3.11二次函数的应用 最大面积1
二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题
二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题知识要点：在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。
求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式求最值.基本思想:1.面积问题向线段长方向转化;2.规则图形面积运用面积计算公式计算;2.不规则图形面积转化为规则图形面积的和或差.一、知识回顾：1、二次函数c bx ax y 2++=的顶点坐标是___ ____ 对称轴是_______ 最值为_______2、二次函数1422++=x x y 的顶点坐标是__ __，对称轴是__ __，该函数有最_ _值，最值为 __。
3、一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积和宽之间的函数关系式___________二、新知学习:例1.某广告公司设计一幅周长为20 m 的矩形广告牌，设矩形的一边长为x m ，广告牌的面积为S m 2．(1)写出广告牌的面积S 与边长x 的函数关系式；(2)画出这个函数的大致图象(其中0≤x ≤10)；(3)根据图象观察当边长x 为何值时，广告牌面积S 最大？例2.【课本例题改编】.如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a＝10m)．(1)如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；(2)按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．〖针对练习1〗如图，四边形的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD=10，当AC，BD 的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？〖针对练习2〗用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?例3.如图，已知正方形ABCD边长为8，E，F，P分别是AB，CD，AD上的点，(不与正方形顶点重合)，且PE⊥PF，PE＝PF，问当AE为多长时，五边形EBCFP面积最小？最小面积是多少？例4.如图，在矩形ABCD中，AB＝6㎝，BC＝12㎝，点P从点A出发，沿AB边向点B以1㎝/（s）的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2㎝/（s）的速度移动，如果P、Q两点分别到达B、C后就停止移动，回答下列问题：（1）设运动开始后第t（s）时，五边形APQCD的面积为S㎝2，写出S与t的关系式，并写出t的取值范围；（2）t为何值时，S最小？求出S的最小值。
最新中考数学专题复习——二次函数的实际应用(面积最值问题11页)及答案
第 1 页二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题知识要点：在生活理论中，人们经常面对带有“最〞字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。
求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用根本不等式或不等分析法求最值．[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度挪动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度挪动，假如P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停顿挪动．〔1〕运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？〔2〕此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．〔3〕t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门〔木质〕．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米那么长为：x x 4342432-=+-(米)那么：)434(x x S -= ∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小， ∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大． [例3]：边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE 〔如图〕，其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ，那么矩形PNDM 的面积S=xy 〔2≤x≤4〕易知CN=4-x ，EM=4-y ．过点B 作BH ⊥PN 于点H那么有△AFB ∽△BHP∴PH BH BF AF =，即3412--=y x ， 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大，对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 【评析】此题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考察学生的综合应用才能．同时，也给学生探究解题思路留下了思维空间．[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖〔如图(1)所示〕是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，假设将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影局部组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形．(2)设CE =x , 那么BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x )×10]当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1．答：当CE =CF =0.1米时，总费用最省．作业布置：1．