数值分析课件--第二章解线性方程组的直接方法

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数值分析张铁版第2章解线性方程组的直接方法

(k )
(k )
m a x a ik
k i n
(k )
, 则 ai
(k )
0
j
a k j , bi
(k )
(k )
0
bk
(k )
, j k , , n
例2 P.17例2-1
解线性方程组列主元Gauss消去算法
若 a kk
(k )
0 , k 1, 2 , , n ， A
2
1 例 3 .例 1 中， A 1 3
2 2 2
1 3 ，将 A作 L U 分解。 5
解：由Gauss消去法
1 A 1 3 2 2 2 1 m 1 3 m 2 1 3 31 5 1 0 0 2 4 8 1 m 32 2 2 8 1 0 0 2 4 0 1 2 U 12
(1 )
其中
a ij
(2)
a ij
m i1 a 1 j , ( i , j 2 , 3 , , n )
bi
(2)
bi
(1 )
m i1 b1
(2)
(1 )
, ( i 2 ,3 , , n )
第二步：若 … …
a 22 0 ,
用… ….
第k步：若
a (1 ) 11
其中
a ij
bi
( k 1)
a ij
bi
(k )
m ik a kj , ( i , j k 1, , n )
m ik b k
(k )
(k )
( k 1)

第二章线性方程组的直接解法

a i(kk ) l ik = ( k ) a kk a ( k +1) = a ( k ) − l a ( k ) ij ik kj ij ( k +1) = 0 a ik b ( k +1) = b ( k ) − l b ( k ) i ik k i
( i = k + 1, ⋯ , n ) ( i , j = k + 1, ⋯ , n ) ( i = k + 1, ⋯ , n ) ( i = k + 1, ⋯ , n )
定理2 定理2.1 高斯消元法消元过程能进行到底的充要条件是系 n- 阶顺序主子式不为零； Ax=b 能用高斯消元数阵A的数阵 A 的 1 到 n-1 阶顺序主子式不为零； Ax=b能用高斯消元法解的充要条件是A的各阶顺序主子式不为零的各阶顺序主子式不为零. 法解的充要条件是的各阶顺序主子式不为零.
(i=2,3,⋯,k) )
(i ) 显然, Di ≠ 0 ↔ a ii ≠ 0 , 可知,消元过程能进行到底的充显然, 可知, 要条件是D 要条件是 i≠0 ,(i=1,2,⋯,n-1),若要回代过程也能完成,还应 , 若要回代过程也能完成, 加上D ｜｜ ,综合上述有: 加上 n=｜A｜≠0,综合上述有:
⋯
( a kkk )
⋮
( a nkk )
⋯ a 1(1 ) b1(1 ) n (2) (2) ⋯ a 2 n b2 ⋯ ⋯ ⋯ (k ) (k ) ⋯ a kn b k ⋯ ⋮ ⋮ (k ) (k ) ⋯ a nn b n
7
结束
本次消元的目的是对框内部分作类似第一次消元的处 ( (k 消掉第k+1到第个方程中的 k项,即把 akk ) ,k到 ank ) 化到第n个方程中的理,消掉第到第个方程中的x +1 为零.计算公式如下: 为零.计算公式如下:

数值计算_CH2 解线性方程组的直接法—2.1～2

上三角
a11 a21 A a n1
a12 a22 an 2
a1n l11 u11 u12 u1n a2 n l21 l22 u22 u2 n l ann n1 ln 2 lnn unn
(n k )(n k 2)
n3 n2 5 n 3 2 6
k 1
n 1
( (n xn bnn ) / ann)
(n i +1) 次
( i n 1, ..., 1)
bi( i ) xi
a
j i 1 (i ) ii
a
n
回代乘除次数：
n2 n 1 ( n i 1) 2 2 i 1
共进行 n 1 步
(1 (1 a11) a12) ... a1(1) x1 b1(1) n ( (2 ( a22 ) ... a22 ) x2 b22 ) n . ... . . . . . . . . ( n) (n 1次 ann ) xn bn
疏、非带型阵，第六章内容）
求解线性方程组： AX = b
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
第二章解线性方程组的直接法
2.1 — 2.3
张红梅
自动化学院
2010年3月
补充知识：定点数和浮点数
计算机中的数除了整数之外，还有小数。如何确定小数点的位置呢？通常有两种方法：一种是规定小数点位置固定不变，称为定点数。另一种是小数点的位置不固定，可以浮动，称为浮点数。

