2016年北京朝阳区高三数学一模文科
北京市朝阳区2016届高三上学期期末考试数学文试题 含答案
北京市朝阳区2015—2016学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类） 2016.1(考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题(共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分(选择题 共40分）一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合{1,0,1},{11}A B x x =-=-<≤,则AB =A ．{0,1}B ．{1,0}-C ．{0}D ．{1,0,1}- 2. 下列函数中，既是奇函数又存在零点的是A ．()f x =B ．1()f x x= C ．()e xf x = D ．()sin f x x =3。
A ．3B ．4C ．D ．63题图km/h ）频率4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处,现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h~120km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有A ．30辆 B ．300辆 C ．170辆 D ．1700辆4 第 4题图5. 已知m ，n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且m n αβ⊂⊂，，则下列说法正确的是A ．若//αβ，则//m nB ．若m β⊥，则αβ⊥C ．若//m β，则//αβD ．若αβ⊥，则m n ⊥ 6。
设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)yax a =≠的焦点F ，且与y 轴交于点A，若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为A 。
24yx=± B 。
24y x= C.28y x=± D.28y x =7。
已知B A ,为圆9)()(:22=-+-n y m x C （,m n ∈R ）上两个不同的点（C 为圆心）,且满足13||=+CB CA ,则=ABA. 23 B 。
北京市朝阳区2016届高三数学第一次综合练习(一模)试题文(含解析)
16.( 本小题总分值13 分〕数列a n 的前 n 项和 S n 2n 2 n ,n N .〔Ⅰ〕求数列a n 的通项公式；〔Ⅱ〕假设nn1 n ，求数列 b的前 n 项和T .bann解析 ：〔Ⅰ〕由 S2n 2 n ，n当 n2 时， a n S nS n 1=2n 2 n2 n 2n 14n 3.1当 n 1 时，而4131 ，a 1 S 1 1,所以数列 a n 的通项公式 a n4n 3，nN .,,,,,,,,,6 分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可得 b n ( 1)na n( 1)n 4n 3 ,当 n 为偶数时，T n1 59 13 174n 34n2 n ,2当 n 为奇数时，n1 为偶数，T n T n 1 b n 1 2(n1) (4 n 1)2n 1.2n, n,综上， T n 为偶数,,,,,,,,,,13 分2n为奇数.1,n17. ( 本小题总分值 13 分 )某班建议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查 . 调查结果如下表 :阅读名著的本数1 2 3 4 5 男生人数 3 1 2 1 3 女生人数13312〔Ⅰ〕试根据上述数据，求这个班级女生阅读 名著 的平均本数 ;〔Ⅱ〕假设从阅读5 本名著 的学生中任选 2 人交流读书心得， 求选到男生和女生各 1 人的概率 ；〔Ⅲ〕试判断该班男生阅读名著本数的方差s 12与女生阅读名著本数的方差 s 2 2 的大小〔只需写出结论〕．〔注：方差 s21[( x 1 x )2 (x 2 x)2(x nx) 2 ] ，其中x 为nx 1 x 2，,, x n 的平均数〕7解析 ：〔Ⅰ〕女生阅读 名著 的平均本数3 本.x10,,,,,,,,,,3 分〔Ⅱ〕设事件A ={从阅读5本名著 的学生中任取 2 人，其中男生和女生各1 人}.男生阅读 5 本名著的 3 人分别记为a 1 , a 2 , a 3，女生阅读5本名著的2人分别记为 b 1, b 2.从阅读 5 本名著的 5 名学生中任取 2 人，共有 10 个结果，分别是：a 1 ,a 2 ， a 1, a 3 ， a 2 ,a 3 ，b 1 ,b 2， a 1 , b 1 ， a 1,b 2 ，a 2 ,b 1 ， a 2 , b 2 ， a 3, b 1 ， a 3 ,b 2.其中男生和女生各1 人共有 6 个结果，分别是：a 1,b 1， a 1, b 2， a 2 ,b 1， a 2 ,b 2， a 3 , b 1， a 3, b 2.那么 P 〔A 〕63 .,,,,,,,,,,10 分10 5〔 III 〕s 1 2 s 22.,,,,,,,,,, 13 分18. 〔本小题共 14 分〕如图，在三棱柱 ABCA 1BC 11中， AA 1底面 ABC ，BAC90 ，AB AC2 ，AA 13 ．M , N 分别为 BC 和CC 1的中点，P 为侧棱BB 1上的动点．〔Ⅰ〕求证：平面 APMBBC CA 1B 1平面 ；1 1C 1P〔Ⅱ〕假设 P 为线段BB 1的中点，求证：AN 1 // 平面APM ；〔Ⅲ〕试判断直线 BC 1与平面APM 是否能够垂直.NAB假设能垂直，求PB 的值；假设不能垂直，请说明理由． CM解析 ：〔Ⅰ〕由，M 为BC 中点，且AB AC ，所以AM BC ．又因为 BB 1 // AA 1，且 AA 1 底面 ABC ，所以BB 1 底面 ABC ．因为 AM底面 ABC ，所以BB 1AM ，又 BB 1 BC B ，所以 AM平面 BBC C ．1 1又因为 AM平面 APM ，8解析 ：〔Ⅰ〕女生阅读 名著 的平均本数3 本.x10,,,,,,,,,,3 分〔Ⅱ〕设事件A ={从阅读5本名著 的学生中任取 2 人，其中男生和女生各1 人}.男生阅读 5 本名著的 3 人分别记为a 1 , a 2 , a 3，女生阅读5本名著的2人分别记为 b 1, b 2.从阅读 5 本名著的 5 名学生中任取 2 人，共有 10 个结果，分别是：a 1 ,a 2 ， a 1, a 3 ， a 2 ,a 3 ，b 1 ,b 2， a 1 , b 1 ， a 1,b 2 ，a 2 ,b 1 ， a 2 , b 2 ， a 3, b 1 ， a 3 ,b 2.其中男生和女生各1 人共有 6 个结果，分别是：a 1,b 1， a 1, b 2， a 2 ,b 1， a 2 ,b 2， a 3 , b 1， a 3, b 2.那么 P 〔A 〕63 .,,,,,,,,,,10 分10 5〔 III 〕s 1 2 s 22.,,,,,,,,,, 13 分18. 〔本小题共 14 分〕如图，在三棱柱 ABCA 1BC 11中， AA 1底面 ABC ，BAC90 ，AB AC2 ，AA 13 ．M , N 分别为 BC 和CC 1的中点，P 为侧棱BB 1上的动点．〔Ⅰ〕求证：平面 APMBBC CA 1B 1平面 ；1 1C 1P〔Ⅱ〕假设 P 为线段BB 1的中点，求证：AN 1 // 平面APM ；〔Ⅲ〕试判断直线 BC 1与平面APM 是否能够垂直.NAB假设能垂直，求PB 的值；假设不能垂直，请说明理由． CM解析 ：〔Ⅰ〕由，M 为BC 中点，且AB AC ，所以AM BC ．又因为 BB 1 // AA 1，且 AA 1 底面 ABC ，所以BB 1 底面 ABC ．因为 AM底面 ABC ，所以BB 1AM ，又 BB 1 BC B ，所以 AM平面 BBC C ．1 1又因为 AM平面 APM ，8解析：〔Ⅰ〕女生阅读名著的平均本数11323314+253 本.x10,,,,,,,,,, 3 分〔Ⅱ〕设事件 A ={从阅读5本名著的学生中任取 2 人，其中男生和女生各 1 人}.男生阅读 5 本名著的 3 人分别记为a1 , a2 , a3，女生阅读5本名著的2人分别记为b1, b2.从阅读 5 本名著的 5 名学生中任取 2 人，共有 10 个结果，分别是：a1 ,a2， a1, a3， a2 ,a3， b1 ,b2， a1 , b1， a1,b2，a2 , b1， a2 , b2， a3, b1， a3 ,b2.其中男生和女生各 1 人共有 6 个结果，分别是：a1, b1， a1, b2， a2 ,b1， a2 ,b2， a3 , b1， a3, b2.那么 P〔A〕63.,,,,,,,,,,10 分105〔 III 〕s12s22.,,,,,,,,,,13 分18.