变分法
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tf x , t ] 0 dt J [ x(t ) x(t )] 0 F[ x x, x t0 tf
J
, t )x Fx , t )x ]dt [ Fx ( x, x ( x, x
t0
（2）
对上式右端第二项做分布积分，并利用 x(t 0 ) x(t f ) 0 ，有
tf
t0
M (t )(t )dt 0 。则在 [t 0 , t f ] 内， M (t ) 0 。
（用反证法容易证明，略） 。 二、无约束条件的泛函极值 求泛函 J
tf
t0
(t ), t ]dt （1）的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找 F[ x(t ), x
一条曲线 x(t ) ，使给定的二阶连续可微函数 F 沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为 极值曲线（或轨线） ，记为 x (t ) 。 1．端点固定的情况 设容许曲线 x(t ) 满足边界条件 x(t 0 ) x0 , x(t f ) x f ，且二次可微。 首先计算（1）式的变分：
t0
tf
（12）
的无条件极值，首先定义（10）式和（11）式的哈密顿函数为
H ( x, u, , t ) F ( x, u, t ) T f ( x, u, t ) ，（ 13 ） 将 其 代 入 （ 12 ） 式 ， 得 到 泛 函
]dt 。 （14） J1[ x, u, t ] [ x(t f ), t f ] [ H ( x, u, , t ) T x
（4）
2．端点变动的情况（横截条件） 设容许曲线 x(t ) 在 t 0 固定， 在另一端点 t t f 时不固定， 是沿着给定的曲线 x (t ) 上 变动。 于是 端点条 件表 示为
x(t 0 ) x 0 这里， t 是变动 的， 不妨用 参数 形式表 示为 x(t ) (t )
d Fx )xdt Fx x | t t f F | t t f dt f dt
（5）
( Fx
t0
tf
再对（5）式做如下分析： （1）对每一个固定的 t f ， x(t ) 都满足欧拉方程，即（5）式右端的第一项积分为零； （2）为考察（5）式的第二、第三项，建立 t f 与 x(t f ) 之间的关系，因为
(t ) 0 （7）式的横截条件变为 F x Fx 时， |t t f 0 （9）注意，横堆条件与欧拉方程联
立才能构成泛函极值的必要条件。 三、有约束条件的泛函极值 在最优控制系统中， 常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题， 其典型形式是对动态系
(t ) f [ x(t ), u (t ), t ] （10）寻找最优性能指标（目标函数） 统x
J ( x x] J [ x] J [ x(t ) x(t )] 0 lim 0 L( x x] R[ x, x] lim
0
L[ x, x] J
同样，对 n 元泛函的变分为 J 5、泛函的极值
J [ x1 x, x2 x2 , , xn xn ] 0
t0
tf
(dt f ) [ t f F ( x, u, , t ) |t t f ] [x(t f )]T [ x ]t t f
T tf (x) T [ H x ] () T [ H x] (u ) T H u dt t0
t t f dt f 。寻找端点变动情况的必要条件，可仿照前面端点固定发问进行推导，即有
0 J
t f dt
t0
x , t ]dt | 0 F[ x x, x
t f dt
t0
)dt | 0 F ( x x, x x , t f dt f )dt f | 0(t t f dt f ) ( Fxx Fx x
x0 (t ) 处可微。
计算泛函的变分，采用下面定理 1 给出的变分形式是方便的。
定理 1 如果泛函 J [ x(t )] 可微，则其变分可表示为 J [ x(t )]
J [ x(t ) x(t )] 0 。
证由 L 对 x 的线性性质，有 L[ x(t ), x(t )] L[ x(t ), x(t )] ，于是
x(t )dt 是一个泛函。
0
1
同样可定义 n 元泛函的概念，常记为 J [ x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )] 。 3．泛函的连续性 如果对任意给定的正数 ，存在正数 ，当
(k ) | x(t ) x0 (t ) | , | x(t ) x0 (t ) | ,, | x ( k ) (t ) x0 (t ) |
tf
t0
, t )x dt Fx ( x, x
tf
t0
d , t )x dt 再代回到（2）式，并利用泛函取极值的必要条 Fx ( x,x dt
d Fx ]xdt 0 。因为 x 的任意性，及 x(t 0 ) x(t f ) 0 ，所以由 t0 dt d Fx Fx 基本引理得到著名的欧拉方程 （3） 0 dt
J [u(t )] [ x(t f ), t f ] F[ x(t ), u(t ), t ]dt ，
t0
tf
（11）
n m 其中：u (t ) 是控制策略， x(t ) 是轨线，t 0 固定，t f 及 x(t f ) 自由， x(t ) R , u(t ) R （不