(2021浙江台州)某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：米)与小球运动时间t (单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度=最大h 4.9米 ．2．(2021庆阳市)兰州市“安居工程〞新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y (元/平方米)随楼层数x (楼)的变化而变化(x =1，2，3，4，5，6，7，8)；点(x ，y )都在一个二次函数的图像上，(如下图)，那么6楼房子的价格为 元/平方米．提示：利用对称性，答案：2080．3．如下图，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( D )A ．424m B ．6 m C ．15 m D ．25m 解：AB =x m ，AD=b ，长方形的面积为y m 2 ∵AD ∥BC ∴△MAD ∽△MBN第 3 页 ∴MB MA BN AD =，即5512x b -=，)5(512x b -= )5(512)5(5122x x x x xb y --=-⋅==, 当5.2=x 时，y 有最大值． 4．(2021湖北恩施)将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大〔 C 〕A ．7B ．6C ．5D ．45．如图，铅球运发动掷铅球的高度y (m)与程度间隔 x (m)之间的函数关系式是：35321212++-=x x y ，那么该运发动此次掷铅球的成绩是( D ) A ．6 m B ．12 m C ．8 m D ．10m解：令0=y ，那么：02082=--x x 0)10)(2(=-+x x〔图5〕 〔图6〕 〔图7〕6．某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，假如抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，那么水流落地点B 离墙的间隔 OB 是( B )A ．2 mB ．3 mC ．4 mD ．5 m 解：顶点为)340,1(，设340)1(2+-=x a y ，将点)10,0(代入，310-=a 令0340)1(3102=+--=x y ，得：4)1(2=-x ，所以OB=3 7．(2021乌兰察布)小明在某次投篮中，球的运动道路是抛物线21 3.55y x =-+的一局部，如图7所示，假设命中篮圈中心，那么他与篮底的间隔 L 是〔 B 〕A ．4.6mB ．4.5mC ．4mD ．3.5m8．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．假设设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；〔2〕根据〔1〕中求得的函数关系式，描绘其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：)240(x x y -=)20(22x x --=∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内，而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小，∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，假如用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)假如中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比拟(1)(2)的结果，你能得到什么结论？解：(1)∵长为x 米，那么宽为350x -米，设面积为S 平方米． ∴当25=x 时，3625max =S (平方米) 即：鸡场的长度为25米时，面积最大． (2) 中间有n 道篱笆，那么宽为250+-n x 米，设面积为S 平方米． 那么：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米) 由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．10．如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm ，BC=8cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设BP=x cm ，CQ=y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式． 解：∵∠APQ=90°,∴∠APB+∠QPC=90°.∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠QPC=∠BAP ，∠B=∠C=90°.∴△ABP ∽△PCQ.11．(2021年南京市)如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD ，线段EF=10．在EF 上取一点M ，•分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN=x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？解：∵矩形MFGN ∽矩形ABCD∴MF=2MN =2x ∴ EM=10-2x∴S=x 〔10-2x 〕=-2x 2+10x=-2(x-2.5)2+12.5当x=2.5时，S 有最大值12.512．(2021四川内江)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，那么绳子的最低点距地面的间隔 为 0.5 米．答案：如下图建立直角坐标系那么：设c ax y +=2将点)1,5.0(-，)5.2,1(代入，第 5 页⎩⎨⎧+=+-⨯=ca c a 5.2)5.0(12，解得⎩⎨⎧==5.02c a 5.022+=x y 顶点)5.0,0(，最低点距地面0.5米．13．(2021黑龙江哈尔滨)小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．〔1〕求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；〔2〕当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解：〔1〕根据题意，得x x x x S 3022602+-=⋅-= 自变量的取值范围是〔2〕∵01<-=a ，∴S 有最大值当时，答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．