〔本小题共 14 分〕如图，在三棱柱 ABC A1BC11中， AA1底面 ABC ，BAC90 ，AB AC 2 ，AA13 ．M , N分别为 BC 和CC1的中点，P为侧棱BB1上的动点．〔Ⅰ〕求证：平面 APM BBC C A1B1平面；11C1P 〔Ⅱ〕假设 P 为线段BB1的中点，求证：AN1 // 平面APM；〔Ⅲ〕试判断直线 BC1与平面APM是否能够垂直.NA B假设能垂直，求PB 的值；假设不能垂直，请说明理由．CM 解析：〔Ⅰ〕由，M 为BC中点，且AB AC，所以AM BC ．又因为 BB1 // AA1，且 AA1底面 ABC ，所以BB1底面 ABC ．因为 AM底面 ABC ，所以BB1AM ，又 BB1 BC B，所以 AM平面BBC C．11又因为 AM平面 APM ，解析：〔Ⅰ〕女生阅读名著的平均本数11323314+253 本.x10,,,,,,,,,, 3 分〔Ⅱ〕设事件 A ={从阅读5本名著的学生中任取 2 人，其中男生和女生各 1 人}.男生阅读 5 本名著的 3 人分别记为a1 , a2 , a3，女生阅读5本名著的2人分别记为b1, b2.从阅读 5 本名著的 5 名学生中任取 2 人，共有 10 个结果，分别是：a1 ,a2， a1, a3， a2 ,a3， b1 ,b2， a1 , b1， a1,b2，a2 , b1， a2 , b2， a3, b1， a3 ,b2.其中男生和女生各 1 人共有 6 个结果，分别是：a1, b1， a1, b2， a2 ,b1， a2 ,b2， a3 , b1， a3, b2.那么 P〔A〕63.,,,,,,,,,,10 分105〔 III 〕s12s22.,,,,,,,,,,13 分18.〔本小题共 14 分〕如图，在三棱柱 ABC A1BC11中， AA1底面 ABC ，BAC90 ，AB AC 2 ，AA13 ．M , N分别为 BC 和CC1的中点，P为侧棱BB1上的动点．〔Ⅰ〕求证：平面 APM BBC C A1B1平面；11C1P 〔Ⅱ〕假设 P 为线段BB1的中点，求证：AN1 // 平面APM；〔Ⅲ〕试判断直线 BC1与平面APM是否能够垂直.NA B假设能垂直，求PB 的值；假设不能垂直，请说明理由．CM 解析：〔Ⅰ〕由，M 为BC中点，且AB AC，所以AM BC ．又因为 BB1 // AA1，且 AA1底面 ABC ，所以BB1底面 ABC ．因为 AM底面 ABC ，所以BB1AM ，又 BB1 BC B，所以 AM平面BBC C．11又因为 AM平面 APM ，解析：〔Ⅰ〕女生阅读名著的平均本数11323314+253 本.x10,,,,,,,,,, 3 分〔Ⅱ〕设事件 A ={从阅读5本名著的学生中任取 2 人，其中男生和女生各 1 人}.男生阅读 5 本名著的 3 人分别记为a1 , a2 , a3，女生阅读5本名著的2人分别记为b1, b2.从阅读 5 本名著的 5 名学生中任取 2 人，共有 10 个结果，分别是：a1 ,a2， a1, a3， a2 ,a3， b1 ,b2， a1 , b1， a1,b2，a2 , b1， a2 , b2， a3, b1， a3 ,b2.其中男生和女生各 1 人共有 6 个结果，分别是：a1, b1， a1, b2， a2 ,b1， a2 ,b2， a3 , b1， a3, b2.那么 P〔A〕63.,,,,,,,,,,10 分105〔 III 〕s12s22.,,,,,,,,,,13 分18.〔本小题共 14 分〕如图，在三棱柱 ABC A1BC11中， AA1底面 ABC ，BAC90 ，AB AC 2 ，AA13 ．M , N分别为 BC 和CC1的中点，P为侧棱BB1上的动点．〔Ⅰ〕求证：平面 APM BBC C A1B1平面；11C1P 〔Ⅱ〕假设 P 为线段BB1的中点，求证：AN1 // 平面APM；〔Ⅲ〕试判断直线 BC1与平面APM是否能够垂直.NA B假设能垂直，求PB 的值；假设不能垂直，请说明理由．CM 解析：〔Ⅰ〕由，M 为BC中点，且AB AC，所以AM BC ．又因为 BB1 // AA1，且 AA1底面 ABC ，所以BB1底面 ABC ．因为 AM底面 ABC ，所以BB1AM ，又 BB1 BC B，所以 AM平面BBC C．11又因为 AM平面 APM ，。
2016北京市朝阳区高三(一模)数学(文)
2016北京市朝阳区高三（一模）数学（文）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x≤3}，B={x|x＜2}，则（∁U B）∩A=（）A．{x|x≤2} B．{x|1≤x≤3} C．{x|2＜x≤3} D．{x|2≤x≤3}2．（5分）设i是虚数单位，则复数等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）已知非零平面向量，，“|+|=|﹣|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．42 B．19 C．8 D．35．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C． D．6．（5分）已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．B．C．D．7．（5分）某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元8．（5分）若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0＜r＜D．0＜r＜二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．（5分）已知函数则f（f（﹣1））= ．10．（5分）已知双曲线过抛物线y2=8x的焦点，则此双曲线的渐近线方程为．11．（5分）已知递增的等差数列{a n}（n∈N*）的首项a1=1，且a1，a2，a4成等比数列，则数列{a n}的通项公式a n= ；a4+a8+a12+…+a4n+4= ．12．（5分）已知不等式组表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2=5，过圆心C的直线l交圆C于A，B两点，交y轴于点P．若A恰为PB 的中点，则直线l的方程为．14．（5分）甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从1（1必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1，2”，则下一个人可以有“3”，“3，4”，…，“3，4，5，6，7，8，9”等七种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜．如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）已知数列{a n}的前n项和，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和T n．17．（13分）某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查．调查结果如表：阅读名著的本数 1 2 3 4 5男生人数 3 1 2 1 3女生人数 1 3 3 1 2（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数；（Ⅱ）若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率；（Ⅲ）试判断该班男生阅读名著本数的方差与女生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．（注：方差，其中为x1x2，…x n的平均数）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，．M，N分别为BC 和CC1的中点，P为侧棱BB1上的动点．（Ⅰ）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）若P为线段BB1的中点，求证：A1N∥平面APM；（Ⅲ）试判断直线BC1与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由．19．（14分）已知椭圆C：的焦点分别为F1，F2．（Ⅰ）求以线段F1，F2为直径的圆的方程；（Ⅱ）过点P（4，0）任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM+∠PQN=180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．（13分）已知函数（k∈R）．