数值分析-线性方程组的直接解法

算法 Gauss(A,a,b,n,x)
1. 消元 For k=1,2, … , n-1 1.1 if akk=0 , stop; 1.2 For i=k+1,k+2, …, n 1.2.1 l ik=aik /akk => aik 1.2.2 For j=k+1，k+2, … ,n ai j -aik ak j =>aij 1.2.3 bi -aik bk=> bi 2. 回代 2.1 bn / an=>xn; 2.2 For i=n-1,n-2, …, 2,1 2.2.1 bk => S 2.2.2 For j=k+1，k+2, … ,n S –akj xj =>S 2.2.3 S/ akk => xk a1 1 a1 2 a13 a2 1 a2 2 a23
线性方程组的直接解法
刘斌
线性方程组的直接解法
§1 Gauss消去法 1.1 顺序Gauss消去法
1.2
§2 2.1 2.2 2.3
列主元Gauss消去法
Gauss消去法的矩阵运算 Doolittle分解法平方根法
直接三角分解方法
2.4
追赶法
引入
在科学计算中，经常需要求解含有n个未知量的n个方程构成的线性方程组 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 (1) an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
(1) a12 ( 2) a22 0
(1) (1) a13 a1 n ( 2) ( 2) a23 a2 n ( 3) ( 3) a33 a3 n
0

数值分析(本科)线性方程组直接法

第二章
线性方程组的直接解法
一、引言
求解线性方程组是数值计算的核心问题之一两类解法：直接解法和迭代解法满矩阵 ------ 直接法
大规模稀疏矩阵 ------- 迭代法特殊形式的矩阵 ------- 追赶法本章主要介绍直接法(包括追赶法)。
二、高斯消去法
求解线性方程组
注：本章所考虑的线性方程组的未知量个数与方程个数相等，
注：
利用三角分解的方法求解时，三角分解（消去过程）只需要计算一次。
四、三角分解之杜利脱尔分解
注：
利用高斯消去法进行计算时，消去过程一般需要多次计算。
四、三角分解之杜利脱尔分解
注：
由于消去过程的计算量要远大与回代过程的计算量，所以对于这类问题，应采用三角分解的方法求解。
四、三角分解之杜利脱尔分解
练习. 分别用高斯消去法和列主元高斯消去法计算下述线性方程组
解：（列主元高斯消去法）
三、列主元高斯消去法
练习. 分别用高斯消去法和列主元高斯消去法计算下述线性方程组
解：（列主元高斯消去法）
三、列主元高斯消去法
练习. 分别用高斯消去法和列主元高斯消去法计算下述线性方程组
解：（列主元高斯消去法）
四、三角分解之杜利脱尔分解
引入如下矩阵
例如,
四、三角分解之杜利脱尔分解
上述初等变换用矩阵乘法来描述：
四、三角分解之杜利脱尔分解
高斯消去法的消去过程
上三角阵
上述初等变换用矩阵乘法来描述：
四、三角分解之杜利脱尔分解
说明： 1）条件”所有顺序主子式均不等于零”：保证在消去的过程中主元非零，即消去过程可以完成。
且方程组有唯一解，即系数矩阵为可逆方阵。