14．(2021年南宁市)随着绿城南宁近几年城市建立的快速开展，对花木的需求量逐年进步．某园林专业户方案投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)〔1〕分别求出利润与关于投资量的函数关系式； 〔2〕假如这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？解：〔1〕设=,由图12-①所示，函数=的图像过〔1，2〕，所以2=， 故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y =，由图12-②所示，函数2y =的图像过〔2，2〕，所以，故利润2y 关于投资量的函数关系式是2221x y =； 〔2〕设这位专业户投入种植花卉万元〔〕，那么投入种植树木(x -8)万元， 他获得的利润是万元，根据题意，得∵021>=a ∴当时，的最小值是14；∴他至少获得14万元的利润．因为，所以在对称轴2=x 的右侧，z 随x 的增大而增大所以，当8 x 时，z 的最大值为32．15．(08山东聊城)如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子〔纸板的厚度忽略不计〕．〔1〕要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？〔2〕你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？假如有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；假如没有，请你说明理由；〔3〕假如把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；假如有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；假如没有，请你说明理由．解：〔1〕设正方形的边长为cm ， 那么． 即． 解得〔不合题意，舍去〕，． 剪去的正方形的边长为1cm ．〔2〕有侧面积最大的情况． 设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2， 那么与的函数关系式为： 即． 改写为． 当时，．即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm 2．〔3〕有侧面积最大的情况． 设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2．假设按图1所示的方法剪折， 那么与的函数关系式为： 即． 当时，．假设按图2所示的方法剪折， 那么与的函数关系式为：即．当时，．比拟以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm2．16．(08兰州)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的间隔均为5m．〔1〕将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式；〔2〕求支柱的长度；〔3〕拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．解：〔1〕根据题目条件，的坐标分别是．设抛物线的解析式为，将的坐标代入，得解得．所以抛物线的表达式是．〔2〕可设，于是从而支柱的长度是米．〔3〕设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，那么点坐标是．过点作垂直交抛物线于，那么．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．第 7 页。
二次函数的最值与应用
二次函数的最值与应用二次函数是高中数学中重要的一个概念，它可以用于描述很多实际问题。
在本文中，我们将探讨二次函数的最值以及它在实际应用中的一些情况。
1. 二次函数的基本形式二次函数的一般形式可以表示为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。
二次函数的图像是一个抛物线，可以是开口向上或开口向下的形状。
2. 二次函数的最值二次函数的最值指的是函数的最大值或最小值。
我们可以通过找到二次函数的顶点来确定最值。
对于开口向上的二次函数，顶点即为最小值；对于开口向下的二次函数，顶点即为最大值。
要确定二次函数的顶点，我们可以使用一些方法。
其中一种方法是将二次函数转化为标准形式，即通过配方法将函数转化为完全平方的形式。
通过求导数的方法也可以找到顶点，但需要注意的是，必须先确定导数的存在性。
3. 二次函数在实际问题中的应用二次函数在实际问题中有广泛的应用。
以下是两个常见的例子：(1) 抛物线的弧长我们知道，抛物线是一个连续曲线，我们可以根据抛物线的方程求解抛物线的弧长。
假设有一个开口向上的二次函数y = ax² + bx + c，我们可以通过求解弧长公式来计算抛物线上两个点之间的弧长。
这个问题可以应用到建筑设计中，比如设计一个拱形桥的弧长。
(2) 最优解的求解在很多实际问题中，我们需要求解一些最优解。
例如，在物流运输问题中，我们希望找到最短的路径和最小的成本。
这些问题可以用二次函数求解。
通过建立二次函数模型，并确定最值点，我们可以找到最优解。
除了以上两个例子，二次函数在金融、物理学、经济学等领域中也有广泛的应用。
无论是求解最值还是建立模型，二次函数在实际问题中扮演着重要的角色。
4. 总结二次函数的最值与应用是高中数学中重要的内容。
我们可以通过求解顶点来确定最大值或最小值，同时应用二次函数解决实际问题。
无论是计算弧长还是求解最优解，二次函数都能提供有效的解决方案。
在学习二次函数时，我们不仅需要理解其理论知识，还需要灵活运用。
二次函数的运用最大面积.docx
§6.4二次函数的运用（2）（最大面积问题）学习目标：1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。
2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。
学习重点:应用二次函数最值解决实际问题中的最大面积。
学习难点：能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大面积.学习过程：一、课前热身：1、写出正方体的表面积y与棱长x之间的函数关系式。
2、一个圆柱的高等于它的底面半径"写出圆柱的表面积s与半径r之间的函数关系式。
3、已知一个矩形的周长为12 m,设一边长为x m,面积为y m2,写出y与x之间的函数关系式。
