《大学物理》第四章功和能

i 1
i 1
i 1
i 1
9
W内 W外 Ek 2 Ek1
质点系的动能定理：
质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力 和内力作功之代数和。
值得注意：
内力做功可以改变系统的总动能。例如爆炸 过程。
10
一对力的功
系统内力总是成对出现 dA f1 dr1 f2 dr2
f1
f2
dr1 r1 A1
31
机械能
E Ek Ep
W外 W非保内 E2 E1
质点系的功能原理 质点系机械能的增量等于所有外力和所有非保
守内力所作功的代数和。
如果 W外 0 ， W非保内 0
E Ek Ep 恒量
32
例5.已知半圆柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，如图， 求质点下滑至最低点时给木块的压力.
解： 设质点下滑至最低点时的速度为Vm,凹槽的速度为VM
b
Wab
F dr
a
b
a mgk dxi dyj dzk
b a
mgdz
mgza
zb
z
za a
r
zb
b
mg
O
y
x
重力做功取决于质点
的始、末位置za和zb，
与质点经过的具体路径
无关。
21
（2） 万有引力
a
c dr
设质量为M的质点固定，另 一质量为m的质点在M 的引
力场中从a点运动到b点。
v 29.8km / s
S
E
r0 ~ 109 m
式中r0是地球到太阳的距离，为了充分利用地球公转速度，
a dv dt
dv adt 3t dt
两边积分：
v
t
0 dv 0 3tdt
v dx dt
v 3t2 2
dx vdt 3 t 2dt 2
W F dx 2 6t 3 t 2dt 9 t 4 2 36 J
02
40
12
例2 如图所示，用质量为M的铁锤把质量为m 的钉子
敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深 度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入 1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完 全相同，问第二次能把钉子敲入多深？
m dv v ds
由式（1）代入上式得：
m v 2 m dv v
R
ds
18
fS
俯
v0
视
图
N
v
m v 2 m dv v
R
ds
dv ds
v
R
V dv R
ds
V0 v
0R
v v0e
W
1 2
mv 2
1 2
mv 0 2
1 2
mv
2 0
(e 2
1)
19
4.3 保守力与势能
地球的半径为6.37 106 m，地球绕太阳公转的速度 为 29.8 km / s ，试求Ｖ１、Ｖ２、Ｖ３。
v
29.8km / s
S
S
E
r0 ~ 109 m
v 29.8km / s
S
E
r0 ~ 109 m
解：(1)
G0
mM E RE 2
m v12 RE
v1 gRE 7.9103 m / s
（２）
1 2
mv
2
2
G0
MEm RE
0
v2 2gRE 2v1 11.2103 m / s
v 29.8km / s
S
E
r0 ~ 109 m
（３）、设脱离地球引力圈时，航天器的速度为Ｖ（相 对地面），此时不考虑太阳的引力，则：
1 2
mv 32
G0
MEm＝1 RＥ 2
mv 2
v32 v22 v2
(1 2
E p (r ) E p (r ) E p (ro )
ro
F
dr
r
29
3 保守力与势能的微分关系**：
因为： dW dEp dW F dr Fxdx Fydy Fzdz
- dE p
E p x
dx
E y y
dy
Ez z
dz
所以：
Fx
E p x
Fy
E p y
Fz
E p z
F
zk
b b
W
F dr
a
a
Fxi Fy j Fzk
dxi dyj dzk
b
a Fxdx Fydy Fzdz
4
功的基本性质：
合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数
和。
W
b a
b
a F1
F
dr
dr
b a
b
a F2
F1 F2 Fn
F
L
16
F
L
f
f
F L
x
1 A1 FL, A f fL M
2 A2 F ( L x), A f f ( L x)
