蜘蛛网对数螺线模型
浅谈对数螺旋线
浅谈对数螺旋线（logarithmic spiral）摘要：我们常常可以在自然界中发现螺旋扩大的图形，比如：蜘蛛织的网、向日葵的花盘、鹦鹉螺外部切面等等。
这种图形叫做对数螺旋线。
本文，将从数学的视角，探讨对数螺旋线的来源、历史上数学家们对它的研究、如何建立模型、这种模型的性质和它在工业、农业、建筑业等方面的应用。
We often can find expanding spiral graphics in nature,such as:spider weaving a network, sunflower chrysanthemum,Nautilus external aspect and so on.This graph is called the logarithmic spiral.This article,from the perspective of mathematics to explore the source of logarithmic spiral,mathematicians in the history who studied it,how to build models,the nature of the models and the application it is in industry,agriculture,construction,etc.作者：陈红（200911233021）陈虹邑（200911233012）殷怡（200911233008）关键词：对数螺旋线、应用、蜗牛壳、对数螺旋线叶片二、螺旋线的来源1、在自然界中的踪影在自然界中对数螺旋线非常普遍，向日葵花盘上瘦果的对数螺旋线的弧形排列，这样就可以使果实排得最紧、数量最多、产生后代的效率也最高。
当我们观察着园蛛，我们会发现它的网并不是杂乱无章的，那些辐排得很均匀，每对相邻的辐所交成的角都是相等的；蜘蛛在织网时，首先要在两地之间架“天索”，把丝固定在一定的地方，并在固定的丝上来回走几趟，使丝加粗。
蜘蛛网的对数螺旋线模型
． 装 ＝ ＝ ＝ 、 ． ： ＼
设 ｋ为对数螺线 围绕中心 旋转 的圈数， 则螺线长度 Ｌ ： ：
＼ ｝ ， 、 ＼、 ＼ ／ ＼＼ 牟 Ｚ ×ｎ 。 ＼ ＼ ＼＼
ｒ 、 ＜ ， ＼＼ ＼
Ｌ ２ ｒ 触 （ ｒ 。 ） ＋ ｒ ’ ｉ １ ＝
蜘 蛛 网的对 数螺旋 线模 型
口 赵连坤 石珍珍 李柏锋 王 镁
０ １ ０ ０ ２ １ ）
（ 内蒙古大学数学科学学院 内蒙古 ・ 呼和浩特
摘
要： 针对蜘蛛 网结构进行研究， 建立 以对数螺线为核心的数学模型。通过计算 圆形蜘蛛网与对数螺线形蛛
网的覆 盖面积与长度 的关系， 得到在面积相同时， 对数螺线形蛛 网更节省蛛 丝的结论 ； 运用蒙特卡 洛方法 ， 模拟 昆虫触 网的过程 ， 得 出从概率 的角度来说 ， 对数螺线更利于捕食 的结论 。 关键词 ： 蜘蛛 网结构 对数螺旋线 蒙特卡洛方法
中图分类号 ： ０２ ４ ２ ． １ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ７ ． ３ ９ ７ ３ （ ２ ０ １ ３ ） ００ ８ ． １ １ ８ ． Ｏ ２
．
ｌ问题 背 景 在 自然 界 中 ，蜘 蛛 共 有约 ４万 种 。虽 然 不是 所 有 的 蜘蛛
少越好。
为 了 能 更清 晰 的 了解 标 准 圆形 蜘 蛛 网与 对 数 螺 线 形 蜘蛛 网 的不 同 ， 令 Ｃ＝Ｃ ： 一Ｃ ． ， 如图 ３ 。显 然 当 ｋ＜ １ ７时 ， Ｃ＜ ０ ； 参考文献： １ 】Ｖ ｏ ｌ ｌ ｒ ａ ｔ ｈ Ｆ ， Ｄｏ ｗｎ ｅ ｓ Ｍ ＆ Ｋｒ ａ ｃ ｋ ｏ ｗ Ｓ ． Ｄｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｖ ａ ｒ ｉ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｉ ｎ ｋ＞ １ ７时， Ｃ＞ ０ ， 即 圈数 。这说明当围绕圈数小于 １ ７时， 圆 【
2574蜘蛛网的环形与螺旋结构解析
第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛承诺书我们仔细阅读了第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。
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本文针对蜘蛛网的环形结构建立数学模型一，考虑到蜘蛛网的受力情况，把模型一分为两种情形。
第一种情形是昆虫被悬挂在蜘蛛网上，第二种情形是昆虫在正常飞行时意外撞击网而被粘住的过程。
我们使用的求解工具是，使用的画图工具是和程序。
模型一具有稳定性强并节约材料的特点。
在模型一的基础上，本文提出了模型二，在模型二中蜘蛛网的横线构成螺旋结构。
螺旋结构中蜘蛛网同样拥有n条横线，在纵线上搭一条螺旋延伸向外的曲线，这条螺旋线的起点在距离网心的d1并在水平正方向的骨架开始围绕着网心盘旋延伸向外，夹在相邻纵线之间的螺旋线是一段弧，螺旋模型具有覆盖面积广和蜘蛛织网快速方便的特点，这就为蜘蛛捕食带来方便。
数学模型-市场经济中的蜘蛛网模型
1
18
(9)、(10)与蛛网模型的(3)、(4)式是 一致的。
19
方程模型
在P0点附近用直线近似曲线
yk f ( xk )
yk y0 ( xk x0 ) ( 0) xk 1 x0 ( yk y0 ) ( 0)