m 受限，充满值曲线 R 空间） ， f , , F 连续可微。
J J [ x0 (t ) x(t )] J [ x0 (t )] 可表示为 J L[ x0 (t ) x(t )] R[ x0 (t ), x(t )] 。其中：
，则 L[ x0 (t ), x(t )] 称 L 是 x(t ) 的线性函数，R 是 x(t ) 的高阶项（当 源自文库x 0 时， R 0 ） 为泛函 J [ x(t )] 在 x0 处的变分，记为 J [ x0 (t )] L[ x0 (t ), x(t )] 这时，也称泛函 J [ x(t )] 在
（6）
x ) Fx 于是， （5）式变为 [ F ( ]t t f dt f 0 由 dt f 的任意性，便得横截条件为 x ) Fx [ F ( ]t t f 0
横截条件（7）式有两种常见的特殊情况： ①当 x (t ) 是垂直横轴的直线时， t f 固定， x(t f ) 自由，并称 x(t f ) 自由端点。此时 （5）式中 dt f 0 及 x(t f ) 的任意性，便得自由端点的横截条件 Fx |t t f 0 （8） ②当 x (t ) 是平行 x 轴的直线时， t f 自由， x(t f ) 固定，并称 x(t f ) 为平动端点。此 （7）
函数的极值，是相对局部领域而言的。可微泛函 J [ x(t )] 在 x0 (t ) 处有极值的必要条件 是 J [ x0 ( g )] 0 ； n 元泛函在 ( x10 , x20 ,, xn0 ) 处有极值的必要条件是
J [ x10 , x20 ,, xn0 ] 0 。
6．变分法的基本引理 为了进一步研究科学家函极值的必要条件，需要引用如下引理。 引理设 M (t ) 在 [t 0 , t f ] 内连续，若对满足 (t 0 ) (t f ) 0 的 (t ) 在 [t 0 , t f ] 内具有连 续二阶导数，且使
x(t f dt f ) x(t f dt f ) (t f dt f ) 两端对 求导，并令 0 ，有
(t f )dt f 即 x(t f ) [ (t f ) x (t f )dt f x(t f ) (t f )]dt f x
) | t t f [x(t f )]T x (t f ) (dt f ) T tf (dt f ) T H ( x, u, , t ) |t t f (dt f ) T (T x
[(x) T H x (u ) H u () T H () T x T x]dt
t0 tf
下面先对其求变分
J 1
{[ x(t f ) x(t f ), t f dt f ]
t f dt f
t0
x )]dt} | 0 [ H ( x x, u u, , t ) ( )T ( x
(t 0 t t f ) 的容许函数集， 称为函数 x0 (t ) 的
领域。 2．泛函概念 通俗地说，泛函就是“函数的函数” 。 设 S 为一个容许函数集， 若对于每一个函数 x(t ) S 都有一个实数 J 与之对应， 则称 J 是定义在 S 上的泛函，记为 J [ x(t )] 。 例如，函数的定积分 J [ x(t )]
变分法简介
变分法是研究泛函极值的一种经典数学方法，有着广泛的应用。这里，根据以下列举的 控制问题的建模需要， 先介绍变分法的基本概念和基本结果， 然后介绍动态系统最优控制问 题求解的必要条件和最大值原理。 一、变分法的基本概念 1．容许函数集 满足条件 （1） x(t ) 在 [t 0 , t f ] 上逐段连续可导； （2）满足边界条件 x(t 0 ) x0 , x(t f ) x f 的一切函数 x(t ) 构成容许函数集。 适合不等式 | x(t ) x0 (t ) |
问题的提法是：求最优控制 u (t ) 使泛函 J [ x(t )] 在条件（10）式下达到极值，并求极 值曲线 x (t ) 。 下面推导取得目标函数极值的最优控制策略 u (t ) 和最优轨线 x (t ) 的必要条件。 采用拉格朗日乘子法，化条件极值为无条件极值，即考虑
]}dt J1[ x, u, ] [ x(t f ), t f ] {F ( x, u, t ) T (t )[ f ( x, u, t ) x
时，能使 | J [ x(t )] J [ x0 (t )] | 则称泛函 J [ x(t )] 在 x0 (t ) 处是 k 阶接近的连续泛函。 4．泛函的变分 泛函的变分与函数的微分概念类似。 设 x(t ) 在 x0 (t ) 处的增量记为 x(t ) x(t ) x0 (t ) ，如果泛函 J [ x(t )] 在 x0 (t ) 处的增量
t0
tf
T
(dt f ) T [ t f F ( x, u, , t ) |t t f ] [x(t f )]T x t f [(x) T H x (u ) H u () T H () T x]dt
t0 tf T
T (t f )x(t f ) (x) T dt
件，有 J
tf
[ Fx
它是这类最简泛函取极值的必要条件。 最简泛函取极值的必要条件可以推广到多元泛函的情 况，如二元泛函
; u, u ; t )dt J [ x(t ), u(t )] F ( x, x
t0
tf
取极值的必要条件——欧拉方程为
d Fx 0 dt d Fu Fu 0 dt Fx