3 FL fL 1 mv 2
F(L
x)
2 f (L
x)
1 mv2
2
F(L x) f L f x 1 m v2
热量
1 2
MvM
2
1 2
mv2
2
答案：（4）
17
例4：在光滑的水平桌面上，平放有如图所示的固定半
圆屏障，质量为m的滑块以初速度 V0沿切线方向进入 屏障，滑块与屏之间的摩擦系数为，试 证明当滑块
从另一端滑出时，摩擦力作的功为
W
1 2
mv 02 (e2
1)
fS
0
俯 视
v0
图
N
v
解 N m v2 (1) R
f N m dv
dt
m dv ds ds dt
x1
x1
W
1 2
kx12
1 2
kx22
弹性力作功只与弹簧的起始和终了位置有关，
而与弹性变形的过程无关。
23
4.3 保守系统中的势能
m2
m1
r1
f1
f1
m1 f2
r2 m2
f2
态(a) EPa
态(b) EPb
系统内质点间的相互作用能，具有做功的本领。 24
1 势能的定义
保守力场中可引入势能的概念。
r21
r2
dr2
A2
f2 d(r2 r1 ) f2 dr21
一对力所做的功，等于其
中一个物体所受的力沿两
个物体相对移动的路径所
做的功。
O
11
例1、设作用在质量为2kg的物体上的力F = 6t N。如
果物体由静止出发沿直线运动，在头2（s）内这力作
了多少功？
解： a F 6t 3t m2
1 2
m(v22
v12 )
质点的动能定理：
合力对质点所做的功等于质点动能的增量。
W
1 2
mv22
1 2
mv12
Ek 2
Ek1
8
2．质点系的动能定理
一个由n个质点组成的质点系，考察第i个质点。
质点的动能定理：
Fi
Wi外 Wi内 Ek2i Ek1i
i
对系统内所有质点求和
n
n
n
n
fi
Wi内 Wi外 Ek2i Ek1i
解 设铁锤敲打钉子前的
速度为v0，
敲打后两者的共同速
度为v。
Mv0 (M m)v
v Mv0 M m
O S1 S2
13
铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻
力大小为： f kx
M m , v v0
由动能定理， 有：
0
1 2
(m
M )v02
S1 0
kxdx
1 2
kS12
设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为ΔS ，则有
0
1 2
(m
M
)v02
S1 S S1
kxdx
1 2
k (S1
S ) 2
1 2
kS12
14
(S1 S)2 2S12
化简后
S1 S 2S1
第二次能敲入的深度为：
S 2S1 S1 ( 2 1) 1cm 0.41cm
15
例3：如图，在光滑的水平地面上放着一辆小车，小车 左 端放着一只箱子，今用同样的水平恒力F拉箱子，使 它由小车的左端达到右端，一次小车固定，另一次小 车没有固定，试以水平地面为参照系，则下面的说法 中正确的是： （1）、两次F做的功相同； （2）、两次摩擦力对木箱做的功相同； （3）、两次箱子获得的动能相同； （4）、两次由于摩擦而产生的热量相同。
第4章 功和能
主要内容：
4.1 功 4.2 动能定理 4.3 保守力和势能 4.4 机械能守恒定律 4.5 理想流体的伯努利方程*
1
4.1 功
功是度量能量转换的基本物理量。
功的定义：
物体发在生力了F位的移作用r，下则，
把力在位移方向的分力与
位移
r
的乘积称为功。
z
F
r
r1 O
x
W Fr cos F r
1．质点动能定理
动能： 质点因有速度而具有的作功本领。
Ek
1 2
mv2
单位：（J）
设质点m在合力的作用下沿 曲线从a点移动到b点
元功：
dW
F
dr
F
cos
ds
dr
b
F a
7
F
cos
ma t
m
dv dt
dW F cos ds m dv ds mvdv
dt
总功：
W
dW
v2 v1
mvdv
r
ra
rb
M
dr
r dr rb
b
EP
G0 Mm r
c
选 r=, Ep=0, 则，Ｃ＝０
EP
G0 Mm r
28
说明：
（1）势能是一个系统的属性。
（2）势能的大小只有相对的意义，相对 于势能的零点而言。
（3）势能的零点可以任意选取。
结论：
空间某点的势能Ep在数值上等于质点从该点移动
到势能零点时保守力做的功。
dr
dr
