学理论：图论
5②
5
⑥4
3
③8
1 2
2 4
1 2
⑥4
0①
3
4
0①
3
7
4
6
⑤10
7
7
4
6
⑤10
3④ 7
3④
例
5②
5 2 3
题 ：
③6
5②
5 2
⑥4
3
③6
1 2
1 2
⑥4
0①
3
4
0①
3
4
7
4
7
6
⑤10
7
7
4
⑤9
6
3④
3④
例
5②
5 2 4 3
题 ：
③6
5②
5 2
⑥4
3
③6
1 2
1 2
⑥4
0①
3
0①
3
4
7
7
4
6
⑤7
7
例
①
题：
①
1
②
11
2 7 5
⑥
③ ② ④ ③ ⑤
3
6 9 ④ 10 4
⑥
8
⑤
破 圈 法（山东师院管梅谷75 Nhomakorabea）首先，把有权图的边按权的递减顺 序排列：a1, a2, …… , an。 再检查a1, 如果去掉a1, 图仍是连通 图, 则去掉a1, 否则令a1= e1,再用 同样方法检查a2 … 如此继续下去, 直到找出有n-1条边的连通图为止
A
D
例如：哥尼斯堡七桥图： d(A)=3 d(B)=3 C d(C)=5 d(D)=3
B
(四) 特殊点:
《运筹学》试题
《运筹学》试题一、名词解释（20分）对偶可行基影子价格灵敏度分析平衡运输问题不平衡运输问题纯整数规划0—1规划问题混合整数规划网络最大流问题二、选择题（20分）1、我们可以通过（）来验证模型最优解。
A观察B应用C实验D调查2、建立运筹学模型的过程不包括（）阶段。
A观察环境B数据分析C模型设计D模型实施3、建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（）A数量B变量 C 约束条件 D 目标函数4、模型中要求变量取值（）A可正B可负C非正D非负5、运筹学研究和解决问题的效果具有（）A连续性 B 整体性 C 阶段性 D 再生性6、如果线性规划问题有可行解，那么该解必须满足（）A所有约束条件 B 变量取值非负 C 所有等式要求 D 所有不等式要求7、如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在（）集合中进行搜索即可得到最优解。
A基 B 基本解 C 基可行解 D 可行域8、线性规划问题是针对（）求极值问题.A约束B决策变量 C 秩D目标函数9、如果第K个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要（）A左边增加一个变量B右边增加一个变量C左边减去一个变量D右边减去一个变量10、若某个bk≤0, 化为标准形式时原不等式（）A不变 B 左端乘负1 C 右端乘负1 D 两边乘负1三、填空题（20分）1、线性规划问题具有对偶性，即对于任何一个求最大值的线性规划问题，都有一个求（）的线性规划问题与之对应，反之亦然。
2、在一对对偶问题中，原问题的约束条件的右端常数是对偶问题的（）。
3、如果原问题的某个变量无约束，则对偶问题中对应的约束条件应为（）。
4、对偶问题的对偶问题是（）。
5、若原问题可行，但目标函数无界，则对偶问题（）。
6、在某线性规划问题中，已知某资源的影子价格为Y1，相应的约束常数b1，在灵敏度容许变动范围内发生Δb1的变化，则新的最优解对应的最优目标函数值是（）(设原最优目标函数值为Z﹡)7、若某约束常数bi的变化超过其容许变动范围，为求得新的最优解，需在原最优单纯形表的基础上运用（）求解。
图论习题参考答案
二、应用题题0：（1996年全国数学联赛）有n（n≥6）个人聚会，已知每个人至少认识其中的[n/2]个人，而对任意的[n/2]个人，或者其中有两个人相互认识，或者余下的n-[n/2]个人中有两个人相互认识。
证明这n个人中必有3个人互相认识。
注：[n/2]表示不超过n/2的最大整数。
证明将n个人用n个顶点表示，如其中的两个人互相认识，就在相应的两个顶点之间连一条边，得图G。
由条件可知，G是具有n个顶点的简单图，并且有（1）对每个顶点x，)(xN G≥[n/2]；（2）对V的任一个子集S，只要S＝[n/2]，S中有两个顶点相邻或V-S中有两个顶点相邻。
需要证明G中有三个顶点两两相邻。
反证，若G中不存在三个两两相邻的顶点。
在G中取两个相邻的顶点x1和y1,记N G(x1)＝{y1,y2,……,y t}和N G(y1)={x1,x2,……,x k},则N G(x1)和N G(y1)不相交，并且N G(x1)（N G(y1)）中没有相邻的顶点对。
情况一；n=2r：此时[n/2]＝r，由（1）和上述假设，t=k=r且N G(y1)＝V-N G(x1)，但N G(x1)中没有相邻的顶点对，由（2），N G(y1)中有相邻的顶点对，矛盾。
情况二；n=2r+1: 此时[n /2]＝r ，由于N G (x 1)和N G (y 1)不相交，t ≥r,k ≥r,所以r+1≥t,r+1≥k 。
若t=r+1,则k=r ，即N G (y 1)=r ，N G (x 1)＝V-N G (y 1)，由（2），N G (x 1)或N G (y 1)中有相邻的顶点对，矛盾。
故k ≠r+1，同理t ≠r+1。
所以t=r,k=r 。
记w ∈V- N G (x 1) ∪N G (y 1),由（2），w 分别与N G (x 1)和N G (y 1)中一个顶点相邻，设wx i0∈E, wy j0∈E 。
若x i0y j0∈E ，则w ，x i0, y j0两两相邻，矛盾。
5、图论模型的建立
信息学竞赛解题的一个重要步骤是数学建模， 如几何模型、代数模型、运筹学模型等。图论模型 的构造（图论建模）也是数学建模的一个分支。 在建立一个问题的模型之前，首先要对研究对 象进行全面的调查，将原型理想化、简单化（对于 竞赛而言，这一步大部分已经由命题者完成）；然 后对原型进行初步的分析，分清其中的各个要素及 求解目标，理出它们之间的联系；然后用恰当的模 型来描述这些要素及联系。
图论建模
[问题分析] 1、问题的数据规模只有200，所以很容易想到用搜索， 由于要输出最优解（要求的是最快的次数）,所以是宽搜。 2、对于A楼而言，实际上对它最多只能做2个操作， 上到A+X层或下到A-X层，当然前提是存在A+X或A-X层。显 然，如果把每一层楼看做一个顶点，如果A楼可以到B楼， 则从顶点A引一条到顶点B的边。对于样例，如下图：