xk 1 h( yk )
k x x ( ) ( x1 x0 ) xk 1 x0 ( xk x0 ) k 1 0
2
趋向平稳，有的则振幅越来越大导致经 济崩溃。当然政府会对后者采取干预手 段。
这一节我们先用图形方法建立所谓 “蛛网模型”，对上述现象进行分析， 讨论市场经济趋于稳定的条件。用分差 方程建模，对结果进行解释，并适当推 广。
3
7.1 市场经济中的蛛网模型
供大于求 价格下降
数量与价格在振荡 增加产量 价格上涨 供不应求
13
等因素有关。
一旦需求曲线和供应曲线被确 定下来，如何判断它们的交点—平 衡点P0得稳定性呢？从图8-1和图8-2 不难看出，当市场经济偏离P0点不大 (|x1 – x0|较小)时，P0点得稳定取决于f 和 g 在P0的斜率。 记f 在P0点斜率的绝对值（因为 它是下降的）为Kf ， g 在P0点的斜率
(14)
31
当αβ > 8时显然有
( ) 2 8 2 4
4
从而，|λ2| > 2, λ2在单位圆外。下面设α
β < 8,可以算出
1, 2
2
（15）
32
由|λ2| < 1得到P0点稳定的条件为
αβ < 2
（16）
与原有模型中P0点稳定的条件（9） 式相比，保持经济稳定的参数α 、β 的范围放大了（α、β得含义未变）。 可以想到，这是生产经营者的生产 管理水平提高，对市场经济稳定起 着有利影响的必然结果。
数学模型-市场经济中的蜘蛛网模型
xk+1 = (-αβ)kx1+(1 - (-
(8)
17
由此可得，当k∞时xk x0 ,使得 P0稳定的条件是
αβ < 1 或 α <1
而k∞时，xk∞, 即P0点不是稳定 点的条件是
1
αβ < 1 或 α < 1
注意到(5)、(6)式中α、β的定义， 1 有Kf = α，kg= ，所以条件
23
即α固定时，β越小，供应曲线越陡， 表明生产者对价格的敏感程度越小(使 (9)式成立),越利于经济稳定。 反之，当α、β较大，表明消费者 对商品的需求和生产者对商品的价格 都很敏感，则会导致经济不稳定。
24
结果解释 结果解释
考察 , 的含义
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
1 ( 1 / )
xk x0 xk
P0稳定 K f K g P0不稳定 K f K g
1 ( 1 / )
方程模型与蛛网模型的一致
Kf
1/ K g
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模型解释 首先考察α 、β得含义。需求函数f 的斜率 α（取绝对值）表示商品供应量减少1 个单位时价格的上涨幅度；供应函数h的斜率 β 表示价格上涨1个单位时（下一时期）商品 供应的增加量。
1
局面。在没有外面干预的情况下，这种现 象将如此循环下去。在完全自由竞争的市 场经济中上述现象通常是不可避免的。因 为商品的价格是由消费者的需求关系决定 的。商品数量越多价格越低。而下一时期 商品的数量由生产者的供求关系决定，商 品价格越低生产的数量就越少。这样的需 求和供应关系决定了市场经济中商品的价 格和数量必然是震荡的。在现实世界里这 样的震荡出现不同的形式，有的振幅渐小
蜘蛛的几何学
蜘蛛的几何学作者：法布尔来源：《初中生·博览》2010年第11期当我们观察园蛛，尤其是丝光蛛和条纹蛛的网时，我们会发现它的网并不是杂乱无章的，那些辐排得很均匀，每对相邻的辐所交成的角都是相等的；虽然辐的数目对不同的蜘蛛而言各不相同，可这个规律适用于各种蜘蛛。
我们已经知道，蜘蛛织网的方式很特别，它把网分成若干等份，同一类蜘蛛所分的份数是相同的。
当它安置辐的时候，我们只见它向各个方向乱跳，似乎毫无规则，但是这种无规则的工作的结果是造成一个规则而美丽的网。
即使用圆规、尺子之类的工具，也没有一个设计家能画出一个比这更规范的网来。
我们可以看到，在同一个扇形里，所有的弦，也就是那构成螺旋形线圈的横辐，都是互相平行的，并且越靠近中心，这种弦之间的距离就越远。
每一根弦和支持它的两根辐交成四个角，一边的两个是钝角，另一边的两个是锐角。
而同一扇形中的弦和辐所交成的钝角和锐角正好各自相等——因为这些弦都是平行的。
不但如此，凭我们的观察，这些相等的锐角和钝角，又和别的扇形中的锐角和钝角分别相等，所以，总的看来，这螺旋形的线圈包括一组组的横档以及一组组和辐交成相等的角。
这种特性使我们想到数学家们所称的“对数螺线”。
这种曲线在科学领域是很著名的。
对数螺线是一根无止尽的螺线，它永远向着极绕，越绕越靠近极，但又永远不能到达极。
即使用最精密的仪器，我们也看不到一根完全的对数螺线。
这种图形只存在于科学家的假想中。
可令人惊讶的是，小小的蜘蛛也知道这线，它就是依照这种曲线的法则来绕它网上的螺线，而且做得很精确。
螺旋线还有一个特点。
如果你用一根有弹性的线绕成一个对数螺线的图形，再把这根线放开来，然后拉紧放开的那部分，那么线的运动的一端就会画成一个和原来的对数螺线相似的螺线，只是变换了一下位置。
这个定理是一位名叫雅各·伯努利的数学教授发现的。
他死后，人们把这条定理刻在他的墓碑上，算是他一生中最为光荣的事迹之一。
那么，难道有着这些特性的对数螺线只是几何学家的一个梦想吗？这真的仅仅是一个梦、一个谜吗？它究竟又有什么用呢？它不是偶然的巧合，它是普遍存在的，有许多动物的建筑都采取这一结构。
蛛网模型
