数值分析课件--第二章解线性方程组的直接方法

顺序Gauss消去法求解n元线性方程组的乘除运算量是：
n2-+1(n-1+)2…-1+2+21-+12+…+n
n
(k 2
1)
n
k
n(n 1)(2n 1) n n(n 1)
k1
k1
6
2
1 (n3 3n 2 n) 3
n=20时,顺序Gauss消去法只需3060次乘除法运算.
顺序Gauss消去法通常也简称为Gauss消去法.
第2章 解线性方程组的直接法
本章讨论n元线性方程组
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
.a..2..1.x..1.....a..2.2..x..2............. .a...2.n..x..n.
b2 ........
an1x1 an2 x2 ... ann xn bn
.......... .......... .......... .......... ........
an(nn) xn bn(n)
对此方程组进行回代，就可求出方程组的解。 7
x n
b
(n) n
a
(n) nn
x i
(b
(i) i
n
ji1
a
(i) ij
x
j
)
a
(i) ii
,
i n 1, n 2,,1
的直接解法。方程组(2.1)的矩阵形式为
（2.1）
Ax=b
其中
a11 a12 ... a1n
x1
b1
A
a 21 ...
a 22 ...
... ...
a2n ...
,
x
x2 ...
,
b
b2 ...
a n1 a n2 ... a nn
x n
bn
1
若矩阵A非奇异,即det(A)≠0,则方程组(2.1)有唯一解。 所谓直接解法是指，若不考虑计算过程中的舍入误差，
a
(1) n1
a
(1) n2
a
(1) n3
...
a
(1) nn
b
(1) n
第一步.设 a,依1(11) 次 0用
li1
ai(11) a1(11)
,
乘矩阵的第1行加到第i行,得到矩阵:
(i 2,3,..., n)
a1(11)
a
(1) 12
a1(13)
...
a
(1) 1n
b1(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
0
a
(2) 22
(2) 23
...
a
(2) 2n
( A (3)
,
b (3)
)
0
0
a
(3) 33
...
a
(3) 3n
... ... ... ... ...
0
0
a
(3) n3
...
a
(3) nn
ai(j3) ai(j2) li2a2(2j) , i, j 3,4,..., n
b1(1)
b
(2) 2
b
(3) 3
经过有限次算术运算就能求出线性方程组的精确解的方法。
但由于实际计算中舍入误差的存在，用直接解法一般也只
能求出方程组的近似解。
Cramer法则是一种不实用的直接法，下面介绍几种实 用的直接法。
§1 Gauss消去法
Gauss消元法是一种规则化的加减消元法，其基本思 想是通过逐次消元计算，把一般线性方程组的求解转化为
等价的上三角形方程组的求解。
§1.1 顺序Gauss消去法
为了清楚起见,先看一个简单的例子.
考虑线性方程组
2
2x1 4x2 2x3 2
x1
3x2
3x3
1
4x1 2x2 2x3 3
消去后两个方程中的x1得
2x1 4x2 2x3 2 5x2 2x3 2
6x2 6x3 1
bi(2) bi(1) li1b1(1) , i 2,3,..., n
第二步.设 ,a依2(22)次用0
li2
ai(22) a 2( 22 )
,
乘矩阵的第2行加到第i行,得到矩阵:
(i 3,4,..., n)
其中
a
(1) 11
a1(12)
a
(1) 13
...
a
(1) 1n
0
a
(2) 22
a
...
b
(3) n
bi(3) bi(2) li2b2(2) , i 3,4,..., n
6
如此继续消元下去,第n-1步结束后得到矩阵:
a
(1) 11
a
(1) 12
a1(13)
...
a
(1) 1n
b1(1)
0
a
(2) 22
a
(2) 23
...
a
(2) 2n
b
(2) 2
(A
(n)
,
b
(n)
再消去最后一个方程的x2得
2x1 4x2 2x3 5x2 2x3
2 2
42 5
x3
消元结束,经过回代得解:
7
5 x3
1, 6
x2
1, 3
x1
1 2
3
上述求解的消元过程可用矩阵表示为:
(A,b)=
2 1
4 3
2 3
2 1
4 2 2 3
r2
1 2 r1
2
4
2
2
r3
6 5
r2
2
)
0
0
a
(3) 33
...
a
(3) 3n
b 3( 3)
... ... ... ... ... ...
0
0
0
...
a
(n) nn
b
(n n
)
这就完成了消元过程。对应的方程组变成：
a1(11) x1 a1(12) x2 ... a1(1n) xn b1(1)
a2(22) x2 ... a2(2n) xn b2(2)
bi
则,线性方程组(2.1)的增广矩阵为
4
a1(11)
a
(1) 12
a1(13)
...
a
(1) 1n
b1(1)
a
(1) 21
a
(1) 22
a
(1) 23
...
a
(1) 2n
b
(1) 2
( A (1)
,b
(1)
)
a
(1) 31
a
(1) 32
a
(1) 33
...
a
(1) 3n
b
(1) 3
... ... ... ... ... ...
a
(2) 23
...
a
(2) 2n
b
(2) 2
(A
(2)
,
b(2)
)
0
a
(2) 32
a
(2) 33
...
a
(2) 3n
b
(2) 3
... ... ... ... ... ...
0
a
(2) n2
a
(2) n3
...
a
(2) nn
b
(2) n
5
其中
ai(j2) ai(j1) li1a1(1j) , i, j 2,3,..., n
顺序Gauss消去法称中为的主元a (k素kk) (.k 1,2,..., n)
主元素都不为零矩阵A的各阶顺序主子式都不为零. 8
§1.2 主元Gauss消去法 例1 解(用线十性进方制程四组位浮点计算):
4
2
2
~ 0 r32r1 0
5 6
2 6
2 ~ 0 1 0
5 0
2
42 5
2
7 5
这是Gauss消去法的计算形式,新的增广矩阵对应的线性
方程组就是上三角形方程组,可进行回代求解。
现在介绍求解线性方程组（2.1)的顺序Gauss消去法:
记
A(1)
A, b(1)
b,
a
(1) ij
a ij , bi(1)