下面，我们把每个si抽象成一个点，则根据上述两个不等式可以建立一个 有 向 图， 图中 共 有n+1个顶 点 ，分 别为 s0 ，s1 ，……，sn 。若 si>sj(0≤i， j≤n)，则从si往sj引出一条有向边。例如对于n=6，p=5，q=3的情况，我们可 以建立下图。
常州市第一中学 林厚从
图论建模
图论模型和其它模型在研究方法上有着很大的 不同，例如可以运用典型的图论算法来对图论模型 进行求解，或是根据图论的基本理论来分析图论模 型的性质，这些特殊的算法和理论都是其它模型所 不具备的，而且在其它模型中，能用类似于图这种 直观的结构来描述的也很少。
常州市第一中学 林厚从
是指对一些客观事物进行抽象、化简， 并利用图来描述事物特征及其内在联系的过程。建 立图论模型的目的和建立其它数学模型一样，都是 为了简化问题，突出要点，以便更深入地研究问题 的本质；它的求解目标可以是最优化问题，也可以 是存在性或构造性问题；并且和几何模型、运筹学 模型一样，在建立图论模型的过程中，也需要用到 集合、映射、函数等基本的数学概念和工具。
图论测试题及答案
图论测试题及答案一、选择题1. 在图论中，如果一个图的每个顶点的度数都是偶数，那么这个图一定存在欧拉路径吗？A. 是的B. 不一定C. 没有欧拉路径D. 无法确定答案：B2. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有顶点的回路C. 经过图中某些顶点的路径D. 经过图中某些顶点的回路答案：A3. 如果一个图是完全图，那么它的边数是多少？A. 顶点数的一半B. 顶点数的平方C. 顶点数的两倍D. 顶点数减一答案：B二、填空题4. 在无向图中，如果存在一条路径，使得每个顶点只被经过一次，并且起点和终点相同，这样的路径被称为________。
答案：欧拉回路5. 图论中的二分图是指图中的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一个集合内的顶点之间没有边，而不同集合之间的顶点之间有边，这种图也被称为________。
答案：二部图三、简答题6. 请简述图论中的最短路径问题，并给出解决该问题的一种算法。
答案：最短路径问题是在图中找到两个顶点之间的最短路径的问题。
解决该问题的一种算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm），该算法通过维护一个顶点集合来记录已经找到最短路径的顶点，并迭代更新距离，直到找到从起点到所有顶点的最短路径。
7. 描述图论中的图着色问题，并说明其在实际生活中的应用。
答案：图着色问题是将图的顶点着色，使得任何两个相邻的顶点颜色不同。
在实际生活中，图着色问题可以应用于时间表的安排、频率分配、电路设计等领域，其中每个顶点代表一个任务或频道，而颜色则代表不同的时间段或频率。
结束语：以上是图论测试题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握图论的基本概念和算法。
运筹学上机试题5-图论7页word文档
四、图论1、求下图中从v1到v3最短路。
从节点 1到节点3的最短路起点终点距离1 2 12 3 6此问题的解为:72、最小生成树电信公司要在15个城市之间铺设光缆，这些城市的位置及相互之间的铺设光缆的费用如下图所示。
试求出一个连接在15个城市的铺设方案，使得总费用最小。
此问题的最小生成树如下：起点终点距离1 4 11 2 22 5 25 8 15 6 26 3 18 7 28 9 39 12 212 11 411 10 110 13 313 14 114 15 3此问题的解为:283、最短路问题例. 求下图中从v1到各点的最短路，并指出有哪些点是不可达到的。
从节点 1到节点2的最短路起点终点距离1 2 4此问题的解为:41到3没有路1到4没有路从节点 1到节点5的最短路起点终点距离1 5 1此问题的解为:1从节点 1到节点6的最短路起点终点距离1 5 15 6 6此问题的解为:7从节点 1到节点7的最短路起点终点距离1 7 3此问题的解为:3从节点 1到节点8的最短路起点终点距离1 5 15 6 66 8 3此问题的解为:104、最短路问题有6个村庄，各村庄的距离如下图所示。
现在要开办一所小学，问应该建在哪个村庄，才能使得各村的学生上学的总路程最短？最小为17，选择村庄2或者村庄5建立学校5、例（多发点多收点的最大流问题）某产品有两个产地s1、s2，三个销地t1、t2、t3。
运输系统如下图所示，其中v1和v2是两个中转站，各弧旁的数字是最大运输能力。
求从产地到销地的最大运输量。
V1-V2流量为2从节点 1到节点9的最大流起点终点距离1 2 271 3 182 6 102 4 52 5 123 5 63 8 124 6 74 7 05 4 2s1s22727C85 76 5 8 10 6 9 17 7 9 689 22 此问题的解为:456 例（顶点有容量约束的最大流问题）某油田s 通过输油管道向一炼油厂t 输送原油，中间经过三个泵站v 1、v 2和v 3，管道的输送能力和各泵站的输送能力如下图。
运筹学图论
(a)
图7-5
(b)
(c)
一、求解最小生成树的破圈算法
算法的步骤：
1、在给定的赋权的连通图上任找一个圈。 2、在所找的圈中去掉一个权数最大的边（如果有两
条或两条以上的边都是权数最大的边，则任意去掉 其中一条）。
3、如果所余下的图已不包含圈，则计算结束，所余 下的图即为最小生成树，否则返回第1步。
例1： 如何架设电话线，使得耗材最少？
●D
● E
●F
案例2： 某厂办公室在三天内开一个会，请10位领导 第一天上午开幕式A 第三天下午闭幕式F 每天每位领导只能开半天会。
领导
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
内容
A
√√√
√
√√
B
√
√
√√
C
√
√√√
√
D
√
√
√
E
√
√√
F
√√
√
√√
A●
B ●
A-E-B-C-D-F
C●
●D
A-E-C-B-D-F
● E
●F
二、七桥问题
A
哥尼斯堡的 普雷格尔河
C
D
B
提出问题：一个散步者能否走过七座桥，且每座桥只 走过一次，最后回到出发点。
1973年，欧拉将此问题归结为如图所示的一笔画问 题。
·A
d(A)=3
C·
·D d(B)=3
d(C)=5
·B
d(D)=3
将点看成事物，边看成事物与事物的联系。
秩为奇数的为奇顶点；秩为偶数的为偶顶点。