需求弹性大，则税负转嫁就很困难，且向前转给消 费者的少，向后转给原供应者的多；需求弹性小， 则税负容易转嫁，且向前转给消费者的多，向后转 给原供应者的少；需求完全无弹性，税负可能全部 向前转嫁给消费者；需求完全有弹性，税负可能全 部向后转嫁给原供应者。需求弹性越大，转嫁的可 能性越小；需求弹性越小，转嫁的可能快越大，税 负转嫁与需求弹性成反比
如果商品的供给弹性大于需求弹性， 则政府对该种商品征税后，赋税将 主要由消费者负担。 例如：粮食
如果商品的供给弹性 小于需求弹性，则政府 对该种商品征税后，赋 税将主要由生产者自己 负担。 例如：钻石，黄金。
为什么飞机票经常打折，火车票却很少打折？
第一：这与价格弹性有关。飞机票价格下跌需求就增加，总的 利润就会提高，这是所谓的“薄利多销”。然而火车票却是供 不应求，即使涨价，也会有很多人愿意购买，因为火车成本低， 涨价也不会涨得太厉害。
谢谢观赏！
为什么飞机票打折而火车票不打折 呢？
总体来说，飞机票是供大于求，所以航空公司总 是会采取打折的办法以吸引客源。而火车票是供 不应求，所以火车有时候总是宁愿空跑也不愿打 折。火车是国有制机构，是国家专制机构操作， 而飞机是处在几大航运公司的竞争下的，所以竞 争之下必有经营的不同手段而导致机票打折的现 象出现。然而本来就供不应求的火车票是没有多 大必要打折的。所以飞机票总是出现打折而火车 票不愿打折。
模蛛 型网
Co Cobweb model
在经济学中
蛛网模型(Cobweb model)
运用弹性原理解释某些生 的商品在失去均衡时发生 的不同波动情况的一种动 态分析理论
【高中数学】对数螺线与蜘蛛网
【高中数学】对数螺线与蜘蛛网曾看过这样一则谜语:“小小诸葛亮，稳坐军中帐。
摆下八卦阵，只等飞来将。
”动一动脑筋，这说的是什么呢?原来是蜘蛛，后两句讲的正是蜘蛛结网捕虫的生动情形。
我们知道，蜘蛛网既是它栖息的地方，也是它赖以谋生的工具。
而且，结网是它的本能，并不需要学习。
你见过蜘蛛网吗？它用什么工具织出这么精致的网？你脑子里有一系列问题吗？好吧，让我慢慢地告诉你。
在网的过程中，最突出的优点是它的腿。
首先，它用腿从喷丝头上抽出一些丝绸，然后把它固定在角落的一侧或树枝上。
然后，吐出一些丝，勾勒出整个蜘蛛网的轮廓，并用一种特殊的丝固定轮廓。
搭建脚手架继续穿线。
每次它拔出一根铁丝，都会小心地沿着脚手架走。
当它到达中心时，它会拉紧金属丝，并将多余的部分聚集到中心。
在从中心向侧面攀爬的过程中，在正确的位置添加几根辐条。
为了保持蜘蛛网的平衡，在另一侧添加几个对称辐条。
一般来说，不同种类的蜘蛛会产生不同数量的辐条。
丝蜘蛛，最多42只；第二位是32只带皮带的蜘蛛；有角蜘蛛的数量至少有21只。
同一物种的蜘蛛通常不会改变辐条的数量。
到目前为止，蜘蛛已经用辐线把圆周分成了几部分，相临的辐线间的圆周角也是大体相同的。
现在，整个蜘蛛网看起来是一些半径等分的圆周，画曲线的工作就要开始了。
蜘蛛从中心开始，用一条极细的丝在那些半径上作出一条螺旋状的丝。
这是一条辅助的丝。
然后，它又从外圈盘旋着走向中心，同时在半径上安上最后成网的螺旋线。
在这个过程中，它的脚就落在辅助线上，每到一处，就用脚把辅助线抓起来，聚成一个小球，放在半径上。
这样半径上就有许多小球。
从外面看上去，就是许多个小点。
好了，一个完美的蜘蛛网就结成了。
让我们好好看看这个精灵的杰作：从外环到中心的螺旋。
离中心越近，每周之间的距离就越近，直到它被打断。
只有中心部分的辅助线与中心紧密缠绕。
elf绘制的曲线在几何学上称为对数螺线。
对数螺线又叫等角螺线，因为曲线上任意一点和中心的连线与曲线上这点的切线所形成的角是一个定角。
蜘蛛网里的奇妙数学
蜘蛛网撰文 / 邓晶（北京动物园）蜜蜂六边形的蜂巢是“最省劳动力、也最省材料的选择”，它可以用最少的材料，形成最大的面积，从而贮藏更多的蜂蜜；壁虎在捕食时，总是沿着一条螺旋形曲线爬行，这条曲线被数学家称为“螺旋线”，沿“螺旋线”爬行最利于壁虎捕食……原来，不是只有人类才懂数学，动物王国里也有各种“数学家”。
让我们以蜘蛛为例，一起来感受动物王国中的趣味数学吧。
蜘蛛网里的数学概念蜘蛛结的“八卦”网，既复杂又美丽，即使工匠用直尺和圆规也难画得如此匀称。
出现在蜘蛛网上的数学概念更是惊人——弦、平行线段、三角形、相似三角形、对数螺线等等。
蜘蛛网里的坐标系传说法国数学家笛卡尔从蜘蛛结网中获得灵感，发明了坐标系。
笛卡尔希望用几何图形来表示代数方程，但几何图形是直观的，代数方程是抽象的，要如何将二者联系起来呢？当他看到蜘蛛在墙角结网时，豁然开朗：可以用两面墙和天花板之间的交线，来确定蜘蛛的位置，于是直角坐标系应运而生。
这则故事的真实性有待考证，但是我们确实可以用蜘蛛结网来理解坐标系。
里的奇妙数学平行线段弦相似三角形对数螺线20226DEC.Copyright ©博看网. All Rights Reserved.直角坐标系与蜘蛛大自然如此神奇，动物将人类研究了百年的数学，轻松地应用到生活中。
你还知道哪些动物“数学家”，欢迎扫码给我们留言。
（责任编辑 / 张丽静 高琳 美术编辑 / 韦英章）蛛丝在蜘蛛体内以丝浆的形式存在，结网时，蛛丝从蜘蛛尾部的纺器中喷出，遇到空气后会变成有黏性的丝。
有些蜘蛛拥有多达7种类型的丝腺（在蜘蛛腹部内），能够产生不同类型的丝，其用处也不一样。
蛛丝被称为强度最高的天然丝，跟同样粗细的钢丝相比，蛛丝的强度是后者的5倍。
如果用铅笔粗细的蛛丝结成网，其张力可以阻止波音747这种大型喷气式客机起飞。
而且蛛丝的韧性也极高，直径为人类头发1/30的蜘蛛丝，拉长两倍以上才会被拉断。
可惜，至今我们还无法完全复制蛛丝这种兼具强度和韧性的物质。
