《大学物理》第四章功和能
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大学物理第四章--功和能
a
a
l
xdx
2l
前已得出：
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a 2 ) (l a)2 2
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
B
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F
M
M
S
位移无限小时：
dA
F
dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
例１一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小球，求小
球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。（在O处弹簧无 形变）
解：根据胡克定律 F F kx
W F dr
xB Fdx
xA
xB xA
kxdx
O
1 2
A
k xB2
B
xA2
1 2
k xA2
作用在质点
上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位
置过程中，力
F
对它所作的功为多少？
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
a
l
xdx
2l
前已得出：
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a 2 ) (l a)2 2
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
B
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F
M
M
S
位移无限小时：
dA
F
dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
例１一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小球，求小
球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。（在O处弹簧无 形变）
解：根据胡克定律 F F kx
W F dr
xB Fdx
xA
xB xA
kxdx
O
1 2
A
k xB2
B
xA2
1 2
k xA2
作用在质点
上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位
置过程中，力
F
对它所作的功为多少？
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
大学物理第04章_功和能
Ek
1 2
mv2
单位：（J）
设质点m在力的作用下沿 曲线从a点移动到b点
dr
b
元功：
F
dW F dr F cosds a
F cos
ma
m dv dt
dW
F
cosds m
dv ds dt
mvdv
总功：
W
dW
v2 v1
mvdv
1 2
m(v22
v12 )
质点的动能定理：
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
对系统内所有质点求和
i
n
n
n
n
Wi内 Wi外 Ek2i Ek1i
fi
i 1
i 1
i 1
i 1
W内 W外 Ek 2 Ek1
质点系的动能定理：
质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力和 内力作功之代数和。
值得注意：
内力做功可以改变系统 的总动能。
例3 如图所示，用质量为M的铁锤把质量为m 的钉子 敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深 度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入 1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完 全相同，问第二次能把钉子敲入多深？
dxi dyj dzk
bx ax
Fxdx
by ay
Fydy
bz az
Fzdz
在自然坐标系中
F F e Fnen dr dse
W
b
F dr
a
b
a F e
Fnen
dse
s1 s0
F
ds
附:功率的定义：
功率是反映作功快慢程度的物理量。
功率： 单位时间内所作的功。
大学物理 第四章功和能(必看)
2GMr2 r1 (r1 r2 )
v2
2GMr1 r2 (r1 r2 )
例 题 18
r2
r1
解： 1）
EP近 - EP远
GMm GMm 1 1 ( ) ( ) GMm( ) r1 r2 r2 r1
2）法一：
1 Mm 1 Mm 2 机械能守恒： mv12 G mv2 G 2 r1 2 r2
角动量守恒：
解得： v1
mv1r1 mv2 r2
2GMr2 r1 (r1 r2 )
根据动能定理例题66已知一质点在x轴上运动其fx关系如图所示则质点运动从0到10m过程中f所作的功例题77有一倔强系数为的弹簧竖直放置下端悬一质量为的小球先使弹簧为原长而小球恰好与地面接触再将弹簧缓慢地提起直到小球能脱离地面为止
第四章
功和能 教学基本要求 基本概念
例题分析
一、教学基本要求 掌握功的概念，能计算直线运动情况下变 力的功。
2
2
8、一人从10m深的井中提水。起始时桶中装有8kg
例题8
的水，桶的质量为2kg，由于水桶漏水，每升高1m
要漏去0.2kg的水，求：1）水桶匀速的从井底提到
井口，外力作功；2）将水桶以0.2m/s2 的加速度提
升到井口，外力作功。
解： 1）匀速运动时，满足：F mg
建立坐标如图所示，在任意位置， 水桶的总质量为：
Ek
1 mv 2 2
保守力：如果一对力的功与相对路径的形状无关， 只决定于相互作用质点的始末位置，这样的一对力 （简称一个力）称为保守力。（反之称为非保守力）
F dr 0
L
势能：质点系内的相互作用力是保守力，则存在着一
v2
2GMr1 r2 (r1 r2 )
例 题 18
r2
r1
解： 1）
EP近 - EP远
GMm GMm 1 1 ( ) ( ) GMm( ) r1 r2 r2 r1
2）法一：
1 Mm 1 Mm 2 机械能守恒： mv12 G mv2 G 2 r1 2 r2
角动量守恒：
解得： v1
mv1r1 mv2 r2
2GMr2 r1 (r1 r2 )
根据动能定理例题66已知一质点在x轴上运动其fx关系如图所示则质点运动从0到10m过程中f所作的功例题77有一倔强系数为的弹簧竖直放置下端悬一质量为的小球先使弹簧为原长而小球恰好与地面接触再将弹簧缓慢地提起直到小球能脱离地面为止
第四章
功和能 教学基本要求 基本概念
例题分析
一、教学基本要求 掌握功的概念，能计算直线运动情况下变 力的功。
2
2
8、一人从10m深的井中提水。起始时桶中装有8kg
例题8
的水，桶的质量为2kg，由于水桶漏水，每升高1m
要漏去0.2kg的水，求：1）水桶匀速的从井底提到
井口，外力作功；2）将水桶以0.2m/s2 的加速度提
升到井口，外力作功。
解： 1）匀速运动时，满足：F mg
建立坐标如图所示，在任意位置， 水桶的总质量为：
Ek
1 mv 2 2
保守力：如果一对力的功与相对路径的形状无关， 只决定于相互作用质点的始末位置，这样的一对力 （简称一个力）称为保守力。（反之称为非保守力）