《数值分析教程》课件

总结词
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。

数值分析第二章解线性方程组的直接方法

a2(22) x2 ... a2(2n) xn b2(2) ,
..............
an(nn) xn bn(n) .
对此方程组进行回代，就可求出方程组的解.
xn
xiΒιβλιοθήκη bn(n) (bi(i )
an(nn) ,
n
ai(ji ) x
j i 1
j
)
ai(ii ) ,
i n 1,n 2,,1.
x3 x3
1 1
4x1 2x2 2x3 3
消去后两个方程中的x1得
x1
2 x2 5 x2
x3 1 2x3 2
6x2 6x3 1
再消去最后一个方程的x2得
x1
2 x2 5 x2
x3 1 2x3 2
42 5
x3
7 5
消元结束.
x1
1 2
经过回代得解:
x2
1 3
互换, 因而程序比较复杂, 计算时间较长.
• 列主元素法的精度虽然稍低于全主元素法, 但其
计算简单, 工作量大为减少, 且计算经验与理论实
践均表明, 它与全主元素法同样具有良好的数值稳
定性.
• 列主元素法是求解中小型稠密线性方程组的最好
方法之一.
27
§2 直接三角分解法
Gauss消元法的矩阵表示
a12
a13
a 1 0 a21 a22 a23 a21 aa11 a22 aa12 a23 aa13
b 0 1 a31 a32 a33 a31 ba11 a32 ba12 a33 ba13
28
n=3时Gauss消元法的矩阵表示
a11 a12 a13 A a21 a22 a23

数值分析第二章线性方程组的数值解法

（2.2）
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a22 x2 a2 n xn b2 ann xn bn
（2.3）
2．顺序高斯消去法
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1n xn a1, n 1 a 21 x1 a 22 x2 a 23 x3 a 2 n xn a 2, n 1 a n1 x1 a n 2 x2 a n 3 x3 a nn xn a n , n 1
(1) a12 (1) a 22

(1) an 2
0
(1) a1 n (1) a2 n (1) a nn
?
A( 1 )
(1) (1) (1) a11 a12 a1 n (1) (1) (1) a21 a22 a2 n (1) (1) (1) an 2 ann a n1
(k ) (k ) m a 用 ik ik / akk 乘第k行
加到第i行中，得到
a (1) a (1) 1k 11 (k ) akk 0 0
(1) (1) x a1 b 1 n 1 (k ) (k ) (k ) akk 1 akn xk bk ( k 1) . ( k 1) ( k 1) x ak 1k 1 ak 1n k 1 bk 1 ( k 1) ( k 1) x ( k 1) ank 1 ann n b n (1) a1 k 1
写出原方程组的增广矩阵：
0.0120 0.0100 0.1670 0.6781 1.000 0.8334 5.910 12.10 1200 4.200 981.0 3200

数值计算方法课件-CH2 解线性方程组的直接法—2.1～2.3 Gauss消去法

n 1
n-1 步回代过程需作乘除运算总次数为：
n2 n ( n i 1) 2 2 i 1
n
Gauss消去法的乘除运算总次数为：
n3 n n3 2 n O( n 2 ) MD 3 3 3
当 n 很大时，
3 n3 n n MD n 2 3 3 3
( 1) a11 0 0 ( 1) ( 1) a12 a1 n (2) (2) a22 a2 n (2) (2) an a 2 nn ( 1) b1 (2) b2 (2) bn
(k ) 0 时，采取类似的处理措施。当 akk
§2.3 高斯列主元素消去法
例1.
用Gauss消去法解线性方程组(用3 位十进制浮点数计算）
0.0001x1 x2 1 x1 x2 2
解:
本方程组的精度较高的解为
x* (0.99989999 ,1.00010001 )T
用Gauss消去法求解（用3位十进制浮点数计算）
在求行乘数时用了很小的数0.0001作除数。
如果在求解时将1,2行交换, 即
1 1 2 A ( A, b) 0.000100 1 1
1 2 1 m21 0.0001 0 1.00 1.00
回代后得到
0.9999 0.9998
根据Cramer(克莱姆)法则, 若 det(A) 0 则方程组 Ax b 有唯一解。
三角形线性方程组解法
上三角形
u11 x1 u12 x2 u1n xn b1 u22 x2 u2 n xn b2 unn xn bn
UX b