5 8
避圈法： 最小支撑树=22
图论试题及答案解析图片
图论试题及答案解析图片一、选择题1. 图论中，图的基本元素是什么？A. 点和线B. 点和面C. 线和面D. 点和边答案：A2. 在无向图中，如果两个顶点之间存在一条边，则称这两个顶点是：A. 相邻的B. 相连的C. 相等的D. 相异的答案：A3. 在有向图中，如果从顶点A到顶点B有一条有向边，则称顶点A是顶点B的：A. 父顶点B. 子顶点C. 邻接顶点D. 非邻接顶点答案：B4. 一个图的度是指：A. 图中顶点的总数B. 图中边的总数C. 一个顶点的边数D. 图的连通性答案：C5. 一个图是连通的，当且仅当：A. 图中任意两个顶点都是相邻的B. 图中任意两个顶点都可以通过边相连C. 图中任意两个顶点都可以通过路径相连D. 图中任意两个顶点都可以通过子顶点相连答案：C二、填空题1. 在图论中，一个顶点的度数是该顶点的________。
答案：边数2. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过边相连，则称该图为________。
答案：完全图3. 一个图中，如果存在一个顶点到其他所有顶点都有边相连，则称该顶点为________。
答案：中心顶点4. 图论中，最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的________。
答案：最短路径5. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过有向路径相连，则称该图为________。
答案：强连通图三、简答题1. 请简述图论中的欧拉路径和哈密顿路径的定义。
答案：欧拉路径是指在图中经过每条边恰好一次的路径，而哈密顿路径是指在图中经过每个顶点恰好一次的路径。
2. 什么是图的着色问题？答案：图的着色问题是指将图中的顶点用不同的颜色进行标记，使得相邻的两个顶点颜色不同。
四、计算题1. 给定一个无向图G，顶点集为{A, B, C, D, E}，边集为{AB, BC, CD, DE, EA}，请画出该图，并计算其最小生成树的权重。
答案：首先画出图G的示意图，然后使用克鲁斯卡尔算法或普里姆算法计算最小生成树的权重。
运筹学试题与答题
一、判断题正确的打“√”,错误的打“×”：1．图解法只能解决包含两个决策变量的线性规划问题． 是2．线性规划具有无界解,则可行域无界． 是3．若线性规划问题的可行域存在,则可行域是一个凸集． 是4．单纯形法求解线性规划问题时每换基迭代一次必使目标函数值下降一次． 错 每迭代一次,目标函数的值都会增加,即增量大于05．用单纯形法求解线性规划问题时,如果表中所有的检验数0≤j σ,则表中的基可行解为最优解． 是 0≤j σ,则非基变量都<=06．对偶问题的对偶就是原问题． 恩8．互为对偶问题,原问题有最优解,对偶问题也有最优解． 恩 且目标函数的值也一样9．任意一个运输问题一定存在最优解． 是的运输问题一定存在最优解10．线性规划问题的最优解只能在极点上达到．错11．对偶单纯形法是直接解对偶问题的一种方法． 错 有区别的;通过判断b 列的正负来进行迭代的;12．原问题具有无界解,对偶问题无可行解． 恩13．可行解是基解． 错14．标准型中的变量要求非正． 恩 大于015．线性规划的基本最优解是最优解． 恩16．对产销平衡运输问题,各产地产量之和等于各销地销量之和． 恩18．用单纯形法求解线性规划问题时,一定要将问题化为标准型． 恩19．匈亚利解法是求解运输问题的一种方法．错 匈牙利康尼格法是求解及小型优化方向为极小指派问题的一种方法20．运输问题必存在有限最优解． 错 当非基变量为0时有无穷多最优解关于其退化问题二、填空题：1．规划问题的数学模型由 目标函数 、 约束条件 、 决策变量 三个要素组成;2．满足变量非负约束条件的 基解 称为基可行解;3．线性规划的约束条件个数与其对偶问题的 决策变量个数 相等；4．如原问题有可行解且目标函数值无界,则其对偶问题 无可行解 ；反之,对偶问题有可行解且目标函数值无界,则其原问题 无可行解 ;5．线性规划的右端常数项是其对偶问题的 目标函数的变量系数 ；6．用单纯形法求解线性规划问题时,判断是否为最优解的标准是：对极大化问题,检验数应为 小于0 ；对极小化问题,检验数应为 大于0 ;7．线性规划问题如果没有可行解,则单纯形计算表的终点表中必然有 基变量中有非零的人工变量 ;9．对于有)(n m +个结构约束条件的产销平衡运输问题,由于 销量等于产量 ,故只有)1(-+n m 个结构约束条件是线性独立的;10．某些运输问题会出现数字格的数目<行数+列数-1的现象,这种现象称为 退化 现象;11．运输问题中求初始基可行解的方法有 西北角法 、 最小元素法 、 伏尔格法 三种常用方法;12．在运输问题中,每次迭代时,如果有某非基变量的检验数等于零,则该运输问题 有无限多最优解 ;13．对产销平衡运输问题,所有结构约束条件都是 产量等于销量 ;14．解极小化不平衡运输问题时,如果销售量大于生产量,则需要增加一个虚拟产地,将问题化为平衡运输问题,虚拟产地的产量等于 销量减产量的差额;15．要求 线性规则中 决策变量必须取整数值的规划问题称为整数规划;不考虑整数条件,由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的 相应的线性规划问题 ;16．求解0-1型整数规划时,为了减少运算量,常按目标函数中各变量系数的大小顺序重新排列各变量;对于最大化问题,可按 变量系数递增 的顺序排列,对于最小化问题,则相反;三、选择题：1．下列关于运筹学的优点中,不正确的是A ．凡是可以建立数学模型的问题,一定能用运筹学的方法求得最优解有些问题本来就没有最优解B ．运筹学可以量化分析许多问题C ．大量复杂的运筹学问题,可以借助计算机来处理D ．对复杂的问题可以较快地找到最优的解决方法2．线性规划的约束条件为⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=++0,,422341421321x x x x x x x x ,则基本可行解为A ．0,0,4,3B ．1,1,0,0C ．2,0,1,0D ．3,4,0,03．有4个产地5个销地的平衡运输问题模型具有特征A ．有9个基变量B ．有8个约束有9个约束方程,8个独立约束C ．有20个约束D ．