自然界中的神奇数学
在人类看来，动物们头脑似乎都比较简单。
其实，有许多动物的头脑并非像人们想象的那样愚钝，有许多动物很聪明，它们懂得计算、计量或算数等等，还有很多动物在数学方法的研究上做了很大的贡献。
下面就让你见识一下自然界中动植物中的天才！1.蜘蛛网曾看过这样一则谜语：“小小诸葛亮，稳坐军中帐。
摆下八卦阵，只等飞来将。
”动一动脑筋，这说的是什么呢?原来是蜘蛛，后两句讲的正是蜘蛛结网捕虫的生动情形。
我们知道，蜘蛛网既是它栖息的地方，也是它赖以谋生的工具。
而且，结网是它的本能，并不需要学习。
你观察过蜘蛛网吗?它是用什么工具编织出这么精致的网来的呢?你心中是不是有一连串的疑问，好，下面就让我来慢慢告诉你吧。
在结网的过程中，功勋最卓著的要属它的腿了。
首先，它用腿从吐丝器中抽出一些丝，把它固定在墙角的一侧或者树枝上。
然后，再吐出一些丝，把整个蜘蛛网的轮廓勾勒出来，用一根特别的丝把这个轮廓固定住。
为继续穿针引线搭好了脚手架。
它每抽一根丝，沿着脚手架，小心翼翼地向前走，走到中心时，把丝拉紧，多余的部分就让它聚到中心。
从中心往边上爬的过程中，在合适的地方加几根辐线，为了保持蜘蛛网的平衡，再到对面去加几根对称的辐线。
一般来说，不同种类的蜘蛛引出的辐线数目不相同。
丝蛛最多，42条；有带的蜘蛛次之，也有32条；角蛛最少，也达到21条。
同一种蜘蛛一般不会改变辐线数。
到目前为止，蜘蛛已经用辐线把圆周分成了几部分，相临的辐线间的圆周角也是大体相同的。
现在，整个蜘蛛网看起来是一些半径等分的圆周，画曲线的工作就要开始了。
蜘蛛从中心开始，用一条极细的丝在那些半径上作出一条螺旋状的丝。
这是一条辅助的丝。
然后，它又从外圈盘旋着走向中心，同时在半径上安上最后成网的螺旋线。
在这个过程中，它的脚就落在辅助线上，每到一处，就用脚把辅助线抓起来，聚成一个小球，放在半径上。
这样半径上就有许多小球。
从外面看上去，就是许多个小点。
好了，一个完美的蜘蛛网就结成了。
让我们再来好好观察一下这个小精灵的杰作：从外圈走向中心的那根螺旋线，越接近中心，每周间的距离越密，直到中断。
蛛网模型
收敛型蛛网
如此循环下去，如前图所示，实际产量和实际价格的波动的幅度 越来越小，最后恢复到均衡点E所代表的水平。 • 由此可见，图9中的均衡点E所代表的均衡状态是稳定的。也就是 说，由于外在的原因，当价格和产量偏离均衡数值(Pe和恢复均衡状态。在 图中，产量和价格变化的途径形成了一个蜘蛛网似的图形，这就是蛛 网模型名称的由来。 • 从图中可以看到，只有当供给曲线斜率的绝对值大于需求曲线斜 率的绝对值时，即供给曲线比需求曲线较为陡峭时，才能得到蛛网稳 定的结果，相应的蛛网被称为“收敛型蛛网”。
蛛网模型的基本形态--收敛
蛛网模型类型
• 蛛网模型是初级微观经济学唯一的动态经济 学模型，一般我们学的都是静态和比较静态的经 济学模型，不考虑均衡的时间成本，而蛛网模型 为我们提供了很好的范例，在需求和共给达到平 衡时，是需要时间的。 • 蛛网模型有三种情况：收敛，发散和震荡。 一般现实经济中我们比较喜欢收敛，这样我们经 济才能达到均衡。
收敛型蛛网
• 供给曲线斜率的绝对值大于需求曲线 斜率的绝对值。当市场由于受到干扰偏离 原有的均衡状态以后，实际价格和实际产 量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅 度越来越小，最后会回复到原来的均衡点。
收敛型蛛网
收敛型蛛网
• 假定，在第一期由于某种外在原因的干扰，如恶劣的气候条件， 实际产量由均衡水平Qe减少为Q1。根据需求曲线，消费者愿意支付P1 的价格购买全部的产量Q1，于是，实际价格上升为P1。根据第一期的 较高的价格水平P1，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为Q2。 • 在第二期，生产者为了出售全部的产量Q2，接受消费者所愿意支 付的价格P2，于是，实际价格下降为P2。根据第二期的较低的价格水 平P2，生产者将第三期的产量减少为Q3。 • 在第三期，消费者愿意支付P3的价格购买全部的产量Q3，于是， 实际价格又上升为P3。根据第三期的较高的价格水平P3，生产者又将 第四期的产量增加为Q4。
蛛网模型
二、蛛网模型的数学综述
（一）蛛网模型收敛性的充要条件
在数学模型中，供求函数都是设定为严格单调连续的可微函数，必要时还要假设供求函数为凸函数，在进行系统的分析中，通常对供求函数有如下关系， = (S( ))=G( ),该式可看作价格变化演进过程的表达，G为价格演化的一种映射，对于一阶差分方程 =G( )，其中G平滑可微，若 为 =G( )的一个不动点，即
假设价格序列{ }收敛于 ，则序列{ }为递减序列，即| |<| |< <| |,( )( )<0,
则| |=|( - )-( - )|,| |=|( )-（ - ）|,
进一步可得
|( )-（ - ）|>|( - )-( - )|
对于D（P）,S(P),G(P)是严格单调连续可微函数，则价格序列收敛的充要条件是：
=G（ ）， = ，
| | <1,或者| |<1,又显然 为单调递减函数 <0,所以0> ,又有对于任意的 , ,存在
|f( )-f( )| r| - |,
即 ,
可得，需求函数 =D（ ）和供给函数 =S( )，连续可微，= (S（P）)=G(P)单调递减连续可微，对于价格序列{ }收敛于 的充要条件为
[2]高鸿业.西方经济学(第二版) [M].北京:中国人民出版社,2001年8月,58 -62 .