二、新知探究：在动态的儿何图形屮，线段长与线段长Z间，或面积与线段k//////////W/长之间，或线段长与运动时间之间，或面积与运动时间之"巳间存在一定的函数关系，而其屮许多又是二次函数关系.【要点梳理】例1.己知一个矩形的周长是12cm. •矩形面积是S cm •, B__________________________________ C一边长是x cm ,当x多少厘米时，S最大，最大值为多少？例2. —块三角形废料如图所示，ZC=90°, ZA = 30°, 43二12.用这块废料剪出一个长方形CDEF,其屮点〃、E、F分别在AC、AB.上.要使长方形CDEF^积最大，点E应选在何处？A例3.如图，等腰直角三角形ABC以2m/s的速度沿直线/向正方形移动，直到AB与CD 重合.设XS时，三角形与正方形重合部分的面积为ym2.（1）写出y与兀的函数解析式；（2）当兀=2,3.5时，y分别是多少？（3）当重叠部分的血积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？例4.如图所示，在直角坐标系中，矩形4BCD的边AD在兀轴上，点A在原点，AB=3,AD=5.若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动.同吋点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A-B-C-D的路线作匀速运动.当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD 也随之停止运动.（1）求P点从4点运动到D点所需的时间；（2）设P点运动时间为/ （秒）・①当r=5吋，求出点P的坐标；②若△OAP的面积为试求出s与『之间的函数关系式（并写出相应的自变量/的収值范围）.yB ----------------- C(A) D练习：1.用长为12 m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃•如图，围出的苗圃是五边形ABCDE, AELAB, BC丄AB, ZC二/D二上E.设CD二DE二xrn,五边形ABCDE的面积为Sml问当兀取什么值时，S最大?并求岀S的最大值.2.如图，在ZXABC 中，ZB=90°, AB二6cm, BC二8cm,动点P 从点A 出发沿AB、BC 方向以每秒3cm的速度移动（移动到点C即停），动点Q从点B出发沿BC、CA方向以每秒4cm的速度移动，如果点P、Q分别从点4、B出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t 如何变化？写出函数关系式及/的取值范围.【课后盘点】1.A屮学准备利用一面墙，另三边用竹篱笆围成一个面积为y（恋）的长方形花坛，•竹篱笆的长为36m,墙长为20m,则当花坛的长和宽分别为多少时，•才能使竹篱笆围成的花坛面积最大，此时花坛的最大面积为多少？2.如图，一块草坪是一长100米，宽80米的矩形，现欲在中间修两条互相垂直的宽为兀米的小路，这时草坪的面积为y平方米，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.100米3.如图，等腰梯形ABCD中，AB=15, A£>=20, ZC=30°.点M、N同时以相同速度分别从点4、点D开始在A3、AD（包括端点）上运动.（1）设枷的长为x,用兀表示岀点"到AB的距离，并写出x的取值范围.（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断ZUMN的形状.4.如图所示，在直角梯形ABCD中，ZA=ZD=90°,截取AE=BF=DG=x.已知AB二6,CD二3, AD二4.求四边形CGEF的面积S关于兀的函数表达式和x的収值范围.5.如图所示，在厶ABC^, AB=4>]3 , AC=6, BC=2品,P是AC ±与4、C不重合的一个动点，过P、B、C的。
二次函数最大面积问题
数学结合思想在二次函数中的应用一、课标要求1. 通过实际问题情境分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义，能从图象上认识二次函数的性质，能用函数刻画事物间的相互关系并进行分析。
2. 探索数、形及实际问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，提高运用函数知识与方法解决问题的能力。
二、内容分析二次函数在初中数学教学中有重要地位，它是初中数学教学的重点和难点之一，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。
它的考查经常牵涉到等价转化、数形结合、分类讨论等数学思想方法，二次函数也是中考的热点之一。
本节课设想在学生第一轮复习了二次函数的图象与性质的基础上，在第二轮复习中进一步研究解决二次函数与几何结合的综合问题，让学生体会这类问题的通解通法，感受数学结合思想为解题带来的便利，初步掌握一些处理数形关系及其变化规律的常用手法，提高运用函数知识与方法解决问题的能力。
三、教学目标1. 初步掌握利用几何图形和二次函数的有关性质及相关知识解决函数与几何融合在一起的综合问题的一些常用方法，会探索、寻找、利用运动中的“不变量”；2. 学会运用类比、联想、转化、推理等方法挖掘问题中的隐含条件，用数形结合、分类讨论等思想方法分析问题，在问题解决的过程中提升运用函数知识与方法解决问题的能力。
四、教学重点培养运用类比、联想、转化、推理等方法解决二次函数与几何综合问题的思维方式方法。
五、教学难点挖掘问题中的隐含条件，寻找运动中的“不变量”，用数形结合思想分析、思考问题。
六、学情分析教学班级为平行班，学生的学习基础参差不齐，成绩中等的学生占大多数。
本班学习积极性高。
因此在设计本节课的内容是，从最基础的二次函数知识出发，由浅入深，环环紧扣，从题目的设计上降低学生学习的难度，从而让学生能更好地体会数形结合思想在二次函数中的应用。
七、教学过程的坐标为 .连接）解这类问题要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识解。
二次函数的实际应用之利润最大值、面积最值问题