F dr 0
L
势能：质点系内的相互作用力是保守力，则存在着一
大学物理 第四章
b
b a
质点动能定理：
5
§4.2 动能定理
质点系动能定理
F1
b
f1 = − f 2
r11
m
m
r2
2
F2
O 外力做功A外 内力做功A内
a
A内 + A外 = E k 2 − E k 1
质点系动能定理
质点系总动能
6
§4.2 动能定理
例4.2：已知一质量为m的质点做平面曲线运动，其运动方程为 试求在t=0到t=π/2ω时间内质点所受合外力的功。
解：（利用动能定理）
t=0 t=π/2ω
7
A = F • r = Fr cosθ
重力做功：
§4.3 保守力做功、势能
dA = − mg cos αds = − mgdy
重力做功只与 质点始末位置 有关，与质点 经过路径无关
8
§4.3 保守力做功、势能
弹簧弹性力做功：
弹簧弹性力做功只与质 点始末位置有关，与质 点经过路径无关
第四章 功和能
做功是物体能量改变的原因之一，是物 体机械能改变的唯一原因。
主要内容： 一个定理：动能定理 一个原理：功能原理 一个定律：机械能守恒定律 三个概念：功、动能、势能
§4.1 力的空间累积效应
功的定义：
A = F • r = Fr cos θ
元功的定义：
θ
r
θ
dA = F cos θdr = F • dr
解：
平衡方程为：
力F做功：
4
§4.2 动能定理
b Aab = ∫a F • dr = ∫a F cos αdr
b
力F对质点m沿曲 线从a到b做的功：
b a
质点动能定理：
5
§4.2 动能定理
质点系动能定理
F1
b
f1 = − f 2
r11
m
m
r2
2
F2
O 外力做功A外 内力做功A内
a
A内 + A外 = E k 2 − E k 1
质点系动能定理
质点系总动能
6
§4.2 动能定理
例4.2：已知一质量为m的质点做平面曲线运动，其运动方程为 试求在t=0到t=π/2ω时间内质点所受合外力的功。
解：（利用动能定理）
t=0 t=π/2ω
7
A = F • r = Fr cosθ
重力做功：
§4.3 保守力做功、势能
dA = − mg cos αds = − mgdy
重力做功只与 质点始末位置 有关，与质点 经过路径无关
8
§4.3 保守力做功、势能
弹簧弹性力做功：
弹簧弹性力做功只与质 点始末位置有关，与质 点经过路径无关
第四章 功和能
做功是物体能量改变的原因之一，是物 体机械能改变的唯一原因。
主要内容： 一个定理：动能定理 一个原理：功能原理 一个定律：机械能守恒定律 三个概念：功、动能、势能
§4.1 力的空间累积效应
功的定义：
A = F • r = Fr cos θ
元功的定义：
θ
r
θ
dA = F cos θdr = F • dr
解：
平衡方程为：
力F做功：
4
§4.2 动能定理
b Aab = ∫a F • dr = ∫a F cos αdr
b
力F对质点m沿曲 线从a到b做的功：
大学物理《功和能》课件
A
L A L B
L
L
B
L
B
A
B f dr f dr 0
L
A
§4.3 保守力与势能
2.势能
A引 Gm 1 m 2 rB Gm 1 m 2 rA
A弹 1 2 ks
2 A
1 2
ks B
2
A引
Gm 1 m 2 r B r rA
B f dr k (r
A
r k ( r r0 ) A r 1 1 2 2 k ( r A r0 ) k ( rB r0 ) 2 2
O rA r r0 ) d r r r d r k ( r r0 ) d r r
第4章 功 和 能
Work and Energy
第4章
功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会 改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功） 会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究， 是经典力学中重要的组成部分。 与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律）， 是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。
一般引力势能的零点取质点相距无穷远，E
r
一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态，Ep
0 ， 0 C
s 0
A点势能可表为 E p ( A )
Ep 0 A
f保 dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
Ep
Ep
Gm1m2 r
Gm1m2 r0
引力势能曲线
引力势能是空间变量
动量动量角动量角动量能量能量守恒量对称性时空性质空间平移空间平移空间转动空间转动时间平移时间平移空间均匀性空间均匀性空间各向同性空间各向同性时间均匀性时间均匀性守称守恒守恒空间反演对称性空间反演对称性安保是指为了达到安全的目的而进行的对人或物的保护活动安保工作是指为集体或个人的安全而进行保卫的各种活动
L A L B
L
L
B
L
B
A
B f dr f dr 0
L
A
§4.3 保守力与势能
2.势能
A引 Gm 1 m 2 rB Gm 1 m 2 rA
A弹 1 2 ks
2 A
1 2
ks B
2
A引
Gm 1 m 2 r B r rA
B f dr k (r
A
r k ( r r0 ) A r 1 1 2 2 k ( r A r0 ) k ( rB r0 ) 2 2
O rA r r0 ) d r r r d r k ( r r0 ) d r r
第4章 功 和 能
Work and Energy
第4章
功和能
质点受力的作用时，如果持续一段时间，质点的动量会 改变；如果质点由空间位置的变化，则力对位移的累积（功） 会使质点的能量（动能和势能）发生变化。对功和能的研究， 是经典力学中重要的组成部分。 与机械运动相联系的能量守恒定律（机械能守恒定律）， 是普遍的能量守恒定律的一种特殊形式。
一般引力势能的零点取质点相距无穷远，E
r
一般弹性势能的零点取弹簧无伸缩状态，Ep
0 ， 0 C
s 0
A点势能可表为 E p ( A )
Ep 0 A
f保 dr
§4.4 引力势能与弹性势能
2.势能曲线
Ep
Ep
Gm1m2 r
Gm1m2 r0
引力势能曲线
引力势能是空间变量
动量动量角动量角动量能量能量守恒量对称性时空性质空间平移空间平移空间转动空间转动时间平移时间平移空间均匀性空间均匀性空间各向同性空间各向同性时间均匀性时间均匀性守称守恒守恒空间反演对称性空间反演对称性安保是指为了达到安全的目的而进行的对人或物的保护活动安保工作是指为集体或个人的安全而进行保卫的各种活动
大学物理-第4章功与能
由于保守力的功只由路径的始、末位置确定，这就说明一定存在状态
重 大
函数，使得保守力的功可用状态函数的变化表示。
数
理 学
势能 potential energy
院
势能（势能函数）是由物体的相对位置决定的函数，与保守力做功
赵 有关，是状态函数。
承
均 1.势能差
物体在保守力场中 a, b 两点的势能 Ep ra , Ep rb 之差等于质点由
重
大
数 非保守力 non-conservative force
理
学
院
做功不仅与物体的始末位置有关，且与做功路径有关，称为非保守力。
赵 承 均
物体沿闭合路径绕行一周，保守力力所做的功恒为零。非保守力则无 此特性。
保守力
重力 弹力 万有引力 静电力
非保守力
摩擦力 ......