[3]王树和.微分方程模型与混沌[M].合肥：中国科技大学出版社，1998.
[4]龚德恩，雷勇.非均衡蛛网模型价格调节的稳定性分析[J].数学的实践与认识，2010,40（17）
数学在蜘蛛网模型的应用
蛛网模型及其在经济学只能感的应用摘要：蛛网模型是十分重要的数学模型之一，它在经济学中得到了广泛的应用。
本文运用了经济学原理和数学原理分析了蛛网模型，同时论证劳动力市场工程师数量与工资率波动形成的收敛型蛛网和我国近二十年小麦价格与产量波动形成的发散型蛛网。
从中得到如下的结论：1.在工程师市场中，工资率的变动对工程师数量供给的影响小于需求量的影响，也就是需求曲线的斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值，形成收敛型蛛网。
2.在农产品市场中，小麦的价格变动对供给量的影响大于需求量的影响，也就是需求曲线的斜率的绝对值小于供给曲线斜率的绝对值，形成发散型蛛网。
关键词：蛛网模型 求曲线 均衡 弹性引言：引进时间变化的因素，通过对属于不同时期的需求量，供给量和价格之间相互作用的考察，用动态分析的方法论述诸如劳动力市场调整，农产品市场等周期较长的产量和价格在偏离均衡状态以后的实际波动过程及其结果。
自改革开放以来，行业人才数量的培养和需求存在周期性变化，数量增多时，必然有工资率的下降；小麦价格的频繁波动和其产量的变化以及其他商品供求变化存在周期性的，都应该运用蛛网模型准确地把握变化趋势，采取灵活对策。
当然，供给弹性和需求弹性是这些波动的根本原因。
运用蛛网模型研究社会中的经济现象具有一定的指导意义。
1蛛网模型的经济学原理1.1条件假设蛛网模型所描述的数量和价格循环波动的现象是在一定的假设条件下出现的。
第一：本期产量供给不影响本期价格，本期产量供给s t Q 决定于前期价格1t P ；第二：本期的需求量td Q 决定于本期的价格t P ；第三：需求量弹性不变。
蛛网模型假定需求弹性不变，主要是指需求的价格弹性不变，特别是在农产品市场上，农产品的需求弹性小，假设其不变。
第四：一种完全自由竞争的市场，任何生产者和消费者都是被动地接受价格。
1.2 经济学分析蛛网模型以经济变量的时间先后分析了商品的价格和产量的波动，在其他有周期性的供给量和价格波动的市场也有类似的分析。
浅谈对数螺旋线
浅谈对数螺旋线（logarithmic spiral）摘要：我们常常可以在自然界中发现螺旋扩大的图形，比如：蜘蛛织的网、向日葵的花盘、鹦鹉螺外部切面等等。
这种图形叫做对数螺旋线。
本文，将从数学的视角，探讨对数螺旋线的来源、历史上数学家们对它的研究、如何建立模型、这种模型的性质和它在工业、农业、建筑业等方面的应用。
We often can find expanding spiral graphics in nature,such as:spider weaving a network, sunflower chrysanthemum,Nautilus external aspect and so on.This graph is called the logarithmic spiral.This article,from the perspective of mathematics to explore the source of logarithmic spiral,mathematicians in the history who studied it,how to build models,the nature of the models and the application it is in industry,agriculture,construction,etc.作者：陈红（200911233021）陈虹邑（200911233012）殷怡（200911233008）关键词：对数螺旋线、应用、蜗牛壳、对数螺旋线叶片二、螺旋线的来源1、在自然界中的踪影在自然界中对数螺旋线非常普遍，向日葵花盘上瘦果的对数螺旋线的弧形排列，这样就可以使果实排得最紧、数量最多、产生后代的效率也最高。
当我们观察着园蛛，我们会发现它的网并不是杂乱无章的，那些辐排得很均匀，每对相邻的辐所交成的角都是相等的；蜘蛛在织网时，首先要在两地之间架“天索”，把丝固定在一定的地方，并在固定的丝上来回走几趟，使丝加粗。
蜘蛛的几何学
有 的本领很 自然地工 作着 。 我们抛 出一个石子 ， 它落到 让
高深的数学知识 ， 又是怎样把这些 地上 ， 这石子在空 间的路线是一种 知识应用于实 际的呢？ 有这样一种 特殊的 曲线 。 树上 的枯叶被风 吹下 说法 ，说蜗牛是从蠕虫 进化来 的。 来 落到地上 ， 所经过 的路程也是这
能够 简单 地运 用到 它 的网 中。蜗 学 中常常用到它 。
牛 的壳要造好几 年 ， 以它能做 得 所
这 种线是 不 是一 种理 论 上 的
很精致 ， 但蜘蛛 网差不 多只用一个 假 想呢？并不 ， 到处 可以看到垂 你 小时就造成 了 ， 以它只能做 出这 曲线的 图形 ： 所 当一根 弹性线 的两端 种 曲线 的一个轮 廊 ，尽管不精确 ， 固定而 中间松弛 的时候 ， 它就形成
以 ， 的看 来 ， 螺旋 形 的线 圈包 吗？它究竟又有 什么用 呢？ 总 这
括 一组 组 的横 档 以及 一组 组 和 辐
它 不是偶然 的巧合 ， 它是普遍 存在 的 ， 有许多 动物 的建 筑都采 取
交成 相等 的角 。