数值分析解线性方程组的直接方法 PPT

a1(11) D1 ak(kk) Dk / Dk1, k 2,3,, n.
(2、12)
§5、2、2 三角分解法 /* Matrix Factorization */
➢ 高斯消元法的矩阵形式 /* Matrix Form of G、E、 */:
Step 1: mi1 ai1 / a11 (a11 0)
A的谱半径为 ( A) 7.
5、1、4 特别矩阵 A (aij ) Rnn. (1)对角矩阵如果当i j时，aij 0. (2)三对角矩阵如果当| i j | 1时，aij 0. (3)上三角矩阵如果当i j时，aij 0. (4)上海森伯格阵如果当i j 1时，aij 0. (5)对称矩阵如果AT A. (6)埃尔米特矩阵设ＡＣnn ,如果AH A( AH AT ) (7)对称正定矩阵如果（a）AT A，（b）对任意非零向量 x Rn , ( Ax, x) xT Ax 0. (8)正交矩阵如果Ａ－１＝ＡＴ
an1x1 an2 x2 ... ann xn bn
的直截了当解法。方程组(5、1)的矩阵形式为
其中
a11
A
a 21 2
... ... ... ...
Ax=b
a1n a2n ... a nn
x1
,
x
x2 ...
x n
b1
(3) 相似矩阵 B=S-1AS有相同的特征多项式、
1 2 2
例1 求 A 2 2 4 的特征值及谱半径、
2 4 2
解: A的特征方程为
1 2 2
det(I A) 2 2 4
2
4 2
3 32 24 28 ( 2)2 ( 7) 0,
故A的特征值为 1 2 2, 3 7

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再消去最后一个方程的x2得
2x1 4x2 2x3 5x2 2x3
2 2
42 5
x3
消元结束,经过回代得解:
7
5 x3
1, 6
x2
1, 3
x1
1 2
3
上述求解的消元过程可用矩阵表示为:
(A,b)=
2 1
4 3
2 3
2 1
4 2 2 3
r2
1 2 r1
2
4
2
2
r3
6 5
r2
2
bi
则,线性方程组(2.1)的增广矩阵为
4
a1(11)
a
(1) 12
a1(13)
...
a
(1) 1n
b1(1)
a
(1) 21
a
(1) 22
a
(1) 23
...
a
(1) 2n
b
(1) 2
( A (1)
,b
(1)
)
a
(1) 31
a
(1) 32
a
(1) 33
...
a
(1) 3n
b
(1) 3
... ... ... ... ... ...
.......... .......... .......... .......... ........
an(nn) xn bn(n)
对此方程组进行回代，就可求出方程组的解。 7
x n
b
(n) n
a
(n) nn
x i
(b
(i) i
n
ji1
a
(i) ij
x
j
)
a
(i) ii
,
i n 1, n 2,,1
等价的上三角形方程组的求解。
§1.1 顺序Gauss消去法
为了清楚起见,先看一个简单的例子.
考虑线性方程组
2
2x1 4x2 2x3 2
x1
3x2
3x3
1
4x1 2x2 2x3 3
消去后两个方程中的x1得
2x1 4x2 2x3 2 5x2 2x3 2
6x2 6x3 1
a
(1) n1
a
(1) n2
a
(1) n3
...
a
(1) nn
b
(1) n
第一步.设 a,依1(11) 次 0用
li1
ai(11) a1(11)
,
乘矩阵的第1行加到第i行,得到矩阵:
(i 2,3,..., n)
a1(11)
a
(1) 12
a1(13)
...
a
(1) 1n
b1(1)
0
a
(2) 22
经过有限次算术运算就能求出线性方程组的精确解的方法。
但由于实际计算中舍入误差的存在，用直接解法一般也只
能求出方程组的近似解。
Cramer法则是一种不实用的直接法，下面介绍几种实用的直接法。
§1 Gauss消去法
Gauss消元法是一种规则化的加减消元法，其基本思想是通过逐次消元计算，把一般线性方程组的求解转化为
4
2
2
~ 0 r32r1 0
5 6
2 6
2 ~ 0 1 0
5 0
2
42 5
2
7 5
这是Gauss消去法的计算形式,新的增广矩阵对应的线性
方程组就是上三角形方程组,可进行回代求解。
现在介绍求解线性方程组（2.1)的顺序Gauss消去法:
记
A(1)
A, b(1)
b,
a
(1) ij
a ij , bi(1)
(2) 23
...
a
(2) 2n
( A (3)
,
b (3)
)
0
0
a
(3) 33
...
a
(3) 3n
... ... ... ... ...