…… 爆炸力
第一篇 力学
二、势能
一、功 work
第一篇 力学
§4.1 功、功率
物体在外力作用下，在力的方向上发生了一段位移，则外力对物体作
重 功。功表征了力对空间的累计效应。
大
数 理
1.恒力做功 work done by uniform force
学
院
在恒力 F 作用下质点沿直线发生了一段位移 r ，则在此过程中，
力对质点所做的功按以下计算：
第一篇 力学
解：物体受万有引力，物体以初速度 v 发射，脱离地球引力至少在无穷 远处的速度为 0，
重
大 数 理 学
初态动能：
Eko
1 2
mv2
院
赵 末态动能： r , v 0, Ek 0
承 均
大学物理课件第4章-功和能
如图,求船从离岸 x1处移到 x2 处的 过程中,力 F 对船所作的功.
F
解:判别F 是否为变力作功(大小不变,方
向变元),功属于dW变力作F功.建dx立坐F标,取dx元过co程sa
h
o x2
a
dx x x1 x
cosa x
x2 h2 x
dW F dx
x2 h2
功在数值上等于示功图
F
曲线下的面积。
3. 功率
0 x1
x2 x
dx
平均功率: P =ΔΔWt
瞬时功率:
P
= lim
Δt 0
Δ Δ
Wt =
dW dt
=
F
. dr
dt
= F .v
[ 例1 ] 有一单摆，用一水平力作用于m
使其极其缓慢上升。当θ 由 0 增大到 0 时，
求: 此力的功。
{
F T sinθ T cosθ mg
两边平方
v 2 v12
由动量守恒
2v1
v2
v 22
v
v1
v2
由机械能守 恒（ 势能无变化）
v2
v12
v
2 2
v1 v2 0 两球速度总互相垂直
例8：已知半圆柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，
如图，求质点下滑至最低点时给木块的压力.
解：
mv MV 0
•2.碰撞分类
正碰 斜碰
（从碰撞前后两球中心连线角度分类 ）
弹性碰撞 非弹性碰撞 完全非弹性碰撞
一般非弹性碰撞
（从碰撞能量损失角度分类）
例7：在平面上两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时处于
大学物理第四章
解：利用功能原理：
A=DE
q
kF
m
Fl0tgq
=
1 2
k (l0 setq
- l0 )2
1 2
mv2
F
m
解得：
v=
2 m
Fl0tgq
-
1 m
k (l0 setq
-
l0
)2
[例13] 作业、p-55 功和能 自-20
一质量为m的球，从质量为M的圆弧
形槽中由A位置静止滑下，设圆弧形槽的半
径为R，(如图)。所有摩擦都略，试求：
+12 MV2
l
L
解得：
vr=
2(m +M) gR M
V= m
2gR M(m +M)
(2)小球到最低点B处时，槽滑行的距离。
∵ SFx = 0 ∴ DPx = 0
mvx = MVx
Am
m vxdt = M Vxdt
R
ml=ML
MB
l+L=R
L
=
mR m+M
lL
(3)小球在最低点B处时，槽对球的作用力；
1、动量： P
P = mv 2、第二定律：
F
=
dP dt
= ma
3、冲量： I
I
=
F t 2
t1
dt
4、动量原理
I = DP
5、力矩 M M = r × F
6、动量矩 L
L = r × P = r × mv
7、角动量原理:
t 2 t1
M dt
=
ω ω
2 1
J
dω
= Jω 2
第四章 功和能
第一篇力学第4章功和能第4章功和能Work & Energy第1节功功率第2节动能动能定理第3节保守力势能第4节功能原理机械能守恒定律d rαrr 'ab Fod d A F r =⋅所做的总功d b ab a A F r =⋅⎰d cos b F S α=⎰d cos b aF r α=⎰Work & Power第1节功功率1.功——力的空间积累效应将质点由a 移动到b ，F力相应于元位移d rF , 力对质点所做的功为:——元功tt +d t合力做的功：注意：d b ab aA F r=⋅⎰可见:合力对物体所做的功等于其中各个分力分别对该物体所做功的代数和。
若有多个力同时作用在质点上，则d bab a A F r =⋅⎰ d 12(...)b a F F r=++⋅⎰d d 12...b b a a F r F r =⋅+⋅+⎰⎰...A A ++=21(1)力对质点所做的功, 不仅与始、末位置有关，而且往往与路径有关。
2.功率平均功率：瞬时功率(功率)：——做功的快慢功率：力在单位时间内所做的功A P t∆∆=d d 0lim t A A P tt ∆∆∆→==d d A F r=⋅ d d r F F v t =⋅=⋅ P F v∴=⋅单位: 瓦特符号W 1W ＝1J·s －1当额定功率一定时,负荷力越大,可达到的速率就越小;负荷力越小,可达到的速率就越大。
这就是为什么汽车在上坡时走得慢,下坡时走得例1.如图所示,一匹马以平行于圆弧形路面的拉力拉着质量为m 的车沿半径为R 的圆弧形路面极缓慢地匀速移动,车与路面的滑动摩擦系数为μ，求:车由底端A 被拉上顶端B 时,各力对车所做的功。