这种 特 性使 我 们 想 到数 学 家 这一结 构 。 有一 种蜗牛 的壳就是依 们所称 的 “ 对数 螺线 ”这 种 曲线在 照对数 螺线构造 的 。 。 世界 上第一 只 科学领 域是很著 名 的。 数螺线 是 蜗牛知 道 了对数 螺线 ， 后用它来 对 然
并 且越靠 近 中心 ， 这种 弦之 间的距 运 动 的一 端 就会 画成 一 个 和原 来 离就越远 。 每一根 弦和支持 它的两 的对数螺线 相似 的螺 线 ， 只是 变换
这个定理 是一位名 叫 根辐交成 四个角 ， 边的两个是 钝 了一 下位置 。 一 角， 另一边 的两个是 锐角 。而 同一 雅 各 ・ 伯努 利 的数 学 教授 发 现 的 。 扇形 中的弦 和辐 所交 成 的钝 角 和 他 死后 ， 人们 把这条定 理刻在他 的
对数螺线与蜘蛛网
蜜蜂把它们的部分身体用作测量仪器．
事实上， 它们的头起着测锤的作用．
蜜蜂所 拥有 的另—迷 人“ 工具 ’于即
定 面积来说 ．其 中六边 形的周长 最小 ．
“ 罗盘” 蜜蜂的定向受到地球磁场的 ． 影响． 它们能探测到地球磁场 中只有 灵敏磁强计才能辨别的微小涨落． 这 就是为什么一群蜜蜂在占据一个新的
从 中心开始 ． 用一 条极 细 的丝 在那 些
蛛结网捕虫的生动情形．我们知道 。
蜘蛛 网既 是它 栖 息 的地方 ， 它 赖 也是 以谋生 的工 具． 而且 ，结 网是 它 的本
能 ， 不需 要学 习． 并
心时 ， 把丝 拉紧 ． 多余 的部分就让它
聚 到 中心 ．从 中 心 往 边 上 爬 的 过 程
室壁交接处恰巧成１０角． ２ ￣ 蜜蜂们同
点 把 自然 界 和数 学 联 系起 来 的
时在不同截段上工作，天衣无缝地筑
成—个蜂房． 蜂房是垂直向下建筑的．
吗 ？ 自然 界 掌 握 了 求 解 极 大 极 小 问
题和求出含约束问题最优解的艺术． 现在让我们锁定蜜蜂．
正方形 、正 三角形 和正六边形 是
首 先 ，它 用 腿 从 吐 丝 器 中抽 出 一些
根对称 的辐线． 一般来说，不 同种类 的蜘蛛引出的辐线数 目不相 同： 丝蛛
最多 ．２ ：有 带 的蜘 蛛 次之 ．有 ３ ４条 ２
条； 角蛛 最少 ． １ ．同一 种蜘 蛛一 般 ２条
不 会 改变辐 线数 ． 到 目前 为止 ， 蜘蛛 已经 用 辐线 把
Ｉ Ｕ ＹＪＬ Ｉ 百 科 Ｉ－ Ｕ 鞠干 ；Ｉ Ｍ￣Ｉ ＸＥ Ｌ Ｉ 数学 目什 Ｉ
对数螺线 与蜘蛛 网
巧设“八卦阵”
些丝 ， 把 它 固 定 在 墙 角 的 一 侧 或 者 树 枝 任 意 一 点 和 中心 的 连 线 与 曲线 上 这 点 的切
上， 然后 ， 再 吐 出一 些 丝 ， 把 整 个 蜘 蛛 网 的 线 所 形 成 的角 是 一 个 定 角 ．大 家 可 别 小 看 在工业生产 中 ， 把 抽 水 机 的涡 轮 廓 勾 勒 出来 ， 再 用 一 根 特 别 的 丝 把 这 个 了对 数 螺 线 ： 轮廓 固定住 ， 这 是 为 继 续 穿 针 引 线 搭 好 脚 轮 叶 片 的 曲 面做 成 对 数 螺 线 的 形 状 ， 抽 水 手 架 ．它 每抽 一 根 丝 就 沿 着 脚 手 架 小 心 翼 就 均 匀 ； 在农业生产 中 ， 把 轧 刀 的刀 口弯 曲
比如 ： 模 仿 鸡 蛋 外 形 的特 点 ， 建 作 出 一 条 螺 旋 状 的 丝 ，这 是 一 条 辅 助 的 多 的启 发 ，
丝 ， 然后 ， 它又从外 圈盘旋 着走 向中心 ， 同 造 了拱 形 桥 ； 受 鸟儿 飞 翔 的启 示 ， 发 明 了飞
从 茅 草划 破 手 指 ， 发 明 了锯 … …大 自然 时在 半 径 上 安 上 最 后 成 网 的 螺 旋 线 ．在 这 机 ； 个 过程 中 ， 它 的脚 就落 在辅 助 线 上 ， 每 到 中林 林 总 总 的动 物 、植 物 以各 自独 特 的生
它 赖 以谋 生 的工 具 ， 而 结 网 也 是 蜘 蛛 与 生 只有 中心 部 分 的辅 助 线 一 圈 密 似 一 圈 ， 向
俱 来 的本 能 ． 中 心 绕 去 ．小 精 灵 所 画 出 的 曲线 ， 在 几何
5.1蛛网模型
3 k 1 xk 1 xk ( ) ( x2 x1 ). 5
3 k 1 xn1 x1 ( xk 1 xk ) ( x2 x1 ) ( ) , 5 k 1 k 1
n 3 k 1 3 k 1 x1 ( x2 x1 ) ( ) 30 5 ( ) , 5 5 k 1 k 1 n
于是， lim y 6 2 1 58 7.25（元/公斤）. n1
n
3 1 5
8
若干年以后的产量与价格都会趋于稳定，其稳定的产量
为 26.875 （万吨），稳定的价格为 7.25 （元/公斤）.
设2010年鱼的产量为 x1 ,
鱼的产量为 x2 ,
鱼的价格为 y1 ,
2011年
鱼的价格为 y2 ,
依此类推.根据线性
假设，需求函数 y f ( x ) 是一条直线，且 A1 (30,6) 和
A3 ( 25,8) 在直线上，因此得需求函数为
2 yn 18 xn 5
( n 1,2,3,),
P
d
s
P1 P3 Pe P2
e
O
Q1
Q3
Qe
Q4 Q2
Q
收敛型蛛网
据统计，某城市2010年某种鱼的产量为30万吨， 价格为6.00元/公斤. 2011年生产该鱼25万吨，价格为
8.00元/公斤.已知2012年的鱼产量为28万吨，并假定
鱼产量与价格之间是线性关系. 若维持目前的消费水 平与生产方式，问若干年以后的产量与价格是否会趋于 稳定？若稳定请求出稳定的产量和价格.
