导数与函数的单调性练习题

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2.2.1导数与函数的单调性

基础巩固题:

1.函数f(x)=

21

++x ax 在区间(-2,+∞)上为增函数,那么实数a 的取值范围为( ) A.021 C.a>2

1

D.a>-2

答案:C 解析:∵f(x)=a+221+-x a 在(-2,+∞)递增,∴1-2a<0,即a>2

1

.

2.已知函数f (x )=x 2+2x +a ln x ,若函数f (x )在(0,1)上单调,则实数a 的取值范围是( )

A .a ≥0

B .a <-4

C .a ≥0或a ≤-4

D .a >0或a <-4

答案:C 解析:∵f ′(x )=2x +2+a

x

,f (x )在(0,1)上单调, ∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)

上恒成立,即2x 2+2x +a ≥0或2x 2+2x +a ≤0在(0,1)上恒成立, 所以a ≥-(2x 2+2x )或a ≤-(2x 2+2x )在(0,1)上恒成立.记g (x )=-(2x 2+2x ),0

3.函数f (x )=x +9

x

的单调区间为________.

答案:(-3,0),(0,3) 解析:f ′(x )=1-9x 2=x 2

-9

x

2,令f ′(x )<0,解得-3

故单调减区间为(-3,0)和(0,3).

4 函数3

2x x y -=的单调增区间为 ,单调减区间为___________________

答案:2(0,)3 ; 2(,0),(,)3

-∞+∞ 解析: '2

2320,0,3

y x x x x =-+===或 5.确定下列函数的单调区间:(1)y =x 3-9x 2+24x (2)y =3x -x 3 (1)解:y ′=(x 3-9x 2+24x )′=3x 2-18x +24=3(x -2)(x -4) 令3(x -2)(x -4)>0,解得x >4或x <2.

∴y =x 3-9x 2+24x 的单调增区间是(4,+∞)和(-∞,2) 令3(x -2)(x -4)<0,解得2<x <4

.∴y =x 3-9x 2+24x 的单调减区间是(2,4)

(2)解:y ′=(3x -x 3)′=3-3x 2=-3(x 2-1)=-3(x +1)(x -1) 令-3(x +1)(x -1)>0,解得-1<x <1. ∴y =3x -x 3的单调增区间是(-1,1).

令-3(x +1)(x -1)<0,解得x >1或x <-1.

∴y =3x -x 3的单调减区间是(-∞,-1)和(1,+∞) 6.函数y =ln(x 2-x -2)的单调递减区间为__________.

[答案] (-∞,-1) [解析] 函数y =ln(x 2-x -2)的定义域为(2,+∞)∪(-∞,-1),令f (x )=x 2-x -2,f ′(x )=2x -1<0,得x <1

2

∴函数y =ln(x 2-x -2)的单调减区间为(-∞,-1)

7.已知y =1

3

x 3+bx 2+(b +2)x +3在R 上不是单调增函数,则b 的范围为________.

[答案] b <-1或b >2 [解析] 若y ′=x 2+2bx +b +2≥0恒成立,则Δ=4b 2-4(b +2)≤0,∴-1≤b ≤2,由题意b <-1或b >2.

8.已知x ∈R ,求证:e x ≥x +1.

证明:设f (x )=e x -x -1,则f ′(x )=e x -1.

∴当x =0时,f ′(x )=0,f (x )=0.

当x >0时,f ′(x )>0,∴f (x )在(0,+∞)上是增函数.∴f (x )>f (0)=0. 当x <0时,f ′(x )<0,f (x )在(-∞,0)上是减函数,∴f (x )>f (0)=0.

9.已知函数y =x +

x

1

,试讨论出此函数的单调区间. 解:y ′=(x +x 1)′=1-1·x -2

=222)1)(1(1x x x x x -+=- 令2

)1)(1(x

x x -+>0. 解得x >1或x <-1.∴y =x +x 1

的单调增区间;是(-∞,-1)和(1,+∞).令2

)1)(1(x

x x -+<0,解得-1<x <0或0<x <1. ∴y =x +x

1

的单调减区间是(-1,0)和(0,1)

10.已知函数3

2

()f x x bx cx d =+++的图象过点P (0,2),且在点M (-1,f (-1))处的切线方程为076=+-y x .(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式;(Ⅱ)求函数y=f(x)的单调区间. 解:(Ⅰ)由f(x)的图象经过P (0,2),知d=2, 所以,2)(23+++=cx bx x x f .23)(2c bx x x f ++=' 由

M(-1,f(-1))

线

76=+-y x , 知

.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即

{{

326,23,

12 1.0,3.

b c b c b c b c b c -+=-=-∴

-+-+=-===-即

解得 故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f (Ⅱ)22()36 3.3630,f x x x x x '=----=令

2210.x x --=即 解得 .21,2121+

=-=x x

当;0)(,21,21>'+>-

故)21,()(--∞在x f 内是增函数,在)21,21(+-内是减函数,在),21(+∞+内是增函数. 点拨:本题考查函数的单调性、导数的应用等知识,考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.

11.已知函数f(x)=x 3

-2

1

x 2

+bx+c.(1)若f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求b 的取值范围; 解 (1))(x f '=3x 2

-x+b,因f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,则)(x f '≥0.即3x 2

-x+b≥0,

∴b≥x -3x 2

在(-∞,+∞)恒成立.设g(x)=x-3x 2

.当x=61时,g(x)max =

121,∴b≥12

1. 1

2.已知函数f(x)=x(x-1)(x-a)在(2,+∞)上是增函数,试确定实数a 的取值范围.

解 f(x)=x(x-1)(x-a)=x 3-(a+1)x 2+ax ∴)(x f '=3x 2

-2(a+1)x+a 要使函数

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