解:车受4个力的作用拉力F 、摩擦力f ，沿切向路面支持力N 指向圆心O重力mg 竖直向下在切向与法向有:sin 0F f mg θ--=Nf μ=而()cos sin F mg μθθ∴=+cos 0N mg θ-=拉力的功:d B F A A F S=⎰31[]mgR μ=+d 600(cos sin )mg R μθθθ=+⎰R O R AB θo60重力的功d 600sin g A mg R θθ=-⋅⎰d()600cos mgR θ=⎰/2mgR =-摩擦力的功d 0Sf A f S=-⎰d 600cos mg R μθθ=-⋅⎰μmgR 23-=路面支持力N 的功为零.RORABθo60例2.一人从H ＝10m 深的水井中提水,开始时,桶中装有M ＝10kg 的水(忽略桶的质量).由于水桶漏水,每升高1m 要漏出0.2kg 的水,求将水桶匀速地从井中提到井口的过程中,人所做的功。
大学物理功和能
例4-4、一质量为m的质点，在xoy平面上运动。
其r位置a矢c量os为：ti
b
sin
tj
y
b
B
r
m
t A
x
其中a , b , 为正值常数，a > b 。 o
a
(1)求质点在A (a,0)点和B(0,b)点时的动能。
(2)求质点所受的作用力以及当质点从A运动到B的
解：(过1)程由中分r力
Fx
a
、Fy
cos
rdr
G rb ra 0
Mm r3
rdr
b
Mm
Mm
确定 (两G个0 质r点a ，) 则(MG、0 mrb
1 2
kx22
1 2
kx12
4 8102 (J )
例2：用铁锤把钉子敲入墙面木板。设木板对钉子的阻力
与钉子进入木板的深度成正比。若第一次敲击，能把钉
子钉入木板1cm。第二次敲击时，保持第一次敲击钉子
的速度，那么第二次能把钉子钉入多深？
分析：由于两次锤击的条件相同，锤击后钉子获得的速
度也相同，所具有的初动能也相同；由动能定理
两式相加得：
即： 外力的功之和＋内力的功之和 ＝系统末动能－系统初动能
记作：W外＋W内＝EKB - EKA
质点系动能定理
所有外力对质点系做的功和内力对质点系做的功 之和等于质点系总动能的增量。
注意：内力能改变系统的总动能， 但不能改变系统的总动量。
说明： 1、动能是状态量，任一运动状态对应一 定的动能。 2、功是过程量，它与能量的改变有联系。 3、动能是质点因运动而具有的做功本领。 4、动能与动量的异同：
F cos
S ab Fdr cos
大学物理第4章 功和能
f d r 0 （此式也可作为
L
(1 ) ( 1 ) f d r ( 2 ) f d r L1 L2
(2)
L1
L2
保守力的定义） 20
二. 几种保守力 1.万有引力
(2) ×
d r er d r
W 12 对 ( 1 )
(2)
13
本质区别：动能和物体的运动状态相联系，任 一运动状态对应一定的动能，是状态量；而功 是与物体在力作用下的具体运动过程相联系， 它一般是路径的函数，因而功是过程量。 密切关系：过程便意味着状态变化。合外力对 质点做功，质点的动能便发生变化。做功是使 质点动能改变的手段，动能的变化又是用功来 量度的，故二者具有相同的单位。 动能是质 点因运动而具有的做功本领。
——质点的动能定理
“合外力对质点所做的功等于质点动能的增量”
12
2. 分析说明： ①动能定理本质上是牛顿第二定律的推论，它 从一个侧面反映了质点在力学过程（空间积累 过程）中所服从的规律。 ②由动能定理知，力对物体做功，能改变物体 的动能，也只有力对物体做功，物体的动能才 能改变， 功是机械运动能量变化的量度。 ③功和动能的概念不可混淆
14
3. 质点系的动能定理 质点：m1 、 m2
F F 内力： f 1 、f 2 外力： 1 、 2 初速度： 1 a 、 2 a 末速度： 1b 、 2 b
b
v1b
dr b · b·
1 2
v2b
F2
2 2
F1
dr1 m1
m ·
f1 f2
·
m1:
m2:
2 2 2 ( F 1 f 1 ) d r1 1 m 1 1 b 1 m 1 1 a ( 1 ) a 1 2 2 b 2 2 2 ( F 2 f 2 ) d r2 1 m 2 2 b 1 m 2 2 a ( 2 ) a 2 2 2
大学物理力学第四章功与能
（1）一对力的功与相对移动的路径无关，而只决 定于相互作用物体的始末相对位置，这样的一对 力称为保守力 （如：万有引力、弹力、重力）
（2）保守力B的环流 为零A。
y
A
F dr l1
F
A B
dr
l2
B
B
F dr
l1
l1
A F dr l2
F dr
A
l2
B
0
o
x
非保守力——▲ 摩擦力（耗散力):作功为负，
1 2
m2v2 B 2
1 2
m2v2
2 A
B1
B2
B1
B2
F1 • d r1 F 2 • d r2 f 1 • d r1 f 2 • d r2
A1
A2
A1
A2
1 2
m1v1B 2
1 2
m2v2B 2
1 2
m1v1A2
1 2
m2v2 A2
Aext Aint EkB EkA
外力与内力对质点系做的功之和等于质 点系总动能的增量。-----质点系的动能定理
A
rAB
B
A F r cos
F r
恒力的功与物体的具体路径无关，
只和起点和终点位置有关.
2. 变力做功
A
F1
r1
F2
r2
F3
r3
...