供给函数 x g( y ) 也是一条直线，且 A2 ( 25,6) 和
A4 ( 28,8) 在直线上，因此得供给函数为
蜘蛛网对数螺线模型
数学建模网络挑战赛承诺书我们仔细阅读了第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们允许数学中国网站()公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。
我们的参赛队号为：参赛队员(签名) ：队员1：队员2：队员3：参赛队教练员(签名)：参赛队伍组别：数学建模网络挑战赛编号专用页参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2012年第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛题目对数螺线型蜘蛛网状的结构分析关键词蜘蛛网对数螺线蒙特卡洛方法 ANSYS分析法摘要本文针对蜘蛛网合适结构的问题，考虑吐丝量一定，外界环境较理想条件下，建立以对数螺线为核心的数学模型，追求蜘蛛网结构最优。
运用蒙特卡洛方法，模拟昆虫触网的过程，考虑了在蜘蛛丝长度一定的条件下，对数螺旋比圆围成的面积大，但疏而不漏，应用随机过程近似昆虫触网的过程，得出了对数螺线更利于捕食的结论。
另一方面，也对对数螺线型面联接理论和联接界面强度进行了分析与计算，利用ANSYS进行接触分析，得出了对数螺线型面联接的接触应力和接触强度条件的表达式。
采用随机数产生算法，利用MATLAB 7.0.1和C++编程，分别对模型进行求解，并对所得结果进行分析比较，以此来帮助设计最有蜘蛛网结构。
参赛队号 2138 所选题目 A 参赛密码（由组委会填写）AbstractOur article aims to study the question about the best structure of the spider webs ,it is on the condition of certain output of the spinning the and quite ideal conditions ,establish mathematical model in the core of the logarithmic spiral to find the best way of the spider webs .We also analyze Logarithm of solenoid type surface connection theory, Interface connection strength and ANSYS to get the expression.we apply Monte Carlo method to simulate the process about Net insert and adopt the Random number produce algorithm ,we also use the software of Matlab 7.0.1 、Mathematica and Microsoft Visual C++ 6.0 to give the answer to the question about the model and analyze about the result from model ,so we establish the best structure of the spider webs by means of these datas.一、问题重述世界上生存着许多种类的蜘蛛，而其中的大部分种类都会通过结网来进行捕食。
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我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
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我们的参赛队号为：参赛队员(签名) ：队员1：队员2：队员3：参赛队教练员(签名)：参赛队伍组别：数学建模网络挑战赛编号专用页参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2012年第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛题目对数螺线型蜘蛛网状的结构分析关键词蜘蛛网对数螺线蒙特卡洛方法 ANSYS分析法摘要本文针对蜘蛛网合适结构的问题，考虑吐丝量一定，外界环境较理想条件下，建立以对数螺线为核心的数学模型，追求蜘蛛网结构最优。
运用蒙特卡洛方法，模拟昆虫触网的过程，考虑了在蜘蛛丝长度一定的条件下，对数螺旋比圆围成的面积大，但疏而不漏，应用随机过程近似昆虫触网的过程，得出了对数螺线更利于捕食的结论。
另一方面，也对对数螺线型面联接理论和联接界面强度进行了分析与计算，利用ANSYS进行接触分析，得出了对数螺线型面联接的接触应力和接触强度条件的表达式。
采用随机数产生算法，利用MATLAB 7.0.1和C++编程，分别对模型进行求解，并对所得结果进行分析比较，以此来帮助设计最有蜘蛛网结构。
参赛队号 2138 所选题目 A 参赛密码（由组委会填写）AbstractOur article aims to study the question about the best structure of the spider webs ,it is on the condition of certain output of the spinning the and quite ideal conditions ,establish mathematical model in the core of the logarithmic spiral to find the best way of the spider webs .We also analyze Logarithm of solenoid type surface connection theory, Interface connection strength and ANSYS to get the expression.we apply Monte Carlo method to simulate the process about Net insert and adopt the Random number produce algorithm ,we also use the software of Matlab 7.0.1 、Mathematica and Microsoft Visual C++ 6.0 to give the answer to the question about the model and analyze about the result from model ,so we establish the best structure of the spider webs by means of these datas.一、问题重述世界上生存着许多种类的蜘蛛，而其中的大部分种类都会通过结网来进行捕食。