有20个变量4．下列叙述正确的是A ．线性规划问题,若有最优解,则必是一个基变量组的可行基解B ．线性规划问题一定有可行基解C ．线性规划问题的最优解只能在极点上达到D ．单纯形法求解线性规划问题时每换基迭代一次必使目标函数值下降一次5．使用人工变量法求解极大化线性规划问题时,当所有的检验数0≤j σ,在基变量中仍含有非零的人工变量,表明该线性规划问题A ．有唯一的最优解B ．有无穷多个最优解C ．为无界解D ．无可行解7．在产销平衡运输问题中,设产地为m 个,销地为n 个,那么解中非零变量的个数A ．不能大于m +n -1B ．不能小于m +n -1C ．等于m +n -1D ．不确定;8．线性规划0,,22,4,43m in 21212121≥≤+≥++=x x x x x x x x z ,则A ．无可行解B ．有唯一最优解C ．有多重解D ．无界解9．对偶问题有5个变量4个约束,则原问题有A ．4个约束5个变量B ．5个约束4个变量C ．4个约束4个变量D ．5个约束5个变量10．互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系A ．原问题有最优解,对偶问题可能无最优解B ．对偶问题有可行解,原问题也有可行解C ．若最优解存在,则最优解相同D ．若最优解存在,则最优解不同12．如果决策变量数相等的两个线性规划的最优解相同,则两个线性规划A ．约束条件相同B ．目标函数相同C ．最优目标函数值相等D ．以上结论都不对14．线性规划具有无界解是指A ．可行解集合无界B ．有相同的最小比值C ．存在某个检验数),,2,1(00m i a k i k =≤>且λD ．最优表中所有非基变量的检验数非零15．线性规划最优解不唯一是指A ．最优表中存在非基变量的检验数为零B ．存在某个检验数),,2,1(00m i a k i k =≤>且λC ．可行解集合是空集D ．可行解集合无界16． 是求解运输问题的一种简便而有效的方法A ．匈亚利解法B ．表上作业法C ．完全枚举法D ．割平面法一、单项选择题本大题有8小题,每小题2分,共16分 1、在单纯性法计算中,如果检验数都小于等于零,而且非基变量的检验数全为负数,则表明此问题有 ;A 、无穷多组最优解B 、无最优解C 、无可行解D 、唯一最优解2、互相对偶的两个线性规划问题,若其中一个无可行解,则另一个必定 ;A 、无可行解B 、有可行解,也可能无可行解C 、有最优解D 、有可行解3、资源的影子价格是一种 ;A 、机会成本B 、市场价格C 、均衡价格D 、实际价格4、检验运输方案的闭合回路法中,该回路含有 个空格为顶点;A 、4个B 、2个C 、1个D 、3个5、m 个产地,n 个销地的初始调运表中,调运数字应该为A 、m+n 个B 、m+n --１个C 、m×nD 、m+n+1个。
图论习题+答案
1 设图G有12条边，G中有1度结点2个，2度结点2个，4度结点3个，其余结点度数不超过3．求G中至少有多少个结点？2 设有向简单图G的度数序列为(2,2,3,3）, 入度序列为(0,0,2,3),求G得出度序列 .3 设D是n阶有向简单完全图,则图D的边数为 .4设G是n阶无向简单完全图K n，则图G的边数为 .5 仅有一个孤立结点组成的图称为( )(A)零图(B)平凡图(C)补图(D)子图6设n阶图G中有m条边，每个结点的度数不是k的是k+1，若G中有N k个k度顶点，N k+1个k+1度顶点，则N k = .7设图G如右图.已知路径(1) P1=(v1e5 v5e7 v2e2 v3 )(2) P2=(v5e6 v2e2 v3e3 v4e8 v2e7 v5)(3) P3=(v2e7 v5e6 v2)(4) P4=(v1e1 v2e2 v3e3 v4e8 v2e6 v5)判断路径类型，并求其长度.81）判断下图G1中的路径类型, 并求其长度. P1=(v3e5v4e7v1e4v3e3v2e1v1e4v3)P2=(v3e3v2e2v2e1v1e4v3)P3=(v3e3v2e1v1e4v3).2）判断下图G2中的路径类型, 并求其长度. P1=(v1e1v2e6v5e7v3e2v2e6v5e8v4)P2=(v1e5v5e7v3e2v2e6v5e8v4)P3=(v1e1v2e6v5e7v3e3v4).v1e1e5v2e65e7e4 e2e8v3 4e3v e v1 设图G 有12条边，G 中有1度结点2个，2度结点2个，4度结点3个，其余结点度数不超过3．求G 中至少有多少个结点？ 至少9个2 设有向简单图G 的度数序列为(2,2,3,3）, 入度序列为(0,0,2,3),求G 得出度序列 （2,2,5,6） .3 设D 是n 阶有向简单完全图,则图D 的边数为 )1(−n n .4 设G 是n 阶无向简单完全图K n ，则图G 的边数为 m =n (n -1)/2 .5 仅有一个孤立结点组成的图称为( B ) (A) 零图 (B)平凡图 (C)补图 (D)子图6设n 阶图G 中有m 条边，每个结点的度数不是k 的是k+1，若G 中有N k 个k 度顶点，N k+1个k+1度顶点，则N k = N k =(k+1)n-2m . 7设图G 如右图.已知路径 (1) P 1=(v 1e 5 v 5e 7 v 2e 2 v 3 ) (2) P 2=(v 5e 6 v 2e 2 v 3e 3 v 4e 8 v 2e 7 v 5) (3) P 3=(v 2e 7 v 5e 6 v 2)(4) P 4=(v 1e 1 v 2e 2 v 3e 3 v 4e 8 v 2e 6 v 5)判断路径类型，并求其长度. (1) 初级通路；3 (2) 简单回路；5 (3) 初级回路；2 (4) 简单通路. 5 81）判断下图G1中的路径类型, 并求其长度. P 1=(v 3e 5v 4e 7v 1e 4v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3) P 2=(v 3e 3v 2e 2v 2e 1v 1e 4v 3) P 3=(v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3).2）判断下图G2中的路径类型, 并求其长度. P 1=(v 1e 1v 2e 6v 5e 7v 3e 2v 2e 6v 5e 8v 4) P 2=(v 1e 5v 5e 7v 3e 2v 2e 6v 5e 8v 4) P 3=(v 1e 1v 2e 6v 5e 7v 3e 3v 4).解：在图G 1中，v 3e 5v 4e 7v 1e 4v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3是一条长度为6的回路，但既不是简单回路，也不是初级回路； v 3e 3v 2e 2v 2e 1v 1e 4v 3是一条长度为4的简单回路，但不是初级回路； v 3e 3v 2e 1v 1e 4v 3是一条长度为3的初级回路。