（Ⅰ）若k=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）设k≤0，若函数f（x）在区间上存在极值点，求k的取值范围．数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．【解答】全集U=R，集合A={x|x≤3}，B={x|x＜2}，则（∁U B）∩A={x|x≤3}∩{x|x≥2}={x|2≤x≤3}，故选：D．2．【解答】===1+i．故选：A．3．【解答】非零平面向量，，“|+|=|﹣|”⇔=⇔=0⇔“⊥”，∴非零平面向量，，“|+|=|﹣|”是“⊥”的充要条件．故选：C．4．【解答】模拟执行程序，可得i=1，S=1满足条件i＜4，S=3，i=2满足条件i＜4，S=8，i=3满足条件i＜4，S=19，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．故选：B．5．【解答】在△ABC中，∵，∴，又∵，∴sinB=﹣cosB，∴tanB=﹣．∴B=．故选：C．6．【解答】由由三视图得该几何体的直观图如图：其中矩形ABCD的边长AD=，AB=2，高PO=1，AO=OB=1，则PA=PB=，PD=PC===，PH=，则四棱锥的侧面S=S△PAB+S△PAD+S△PCD+S△PBC=2×1+×+2×2+=3+，故选：B．7．【解答】由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确，由图可知，结余最高为7月份，为80﹣20=60，故B正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，由图可知，前6个月的平均收入为（40+60+30+30+50+60）=45万元，故D错误，故选：D．8．【解答】圆的圆心为（0，1），半径为r设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），可得n=，①y=的导数为y′=﹣，可得切线的斜率为﹣，由两点的斜率公式可得•（﹣）=﹣1，即为n﹣1=m（m﹣1）2，②由①②可得n4﹣n3﹣n﹣1=0化为（n2﹣n﹣1）（n2+1）=0，即有n2﹣n﹣1=0，解得n=或，则有或．可得此时圆的半径r==．结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候，r的范围是（0，）．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．【解答】由分段函数的表达式得f（﹣1）=（﹣1）2=1，则f（1）=log2（1+3）=log24=2，f（f（﹣1））=f（1）=2，故答案为：210．【解答】抛物线y2=8x的焦点（2，0），代入双曲线方程，可得，解得m=4，双曲线方程为：．渐近线方程为：．故答案为：．11．【解答】记递增的等差数列{a n}的公差为d（d＞0），由a1=1可知，a2=1+d，a4=1+3d，又∵a1，a2，a4成等比数列，∴=a1a4，即（1+d）2=1+3d，整理得：d2=d，解得：d=1或d=0（舍），∴数列{a n}是首项、公差均为1的等差数列，∴a n=n，∴数列{a4n+4}是首项为4、公差为4的等差数列，∴a4+a8+a12+…+a4n+4=4（n+1）+•4=2n2+6n+4，故答案为：n，2n2+6n+4．12．【解答】满足约束条件不等式组的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B，由，解得A（3，3），得到3=a（3+1），解得a=，又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以 0≤a≤故答案为：．13．【解答】由题意可得，C（3，5），直线L的斜率存在可设直线L的方程为y﹣5=k（x﹣3）令x=0可得y=5﹣3k，即P（0，5﹣3k），设A（x1，y1），B（x2，y2）联立直线与圆的方程，消去y可得（1+k2）x2﹣6（1+k2）x+9k2+4=0由方程的根与系数关系可得，x1+x2=6，x1x2=①∵A为PB的中点∴x2=2x1②把②代入①可得x2=4，x1=2，x1x2==8∴k=±2∴直线l的方程为y﹣5=±2（x﹣3），即2x﹣y﹣1=0或2x+y﹣11=0．故答案为：2x﹣y﹣1=0或2x+y﹣11=0．14．【解答】∵至少拿1个，至多拿7个，∴两人每轮总和完全可控制的只有8个，∴把零头取掉后，剩下的就是8的倍数了，这样无论对手怎么拿，都可以保证每一轮（每人拿一次后）都是拿走8个，即先取4个，以后每次如果乙报a，甲报8﹣a即可，保证每一轮两人报的和为8即可，最终只能甲抢到100．故先开始甲应取4个．故答案为：1，2，3，4．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．【解答】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得：f（x）====．∵f（x）的最小正周期为，解方程可得ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知．∵，∴．∴．当，即时，f（x）取得最大值是；当，即时，f（x）取得最小值是．∴f（x）在区间的最大值为，最小值为16．【解答】（Ⅰ）由，当n≥2时，．当n=1时，a1=S1=1，而4×1﹣3=1，所以数列{a n}的通项公式a n=4n﹣3，n∈N*．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，当n为偶数时，，当n为奇数时，n+1为偶数，T n=T n+1﹣b n+1=2（n+1）﹣（4n+1）=﹣2n+1．综上，…（13分）17．【解答】（Ⅰ）女生阅读名著的平均本数为本；…（3分）（Ⅱ）设事件A={从阅读5本名著的学生中任取2人，其中男生和女生各1人}，男生阅读5本名著的3人分别记为a1，a2，a3，女生阅读5本名著的2人分别记为b1，b2；从阅读5本名著的5名学生中任取2人，共有10个结果，分别是：{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，{b1，b2}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a3，b1}，{a3，b2}；其中男生和女生各1人共有6个结果，分别是：{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a3，b1}，{a3，b2}；则；…（10分）（ III）男生阅读名著本数的平均数是=×（1×3+2×1+3×2+4×1+5×3）=3，方差是=×[3×（﹣2）2+（﹣1）2+2×02+12+3×22]=2.6；女生阅读名著本数的平均数是=3，方差=×[（﹣2）2+3×（﹣1）2+3×02+12+2×22]=1.6；所以．…（13分）18．【解答】（Ⅰ）由已知，M为BC中点，且AB=AC，所以AM⊥BC．又因为BB1∥AA1，且AA1⊥底面ABC，所以BB1⊥底面ABC．因为AM⊂底面ABC，所以BB1⊥AM，又BB1∩BC=B，所以AM⊥平面BB1C1C．又因为AM⊂平面APM，所以平面APM⊥平面BB1C1C．…（5分）（Ⅱ）取C1B1中点D，连结A1D，DN，DM，B1C．由于D，M分别为C1B1，CB的中点，所以DM∥A1A，且DM=A1A．则四边形A1AMD为平行四边形，所以A1D∥AM．又A1D⊄平面APM，AM⊂平面APM，所以A1D∥平面APM．由于D，N分别为C1B1，C1C的中点，所以DN∥B1C．又P，M分别为B1B，CB的中点，所以MP∥B1C．则DN∥MP．又DN⊄平面APM，MP⊂平面APM，所以DN∥平面APM．由于A1D∩DN=D，所以平面A1DN∥平面APM．由于A1N⊂平面A1DN，所以A1N∥平面APM．…10分解：（Ⅲ）假设BC1与平面APM垂直，由PM⊂平面APM，则BC1⊥PM．设PB=x，．当BC1⊥PM时，∠BPM=∠B1C1B，所以∽Rt△∠B1C1B，所以．由已知，所以，得．由于，因此直线BC1与平面APM不能垂直．…（14分）19．【解答】（ I）因为a2=4，b2=2，所以c2=2．所以以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2．…（3分）（ II）若存在点Q（m，0），使得∠PQM+∠PQN=180°，则直线QM和QN的斜率存在，分别设为k1，k2．等价于k1+k2=0．依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=k（x﹣4）．由，得（2k2+1）x2﹣16k2x+32k2﹣4=0．因为直线l与椭圆C有两个交点，所以△＞0．即（16k2）2﹣4（2k2+1）（32k2﹣4）＞0，解得．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）．