Fi
ri
...
ri i
定义: element work元功
Fi
dA F dr 视为恒力,直线
r3
F3
r2 r1
F2
F1
A
B
AAB L
E。
n
n
（2）保守力B的环流 为零A。
y
A
F dr l1
F
A B
dr
l2
B
B
F dr
l1
l1
A F dr l2
F dr
A
l2
B
0
o
x
非保守力——▲ 摩擦力（耗散力):作功为负，
1 2
m2v2 B 2
1 2
m2v2
2 A
B1
B2
B1
B2
F1 • d r1 F 2 • d r2 f 1 • d r1 f 2 • d r2
A1
A2
A1
A2
1 2
m1v1B 2
1 2
m2v2B 2
1 2
m1v1A2
1 2
m2v2 A2
Aext Aint EkB EkA
外力与内力对质点系做的功之和等于质 点系总动能的增量。-----质点系的动能定理
A
rAB
B
A F r cos
F r
恒力的功与物体的具体路径无关，
只和起点和终点位置有关.
2. 变力做功
A
F1
r1
F2
r2
F3
r3
...
Fi
ri
...
ri i
定义: element work元功
Fi
dA F dr 视为恒力,直线
r3
F3
r2 r1
F2
F1
A
B
AAB L
E。
n
n
大学物理第04章功和能(1)
( Mg )2 Mgh
k
k
最大压缩量x2
x2
2 Mg k
( Mg )2 Mgh
k
k
31
——只有保守内力作功的情况下，质点 系的机械能保持不变．
E Ek Ep
Ek Ek0 (Ep Ep0 ) Ek Ep
能量守恒定律：对一个与自然界无任何 联系的系统来说, 系统内各种形式的能量可 以相互转换，但是不论如何转换，能量既不 能产生，也不能消灭．
讨论 下列各物理量中，与参照系有关的物
B
dA F dr
m'm G r 2 er dr
m从A到B的过程中 F作功：
A
F dr
B A
G
m'm r2
er
dr
er
dr
er
dr
cos
dr
A rB G m'm dr
rA
r2
rA
A
er
r
m
dr
x 0, Ep 0
引力势能曲线
r , Ep 0
4.4 由势能求保守力
Fxdx Fydy Fzdz dEP ( x, y, z)
若保持y，z 不变， 则dy＝dz＝0
Fx
Ep x
同理
Fy
E p y
；Fz
Ep z
F
Fxi Fy j Fzk
k x2
保守力的功 A (Ep2 Ep1) EP
——保守力作正功，势能减少． 注意
势能是状态的函数 Ep Ep (x, y, z)
北京工业大学《大学物理》课件-第四章功和能
E(rB
)
E(rA)
( A)
( A)
( A)
有心力作功与路径无关 ——有心力是保守力！
【思考】为什么摩擦力不是保守力？
§4.3 势能 Potential Energy 保守力的功可用质点相对位置的函数来表征
势能(函数)
1.定义 ——保守力的功等于系统势能的减少： Aab=EpaEpb= Ep 选定势能零点 才能确定势能各点的数值
A
xB
xA
Fdx
xB
xA
kxdx
A
(1 2
kxB2
1 2
kx
2 A
)
＊有心力是保守力
有心力：f f (r) rˆ
B
引力：
f
Gm1m2
rˆ2
4 0 r
2
rˆ
弹性力： f kx x0 xˆ
rB
rA
A
r
WAB
(B)
＝
f dr
(B)
f
(r ) rˆdr
(B)
f
(r)dr
的功的代数和为零。
上述说法中：(A)(1)(2)是正确的.
(B)(2)(3)是正确的.
(C)只有(2)是正确的.
答案：C
(D)只有(3)是正确的.
保守力另外的表述：沿任意闭合的相对路径移动 一周做功为零的力
L2
(1) L=L1+（- L2 ）
(2)
F dr F dr
L1
L2
L1
势能属于产生保守力的整个系统
零点改变, 则各点势能值随之改变
e.g. 改令 Epd=0
简记：Epa(新,d 为零点)=Epa(旧) Epd(旧)
第4章__功和能
dA = (− mgk ) ⋅ (dxi + dyj + dzk )
mg
Ι
= − mgdz
A=∫
M2
z2
1
y
x
dA = dE K
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量
9
M1
dA = ∫ − mgdz = − mgz 2 − mgz1） （ z
重力的功只决定于作功的起点和终点 与作功的路径无关
10
弹性力的功
r
N
o
f
N =m
υ2
r
f = μN
走一段小位移 dl 所做的功为
dA = f ⋅ dl = f cos πdl = − μm
转一周
υ2
r
dl
dA= F ⋅ dl dυ =m ⋅ dl = mυ ⋅ dυ = mυdυ dt
(b)
A = ∫ dA = − μm
υ2
r
∫
2πr
0
dl = − 2 πμ m υ 2
A外 + A内 = E K − E K 0 = ΔE K
质点系从一个状态运动到另一个状态时， 质点系动能的增量等于作用于各质点的所有外 力和所有内力在这一过程中作功的总和。 思考：为什么内力之和一定为零，而 内力作功之和不一定为零呢？
F = Fx + F y + Fz
§4.3 质点系的功能原理 机械能守恒定律 一、质点系的动能定理
∫ f ⋅ dl
L
=0
环流为零的力场是保守场， 如静电场力的环流也是零，
∫f
L
保
⋅ dr = 0
所以静电场也是保守场。 环流不为零的矢量场是非保守场，如磁场。
大学物理第4章功和能
Ah h 12mgm dh1 gh2
重力作功只与质点的起始和终了位置有 关，而与质点所经过的路径无关。
第一篇 力 学
2、弹性力作功
F
o
x1
x2 x
x
dx
F ＝ kix
d F A d x k i d x i x kxdx
Axx 12kx d1 2x k1 2x1 2k2 2x
§4.3 势能 一、保守力和非保守力