《运筹学》考试题及其答案
2013《运筹学》考试题及其答案2012-2013学年第1学期《运筹学》考试题答案要求:第一题必做（50分），二三四题任选两题（每题各25分）。
一、 考虑下面线性规划问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≥+=++=0,3322634133..4min 2121212121x x x x x x x x t s x x z ）（）（）（ （1） 用图解法求解该问题； （2） 写出该问题的标准形式；（3） 求出该问题的松弛变量和剩余变量的值；（4） 用单纯形法求解。
【解答】(1)图中阴影部分为此线性规划问题的可行域,目标函数214x x z +=,即z x x +-=124是斜率为4-的一族平行直线,由线性规划的性质知,其最值在可行域的顶点取得,将直线214x x z +=沿其法线方向逐渐向上平移,直至A点,A 点的坐标为(56,53),所以51856534min =+⨯=z此线性规划问题有唯一解565321==x x ，。
(2)给等式（2）左端添加剩余变量3x ，给等式（3）左端添加松弛变量4x ，则得到该问题的标准型为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=-+=+++--=0,,,3,322,6341,33..004max 4321421321214321x x x x x x x x x x x x t s x x x x z ）（）（）（ （3）在上面标准型中令565321==x x ，，得到剩余变量3x =0，松弛变量4x =0。
（4）先在上面标准型中约束条件(1)、（2）中分别加入人工变量5x ,6x ，得到如下数学模型，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=+-+=++--++--=0,,,,,3,322,6341,33..004max 6543214216321521654321x x x x x x x x x x x x x x x x t s Mx Mx x x x x z ）（）（）（ 由此列出单纯形表逐步迭代，用大M 法求解计算结果如下表所示。
最全的运筹学复习题及答案-图文
最全的运筹学复习题及答案-图文5、线性规划数学模型具备哪几个要素？答：（1）.求一组决策变量某i或某ij的值（i=1，2，…mj=1，2…n）使目标函数达到极大或极小；（2）.表示约束条件的数学式都是线性等式或不等式；（3）.表示问题最优化指标的目标函数都是决策变量的线性函数第二章线性规划的基本概念一、填空题1．线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。
2．图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。
3．线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。
4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。
5．在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。
7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。
8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。
9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。
10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。
11．将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。
12．线性规划模型包括决策（可控）变量，约束条件，目标函数三个要素。
13．线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。
14．线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求极大值，而所有变量必须非负。
15．线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解16．在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解。
17．求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。
18.如果某个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要引入一松弛变量。
19.如果某个变量某j为自由变量，则应引进两个非负变量某j,某j,同时令某j＝某j－某j。
运筹学图论
其中：
bi j
wi j 0
(vi , v j ) E (vi , v j ) E
24 2019/11/19
图的基本概念与模型
例6.3 下图所表示的图可以构造邻接矩阵M如下:
v1
v4
e9
v6
e1 v2
e2
e3
e5 e6
v3
e12
e10
v5
e11 v7
e4
e7
v8 v1
e8
v2
v3
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无向图
有向图 8
图与网络的基本知识
环, 多重边, 简单图
多重边
如果边e的两个端点相重，称该边为 环。如右图中边e1为环。如果两个点 之间多于一条，称为多重边，如右图 中的e4和e5，对无环、无多重边的图 称作简单图。含多重边的图称为多重 图。