J
, t )x Fx , t )x ]dt [ Fx ( x, x ( x, x
t0
（2）
对上式右端第二项做分布积分，并利用 x(t 0 ) x(t f ) 0 ，有
tf
t0
M (t )(t )dt 0 。则在 [t 0 , t f ] 内， M (t ) 0 。
（用反证法容易证明，略） 。 二、无约束条件的泛函极值 求泛函 J
tf
t0
(t ), t ]dt （1）的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找 F[ x(t ), x
一条曲线 x(t ) ，使给定的二阶连续可微函数 F 沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为 极值曲线（或轨线） ，记为 x (t ) 。 1．端点固定的情况 设容许曲线 x(t ) 满足边界条件 x(t 0 ) x0 , x(t f ) x f ，且二次可微。 首先计算（1）式的变分：
t0
tf
（12）
的无条件极值，首先定义（10）式和（11）式的哈密顿函数为
H ( x, u, , t ) F ( x, u, t ) T f ( x, u, t ) ，（ 13 ） 将 其 代 入 （ 12 ） 式 ， 得 到 泛 函
]dt 。 （14） J1[ x, u, t ] [ x(t f ), t f ] [ H ( x, u, , t ) T x
（4）
2．端点变动的情况（横截条件） 设容许曲线 x(t ) 在 t 0 固定， 在另一端点 t t f 时不固定， 是沿着给定的曲线 x (t ) 上 变动。 于是 端点条 件表 示为
x(t 0 ) x 0 这里， t 是变动 的， 不妨用 参数 形式表 示为 x(t ) (t )
d Fx )xdt Fx x | t t f F | t t f dt f dt
（5）
( Fx
t0
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再对（5）式做如下分析： （1）对每一个固定的 t f ， x(t ) 都满足欧拉方程，即（5）式右端的第一项积分为零； （2）为考察（5）式的第二、第三项，建立 t f 与 x(t f ) 之间的关系，因为
(t ) 0 （7）式的横截条件变为 F x Fx 时， |t t f 0 （9）注意，横堆条件与欧拉方程联
立才能构成泛函极值的必要条件。 三、有约束条件的泛函极值 在最优控制系统中， 常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题， 其典型形式是对动态系
(t ) f [ x(t ), u (t ), t ] （10）寻找最优性能指标（目标函数） 统x
J ( x x] J [ x] J [ x(t ) x(t )] 0 lim 0 L( x x] R[ x, x] lim
0
L[ x, x] J
同样，对 n 元泛函的变分为 J 5、泛函的极值
J [ x1 x, x2 x2 , , xn xn ] 0
t0
tf
(dt f ) [ t f F ( x, u, , t ) |t t f ] [x(t f )]T [ x ]t t f
T tf (x) T [ H x ] () T [ H x] (u ) T H u dt t0
t t f dt f 。寻找端点变动情况的必要条件，可仿照前面端点固定发问进行推导，即有
0 J
t f dt
t0
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t f dt
t0
)dt | 0 F ( x x, x x , t f dt f )dt f | 0(t t f dt f ) ( Fxx Fx x
x0 (t ) 处可微。
计算泛函的变分，采用下面定理 1 给出的变分形式是方便的。
定理 1 如果泛函 J [ x(t )] 可微，则其变分可表示为 J [ x(t )]
J [ x(t ) x(t )] 0 。
证由 L 对 x 的线性性质，有 L[ x(t ), x(t )] L[ x(t ), x(t )] ，于是
x(t )dt 是一个泛函。
0
1
同样可定义 n 元泛函的概念，常记为 J [ x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )] 。 3．泛函的连续性 如果对任意给定的正数 ，存在正数 ，当
(k ) | x(t ) x0 (t ) | , | x(t ) x0 (t ) | ,, | x ( k ) (t ) x0 (t ) |
tf
t0
, t )x dt Fx ( x, x
tf
t0
d , t )x dt 再代回到（2）式，并利用泛函取极值的必要条 Fx ( x,x dt
d Fx ]xdt 0 。因为 x 的任意性，及 x(t 0 ) x(t f ) 0 ，所以由 t0 dt d Fx Fx 基本引理得到著名的欧拉方程 （3） 0 dt
J [u(t )] [ x(t f ), t f ] F[ x(t ), u(t ), t ]dt ，
t0
tf
（11）
n m 其中：u (t ) 是控制策略， x(t ) 是轨线，t 0 固定，t f 及 x(t f ) 自由， x(t ) R , u(t ) R （不
