蜘蛛网对数螺线模型

数学建模网络挑战赛

承诺书

我们仔细阅读了第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们允许数学中国网站()公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。

我们的参赛队号为：

参赛队员(签名) ：

队员1：

队员2：

队员3：

参赛队教练员(签名)：

参赛队伍组别：

数学建模网络挑战赛

编号专用页

参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：

竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：

2012年第五届“认证杯”数学中国

数学建模网络挑战赛

题目对数螺线型蜘蛛网状的结构分析

关键词蜘蛛网对数螺线蒙特卡洛方法 ANSYS分析法

摘要

本文针对蜘蛛网合适结构的问题，考虑吐丝量一定，外界环境较理想条件下，建立以对数螺线为核心的数学模型，追求蜘蛛网结构最优。运用蒙特卡洛方法，模拟昆虫触网的过程，考虑了在蜘蛛丝长度一定的条件下，对数螺旋比圆围成的面积大，但疏而不漏，应用随机过程近似昆虫触网的过程，得出了对数螺线更利于捕食的结论。另一方面，也对对数螺线型面联接理论和联接界面强度进行了分析与计算，利用ANSYS进行接触分析，得出了对数螺线型面联接的接触应力和接触强度条件的表达式。采用随机数产生算法，利用MATLAB 7.0.1和C++编程，分别对模型进行求解，并对所得结果进行分析比较，以此来帮助设计最有蜘蛛网结构。

参赛队号 2138 所选题目 A 参赛密码

（由组委会填写）

Abstract

Our article aims to study the question about the best structure of the spider webs ,it is on the condition of certain output of the spinning the and quite ideal conditions ,establish mathematical model in the core of the logarithmic spiral to find the best way of the spider webs .We also analyze Logarithm of solenoid type surface connection theory, Interface connection strength and ANSYS to get the expression.we apply Monte Carlo method to simulate the process about Net insert and adopt the Random number produce algorithm ,we also use the software of Matlab 7.0.1 、Mathematica and Microsoft Visual C++ 6.0 to give the answer to the question about the model and analyze about the result from model ,so we establish the best structure of the spider webs by means of these datas.

一、问题重述

世界上生存着许多种类的蜘蛛，而其中的大部分种类都会通过结网来进行捕食。通过对蜘蛛网所形成的结构的分析，通过建立模型，设计一种更为合适的蜘蛛网结构。

二、问题分析

题目中主要研究的是：蜘蛛网织成怎样的结构才是最合适的。因此我们通过查阅资料，了解蜘蛛网的结构等方面内容，根据结构形状的不同,蛛网可以分为片网、不规则网和圆网等几种类型。由于圆网在蛛网进化上的地位特殊，且结构简单、规则。因此，到目前为止对蛛网的研究大都集中在圆网上。圆网并不是标准的圆，而是近似于数学上的螺旋线。所谓合适的蜘蛛网结构就是利于蜘蛛捕食、防御、繁殖。根据题目的要求，我们提出以下几个问题：

1、为什么蜘蛛网是螺旋线状，而不是标准的同心圆；

2、对数螺线型面联接理论和联接界面强度分析与计算。

三、符号说明

ρ：模拟对数螺线的极径

θ：模拟对数螺线的极角

Φ：对数螺线型型面轴旋转角

σ：面轴上接触应力

p

l：轴孔之间的轴向配合长度

σ与极径ρ之间的夹角

γ：P点接触应力

p

f：轴孔之间的摩擦系数

T：扭矩

S：面积就是最大圆的面积

1

L：四圈的长度为

1

四、模型假设：

1、假设蜘蛛网是规则的对数螺线；

2、不考虑蜘蛛网受到风雨等天气情况的影响;

3、假设昆虫飞向蜘蛛网时，落在网内每点的概率相同；

五、模型建立与求解：

蜘蛛网的中心和圆周之间呈辐射状的半径线，自外向里是螺旋线，愈近中心，每圈间的距离也愈小，直到不可辨认的地步，这正符合数学上的对数螺线的情况。因此，我们建立对数螺线的模型，近似代替蜘蛛网，研究其性质。

图1

㈠ 对数螺线的定义和性质

数学上对数螺线定义如下：动点的运动方向始终与极径保持定角θ的动点轨迹，称为对数螺线。如图1所示，其极坐标方程为：

m ae θρ= （1）

式中：,a m 为常数（()arctan 1/m λ=））；θ为极角，ρ为极径。

图2 对数螺线

对数螺线在渐屈、渐伸、垂迹、回光线等各种变换下的不变性质,体现出自身的高度和谐、对称和统一性。 ㈡对数螺旋线与圆形蜘蛛网的比较

将四个标准圆形与对数螺旋线放入同一坐标系中，如下图3