e2 v2
e6
v4
e1 e4 v1 e3 e5 e7
定义6 在有向图中，以顶点v为始点的边数称为顶点v的 出次，记为d+(v)；以v为终点的边数称为v的入次，记为 d-(v)。顶点v的出次与入次的和称为点v的次。
定义7 图G=(V, E), 若E'是E的子集，若V'是V的子集，且 E'中的边仅与V'中的顶点相关联，则称G' = (V', E')为图 G的一个子图，特别地，若V' =V, 则称G'为G的一个生 成子图（支撑子图）。
1. 邻接矩阵 对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有nn阶方矩阵
A=(aij) nn，其中
aij
1, 0,
(vi , v j ) E 其他
图论习题及答案
作业解答练习题2 利用matlab编程FFD算法完成下题：设有6种物品，它们的体积分别为：60、45、35、20、20和20单位体积，箱子的容积为100个单位体积。
解答一：function [num,s] = BinPackingFFD(w,capacity)%一维装箱问题的FFD（降序首次适应）算法求解:先将物体按长度从大到小排序,%然后按FF算法对物体装箱%输入参数w为物品体积，capacity为箱子容量%输出参数num为所用箱子个数，s为元胞数组，表示装箱方案，s{i}为第i个箱子所装%物品体积数组%例w = [60,45,35,20,20,20]; capacity = 100;% num=3,s={[1,3],[2,4,5],6};w = sort(w,'descend');n = length(w);s = cell(1,n);bin = capacity * ones(1,n);num = 1;for i = 1:nfor j = 1:num + 1if w(i) < bin(j)bin(j) = bin(j) - w(i);s{j} = [s{j},i];if j == num + 1num = num + 1;endbreak;endendends = s(1:num);解答二：clear;clc;V=100;v=[60 45 35 20 20 20];n=length(v);v=fliplr(sort(v));box_count=1;x=zeros(n,n);V_Left=100;for i=1:nif v(i)>=max(V_Left)box_count=box_count+1;x(i,box_count)=1;V_Left=[V_Left V-v(i)];elsej=1;while(v(i)>V_Left(j))j=j+1;endx(i,j)=1;V_Left(j)=V_Left(j)-v(i);endtemp=find(x(i,:)==1);fprintf('第%d个物品放在第%d个容器\n',i,temp) endoutput:第1个物品放在第1个容器第2个物品放在第2个容器第3个物品放在第1个容器第4个物品放在第2个容器第5个物品放在第2个容器第6个物品放在第3个容器解答三：function box_count=FFD(x)%降序首次适应算法v=100;x=fliplr(sort(x));%v=input('请输入箱子的容积:');n=length(x);I=ones(n);E=zeros(1,n);box=v*I;box_count=0;for i=1:nj=1;while(j<=box_count)if x(i)>box(j)j=j+1;continue;elsebox(j)=box(j)-x(i);E(i)=j;break;endendif j>box_countbox_count=box_count+1;box(box_count)=box(box_count)-x(i);E(i)=j;endenddisp(E);在命令窗口输入：>> x=[60,45,35,20,20,20];>> FFD(x)1 2 1 2 2 3ans =3练习题5 “超市大赢家”提供了50种商品作为奖品供中奖顾客选择,车的容量为1000dm3, 奖品i占用的空间为w i dm3,价值为v i元, 具体的数据如下:v i= { 220, 208, 198, 192, 180, 180, 165, 162, 160, 158,155, 130, 125, 122, 120, 118, 115, 110, 105, 101, 100, 100, 98,96, 95, 90, 88, 82, 80, 77, 75, 73, 72, 70, 69, 66, 65, 63, 60, 58,56, 50, 30, 20, 15, 10, 8, 5, 3, 1}w i = {80, 82, 85, 70, 72, 70, 66, 50, 55, 25, 50, 55, 40, 48,50, 32, 22, 60, 30, 32, 40, 38, 35, 32, 25, 28, 30, 22, 50, 30, 45,30, 60, 50, 20, 65, 20, 25, 30, 10, 20, 25, 15, 10, 10, 10, 4, 4, 2,1}。
运筹学图与网络分析(高级课堂)
E
I
A
2 C
2
4
G
5
1S
2
3
3K
B2
2 F 2 26 J
D
H
高等课堂
26
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
E
I
A
2 C
2
4
G
5
1S
2
3
3K
例 ： G1为不连通图， G2为连通图
G1
高等课堂
G2
8
5、支撑子图
图G=(V，E)和G'=(V ' ，E ')，若V =V ' 且E ' E ，
则称G' 为G的支撑子图。
例 ：G2为G1的支撑子图
v5
v5
v1
v4 v1
v4
v2
v3
v2
v3
G1
G2
高等课堂
9
例 ： G2 是G1 的子图；
v2
e1 v1
H
高等课堂
24
[例]今有煤气站A，将给一居民区供应煤气，居民区各 用户所在位置如图所示，铺设各用户点的煤气管道所需 的费用（单位：万元）如图边上的数字所示。要求设计 一个最经济的煤气管道路线，并求所需的总费用。
E
I
A 3.5
2
C
2
4
G
5
1S
2
3
3K
B2
2 F 2 26 J
D
H
高等课堂
25
运筹学上机试题5-图论