令，（x1﹣m）y2+（x2﹣m）y1=0，（x1﹣m）k（x2﹣4）+（x2﹣m）k（x1﹣4）=0，当k≠0时，2x1x2﹣（m+4）（x1+x2）+8m=0，所以，化简得，，所以m=1．当k=0时，也成立．所以存在点Q（1，0），使得∠PQM+∠PQN=180°．…（14分）20．【解答】（Ⅰ）若k=1，函数f（x）的定义域为{x|x≠1}，．则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线的斜率为f'（0）=3．而f（0）=1，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线的方程为y=3x+1．…（3分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为{x|x≠k}，．（1）当k＞0时，由x≠k，且此时，可得．令f'（x）＜0，解得或，函数f（x）为减函数；令f'（x）＞0，解得，但x≠k，所以当，时，函数f（x）也为增函数．所以函数f（x）的单调减区间为，，单调增区间为，．（2）当k=0时，函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．当k=﹣2时，函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣2），（﹣2，+∞）．当﹣2＜k＜0时，由2k+k2＜0，所以函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，k），（k，+∞）．即当﹣2≤k≤0时，函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，k），（k，+∞）．（3）当k＜﹣2时，此时．令f'（x）＜0，解得或，但x≠k，所以当x＜k，，时，函数f（x）为减函数；令f'（x）＞0，解得，函数f（x）为增函数．所以函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，k），，，函数f（x）的单调增区间为．…（9分）（Ⅲ）（1）当﹣2≤k≤0时，由（Ⅱ）问可知，函数f（x）在（，2）上为减函数，所以不存在极值点；（2）当k＜﹣2时，由（Ⅱ）可知，f（x）在上为增函数，在上为减函数．若函数f（x）在区间上存在极值点，则，解得﹣4＜k＜﹣3或1＜k＜2，所以﹣4＜k＜﹣3．综上所述，当﹣4＜k＜﹣3时，函数f（x）在区间上存在极值点．…（13分）。
2016年高考文科数学北京卷含答案
数学试卷第1页（共6页）数学试卷第2页（共6页）数学试卷第3页（共6页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（文）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}|24x x A =<<，{}|5x x x B =<3>或，则=A B （）A.{}5|2x x <<B.{}|5x x x <4>或C.{}|2x x <<3 D.{}|5x x x <2>或2.复数12i 2i+=-（）A.iB.1i+C.i- D.1i-3.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（）A.8B.9C.27D.364.下列函数中，在区间 1 1-（，）上为减函数的是（）A.11y x=- B.cos y x =C.ln 1y x =+（）D.2xy -=5.圆2212x y ++=（）的圆心到直线3y x =+的距离为（）A.1B.2C.2 D.226.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A.15B.25C.825D.9257.已知25A （，），41B （，）.若点P x y （，）在线段AB 上，则2x y -的最大值为（）A.1-B.3C.7D.88.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.721.681.6030秒跳绳（单位：次）63a75606372701a -b65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则（）A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.已知向量a 13=（，），b 31=（，），则a 与b 夹角的大小为________.10.函数21xf x x x -（）=（≥）的最大值为________.11.某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________.12.已知双曲线2222100x y a b a b-=（＞，＞）的一条渐近线为20x y +=，一个焦点为50（，），则=a ________；=b ________.13.在ABC △中，2=3A π∠，3a c =，则bc=________.14.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种；②这三天售出的商品最少有________种.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =，（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________准考证号_____________数学试卷第4页（共6页）数学试卷第5页（共6页）数学试卷第6页（共6页）16.（本小题满分13分）已知函数=2sin cos cos 20f x x x x ωωωω+（）（＞）的最小正周期为π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f x （）的单调递增区间.17.（本小题满分13分）某市民用水拟实行阶梯水价，每人月水量中不超过ω立方米的部分按4元/立方米收费，超出ω立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）如果ω为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，ω至少定为多少？（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当3ω=时，估计该市居民该月的人均水费.18.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，AB DC //，DC AC ⊥.（Ⅰ）求证：DC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA //平面CEF ？说明理由.19.（本小题满分14分）已知椭圆C ：22221x y a b+=过点20A （，），01B （，）两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证：四边形ABNM 的面积为定值.20.（本小题满分13分）设函数32=x x a bx f x c +++（）.（Ⅰ）求曲线y x f =（）在点0f (0，())处的切线方程；（Ⅱ）设4a b ==，若函数f x （）有三个不同零点，求c 的取值范围；（Ⅲ）求证：230a b ->是f x （）有三个不同零点的必要不充分条件.数学试卷第7页（共6页）数学试卷第8页（共6页）数学试卷第9页（共6页）2016年普通高等学校全国统一考试（北京卷）数学（文）答案解析第一部分一、选择题1.【答案】C【解析】由题意得，(2,3)A B =I ，故选C.【提示】对连续的数集间的运算，常利用数轴.【考点】集合的交集运算.2.【答案】A 【解析】12i (12i)(2i)2i 4i 2i 2i (2i)(2i 5)++++++===--+，故选A.【提示】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.【考点】复数运算.3.【答案】B【解析】分析程序框图可知，程序的功能等价于输出33129s =+=，故选B.【提示】解决循环结构的框图问题，要先找出控制循环的变量的初值、步长、终值（或控制循环的条件），然后看循环体，循环次数比较少时，可依次列出，循环次数较多时，可先循环几次，找出规律，要特别注意最后输出的是什么，不要出现多一次或少一次循环的错误.【考点】程序框图.4.【答案】D 【解析】由122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭在R 上单调递减可知D 符合题意，故选D.【提示】函数单调性的判断常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法.奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.【考点】函数单调性.5.【答案】C【解析】圆心坐标为（-1，0），由点到直线的距离公式可知d ==，故选C.【提示】运用点到直线的距离公式可求出.【考点】直线与圆的位置关系.6.【答案】B【解析】5名学生为甲、乙、丙、丁、戊，从中任选2人的所有情况有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共432110+++=种.其中甲被选中的情况有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），共4种，故甲被选中的概率为42105=.【提示】如果基本事件的个数比较少，可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来，然后再求出事件A 中的基本事件数，利用公式()mP A n=求出事件A 的概率.如果基本事件个数比较多，也可借助两个计数原理及排列、组合知识直接计算m ，n ，再运用公式求概率.【考点】古典概型.7.【答案】C【解析】由题意得，线段AB 的方程：511(4)2924y x y x --=-⇒=-+-，24x ≤≤，22(29)494497x y x x x ∴-=--+=-≤⨯-=，当4x =时等号成立，即2x y -的最大值为7，故选C.【提示】对于二元函数的值域问题，其解法要针对具体题目的条件而定，将二元函数化为一元函数求值域.【考点】函数最值.8.【答案】B【解析】将确定的30秒跳绳成绩按从大到小的顺序排列，分别是3，6，7，10，1、5并列，4，其中，3，6，7号进入立定跳远的决赛，此时可确定3，6，7号进入30秒跳绳比赛决赛的名单，现还需3个编号为1~8的同学进入决赛，而1、5并列，2与8的成绩仅相隔1，故只能1，5进入30秒跳绳的决赛，故选B.【提示】根据表格中数据分析排名的多种可能性，列举的关键是要有序（有规律），从而确保不重不漏，另外注意条件中数据的特征.【考点】统计.第二部分二、填空题9.【答案】π6【解析】两向量夹角为cos ,a b a b a b ==，又两个向量夹角范围是[]0,π，所以夹角为π6.【提示】由向量数量积的定义cos a b a b θ=（θ为a b ，的夹角）可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.【考点】向量数量积与夹角公式.10.【答案】2【解析】1()11121f x x =+≤+=-，即最大值为2.【提示】本题是求解函数的最大值，用到了求函数值域中的分离常数法和图象法.【考点】函数最值，数形结合.11.【答案】32【解析】四棱柱的高为1，底面为等腰梯形，面积为13(12)122⨯+⨯=，因此体积为32.【提示】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.【考点】三视图.12.【答案】12数学试卷第10页（共6页）数学试卷第11页（共6页）数学试卷第12页（共6页）【解析】依题意有2c b a⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，结合222c a b =+，解得12a b ==，.【提示】利用所给条件得c ，2b a =，222a b c +=，然后解方程即可.【考点】双曲线的基本概念.13.【答案】1【解析】由正弦定理知sin sinC A a c ==，所以2πsin 13sinC 2==，则π6C =，所以2ππππ366B =--=，所以b c =，即1bc=.【提示】由正弦定理列出关于b 、c 的方程，再将方程转化为以bc为变元的方程求解.【考点】正弦定理.14.【答案】1629【解析】设第一天售出的商品种类构成集合A ，第二天售出的商品种类构成集合B ，第三天售出的商品种类构成集合C ，关系如图.①第一天售出但第二天未售出的共16种.②若这三天售出的商品种类最少，只需令第三天售出且未在第二天售出的14种商品全在第一天售出的且未在第二天售出的16种商品中，此时共有1636429+++=种.【提示】分析商品出售的所有可能的情况，分类讨论时要做到不重复、不遗漏，另外，注意数形结合思想的运用.【考点】统计分析.三、解答题15.【答案】（Ⅰ）21(1,2,3n a n n =-=…)（Ⅱ）2312n n -+.【解析】（Ⅰ）等比数列{}n b 的公比32933b q b ===，所以211b b q==，4327b b q ==.设等差数列{}n a 的公差为d .因为111a b ==，14427a b ==，所以11327d +=，即2d =.所以21(1,2,3n a n n =-=…)（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21n a n =-，13n n b -=.因此1213n n n n c a b n -=+=-+.从而数列{}n c 的前n 项和113(21)133n n S n -=+++-++++……(121)13213n n n +--=+-2312n n -=+【提示】（Ⅰ）求出等比数列{}n b 的公比，再求出114a a ，的值，根据等差数列的通项公式求解；（Ⅱ）根据等差数列和等比数列的前n 项和公式求数列{}n c 的前n 项和.【考点】等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式.16.【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）3πππ,π()88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 【解析】（Ⅰ）因为()2sin cos cos2f x x x xωωω=+sin2cos2x x ωω=+π24x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ωω==.依题意，ππω=，解得1ω=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.函数sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π()22k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，得3ππππ88k x k -≤≤+.所以()f x 的单调递增区间为3πππ,π()88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .【提示】（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对()f x 化简整理，由周期公式求ω的值；（Ⅱ）根据函数sin y x =的单调递增区间对应求解即可.【考点】两角和的正弦公式，周期公式，三角函数的单调性.17.【答案】（Ⅰ）3（Ⅱ）10.5元.【解析】（Ⅰ）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间[0.5]1，，(1]1.5，，(1.5]2，，(2]2.5，，(2.5]3，内的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.25，0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w 至少定为3.（Ⅱ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表：组号12345678分组[2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,17](17,22](22,27]频率0.10.150.20.250.150.050.050.05根据题意，该市居民该月的人均水费估计为：40.160.1580.2100.25120.15170.05220.05270.0510.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）【提示】（Ⅰ）根据频率分布直方图计算各组频率，根据所占比例求解；（Ⅱ）由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表，根据每个数据用该组区间的右端点值⨯对应频率即为人均水费估计值进行求解即可.【考点】频率分布直方图，频率，平均数的估计值.18.【答案】（Ⅰ）因为PC ABCD ⊥平面，所以PC DC ⊥.又因为DC AC ⊥，所以DC PAC ⊥平面.（Ⅱ）因为AB DC ∥，DC AC ⊥，数学试卷第13页（共6页）数学试卷第14页（共6页）数学试卷第15页（共6页）所以AB AC ⊥.因为PC ABCD ⊥平面，所以PC AB ⊥.所以AB PAC ⊥平面.