根据做功是否与路径有关，我们可以把力分为两类，即保守力与非保 守力。力学中最重要的保守力有三个：重力、万有引力和弹性力。我们 来看看它们做功的特点：
1、重力作功的特点
h
drdh
dr
h1
mg
h2
o
dr dix d jh d A m g d r mgdh
m
L
v 5F0 L 9m
第一篇 力 学
二、质点系的动能定理
设一系统有n个质点，作用于各个质点的力所作的功分别为：A1,A2,…, An,使各个质点由初动能Ek10,Ek20,…,Ekn0,变成末动能，Ek1,Ek2,…, Ekn
每一个质点的动能定理
A1外 A1内 Ek1 Ek10 A2外 A2内 Ek 2 Ek 20 An外 An内 En1 En10
第一篇 力 学
第一篇 力 学
例3 一对质量分别为m1和m2的质点，彼此之间存在万有引力的作用。 设m1固定不动，m2在m1的引力作用下由a点经某路径l运动到b点。已 知m2在a点和b点时距m1分别为ra和rb，求万有引力的功。
b l
dr
rb
dr
r
m2
F
m1
重力作功只与质点的起始和终了位置有 关，而与质点所经过的路径无关。
第一篇 力 学
2、弹性力作功
F
o
x1
x2 x
x
dx
F ＝ kix
d F A d x k i d x i x kxdx
Axx 12kx d1 2x k1 2x1 2k2 2x
§4.3 势能 一、保守力和非保守力
根据做功是否与路径有关，我们可以把力分为两类，即保守力与非保 守力。力学中最重要的保守力有三个：重力、万有引力和弹性力。我们 来看看它们做功的特点：
1、重力作功的特点
h
drdh
dr
h1
mg
h2
o
dr dix d jh d A m g d r mgdh
m
L
v 5F0 L 9m
第一篇 力 学
二、质点系的动能定理
设一系统有n个质点，作用于各个质点的力所作的功分别为：A1,A2,…, An,使各个质点由初动能Ek10,Ek20,…,Ekn0,变成末动能，Ek1,Ek2,…, Ekn
每一个质点的动能定理
A1外 A1内 Ek1 Ek10 A2外 A2内 Ek 2 Ek 20 An外 An内 En1 En10
第一篇 力 学
第一篇 力 学
例3 一对质量分别为m1和m2的质点，彼此之间存在万有引力的作用。 设m1固定不动，m2在m1的引力作用下由a点经某路径l运动到b点。已 知m2在a点和b点时距m1分别为ra和rb，求万有引力的功。
b l
dr
rb
dr
r
m2
F
m1
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地球的半径为6.37 106 m，地球绕太阳公转的速度 为 29.8 km / s ，试求Ｖ１、Ｖ２、Ｖ３。
v
29.8km / s
S
S
E
r0 ~ 109 m
v 29.8km / s
S
E
r0 ~ 109 m
解：(1)
G0
mM E RE 2
m v12 RE
v1 gRE 7.9103 m / s
（２）
开始在距地面 R 处自由下落。
求：它到达地球表面时的速度。 A m
解： E pA = E pB =
GMm 2R
GMm R
BR
地球 R
M
由机械能守恒定律：
GMm 2R
+
0
=
GMm R
+
1 2
mv
2
v=
GM R
例7：航天器绕地球表面运动所需的速度称为第一宇宙 速度Ｖ１，脱离地球所需的最小速度称为第二宇宙速度 Ｖ２，脱离太阳系所需的速度称为第三宇宙速度Ｖ３，设
zk
b b
W
F dr
a
a
Fxi Fy j Fzk
dxi dyj dzk
b
a Fxdx Fydy Fzdz
4
功的基本性质：
合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数
和。
W
b a
b
a F1
F
dr
dr
b a
b
a F2
F1 F2 Fn
ra
r
dr
r dr
b
F
G0
Mm r2
er
W
G rb
ra
0
Mm r2
er
dr
M
rb
er
dr
dr
cos
dr
W
G0Mm
rb ra
dr r2
1
G0
Mm
ra
1 rb
只与始末位 置有关.
22
（3）弹性力
由胡克定律：
mF m
x
o x1
ax x2
b
F kx
W F dx x2 kxdx x2 kxdx
mv 22 G0
MEm RE
0)
v 29.8km / s
S
E
r0 ~ 109 m
以太阳为参照 系，近似认为航天器在地球相对太阳的轨道上出
发继续运动，逃逸太阳系，则脱离太阳引力范围所需的速度 v2
为
1 2
mv 2 2
G0
MSm r0
0
v2
2
G0 M S r0
2 29.8 42.1m / s
m
0 x a bx
W
b
a
kxdx
1 2
kxa 2
1 2
kxb 2
EPa EPb
1 2
k
xa 2
1 2
k
xb 2
EP
1 kx2 c 2
选
x=0, Ep=0, 则，Ｃ＝０
EP
1 kx 2 2
27
（3）引力势能
a
c dr
Aab E Pa E Pb
G0 Mm ( G0 Mm )
ra
17
例4：在光滑的水平桌面上，平放有如图所示的固定半
圆屏障，质量为m的滑块以初速度 V0沿切线方向进入 屏障，滑块与屏之间的摩擦系数为，试 证明当滑块
从另一端滑出时，摩擦力作的功为
W
1 2
mv 02 (e2
1)
fS
0
俯 视
v0
图
N
v
解 N m v2 (1) R
f N m dv
dt
m dv ds ds dt
国际单位：焦耳（J ）N·m
F
y
2
变力的功
质点由a点沿曲线运动到b点的过程中，变力
F
所作的功 。
元功：
dW F dr
dr
b F
b b
W a F dr a F cos dr
功是力对质点运动空间的积累效果。
3
在直角坐标系Oxyz中
F Fxi Fy j Fzk
r
xi
yj
1 保守力
作功与路径无关，只与始末位置有关的力。 保守力的特点：保守力沿任何闭合路径作功等于零。
证明：
F dr 0 a