四、图论1、求下图中从v1到v3最短路。
v 1v 3v 546从节点 1到节点3的最短路 *************************起点 终点 距离 ---- ---- ---- 1 2 1 2 3 6此问题的解为:7 2、最小生成树电信公司要在15个城市之间铺设光缆，这些城市的位置及相互之间的铺设光缆的费用如下图所示。
试求出一个连接在15个城市的铺设方案，使得总费用最小。
v 1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8v 9v 10v 11v 12v 13v 14v 152241131456422323135134此问题的最小生成树如下：*************************起点终点距离---- ---- ----1 4 11 2 22 5 25 8 15 6 26 3 18 7 28 9 39 12 212 11 411 10 110 13 313 14 114 15 3此问题的解为:283、最短路问题例. 求下图中从v1到各点的最短路，并指出有哪些点是不可达到的。
vv7v8v4从节点 1到节点2的最短路*************************起点终点距离---- ---- ---- 1 2 4此问题的解为:41到3没有路1到4没有路从节点 1到节点5的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1此问题的解为:1从节点 1到节点6的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1 5 6 6此问题的解为:7从节点 1到节点7的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 7 3此问题的解为:3从节点 1到节点8的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1 5 6 66 8 3此问题的解为:104、最短路问题有6个村庄，各村庄的距离如下图所示。
运筹学5、6章测试答案
第五、六章综合测试题一、填空1. 在一个图中，两点之间不带箭头的连线称为边，带箭头的连线称为弧；如果一个图是由点及边所构成，则称之为 无向图 ；如果是由点及弧所构成，则称为 有向图 。
2. 一个无环，无重边的图称为简单图。
3. 图G=(V,E) 中，所有的点的度之和是边数的二倍，度为奇数的点的个数为偶数。
4. 一个n 阶的完全图共有n(n-1)/2条边。
5. 图G 中，若任意两点之间都有路可到达，则称G 是连通图。
一个无圈的连通图称为树，在一个树中，边数和顶点数的关系为 边数=顶点数-1 。
6. 图G 的关联矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1 1 0 01 0 1 00 1 0 10 0 1 1，则G 的邻接矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0 1 1 01 0 0 11 0 0 10 1 1 0。
7. 图G 有支撑树当且仅当G 是 连通的 。
8.图的最小树为 。
二、（10分）从A 地到E 地要铺设一条煤气管道,其中需经过三级中间站，两点之间的连线上的数字表示距离（单位为千米），如图所示。
问应该选择什么路线，使总距离最短？最短距离为多少？（用动态规划方法求解） 解：最优路线为E D C B A →→→→112，最短距离为19千米。
三、某单位有资源50单位，拟分3个周期使用，在每个周期有生产任务A ，B ，把资源用于A 生产任务，每单位能获利20 元，资源回收率为1/2。
把资源用于B 生产任务，每单位能获利15元，资源回收率为4/5。
问每个周期应如何分配资源？1 2 22 2 33 5 1 2 2 34 2 2 3 4四、求解四个城市旅行推销员问题。
其距离如下表所示。
设推销员从V1城出发，经过每个五、已知如下图所示的单行线交通网，每条弧旁的数字表示通过这条单行线所需要的费用。
(1)求从1v 出发到各点的费用最小的旅行路线；(2)指出对1v 来说哪些顶点是不可到达的。
解：3 1v7v2v5v6v8v3v 4v41 346214673六、某城市建设了一个从湖中抽水到城市的蓄水池的管道系统如图，线上标注的数字是单位时间通过两节点的流量。
5.1图(经典运筹学)
v6
e6 e5
v1 e1
e8 e7
v2
e2
5 v
e10
e9
e4
v4
v3 e
3
e6
v1 e1
e8 e7
v2
e7
v1
e8
v 6
e5
5 v
e10
e4
G
把C3从C 2的v1点处插入 C 2，得一简单回路 C，
G
v4
5 v
G
e4
, e5 , v6 , e6 , v1, e7 , v5 , e4 , v4 , e8 , v1 , e1 , v 2 } {v
对vi V
vi 每出现一次，必关联两 条边 若vi 是C的中间点， 如C： 1 , e1 , v2 , e2 , v3 , vi 1 , ei 1 , vi , ei , vi 1 ,, v1 } {v ，即 vi 为偶点 d (vi )为偶数
vi 若vi 是C的起点，也是C的终点，必关联两条边 vi
v1
vs
4 3 4
4
2
v4
7 2
2
6
v2
2
5 3
v5
vt
1
1
最大 流问 题
v3
v 6
5.1 基本概念
一、图的概念
图 ------由若干个点和连接这些点的某些连 线所组成的图形 代表具 代表事物 体事物 G——一个图 之间的联 vi——图中的点，称为顶点。 系 v3 ,v5 ei——图中的连线，称为边。ek vi , v j v3 e1 e e 6 v5 记V={vi}，E= {ei}, 2 v1 e e 3 e5 G=（V，E） v4 4 v 2 m(G)=|E|——G的边数，简记为m G 简记为n n(G)= |V|——G的顶点数， m=6, n=5
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四、图论
1、求下图中从v1到v3最短路。
v 1
v 3
v 5
4
6
从节点 1到节点3的最短路 *************************
起点 终点 距离 ---- ---- ---- 1 2 1 2 3 6
