《平面图形的镶嵌》教案

《平面图形的镶嵌》教案

[设计背景]

本节课问题的实际背景是日常生活中的铺地砖问题。教学的主题是把日常生活中的铺地砖问题抽象为数学中的平面图形的完全镶嵌问题。本节课设计的理论支撑点是建构主义的学习理论，这种理论认为学生的学习不是被动的接受，而是一种主动的探究与建构，认为各个个体对知识的理解随个人的经验、经历的不同而不同。根据这一理论，教师在教学设计中充分考虑到学生的差异，设计了开放性的问题，教学中采用合作学习的方式。

[教学目标]

本节课的教学目标是：通过对平面图形镶嵌问题的探究与解决（当然不一定能完全解决）的过程，加深对正多边形的有关概念、性质的理解；了解数学知识在实际生产生活中的应用，培养学生应用数学解决实问题的意识和能力；优化思维品质，培养学生发散性思维能力及由特殊到一般的归纳能力；通过合作学习，培养学生团结协作的团队精神。

一展示情景，提出问题

感知表象

师：随着生活水平的提高，人们对家居环境不断提出高的要求，在室内地面、墙面装潢中，对选用地板或瓷砖的形状、图案，除了其外观美之外，对铺在地面或墙面的式样也不断有所讲究。由同学相互观察收集的图片后交流图片的特点。

图片中的地砖都是铺得平平的，地砖的大小是一样的，顶点在一个点处。

这些地砖之间没有一点空隙，也没有重叠在一起。

回归数学

师：大家发现的地砖形状实际上就是我们数学中的几何图形。从数学的角度看，这就是用多边形覆盖平面或平面镶嵌问题。人们正是利用数学知识来美化生活的。

问题提出

师：如果你是设计师，你用哪几种几何图形来做平面镶嵌呢？

生：我们认为一种多边形能作平面镶嵌。如用正三角形、正方形、正六边形等。

生：通过对前面图片的观察，我们认为既能用一种正多边形进行镶嵌，也能用两种正多边形进行平面镶嵌。

教师启发性提问：A、限用一种正多边形进行平面镶嵌，哪几种正多边形能行？B、限

用两种正多边形进行平面镶嵌，分别有哪两种正多边形能行？C、平面镶嵌有什么规律？

二、解决问题

结合学生提出的问题，教师把“镶嵌问题”的课题研究划分为小课题，这就需要教师引导学生经历动手实验、观察发现、归纳总结、形成规律的全过程，初步具有科研意识。

1、实验猜想

师：同学们要弄清楚平面镶嵌的规律，就要研究上述问题。请同学们拿出准备好的各种正多边形纸板，在小组内拼图、记录。（课前准备好正三角形、正五边形、正六边形等）

2、质疑辩论

教师在全班动手实验结束后，组织学生进行研究汇报，展开讨论。然后安排小组汇报人员，其他同学向汇报人员提出质疑。

问题A的解决过程：发现第四小组的报告最详尽，摘要如下：

我们小组通过对问题A研究后，得到：用一种正多边形能进行镶嵌的只有正三角形、正方形、正六边形三类。（展示图片1）

图1

立即有同学提出疑义：为什么其他的正多边形就不能镶嵌呢？

第四小组的答辩：我们在实验中发现，围绕一个点的正多边形的内角加在一起恰好是一个周角时，就会拼成一个无缝隙、不重叠的平面图形。因此，我们得到上面的三种正多边形能作平面镶嵌，而其它的正多边形为什么不能就不能进行平面镶嵌呢？我们用正五边形、正八边形为例说明，如图（2），我们相信同学们由图便知为什么用它们不能进行平面镶嵌。

同学们报以热烈的掌声，并投以敬佩的目光。

缝

图2 教师小结：大家刚才发现的结论是正确的。实际上用一种正多边形进行平面镶嵌，就是

要使所用的正多边形的一个内角的度数能整除360º。而我们知道，正多边形的一个内角的度数为n n 180

)2(⨯-，若设用某种正多边形x 个，则x n n 180)2(⨯-⨯=360，由此可得，x=22-n n =2+24-n ,

由于x 为正整数，所以n=3或4和6时才符合要求。这样，我们就验证了前面的结论的正

确性。

问题B 的解决 ：第三小组的报告就能解决问题B ，他们的内容摘要如下：

我们组借助拼板发现，用两种正多边形做平面镶嵌有以下6种情形，我们用表格进行整

理：用两个正多边形镶嵌的六种情况

正三角形

与正四边

形

正三角形与正六边形

正三角形与正六边形

正三角形与正 十二边形

正五边形

与正十边

形

正四边形与 正八边形

接着同学们对提出的观点进行了质疑。生：请问两个问题：（1）你们为什么会想到正八边形、正十边形、正十二边形？（2）超过正十二边形的真的不行吗？回答：我们由围绕一个点的两种正多边形的内角加在一起恰好是一个周角。若用正三角形和正方形进行镶嵌，由于它们的内角分别为60º和90º，一开始，我们用拼板反复实验，发现用于平面镶嵌的正三角形和正方形分别是3个和2个。于是，我们想，都这样做，是不是有点太麻烦了。后来，受到老师的方法的启发，我们经过讨论发现：设用x个正三角形，y个正方形，则60ºx+90ºy=360º，即2x+3y=12，由于x、y都为正整数，所以只有x=3，y=2时，上式才成立。这样，我们就不再“猜”了，后面的结论同理得出了。

三、问题延续

师：同学们对于平面镶嵌问题的研究是比较认真的，通过动手实验，动脑思考，掌握了平面镶嵌的知识。

生：我们发现不用正多边形，只用形状、大小相同的的任意平行四边形或长方形也能进行平面镶嵌；或用形状、大小相同的任意三角形或任意四边形同样也能进行平面镶嵌。师：对！你们的发现很有价值。那么请同学们裁出一些形状、大小任意三角形或长方形、大小相同的任意三角形或任意四边形，然后拼一下，看有什么发现。学生开始动手练习。

生：我们由三角形的内角和为180º，四边形的内角和为360º得：形状、大小相同的任意平行四边行或长方形能镶嵌平面；形状、大小相同的任意三角形或任意四边行能镶嵌平面。在O点的6个角分别有三角形的三个角∠1、∠2、∠3个两次，正好组成一个周角。在点O 处的四个角分别有四边形的四个角∠1、∠2、∠3、∠4各一次，正好组成一个周角。师：上面同学的发言很有创意，那么，形状、大小相同的任意五边形或任意六边形能进行镶嵌吗？

生：我们讨论后发现，用一种正多边形镶嵌时，当正多边形的顶点落在同一点处，则能用于平面镶嵌的有正三角形、正方形、正六边形三种；而当正多边形的顶点落在其中一个正多边形的一边时，则能用于镶嵌的正多边形只有正三角形、正方形两种，正六边形就不行。

四、课外延伸

让学生把课堂上没有研究的问题在课外加以研究