设保守力沿闭合路径acbda作功
d
c
W Wacb Wbda Wacb Wacb 0
证毕
b
20
2 常见保守力
（1）重力
初始位置 a(xa , ya , za )
末了位置 b(xb , yb , zb )
a dv dt
dv adt 3t dt
两边积分：
v
t
0 dv 0 3tdt
v dx dt
v 3t2 2
dx vdt 3 t 2dt 2
W F dx 2 6t 3 t 2dt 9 t 4 2 36 J
02
40
12
例2 如图所示，用质量为M的铁锤把质量为m 的钉子
敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深 度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入 1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完 全相同，问第二次能把钉子敲入多深？
1 2
mv
2
2
G0
MEm RE
0
v2 2gRE 2v1 11.2103 m / s
v 29.8km / s
S
E
r0 ~ 109 m
（３）、设脱离地球引力圈时，航天器的速度为Ｖ（相 对地面），此时不考虑太阳的引力，则：
1 2
mv 32
G0
MEm＝1 RＥ 2
mv 2
v32 v22 v2
(1 2
E p x
i
E p y
j
E p z
k
30
4.4 机械能守恒定律
质点系的动能定理： W内 W外 Ek 2 Ek1
其中
W内 W保内 W非保内
W外 W保内 W非保内 Ek 2 Ek1
W保内 E p2 E p1
W外 W非保内 Ek2 Ep2 Ek1 Ep1
ya
在 a，b点时，系统的势能分别
为Epa，Epb, m从a运动到b点时，
重力做的功为：
Wab EPa EPb
ya
0
mg( ya yb )
一般地
b yb x
选y=0,
Ep=0, 则
EPa mgya EPb mgyb
EP mgy c
其中Ｃ为任意常数
26
（2）弹性势能
弹簧 自然长度
F
解 设铁锤敲打钉子前的
速度为v0，
敲打后两者的共同速
度为v。
Mv0 (M m)v
v Mv0 M m
O S1 S2
13
铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻
力大小为： f kx
M m , v v0
由动能定理， 有：
0
1 2
(m
M )v02
S1 0
kxdx
1 2
kS12
设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为ΔS ，则有
保守力场中系统从状态a运动状态b，保守力所做的功 等于系统势能的增量的负值。
Wab E EPa EPb
设空间r0点为势能的零点，则空间任意一点 r
的势能为：
E p (r ) E p (r ) E p (ro )
ro
F
dr
r
25
2、重力势能、弹性势能和引力势能
(1)重力势能
如图，选地球、m为系统，则m
1．质点动能定理
动能： 质点因有速度而具有的作功本领。
Ek
1 2
mv2
单位：（J）
设质点m在合力的作用下沿 曲线从a点移动到b点
元功：
dW
F
dr
F
cos
ds
dr
b
F a
7
F
cos
ma t
m
dv dt
dW F cos ds m dv ds mvdv
dt
总功：
W
dW
v2 v1
mvdv
r21
r2
dr2
A2
f2 d(r2 r1 ) f2 dr21
一对力所做的功，等于其
中一个物体所受的力沿两
个物体相对移动的路径所
做的功。
O
11
例1、设作用在质量为2kg的物体上的力F = 6t N。如
果物体由静止出发沿直线运动，在头2（s）内这力作
了多少功？
解： a F 6t 3t m2
第4章 功和能
主要内势能 4.4 机械能守恒定律 4.5 理想流体的伯努利方程*
1
4.1 功
功是度量能量转换的基本物理量。
功的定义：
物体发在生力了F位的移作用r，下则，
把力在位移方向的分力与
位移
r
的乘积称为功。
z
F
r
r1 O
x
W Fr cos F r
i 1
i 1
i 1
i 1
9
W内 W外 Ek 2 Ek1
质点系的动能定理：
质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力 和内力作功之代数和。
值得注意：
内力做功可以改变系统的总动能。例如爆炸 过程。
10
一对力的功
系统内力总是成对出现 dA f1 dr1 f2 dr2
f1
f2
dr1 r1 A1
v
29.8km / s
S
S
E
r0 ~ 109 m
v 29.8km / s
S
E
r0 ~ 109 m
解：(1)
G0
mM E RE 2
m v12 RE
v1 gRE 7.9103 m / s
（２）
开始在距地面 R 处自由下落。
求：它到达地球表面时的速度。 A m
解： E pA = E pB =
GMm 2R
GMm R
BR
地球 R
M
由机械能守恒定律：
GMm 2R
+
0
=
GMm R
+
1 2
mv
2
v=
GM R
例7：航天器绕地球表面运动所需的速度称为第一宇宙 速度Ｖ１，脱离地球所需的最小速度称为第二宇宙速度 Ｖ２，脱离太阳系所需的速度称为第三宇宙速度Ｖ３，设
zk
b b
W
F dr
a
a
Fxi Fy j Fzk
dxi dyj dzk
b
a Fxdx Fydy Fzdz
4
功的基本性质：
合力对质点所作的功等于每个分力对质点作功之代数
和。
W
b a
b
a F1
F
dr
dr
b a
b
a F2
F1 F2 Fn
ra
r
dr
r dr
b
F
G0
Mm r2
er
W
G rb
ra
0
Mm r2
er
dr
M
rb
er
dr
dr
cos
dr
W
G0Mm
rb ra
dr r2
1
G0
Mm
ra
1 rb
只与始末位 置有关.