所以PAB PAC ⊥平面平面.（Ⅲ）棱PB 上存在点F ，使得PA CEF ∥平面.证明如下：取PB 中点F ，连结EF ，CE ，CF .又因为E 为AB 的中点，所以EF PA ∥.又因为PA CEF ⊄平面，所以PA CEF ∥平面.【提示】（Ⅰ）利用线面垂直判定定理证明；（Ⅱ）利用面面垂直判定定理证明；（Ⅲ）取PB 中点F ，连结EF ，则EF PA ∥，根据线面平行的判定定理证明PA CEF ∥平面.【考点】空间线面平行、垂直的判定定理与性质定理，空间想象能力，推理论证能力.19.【答案】（Ⅰ）2214x y +=2e =（Ⅱ）设0000()00()P x y x y <<,,，则22044x y +=.又0(2)A ，，1(0)B ，，所以直线PA 的方程为00(2)2y y x x =--.令0x =，得0022M y y x =-，从而002112M y BM y x =-=+-.直线PB 的方程为0011y y x x -=+.令0y =，得001N x x y =--，从而00221N x AN x y =-=+-.所以四边形ABNM 的面积12S AN BM = 00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭220000000000444842(22)x y x y x y x y x y ++--+=--+00000000224422x y x y x y x y --+=--+2=从而四边形ABNM 的面积为定值.【解析】（Ⅰ）由题意得，2a =，1b =.所以椭圆C 的方程为2214x y +=又c ==，所以离心率c e a ==.【提示】（Ⅰ）根据两顶点坐标可知a ，b 的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（Ⅱ）四边形ABNM 的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线AN BM ，的值，求乘积为定值即可.【考点】椭圆方程，直线和椭圆的位置关系.20.【答案】（Ⅰ）由32()f x x ax bx c =+++，得2()32f x x ax b '=++因为(0)f c =，(0)f b '=，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y bx c =+.（Ⅱ）当4a b ==时，32()44f x x x x c =+++，所以2()384f x x x '=++.令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-.()f x 与()f x '在区间()-∞+∞，上的情况如下：x()2-∞-，2-22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭23-2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭()f x '+0-+()f x ↗c↘3227c -↗所以，当0c >且32027c -<时，存在1(4,2)x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得123()()()0f x f x x f ===.由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数32()44f x x x x c =+++有三个不同零点.（Ⅲ）当24120a b ∆=-<时，2()320f x x ax b '=++>，()x ∈-∞+∞,，此时函数()f x 在区间()-∞+∞,上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点.当24120a b ∆=-=时，()232f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x .当0()x x ∈-∞,时，()0f x '>，()f x 在区间0()x -∞,上单调递增；当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间0(,)x +∞上单调递增.所以()f x 不可能有三个不同零点.综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ->.故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件.当4a b ==，0c =时，230a b ->，32244())(2x x f x x x x =++=+只有两个不同零点，所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件.因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.【提示】（Ⅰ）求函数()f x 的导数，(0)f c =，(0)f b '=求切线方程；（Ⅱ）根据导函数判断函数()f x 的单调性，由函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；（Ⅲ）从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数.【考点】利用导数研究曲线的切线，函数的零点.。
2016年北京朝阳区高三一模数学(文)试卷答案与解析
a b
2
2
2 2 2 2 ∴ a b 2a b a b 2a b
∴ a b 0 ∴ab
4．B 【解析】 i 1 ， S 1 S 3，i 2 S 8 ，i 3 S 19 ， i 4 输出 S 19 5．C 【解析】 3a cos B b sin A 0
8．C 【解析】只需求圆心 0 ， 1 到曲线 y
1 1 上的点的最短距离，取曲线上的点 a ， ， a 1 x 1
a 1
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2016 高三一模
1 距离 d a 2 1 a 1
4
n 1 3 4n ． 2 n 2n 2
1 2n ．
若 n 为偶数时， Tn 1 5 (9) 13 7 4n 4n 3 4
1 2n, 故数列 bn 的前 n 项和 Tn 2 n,
2
3 x 3
【解析】 y 2 8x 焦点为 2 ，0
c 2 4 m2 1 ， m 2 3 1 渐近线方程为： y x m
2016北京市朝阳区高三(一模)数 学(文)
2016北京市朝阳区高三（一模）数学（文）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x≤3}，B={x|x＜2}，则（∁U B）∩A=（）A．{x|x≤2} B．{x|1≤x≤3} C．{x|2＜x≤3} D．{x|2≤x≤3}2．（5分）设i是虚数单位，则复数等于（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）已知非零平面向量，，“|+|=|﹣|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．42 B．19 C．8 D．35．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C． D．6．（5分）已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．B．C．D．7．（5分）某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元8．（5分）若圆x2+（y﹣1）2=r2与曲线（x﹣1）y=1没有公共点，则半径r的取值范围是（）A．0＜r＜B．0＜r＜C．0＜r＜D．0＜r＜二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．（5分）已知函数则f（f（﹣1））= ．10．（5分）已知双曲线过抛物线y2=8x的焦点，则此双曲线的渐近线方程为．11．（5分）已知递增的等差数列{a n}（n∈N*）的首项a1=1，且a1，a2，a4成等比数列，则数列{a n}的通项公式a n= ；a4+a8+a12+…+a4n+4= ．12．（5分）已知不等式组表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与区域D有公共点，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2=5，过圆心C的直线l交圆C于A，B两点，交y轴于点P．若A恰为PB 的中点，则直线l的方程为．14．