通过对蜘蛛网所形成的结构的分析，通过建立模型，设计一种更为合适的蜘蛛网结构。
二、问题分析题目中主要研究的是：蜘蛛网织成怎样的结构才是最合适的。
因此我们通过查阅资料，了解蜘蛛网的结构等方面内容，根据结构形状的不同,蛛网可以分为片网、不规则网和圆网等几种类型。
由于圆网在蛛网进化上的地位特殊，且结构简单、规则。
因此，到目前为止对蛛网的研究大都集中在圆网上。
圆网并不是标准的圆，而是近似于数学上的螺旋线。
所谓合适的蜘蛛网结构就是利于蜘蛛捕食、防御、繁殖。
根据题目的要求，我们提出以下几个问题：1、为什么蜘蛛网是螺旋线状，而不是标准的同心圆；2、对数螺线型面联接理论和联接界面强度分析与计算。
三、符号说明ρ：模拟对数螺线的极径θ：模拟对数螺线的极角Φ：对数螺线型型面轴旋转角σ：面轴上接触应力pl：轴孔之间的轴向配合长度σ与极径ρ之间的夹角γ：P点接触应力pf：轴孔之间的摩擦系数T：扭矩S：面积就是最大圆的面积1L：四圈的长度为1四、模型假设：1、假设蜘蛛网是规则的对数螺线；2、不考虑蜘蛛网受到风雨等天气情况的影响;3、假设昆虫飞向蜘蛛网时，落在网内每点的概率相同；五、模型建立与求解：蜘蛛网的中心和圆周之间呈辐射状的半径线，自外向里是螺旋线，愈近中心，每圈间的距离也愈小，直到不可辨认的地步，这正符合数学上的对数螺线的情况。
因此，我们建立对数螺线的模型，近似代替蜘蛛网，研究其性质。
图1㈠ 对数螺线的定义和性质数学上对数螺线定义如下：动点的运动方向始终与极径保持定角θ的动点轨迹，称为对数螺线。
如图1所示，其极坐标方程为：m ae θρ= （1）式中：,a m 为常数（()arctan 1/m λ=））；θ为极角，ρ为极径。
图2 对数螺线对数螺线在渐屈、渐伸、垂迹、回光线等各种变换下的不变性质,体现出自身的高度和谐、对称和统一性。
㈡对数螺旋线与圆形蜘蛛网的比较将四个标准圆形与对数螺旋线放入同一坐标系中，如下图3图31、 四圈圆形蜘蛛网面积就是最大圆的面积：1S =28π=64⨯3.14=201.056 四圈的长度为： 1L =()21 3.6 5.88.2+++π=111.784 2、四圈螺旋线蜘蛛网该对数螺旋线的方程为：30.02e θρ=，08θ≤≤π面积：由于对数螺旋线是一条不封闭的曲线，所以用下图中最外面的曲线和一条线段组成的封闭图形表示该螺旋线所包围的面积。
通过数该封闭图形内的方格数估计面积，不足一格按半格记。
图4共有188个正方形，45个不足一格的，所以面积为198+22.5=220.5 长度：用Mathematica 计算该曲线长，输入 Integrate[0.02e^3x,{ x,0,8Pi}] ， 得出结果L= 126.871 现将计算结果做表如下：周长面积面积周长圆 116.867 201.0561.720螺旋线126.871220.51.738结论：在蜘蛛丝长度一定的情况下，螺旋线所围成蜘蛛网的面积大。
这样更利于蜘蛛捕食。
蒙特卡罗方法：用蒙特卡罗方法模拟昆虫飞向蜘蛛网上的过程：假设昆虫飞向蜘蛛网时是一个随机过程，此过程中不考虑环境因素（风向、风速等）的影响编写C 语言程序，生成二维随机数。
程序及运行结果见附录。
将这些随机数在下图5中描点，为处理简单，以第一象限为例，其他象限相同。
图5图5.1 图5.2 图5.3 图5.4 图5.5绘制表格：一 二 三 四 五 平均 螺旋线 9 8 6 5 6 6.8 圆6 6 36 7 5.6由此可见，昆虫更可能碰到对数螺线。
也就是说，对数螺线形的蜘蛛网更有利于捕食㈢、对数螺线型面联接理论和联接界面强度分析与计算 3.1对数螺线曲线以型面轴截面曲线为例, 选取三段对数螺线进行分析。
θ从0°到110°的一段曲线组成, 其中各段曲线之间用直线圆滑联接, 减弱了应力集中现象。
图6三段对数螺线型面轴截面 2.2对数螺线曲线参数的确定在图1所示对数螺线的方程m ae θρ=中, m 的大小取决于型面联接轴与孔之间受力时的压力角α, 因α在整个曲线上是常数, 当α选定时, m 为常数。
因此选择型面联接轴、孔截面形状时,可选定a 值的大小来定轴、孔的尺寸, 再定出压力角,即可确定式中m 值, 对数螺线形状也就随之确定, 同时型面轴、孔截形也就相应得到确定。
三段对数螺线组成的型面轴、孔有两个基本参数a 和α,其中m 主要影响曲线的形状,a 主要影响曲线的大小。
三段对数螺线型面联接如图7所示,这是一种有间隙的配合(图7-a),工作时通过一定量的相对旋转,间隙补偿,由于楔面的作用在接触面之间便产生正压力,并摩擦闭锁, 形成可靠的联接(见图7-b),其摩擦受力方向与运动方向所成角度a 的大小与参变量θ无关,即对数螺线的压力角a 在任何位置都是相同的。
( a ) ( b) 图7对数螺线型面联接3.2 型面轴孔接触初始位置确定设型面轴孔的截面廓形曲线方程分别为11m a e θρ=、22m a e θρ=。
假定固定轮毂，顺时针旋转型面轴Φ角后两者之间有初始接触，任取一接触点P ，则在P 点处有12ρρ=，即 ()12m m a e a e θθ+Φ=（2） 可得 211ln a m a ⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭（3） 上式表明型面轴旋转角Φ仅与曲线的,a m 常数值有关，而与θ值无关，即与初始接触点P 的位置无关，即Φ为定值，说明轴孔工作表面之间同时发生接触，轴孔之间接触为面接触。
3.3利用ANSYS 进行接触分析由于ANSYS 对复杂曲面建模具有一定的局限性，为了分析的准确性，利用Pr /o E 强大的三维建模功能，在Pr /o E 中建成模型后，再利用Pr /o E ,ANSYS 之间的接口程序，将模型导入, ANSYS 中。
为了方便加载扭矩，在不影响分析结果性质的前提下，于轴中心建一半径为r 的圆形孔，在圆形孔边界节点处加载等效切向力F ，使得扭矩T=Fr ，如图8所示。
按照ANSYS 分析步骤设置属性、划分网格、加载、求解。
在后处理器POST1中查看有限元模型在纯扭矩T 作用下的节点应力云图，如图9所示。
图8有限元模型图9节点的应力云图图9表明在轴孔各段工作表面上除了两端（刚进入接触与刚脱离接触的很小的一个区域）应力比较大之外，其它的区域所受到的应力分布都非常均匀。
若在模型应力比较集中区域进行修磨处理，将各段曲线间联接用更圆滑的曲线过渡，可减少或消除应力集中现象。
由此，认为对数螺线型面联接接触应力均匀分布是符合实际情况的。
反复加载不同的扭矩对有限元模型进行分析求解，发现作用扭矩与接触应力之间成线性比例关系。
3.4接触应力计算假定在无间隙无过盈的理想配合状态下，轴上作用纯扭矩，如图5所示。