0
a
(3) n3
...
a
(3) nn
ai(j3) ai(j2) li2a2(2j) , i, j 3,4,..., n
b1(1)
b
(2) 2
b
(3) 3
bi(2) bi(1) li1b1(1) , i 2,3,..., n
第二步.设 ,a依2(22)次用0
li2
ai(22) a 2( 22 )
,
乘矩阵的第2行加到第i行,得到矩阵:
(i 3,4,..., n)
其中
a
(1) 11
a1(12)
a
(1) 13
...
a
(1) 1n
0
a
(2) 22
a
第2章解线性方程组的直接法
本章讨论n元线性方程组
a11x1 a12 x2 ... a1n xn b1
.a..2..1.x..1.....a..2.2..x..2............. .a...2.n..x..n.
b2 ........
an1x1 an2 x2 ... ann xn bn
)
0
0
a
(3) 33
...
a
(3) 3n
b 3( 3)
... ... ... ... ... ...
0
0
0
...
a
(n) nn
b
(n n
)
这就完成了消元过程。对应的方程组变成：
a1(11) x1 a1(12) x2 ... a1(1n) xn b1(1)
a2(22) x2 ... a2(2n) xn b2(2)
...
b
(3) n
bi(3) bi(2) li2b2(2) , i 3,4,..., n
6
如此继续消元下去,第n-1步结束后得到矩阵:
a
(1) 11
a
(1) 12
a1(13)
...
a
(1) 1n
b1(1)
0
a
(2) 22
a
(2) 23
...
a
(2) 2n
b
(2) 2
(A
(n)
,
b
(n)
的直接解法。方程组(2.1)的矩阵形式为
（2.1）
Ax=b
其中
a11 a12 ... a1n
x1
b1
A
a 21 ...
a 22 ...
... ...
a2n ...
,
x
x2 ...
,
b
b2 ...
a n1 a n2 ... a nn
x n
bn
1
若矩阵A非奇异,即det(A)≠0,则方程组(2.1)有唯一解。所谓直接解法是指，若不考虑计算过程中的舍入误差，
a
(2) 23
...
a
(2) 2n
b
(2) 2
(A
(2)
,
b(2)
)
0
a
(2) 32
a
(2) 33
...
a
(2) 3n
b
(2) 3
... ... ... ... ... ...
0
a
(2) n2
a
(2) n3
...
a
(2) nn
b
(2) n
5
其中
ai(j2) ai(j1) li1a1(1j) , i, j 2,3,..., n
顺序Gauss消去法求解n元线性方程组的乘除运算量是：
n2-+1(n-1+)2…-1+2+21-+12+…+n
n
(k 2
1)
n
k
n(n 1)(2n 1) n n(n 1)
k1
k1
6
2
1 (n3 3n 2 n) 3
n=20时,顺序Gauss消去法只需3060次乘除法运算.
顺序Gauss消去法通常也简称为Gauss消去法.
顺序Gauss消去法称中为的主元a (k素kk) (.k 1,2,..., n)
主元素都不为零矩阵A的各阶顺序主子式都不为零. 8
§1.2 主元Gauss消去法例1 解(用线十性进方制程四组位浮点计算):