（5分）甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从1（1必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1，2”，则下一个人可以有“3”，“3，4”，…，“3，4，5，6，7，8，9”等七种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜．如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）已知数列{a n}的前n项和，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和T n．17．（13分）某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查．调查结果如表：阅读名著的本数 1 2 3 4 5男生人数 3 1 2 1 3女生人数 1 3 3 1 2（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数；（Ⅱ）若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率；（Ⅲ）试判断该班男生阅读名著本数的方差与女生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．（注：方差，其中为x1x2，…x n的平均数）18．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，．M，N分别为BC和CC1的中点，P为侧棱BB1上的动点．（Ⅰ）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）若P为线段BB1的中点，求证：A1N∥平面APM；（Ⅲ）试判断直线BC1与平面APM是否能够垂直．若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由．19．（14分）已知椭圆C：的焦点分别为F1，F2．（Ⅰ）求以线段F1，F2为直径的圆的方程；（Ⅱ）过点P（4，0）任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM+∠PQN=180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．（13分）已知函数（k∈R）．（Ⅰ）若k=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）设k≤0，若函数f（x）在区间上存在极值点，求k的取值范围．数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．【解答】全集U=R，集合A={x|x≤3}，B={x|x＜2}，则（∁U B）∩A={x|x≤3}∩{x|x≥2}={x|2≤x≤3}，故选：D．2．【解答】===1+i．故选：A．3．【解答】非零平面向量，，“|+|=|﹣|”⇔=⇔=0⇔“⊥”，∴非零平面向量，，“|+|=|﹣|”是“⊥”的充要条件．故选：C．4．【解答】模拟执行程序，可得i=1，S=1满足条件i＜4，S=3，i=2满足条件i＜4，S=8，i=3满足条件i＜4，S=19，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为19．故选：B．5．【解答】在△ABC中，∵，∴，又∵，∴sinB=﹣cosB，∴tanB=﹣．∴B=．故选：C．6．【解答】由由三视图得该几何体的直观图如图：其中矩形ABCD的边长AD=，AB=2，高PO=1，AO=OB=1，则PA=PB=，PD=PC===，PH=，则四棱锥的侧面S=S△PAB+S△PAD+S△PCD+S△PBC=2×1+×+2×2+=3+，故选：B．7．【解答】由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确，由图可知，结余最高为7月份，为80﹣20=60，故B正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，由图可知，前6个月的平均收入为（40+60+30+30+50+60）=45万元，故D错误，故选：D．8．【解答】圆的圆心为（0，1），半径为r设圆与曲线y=相切的切点为（m，n），可得n=，①y=的导数为y′=﹣，可得切线的斜率为﹣，由两点的斜率公式可得•（﹣）=﹣1，即为n﹣1=m（m﹣1）2，②由①②可得n4﹣n3﹣n﹣1=0化为（n2﹣n﹣1）（n2+1）=0，即有n2﹣n﹣1=0，解得n=或，则有或．可得此时圆的半径r==．结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候，r的范围是（0，）．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．【解答】由分段函数的表达式得f（﹣1）=（﹣1）2=1，则f（1）=log2（1+3）=log24=2，f（f（﹣1））=f（1）=2，故答案为：210．【解答】抛物线y2=8x的焦点（2，0），代入双曲线方程，可得，解得m=4，双曲线方程为：．渐近线方程为：．故答案为：．11．【解答】记递增的等差数列{a n}的公差为d（d＞0），由a1=1可知，a2=1+d，a4=1+3d，又∵a1，a2，a4成等比数列，∴=a1a4，即（1+d）2=1+3d，整理得：d2=d，解得：d=1或d=0（舍），∴数列{a n}是首项、公差均为1的等差数列，∴a n=n，∴数列{a4n+4}是首项为4、公差为4的等差数列，∴a4+a8+a12+…+a4n+4=4（n+1）+•4=2n2+6n+4，故答案为：n，2n2+6n+4．12．【解答】满足约束条件不等式组的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B，由，解得A（3，3），得到3=a（3+1），解得a=，又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以 0≤a≤故答案为：．13．【解答】由题意可得，C（3，5），直线L的斜率存在可设直线L的方程为y﹣5=k（x﹣3）令x=0可得y=5﹣3k，即P（0，5﹣3k），设A（x1，y1），B（x2，y2）联立直线与圆的方程，消去y可得（1+k2）x2﹣6（1+k2）x+9k2+4=0由方程的根与系数关系可得，x1+x2=6，x1x2=①∵A为PB的中点∴x2=2x1②把②代入①可得x2=4，x1=2，x1x2==8∴k=±2∴直线l的方程为y﹣5=±2（x﹣3），即2x﹣y﹣1=0或2x+y﹣11=0．故答案为：2x﹣y﹣1=0或2x+y﹣11=0．14．【解答】∵至少拿1个，至多拿7个，∴两人每轮总和完全可控制的只有8个，∴把零头取掉后，剩下的就是8的倍数了，这样无论对手怎么拿，都可以保证每一轮（每人拿一次后）都是拿走8个，即先取4个，以后每次如果乙报a，甲报8﹣a即可，保证每一轮两人报的和为8即可，最终只能甲抢到100．故先开始甲应取4个．故答案为：1，2，3，4．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．【解答】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得：f（x）====．∵f（x）的最小正周期为，解方程可得ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知．∵，∴．∴．当，即时，f（x）取得最大值是；当，即时，f（x）取得最小值是．∴f（x）在区间的最大值为，最小值为16．【解答】（Ⅰ）由，当n≥2时，．当n=1时，a1=S1=1，而4×1﹣3=1，所以数列{a n}的通项公式a n=4n﹣3，n∈N*．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，当n为偶数时，，当n为奇数时，n+1为偶数，T n=T n+1﹣b n+1=2（n+1）﹣（4n+1）=﹣2n+1．综上，…（13分）17．【解答】（Ⅰ）女生阅读名著的平均本数为本；…（3分）（Ⅱ）设事件A={从阅读5本名著的学生中任取2人，其中男生和女生各1人}，男生阅读5本名著的3人分别记为a1，a2，a3，女生阅读5本名著的2人分别记为b1，b2；从阅读5本名著的5名学生中任取2人，共有10个结果，分别是：{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，{b1，b2}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a3，b1}，{a3，b2}；其中男生和女生各1人共有6个结果，分别是：{a1，b1}，{a1，b2}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a3，b1}，{a3，b2}；则；…（10分）（ III）男生阅读名著本数的平均数是=×（1×3+2×1+3×2+4×1+5×3）=3，方差是=×[3×（﹣2）2+（﹣1）2+2×02+12+3×22]=2.6；女生阅读名著本数的平均数是=3，方差=×[（﹣2）2+3×（﹣1）2+3×02+12+2×22]=1.6；所以．