二次函数的实际应用——最大利润问题、面积最大(小)值问题一：最大利润问题知识要点：二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式ab ac a b x a y 442(22-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当abx 2-=，a b ac y 442-=最小值；当0<a 时，函数有最大值，并且当abx 2-=，a b ac y 442-=最大值．如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当abx 2-=，a b ac y 442-=最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=2．[例1]：某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18 元，试销过程中发现，每月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的关系可以近似地看作一次函数y= ﹣2x+100 ．（利润= 售价﹣制造成本） （1 ）写出每月的利润z （万元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2 ）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502 万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3 ）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32 元，如果厂商要获得每月不低于350 万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？解：（1 ）z= （x -18 ）y= （x -18 ）（-2x+100 ）= -2x 2+136x-1800 ， ∴z 与x 之间的函数解析式为z= -2x 2+136x-1800 ； （2 ）由z=350 ，得350= -2x 2+136x -1800 ， 解这个方程得x 1=25 ，x 2=43 所以，销售单价定为25 元或43 元，将z =-2x 2+136x-1800 配方，得z=-2 （x-34 ）2+512 ，因此，当销售单价为34 元时，每月能获得最大利润，最大利润是512 万元； （3 ）结合（2 ）及函数z=-2x 2+136x ﹣1800 的图象（如图所示）可知， 当25≤x ≤43时z ≥350 ，又由限价32 元，得25 ≤x ≤32 ，根据一次函数的性质，得y=-2x+100 中y 随x 的增大而减小， ∴当x=32 时，每月制造成本最低最低成本是18 ×（-2 ×32+100 ）=648 （万元）， 因此，所求每月最低制造成本为648 万元．[练习]：1．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润 则：)10300)(4060(1x x y -+-=)60010(102---=x x 6250)5(102+--=x当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元）)20300)(4060(2x x y +--= )15)(20(20+--=x x6125)5.2(202+--=x当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元）综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．[例2]： 市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)． 解：⑴设y=kx+b 由图象可知，3040020,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得， 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x ． ⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x200001400202-+-=xx ∵020<-=a ∴P 有最大值．当35)20(21400=-⨯=x 时，4500max =P （元）（或通过配方，4500)35(202+--=x P ，也可求得最大值）答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．⑶∵44804500)35(2041802≤+--≤x16)35(12≤-≤x ∴31≤x •≤34或36≤x≤39． 练习 2．某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行这两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元．经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x （元），年销售量为y （万件），当35≤x ＜50时，y 与x 之间的函数关系式为y=20﹣0.2x；当50≤x≤70时，y与x的函数关系式如图所示，乙种产品的销售单价，在25元（含）到45元（含）之间，且年销售量稳定在10万件．物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元．（1）当50≤x≤70时，求出甲种产品的年销售量y（万元）与x（元）之间的函数关系式．（2）若公司第一年的年销售量利润（年销售利润=年销售收入﹣生产成本）为W（万元），那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少？（3）第二年公司可重新对产品进行定价，在（2）的条件下，并要求甲种产品的销售单价x （元）在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年年底，两年的总盈利（总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资成本）不低于85万元．请直接写出第二年乙种产品的销售单价m（元）的范），二、面积最大（最小）值问题实际问题中图形面积的最值问题分析思路为：（1）分析图形的成因（2）识别图形的形状（3）找出图形面积的计算方法（4）把计算中要用到的所有线段用未知数表示（5）把线段长度代入计算方法形成图形面积的函数解析式，注意自变量的取值范围 （6）根据函数的性质以及自变量的取值范围求出面积的最值。
二次函数的实际应用(面积最值问题)
有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生 探索解题思路留下了思维空间．
解：∵矩形MFGN∽矩形ABCD ∴MF=2MN =2x ∴ EM=10-2x
∴S=x（10-2x）=-2x2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ∵，∴
当x=2.5时，S有最大值12.5