b a Fn dr
W W1 W2 ... Wn
结论：功满足叠加原理。
5
功率：
单位时间内所作的功。
功率反映作功快慢程度的物理量
平均功率： P W 瓦特（W）=（J/s） t
瞬时功率： P
lim t 0
W t
dW dt
dW F dr
P
F
v
dt dt
6
4.2 动能和动能定理
ya
在 a，b点时，系统的势能分别
为Epa，Epb, m从a运动到b点时，
重力做的功为：
Wab EPa EPb
ya
0
mg( ya yb )
一般地
b yb x
选y=0,
Ep=0, 则
EPa mgya EPb mgyb
EP mgy c
其中Ｃ为任意常数
26
（2）弹性势能
弹簧 自然长度
F
1 保守力
作功与路径无关，只与始末位置有关的力。 保守力的特点：保守力沿任何闭合路径作功等于零。
证明：
F dr 0 a
设保守力沿闭合路径acbda作功
d
c
W Wacb Wbda Wacb Wacb 0
证毕
b
20
2 常见保守力
（1）重力
初始位置 a(xa , ya , za )
末了位置 b(xb , yb , zb )
E p x
i
E p y
j
E p z
k
30
4.4 机械能守恒定律
质点系的动能定理： W内 W外 Ek 2 Ek1
其中
W内 W保内 W非保内
W外 W保内 W非保内 Ek 2 Ek1
W保内 E p2 E p1
W外 W非保内 Ek2 Ep2 Ek1 Ep1
ห้องสมุดไป่ตู้a
r
dr
r dr
b
F
G0
Mm r2
er
W
G rb
ra
0
Mm r2
er
dr
M
rb
er
dr
dr
cos
dr
W
G0Mm
rb ra
dr r2
1
G0
Mm
ra
1 rb
只与始末位 置有关.
22
（3）弹性力
由胡克定律：
mF m
x
o x1
ax x2
b
F kx
W F dx x2 kxdx x2 kxdx
mv 22 G0
MEm RE
0)
v 29.8km / s
S
E
r0 ~ 109 m
以太阳为参照 系，近似认为航天器在地球相对太阳的轨道上出
发继续运动，逃逸太阳系，则脱离太阳引力范围所需的速度 v2
为
1 2
mv 2 2
G0
MSm r0
0
v2
2
G0 M S r0
2 29.8 42.1m / s
水平方向动量守恒
RN m
mVm MV M
机械能守恒，
mgR
1 2
mV m 2
1 2
MV M
2
m 相对M作圆周运动，
vm
vM
Mx
mg
m 在最低点时，木槽加速度为 0
此时M为惯性系，以M为参照系，利用牛顿定律
N
mg
mV
2 mM
R
VmM Vm VM
m
联立求解各式可得
N (2 3)mg M
[ 例6 ] 设地球半径为R 。一质量为m的物体，从静止
m
0 x a bx
W
b
a
kxdx
1 2
kxa 2
1 2
kxb 2
EPa EPb
1 2
k
xa 2
1 2
k
xb 2
EP
1 kx2 c 2
选
x=0, Ep=0, 则，Ｃ＝０
EP
1 kx 2 2
27
（3）引力势能
a
c dr
Aab E Pa E Pb
G0 Mm ( G0 Mm )
ra
保守力场中系统从状态a运动状态b，保守力所做的功 等于系统势能的增量的负值。
Wab E EPa EPb
设空间r0点为势能的零点，则空间任意一点 r
的势能为：
E p (r ) E p (r ) E p (ro )
ro
F
dr
r
25
2、重力势能、弹性势能和引力势能
(1)重力势能
如图，选地球、m为系统，则m
国际单位：焦耳（J ）N·m
F
y
2
变力的功
质点由a点沿曲线运动到b点的过程中，变力
F
所作的功 。
元功：
dW F dr
dr
b F
b b
W a F dr a F cos dr
功是力对质点运动空间的积累效果。
3
在直角坐标系Oxyz中
F Fxi Fy j Fzk
r
xi
yj
开始在距地面 R 处自由下落。
求：它到达地球表面时的速度。 A m
解： E pA = E pB =
GMm 2R
GMm R
BR
地球 R
M
由机械能守恒定律：
GMm 2R
+
0
=
GMm R
+
1 2
mv
2
v=
GM R
例7：航天器绕地球表面运动所需的速度称为第一宇宙 速度Ｖ１，脱离地球所需的最小速度称为第二宇宙速度 Ｖ２，脱离太阳系所需的速度称为第三宇宙速度Ｖ３，设