m 受限，充满值曲线 R 空间） ， f , , F 连续可微。
J J [ x0 (t ) x(t )] J [ x0 (t )] 可表示为 J L[ x0 (t ) x(t )] R[ x0 (t ), x(t )] 。其中：
，则 L[ x0 (t ), x(t )] 称 L 是 x(t ) 的线性函数，R 是 x(t ) 的高阶项（当 源自文库x 0 时， R 0 ） 为泛函 J [ x(t )] 在 x0 处的变分，记为 J [ x0 (t )] L[ x0 (t ), x(t )] 这时，也称泛函 J [ x(t )] 在
（6）
x ) Fx 于是， （5）式变为 [ F ( ]t t f dt f 0 由 dt f 的任意性，便得横截条件为 x ) Fx [ F ( ]t t f 0
横截条件（7）式有两种常见的特殊情况： ①当 x (t ) 是垂直横轴的直线时， t f 固定， x(t f ) 自由，并称 x(t f ) 自由端点。此时 （5）式中 dt f 0 及 x(t f ) 的任意性，便得自由端点的横截条件 Fx |t t f 0 （8） ②当 x (t ) 是平行 x 轴的直线时， t f 自由， x(t f ) 固定，并称 x(t f ) 为平动端点。此 （7）
函数的极值，是相对局部领域而言的。可微泛函 J [ x(t )] 在 x0 (t ) 处有极值的必要条件 是 J [ x0 ( g )] 0 ； n 元泛函在 ( x10 , x20 ,, xn0 ) 处有极值的必要条件是
J [ x10 , x20 ,, xn0 ] 0 。
6．变分法的基本引理 为了进一步研究科学家函极值的必要条件，需要引用如下引理。 引理设 M (t ) 在 [t 0 , t f ] 内连续，若对满足 (t 0 ) (t f ) 0 的 (t ) 在 [t 0 , t f ] 内具有连 续二阶导数，且使
x(t f dt f ) x(t f dt f ) (t f dt f ) 两端对 求导，并令 0 ，有
(t f )dt f 即 x(t f ) [ (t f ) x (t f )dt f x(t f ) (t f )]dt f x
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下面先对其求变分
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{[ x(t f ) x(t f ), t f dt f ]
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领域。 2．泛函概念 通俗地说，泛函就是“函数的函数” 。 设 S 为一个容许函数集， 若对于每一个函数 x(t ) S 都有一个实数 J 与之对应， 则称 J 是定义在 S 上的泛函，记为 J [ x(t )] 。 例如，函数的定积分 J [ x(t )]
变分法简介
变分法是研究泛函极值的一种经典数学方法，有着广泛的应用。这里，根据以下列举的 控制问题的建模需要， 先介绍变分法的基本概念和基本结果， 然后介绍动态系统最优控制问 题求解的必要条件和最大值原理。 一、变分法的基本概念 1．容许函数集 满足条件 （1） x(t ) 在 [t 0 , t f ] 上逐段连续可导； （2）满足边界条件 x(t 0 ) x0 , x(t f ) x f 的一切函数 x(t ) 构成容许函数集。 适合不等式 | x(t ) x0 (t ) |
问题的提法是：求最优控制 u (t ) 使泛函 J [ x(t )] 在条件（10）式下达到极值，并求极 值曲线 x (t ) 。 下面推导取得目标函数极值的最优控制策略 u (t ) 和最优轨线 x (t ) 的必要条件。 采用拉格朗日乘子法，化条件极值为无条件极值，即考虑
]}dt J1[ x, u, ] [ x(t f ), t f ] {F ( x, u, t ) T (t )[ f ( x, u, t ) x
时，能使 | J [ x(t )] J [ x0 (t )] | 则称泛函 J [ x(t )] 在 x0 (t ) 处是 k 阶接近的连续泛函。 4．泛函的变分 泛函的变分与函数的微分概念类似。 设 x(t ) 在 x0 (t ) 处的增量记为 x(t ) x(t ) x0 (t ) ，如果泛函 J [ x(t )] 在 x0 (t ) 处的增量
t0
tf
T
(dt f ) T [ t f F ( x, u, , t ) |t t f ] [x(t f )]T x t f [(x) T H x (u ) H u () T H () T x]dt
t0 tf T
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件，有 J
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它是这类最简泛函取极值的必要条件。 最简泛函取极值的必要条件可以推广到多元泛函的情 况，如二元泛函
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取极值的必要条件——欧拉方程为
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