此问题的解为:7 2、最小生成树
电信公司要在15个城市之间铺设光缆，这些城市的位置及相互之间的铺设光缆的费用如下图所示。
试求出一个连接在15个城市的铺设方案，使得总费用最小。
v 1
v 2
v 3
v 4v 5v 6
v 7v 8v 9
v 10v 11v 12
v 13v 14v 15
22
41
1
3
1
4
5
6
4
2
2
3
2
3
1
3
5
1
3
4
此问题的最小生成树如下：
*************************
起点终点距离
---- ---- ----
1 4 1
1 2 2
2 5 2
5 8 1
5 6 2
6 3 1
8 7 2
8 9 3
9 12 2
12 11 4
11 10 1
10 13 3
13 14 1
14 15 3
此问题的解为:28
3、最短路问题
例. 求下图中从v1到各点的最短路，并指出有哪些点是不可达到的。
v
v
7
v
8
v
4
从节点 1到节点2的最短路
*************************
起点终点距离
---- ---- ---- 1 2 4
此问题的解为:4
1到3没有路
1到4没有路
从节点 1到节点5的最短路
*************************
起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1
此问题的解为:1
从节点 1到节点6的最短路
*************************
起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1 5 6 6
此问题的解为:7
从节点 1到节点7的最短路
*************************
起点终点距离 ---- ---- ---- 1 7 3
此问题的解为:3
从节点 1到节点8的最短路
*************************
起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1 5 6 6
6 8 3
此问题的解为:10
4、最短路问题
有6个村庄，各村庄的距离如下图所示。
现在要开办一所小学，问应该建在哪个村庄，才能使得各村的学生上学的总路程最短？
v 1
v
2
v
3
v
4
v
5
v
6 3
4
6
3
8
1
14
2
7
最小为17，选择村庄2或者村庄5建立学校
5、例（多发点多收点的最大流问题）某产品有两个产地s1、s2，三个销地t1、t2、t3。
运输系统如下图所示，其中v1和v2是两个中转站，各弧旁的数字是最大运输能力。
求从产地到销地的最大运输量。
V1-V2流量为2
s 1
s 2
t 2
从节点 1到节点9的最大流 *************************
起点 终点 距离 ---- ---- ---- 1 2 27 1 3 18 2 6 10 2 4 5
s 1
s 2
27
27
C8
2 5 12
3 5 6 3 8 12
4 6 7 4 7 0
5 4 2 5 7
6 5 8 10 6 9 1
7 7 9 6
8
9 22
此问题的解为:45
6 例（顶点有容量约束的最大流问题）某油田s 通过输油管道向一炼油厂t 输送原油，中间经过三个泵站v 1、v 2和v 3，管道的输送能力和各泵站的输送能力如下图。
求这个系统的最大输送能力。
s
t
从节点 1到节点8的最大流 *************************
起点 终点 距离 ---- ---- ---- 1 2 9 1 3 13 2 4 9 3 5 13 4 8 8 5 8 11 4 6 1 5 6 2 6 7 3 7 8 3
此问题的解为:22
7. . 求下图所示网络的最小费用最大流，弧旁数字为),(ij ij u c 表示 (单位成本，容
量）
8. 北京（Pe）、东京(T)、纽约(N)、墨西哥城(M)、伦敦(L)、巴黎(Pa)各城市之间的航线距离如下表：
由上述交通网络的数据确定最小生成树。
此问题的最小生成树如下：
*************************
起点终点距离
---- ---- ----
1 4 21
1 3 35
3 2 21
1 5 51
5 6 13
此问题的解为:141
9. 某台机器可连续工作4年，也可于每年末卖掉，换一台新的。
已知于各年初购置一台新机器的价格及不同役龄机器年末的的处理价如下表所示。
又新机器第一年运行及维修费为0.3万元，使用1-3年后机器每年的运行及维修费用分别为0.8，1.5，2.0万元。
试确定该机器的最优更新策略，使4年内用于更换、购买及运行维修的总费用为最省。
从节点 1到节点5的最短路
*************************
起点终点距离
---- ---- ----
1 2 0.8
2 3 0.9
3 5 2.3
此问题的解为:4
设备够买3次，分别于2001、2002、2003年购买
10. 某产品从仓库运往市场销售。
已知各仓库的可供量、各市场需求量及从i仓库至j市场的路径的运输能力如下表所示（表中数字0代表无路可通），试求从仓库可运往市场的最大流量，各市场需求能否满足？
C20 10 40 5 100 需求量20 20 60 20
C5 C6 C7 C8 C1
C2 30 10 0 40 20
C3 0 0 10 50 20
C4 20 10 40 5 100
C9 20 20 60 20
软件输入数据
答案110
11. 某单位招收懂俄、英、日、德、法文的翻译各一人，有5人应聘。
已知乙懂俄文，甲、乙、丙、丁懂英文，甲、丙、丁懂日文，乙、戊懂德文，戊懂法文，问这5个人是否都能得到聘书？最多几个得到聘书，招聘后每人从事哪一方面翻译工作？
12. 下表给出某运输问题的产销平衡表与单位运价表。
将此问题转化为最小费用最大流问题，画出网络图并求数值解。
产量销地 1 2 3 产量
A B 20
30
24
22
5
20
8
7
销量 4 5 6
13. 一只狼、一头山羊和一箩卷心菜在河的同侧。
一个摆渡人要将它们运过河去，但由于船小，他一次只能运三者之一过河。
显然，不管是狼和山羊，还是山羊和卷心菜，都不能在无人监视的情况下留在一起。
问摆渡人应怎样把它们运过河去？
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
请预览后才下载，期待你的好评与关注！）。