12．(2008四川内江)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳 子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳 子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部 刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 0.5 米．
，则该运动员此次掷铅球的成绩是( D )
A．6 m 解：令，则：
B．12 m C．8 m
D．10m
（图5）
（图6）
（图7）
6．某幢建筑物，从10 m高的窗口A，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛 物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M 离墙1 m，离地面m，则水流落地点B离墙的距离OB是( B )
解：设花圃的宽为米，面积为平方米 则长为：(米) 则：
∵ ∴ ∵，∴与的二次函数的顶点不在自变量的范围内， 而当内，随的增大而减小， ∴当时，(平方米) 答：可设计成宽米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大． [例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如 图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面 积． 解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y， 则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4）
二次函数的应用--最大面积
学习必备欢迎下载二次函数的应用—面积问题【知识要点】(1)求出面积与自变量的函数关系 y=ax2+bx+c （a≠0）（ 2）用配方法用配方法将y=ax2+bx+c化为y=a(x-h) 2+k 的形式：y=ax 2+bx+c==a=a+.当 a＞0时，则时， y 最小值 =当 a＜0时，则时， y 最大值 =（ 3）确定自变量的取值范围，检验是否在取值范围内，若不在，则根据函数的增减性，代入自变量的端点值求出最值求几何图形的常见方法：①利用几何图形的面积公式；②利用三角形的相似（面积比等于相似比的平方）；③利用割补法求几何图形的面积和或差；【例题解析】例 4、有窗框料 12m长，现要制成一个如图所示的窗框，问长宽各为多少米，才能使光照最充足？例 5、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD=6，∠ABC=60°，点E，F分别在线段AD，DC上（点 E 与点 A， D不重合），且∠ BEF=120°，设 AE=x， DF=y．（ 1）求 y 与 x 的函数表达式；（ 2）当 x 为何值时， y 有最大值，最大值是多少？例 6、如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点A、 B 的坐标分别为（ 4，0）、（ 4， 3），动点 M、 N 分别从点 O、B 同时出发，以每秒 1 个单位的速度运动，其中点 M 沿 OA 向终点 A 运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动，过点 N 作 NP ⊥ BC ，交AC 于点 P，连接 MP ，当两动点运动了 t 秒时．（1）P 点的坐标为 ______ （用含 t 的代数式表示）；（2）记△MPA 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式（ 0＜t＜ 4）；（3）当 t=______ 秒时， S 有最大值，最大值是 ______ ；（ 4）若点 Q 在 y 轴上，当 S 有最大值且△QAN 为等腰三角形时，求直线 AQ 的解析式．【课堂练习】1.如图 ,已知△ABC 是一等腰三角形铁板余料,其中 AB=AC=20cm,BC=24cm. 若在△ABC 上截出一矩形零件 DEFG,使 EF 在 BC 上,点 D、 G 分别在边 AB 、 AC 上.问矩形 DEFG 的最大面积是多少 ?AD GB E F C2.如图 ,在 Rt△ABC 中 ,∠ACB=90°,AB=10,BC=8, 点 D 在 BC 上运动 (不运动至 B,C),DE∥AC, 交 AB 于 E,设 BD=x, △ADE 的面积为 y.(1)求 y 与 x 的函数关系式及自变量x 的取值范围 ;(2)x 为何值时 ,△ADE 的面积最大 ?最大面积是多少 ?BEDC A3.如图 ,△ABC 中 ,∠ B=90°,AB=6cm,BC=12cm. 点 P从点 A 开始 ,沿 AB 边向点 B 以每秒1cm 的速度移动 ;点 Q 从点 B 开始 ,沿着 BC 边向点 C 以每秒 2cm 的速度移动 .如果 P,Q 同时出发 ,问经过几秒钟△PBQ 的面积最大 ?最大面积是多少 ?CQA PB4.如图所示 ,是某市一条高速公路上的隧道口在平面直角坐标系上的示意图,隧道的截面由抛物线和长方形构成 .长方形的长是 16m,宽是 6m.抛物线可以用 y=-1x 2+8 表示 .32(1)现有一大型运货汽车 ,装载某大型设备后 ,其宽为 4m,车载大型设备的顶部与路面的距离均为 7m,它能否安全通过这个隧道 ?说明理由 .(2)如果该隧道内设双行道 ,那么这辆运货汽车能否安全通过 ? (3)为安全起见 ,你认为隧道应限高多少比较适宜 ?为什么 ?yCB B 1AOA 1x5.如图 ,在矩形 ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点 P 从点 A 出发 ,沿 AB 边向点 B 以 1cm/s 的速度移动 ,同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动 ,如果 P,Q 两点同时出发 ,分别到达 B,C 两点后就停止移动 .(1)设运动开始后第 t 秒钟后 ,五边形 APQCD 的面积为 Scm 2,写出 S 与 t 的函数关系式 ,并指出自变量 t 的取值范围 .(2)t 为何值时 ,S 最小 ?最小值是多少 ?D CQA P B6.△ABC 是锐角三角形 ,BC=6,面积为 12,点 P 在 AB 上,点 Q 在 AC 上,如图所示 , 正方形PQRS(RS与 A 在 PQ 的异侧 )的边长为 x,正方形 PQRS 与△ABC 公共部分的面积为 y.(1)当 RS 落在 BC 上时 ,求 x;(2)当 RS 不落在 BC 上时 ,求 y 与 x 的函数关系式 ;(3)求公共部分面积的最大值.AP QCBS R1 x2表示.在正常水位时水面AB 的宽为7.如图 ,有一座抛物线形拱桥,抛物线可用y=2520m,如果水位上升 3m 时,水面 CD 的宽是 10m.(1)在正常水位时 ,有一艘宽 8m、高 2.5m 的小船 ,它能通过这座桥吗 ?(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地 ,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计 ).货车正以每小时 40km 的速度开往乙地 ,当行驶 1 小时时 , 忽然接到紧急通过:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD 处,当水位达到桥拱最高点O 时,禁止车辆通行).试问:如果货车按原来的速度行驶,能否安全通过此桥?若能,请说明理由 .若不能, 要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米 ?yO xC DA B。