22
（3）弹性力
由胡克定律：
mF m
x
o x1
ax x2
b
F kx
W F dx x2 kxdx x2 kxdx
mv 22 G0
MEm RE
0)
v 29.8km / s
S
E
r0 ~ 109 m
以太阳为参照 系，近似认为航天器在地球相对太阳的轨道上出
发继续运动，逃逸太阳系，则脱离太阳引力范围所需的速度 v2
为
1 2
mv 2 2
G0
MSm r0
0
v2
2
G0 M S r0
2 29.8 42.1m / s
m
0 x a bx
W
b
a
kxdx
1 2
kxa 2
1 2
kxb 2
EPa EPb
1 2
k
xa 2
1 2
k
xb 2
EP
1 kx2 c 2
选
x=0, Ep=0, 则，Ｃ＝０
EP
1 kx 2 2
27
（3）引力势能
a
c dr
Aab E Pa E Pb
G0 Mm ( G0 Mm )
ra
17
例4：在光滑的水平桌面上，平放有如图所示的固定半
圆屏障，质量为m的滑块以初速度 V0沿切线方向进入 屏障，滑块与屏之间的摩擦系数为，试 证明当滑块
从另一端滑出时，摩擦力作的功为
W
1 2
mv 02 (e2
1)
fS
0
俯 视
v0
图
N
v
解 N m v2 (1) R
f N m dv
dt
m dv ds ds dt
国际单位：焦耳（J ）N·m
F
y
2
变力的功
质点由a点沿曲线运动到b点的过程中，变力
F
所作的功 。
元功：
dW F dr
dr
b F
b b
W a F dr a F cos dr
功是力对质点运动空间的积累效果。
3
在直角坐标系Oxyz中
F Fxi Fy j Fzk
r
xi
yj
1 保守力
作功与路径无关，只与始末位置有关的力。 保守力的特点：保守力沿任何闭合路径作功等于零。
证明：
F dr 0 a
设保守力沿闭合路径acbda作功
d
c
W Wacb Wbda Wacb Wacb 0
证毕
b
20
2 常见保守力
（1）重力
初始位置 a(xa , ya , za )
末了位置 b(xb , yb , zb )
a dv dt
dv adt 3t dt
两边积分：
v
t
0 dv 0 3tdt
v dx dt
v 3t2 2
dx vdt 3 t 2dt 2
W F dx 2 6t 3 t 2dt 9 t 4 2 36 J
02
40
12
例2 如图所示，用质量为M的铁锤把质量为m 的钉子
敲入木板。设木板对钉子的阻力与钉子进入木板的深 度成正比。在铁锤敲打第一次时，能够把钉子敲入 1cm深，若铁锤第二次敲钉子的速度情况与第一次完 全相同，问第二次能把钉子敲入多深？
1 2
mv
2
2
G0
MEm RE
0
v2 2gRE 2v1 11.2103 m / s
v 29.8km / s
S
E
r0 ~ 109 m
（３）、设脱离地球引力圈时，航天器的速度为Ｖ（相 对地面），此时不考虑太阳的引力，则：
1 2
mv 32
G0
MEm＝1 RＥ 2
mv 2
v32 v22 v2
(1 2
E p x
i
E p y
j
E p z
k
30
4.4 机械能守恒定律
质点系的动能定理： W内 W外 Ek 2 Ek1
其中
W内 W保内 W非保内
W外 W保内 W非保内 Ek 2 Ek1
W保内 E p2 E p1
W外 W非保内 Ek2 Ep2 Ek1 Ep1
ya
在 a，b点时，系统的势能分别
为Epa，Epb, m从a运动到b点时，
重力做的功为：
Wab EPa EPb
ya
0
mg( ya yb )
一般地
b yb x
选y=0,
Ep=0, 则
EPa mgya EPb mgyb
EP mgy c
其中Ｃ为任意常数
26
（2）弹性势能
弹簧 自然长度
F
解 设铁锤敲打钉子前的
速度为v0，
敲打后两者的共同速
度为v。
Mv0 (M m)v
v Mv0 M m
O S1 S2
13
铁锤第一次敲打时，克服阻力做功，设钉子所受阻
力大小为： f kx
M m , v v0
由动能定理， 有：
0
1 2
(m
M )v02
S1 0
kxdx
1 2
kS12
设铁锤第二次敲打时能敲入的深度为ΔS ，则有
保守力场中系统从状态a运动状态b，保守力所做的功 等于系统势能的增量的负值。
Wab E EPa EPb
设空间r0点为势能的零点，则空间任意一点 r
的势能为：
E p (r ) E p (r ) E p (ro )
ro
F
dr
r
25
2、重力势能、弹性势能和引力势能
(1)重力势能
如图，选地球、m为系统，则m
1．质点动能定理
动能： 质点因有速度而具有的作功本领。
Ek
1 2
mv2
单位：（J）
设质点m在合力的作用下沿 曲线从a点移动到b点
元功：
dW
F
dr
F
cos
ds
dr
b
F a
7
F
cos
ma t
m
dv dt
dW F cos ds m dv ds mvdv
dt
总功：
W
dW
v2 v1
mvdv
r21
r2
dr2
A2
f2 d(r2 r1 ) f2 dr21
一对力所做的功，等于其
中一个物体所受的力沿两
个物体相对移动的路径所
做的功。
O
11
例1、设作用在质量为2kg的物体上的力F = 6t N。如
果物体由静止出发沿直线运动，在头2（s）内这力作
了多少功？
解： a F 6t 3t m2
第4章 功和能
主要内势能 4.4 机械能守恒定律 4.5 理想流体的伯努利方程*
1
4.1 功
功是度量能量转换的基本物理量。
功的定义：
物体发在生力了F位的移作用r，下则，
把力在位移方向的分力与
位移
r
的乘积称为功。
z
F
r
r1 O
x
W Fr cos F r
i 1
i 1
i 1
i 1
9
W内 W外 Ek 2 Ek1
质点系的动能定理：
质点系动能的增量等于作用于系统的所有外力 和内力作功之代数和。
值得注意：
内力做功可以改变系统的总动能。例如爆炸 过程。
10
一对力的功
系统内力总是成对出现 dA f1 dr1 f2 dr2
f1
f2
dr1 r1 A1