二次函数面积最值问题
二次函数面积最值问题一、问题概述二次函数面积最值问题是指在给定的二次函数中，找到使其面积最大或最小的变量取值。
这个问题在数学中有着广泛的应用，比如在经济学、物理学、工程学等领域都有着重要的作用。
二、问题分析为了解决二次函数面积最值问题，我们需要先了解一些基本概念和公式。
下面是一些常见的数学公式：1. 二次函数的标准形式：y=ax^2+bx+c其中a,b,c都是实数，且a≠0。
2. 二次函数的顶点坐标：(h,k)其中h=-b/2a，k=f(h)，f(x)表示二次函数。
3. 二次函数的对称轴方程：x=h4. 两点之间距离公式：d=sqrt[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]5. 矩形面积公式：S=lw其中S表示矩形面积，l表示矩形长，w表示矩形宽。
了解了这些基本概念和公式后，我们可以开始分析如何解决二次函数面积最值问题。
三、求解方法1. 求最大值要求一个二次函数在给定区间内的最大面积，我们可以通过以下步骤来实现：步骤一：将二次函数化为标准形式。
步骤二：求出二次函数的顶点坐标。
步骤三：根据顶点坐标和区间端点，确定矩形的长和宽。
步骤四：计算矩形面积，并比较得出最大值。
具体的，可以按照以下函数来实现：```pythondef max_area(a,b,c,start,end):# 将二次函数化为标准形式f = lambda x: a*x**2+b*x+c# 求出二次函数的顶点坐标h = -b/(2*a)k = f(h)# 根据顶点坐标和区间端点，确定矩形的长和宽l = end-startw = abs(f(start)-k)*2# 计算矩形面积，并比较得出最大值S = l*wreturn S if S>0 else 0```其中，a,b,c分别表示二次函数的系数，start,end表示给定区间的端点。
这个函数会返回一个最大面积值。
2. 求最小值要求一个二次函数在给定区间内的最小面积，我们可以通过以下步骤来实现：步骤一：将二次函数化为标准形式。
二次函数的应用(面积问题)
课题：二次函数的实际应用----面积问题一、学习目标1、通过图形之间的关系列出函数解析式2、用二次函数的知识分析解决有关面积问题的实际问题重点：用二次函数的知识分析解决有关面积问题的实际问题难点：通过图形之间的关系列出函数解析式二、导学激疑1.二次函数的一般式是,它的图像的对称轴是,顶点坐标是.当0a 时，开口向,有最点，函数有最值，是；当0a时，开口向,有最点，函数有最值，是.2.如何求二次函数)0(2a c bx axy的最值？有哪几种方法？写出求二次函数最值的公式求最值方法1：方法2：最值公式当x，y 有最大（小）值.3.小练习：①二次函数x xy 302的最大值是，此时x=.②二次函数x x y 302(0＜x ＜30)的最大值是, 此时x= . ③二次函数x x y 302(0＜x ≤10)的最大值是，此时x= .④二次函数x x y 302(20≤x ＜30)的最大值是,此时x=.⑤二次函数x xy 302(x 为10的整数倍)的最大值是, 此时x=.三、自主质疑（课本P49探究1）用总长为60m 的篱笆围成一个矩形菜园ABCD,设BC 长度为xm ，矩形ABCD 的面积为y ㎡.（1）当x 为何值时，矩形面积为200㎡？（2）当x 为何值时，矩形面积最大？求出最大值？（3）若矩形面积不超过200㎡，请直接写出x 的取值范围. （4）若矩形面积不低于200㎡，请直接写出x 的取值范围.四、互动释疑变式 1 如图用总长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD，墙长36m，设BC长度为x m，矩形ABCD的面积为y㎡.(1)当x为何值时，矩形面积为400㎡？(2)当x为何值时，矩形面积最大，最大面积是多少？(3)若矩形面积不小于400㎡，请直接写出x的取值范围.(4)若要求边AB的长不小于边BC的长，请直接写出矩形面积的最大值.(5)若BC边上需要开一个3米宽的小门，则x= 时，矩形面积有最大值.(6)若BC边上需要开一个3米宽的小门，x取整数，则x= 时，矩形面积有最大值.变式 2 用总长为60m篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园ABCD，墙长36m，菜园被篱笆分割成等面积的三块，分别种值不同的蔬菜，如图有如下三种方案：（方案1）（方案2）（方案3）设BC长度为xm，矩形ABCD的面积为y㎡，请问这三种方案中，哪种方案所围菜园面积最大，请说明理由.五、归纳提升运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤:(1)(2)(3)六、达标检测1.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=x m．（1）若花园的面积为192 m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．2.如图，利用一面墙（墙的长度为20m），用34m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门，设AB的长为x米。
二次函数的应用——求最大面积
2、当a<0时，函数有最_大__值，当x=____2_ba__
,函数值是__4_a_c__bb 2a
,
4 ac 4a
b2
)
O
x
对称轴
知识回顾
求二次函数y=-2x2+80x的最大值
小亮父亲想用长为80米的栅栏，再借助房屋的 外墙（外墙足够长）围成一个矩形的羊圈。如何围 才能使羊圈的面积最大?最大面积是多少?
A
D
x
x
B
80-2x
C
小亮父亲想用长为80的栅栏，再借助房屋的外 墙（外墙足够长）围成一个矩形的羊圈。如何围才 能使羊圈的面积最大?最大面积是多少?
A
80 - x 2
B
x
D
80 - x 2
C
为了美化环境，要在一块直角三角形空地上建造 一个矩形花园使AB和AD分别在两直角边上
M
如何设计才能使矩形ABCD的面积最大？ 30m D
xx
y
一根铝合金材料长为6米，用它制作一个“日”字型的窗 框，如果恰好用完这根铝合金材料，那么窗架的长、宽 各为多少米时，窗架的面积最大？
A
D
E
F
B
C
感悟与收获
这节课，我学会了……
畅所欲谈
九年级 数学
第二章 二次函数 建立二次函数关系式
求出最值
判断结果的合理性
你能求出矩形ABCD的最大面积吗？ P
40 m A
x
30m B
E
N
D
FC
M
如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变
若设AD=x，你能表示AB吗？
40 m A
x
N
D
P
二次函数的应用-面积最大化的变式探索
思考题：
用长为l2m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃.如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，∠C＝∠D＝∠E.设CD＝DE＝xm，五边形ABCDE的面积为Sm².问当x取什么值时，S最大?并求出S的最大值.
七、
作
业
布
置
课本：P32第6题、第8题
P33第9题
学生易错地方：学生往往列出表达式后不根据背景写出自变量的范围；求最值时，只知代入顶点坐标公式，不考虑自变量范围。
学生反思和小结
教师提醒学生通过画函数的图像辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形的完美结。通过此题的有意训练，学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。
二次函数的应用－面积最大化的变式探索
教
学
目
标
知识技能
（1）能运用二次函数的最大值解决面积最大化的问题，并能利用函数的图象与性质进行解题。
（2）使学生经历变式训练的探索过程，了解数学内容的本质，明确知识之间的相互联系，激活学生的联想和再创造能力。
（3）体验解决问题策略的多样性，以此来获得解决问题的经验。
五、
举一
反三
学以
致用
五、
举一
反三
学以
致用
【变式四】
某农场主计划建一个养鸡场，为节约材料，鸡场一边靠着一堵墙(墙足够长)，另三边用40米竹篱笆围成，现有两种方案无法定夺：①围成一个矩形；②围成一个半圆形.设矩形的面积为S1平方米，半圆形的面积为S2平方米，半径为r米。请你通过计算帮农场主选择一个围成区域最大的方案（π取3）
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二次函数的应用（最大面积1）
学习目标：能够运用二次函数的知识解决最大面积问题，进一步感受数学模型思想和数学的应用价值。
交流预习：如图在Rt △ABC 中，AC=4, BC=3, DE ∥AB,
分别与AC 、BC 相交于D 、E, CH ⊥AB 于点H,交DE 于
点F 、G 为AB 上任意一点，设CF=x ，△DEG 的面积为
y ，限定DE 在△ABC 的内部平行移动.
⑴求x 的取值范围.
⑵求函数y 与自变量x 的函数关系式.
⑶当DE 取何值时，△DEG 的面积最大？求出最大值.
典型例题 如图,在Rt △ABC 的内部做一个内接矩形DEFG ，
AC=30m ，AB=40m ，设矩形DEFG 的面积为y ㎡,当EF 取何
值时，y 的值最大？最大值为多少？
巩固练习：1. 如图：在△ABC 中，BC=4，AB=3 2，
∠B=45°，M 、N 分别为AB ，AC 边上的点，且MN ∥ BC ，
设MN 为x ，△MNC 的面积为y 。
（1）试求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范；
（2）试问MN 处在什么位置时，△MNC 的面积最大？
并求出最大值；
（3）当△MNC 的面积为98
时，试问MN 的值。
2、要在底边BC=160, 高AD=120的△ABC铁皮余料上截取一个矩形EFGH, 使点H 在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，设矩形EFGH的长HG=x,宽HE=y，
（1）试确定y与x之间的函数表达式.
（2）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大?
拓展延伸、如图在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿BA从点B开始向点A以2cm/秒的速度移动；点Q沿CB边从点C开始向点B以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t秒表示移动时间（0≤t≤6）那么
（1）当t=2秒时，请你猜想下△QPB是个什么特殊三
角形，并证明你的结论；
（2）求：四边形PBQD的面积s与时间t的关系式。
（3）当t为何值时，以点Q、B、P为顶点的三角形
△CBD相似？
检测：.某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成（如图），若设花园的BC边长为x m，花园的面积为y㎡.
⑴求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
⑵满足条件的花园面积能达到200㎡吗？若能，求出此时x的值，若不能，说明理
应.
⑶根据⑴中求得的函数关系式，描述其图像的变化趋势；并结合题意判断当x取何
值时，花园的面积最大？最大面积为多少？。