…（13分）18．【解答】（Ⅰ）由已知，M为BC中点，且AB=AC，所以AM⊥BC．又因为BB1∥AA1，且AA1⊥底面ABC，所以BB1⊥底面ABC．因为AM⊂底面ABC，所以BB1⊥AM，又BB1∩BC=B，所以AM⊥平面BB1C1C．又因为AM⊂平面APM，所以平面APM⊥平面BB1C1C．…（5分）（Ⅱ）取C1B1中点D，连结A1D，DN，DM，B1C．由于D，M分别为C1B1，CB的中点，所以DM∥A1A，且DM=A1A．则四边形A1AMD为平行四边形，所以A1D∥AM．又A1D⊄平面APM，AM⊂平面APM，所以A1D∥平面APM．由于D，N分别为C1B1，C1C的中点，所以DN∥B1C．又P，M分别为B1B，CB的中点，所以MP∥B1C．则DN∥MP．又DN⊄平面APM，MP⊂平面APM，所以DN∥平面APM．由于A1D∩DN=D，所以平面A1DN∥平面APM．由于A1N⊂平面A1DN，所以A1N∥平面APM．…10分解：（Ⅲ）假设BC1与平面APM垂直，由PM⊂平面APM，则BC1⊥PM．设PB=x，．当BC1⊥PM时，∠BPM=∠B1C1B，所以∽Rt△∠B1C1B，所以．由已知，所以，得．由于，因此直线BC1与平面APM不能垂直．…（14分）19．【解答】（ I）因为a2=4，b2=2，所以c2=2．所以以线段F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2．…（3分）（ II）若存在点Q（m，0），使得∠PQM+∠PQN=180°，则直线QM和QN的斜率存在，分别设为k1，k2．等价于k1+k2=0．依题意，直线l的斜率存在，故设直线l的方程为y=k（x﹣4）．由，得（2k2+1）x2﹣16k2x+32k2﹣4=0．因为直线l与椭圆C有两个交点，所以△＞0．即（16k2）2﹣4（2k2+1）（32k2﹣4）＞0，解得．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）．令，（x1﹣m）y2+（x2﹣m）y1=0，（x1﹣m）k（x2﹣4）+（x2﹣m）k（x1﹣4）=0，当k≠0时，2x1x2﹣（m+4）（x1+x2）+8m=0，所以，化简得，，所以m=1．当k=0时，也成立．所以存在点Q（1，0），使得∠PQM+∠PQN=180°．…（14分）20．【解答】（Ⅰ）若k=1，函数f（x）的定义域为{x|x≠1}，．则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线的斜率为f'（0）=3．而f（0）=1，则曲线y=f（x）在点（0，f（0））处切线的方程为y=3x+1．…（3分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为{x|x≠k}，．（1）当k＞0时，由x≠k，且此时，可得．令f'（x）＜0，解得或，函数f（x）为减函数；令f'（x）＞0，解得，但x≠k，所以当，时，函数f（x）也为增函数．所以函数f（x）的单调减区间为，，单调增区间为，．（2）当k=0时，函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．当k=﹣2时，函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣2），（﹣2，+∞）．当﹣2＜k＜0时，由2k+k2＜0，所以函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，k），（k，+∞）．即当﹣2≤k≤0时，函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，k），（k，+∞）．（3）当k＜﹣2时，此时．令f'（x）＜0，解得或，但x≠k，所以当x＜k，，时，函数f（x）为减函数；令f'（x）＞0，解得，函数f（x）为增函数．所以函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，k），，，函数f（x）的单调增区间为．…（9分）（Ⅲ）（1）当﹣2≤k≤0时，由（Ⅱ）问可知，函数f（x）在（，2）上为减函数，所以不存在极值点；（2）当k＜﹣2时，由（Ⅱ）可知，f（x）在上为增函数，在上为减函数．若函数f（x）在区间上存在极值点，则，解得﹣4＜k＜﹣3或1＜k＜2，所以﹣4＜k＜﹣3．综上所述，当﹣4＜k＜﹣3时，函数f（x）在区间上存在极值点．…（13分）。
北京市朝阳区高三上学期期中统一考试数学(文)试题(含答案)
北京市朝阳区2016届高三上学期期中统一考试数学（文）试题（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合}2{>=x x A ，B ＝{(1)(3)0}x x x --<，则A ∩B =A ．{1}x x >B ．{23}x x <<C ．{13}x x <<D ．{2x x >或1}x < 2. 设平面向量(,1)x =a ，(4,)x =b , 且⋅a b 1=-, 则实数x 的值是 A ．2- B ．1- C ．13-D ．15- 3.下列函数在(,0)(0,)-∞+∞上既是偶函数，又在),0(+∞上单调递增的是A ．2y x =- B ．1y x -= C ．2log y x = D ．2xy =-4．已知1tan 3θ=，那么πtan ()4θ+等于 A ．2 B ．2- C ．12D ． 12-5. 要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数sin 2y x =的图象A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向右平移π3个单位6. 下列命题正确的是 A. “1<x ”是“0232>+-x x ”的必要不充分条件B. 若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x x C. 若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题D. 命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x7.在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=，3=，,M N 分别是BC 边上的三等分点，则⋅的值是A ．5B ．421C ．6D ．88. 已知函数2,()2.x x x a f x x a ⎧≤<=⎨≥⎩, 0, 若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a的取值范围是A ．(0,2)B ．(2,)+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.若集合{}1,0,a ={}1,1,-bc ，则_____,_______.a b ==10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3612a a +=，48S =，则9a 的值是 ． 11.给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行；②平行于同一直线的两个不重合的平面平行；③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行；④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；其中真命题的序号是________．12．已知函数()2sin f x x ω=(0>ω)的最小正周期为π，则=ω ，在(0,)π内满足0)(0=x f 的0x ＝ ．13. 若函数()sin cos f x a x x =+在区间ππ(,)64上单调递增，则实数a 的取值范围是 .14.如图，在ABC ∆中，4AB AC ==，90BAC ∠=，D 是BC 的中点，若向量14AM AB mAC=+（m ∈R ），且点M 在ACD ∆的内部（不含边界），则AM BM ⋅的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos 222x x xf x =+.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 的单调递减区间.16. （本小题满分13分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ，公差30,15,d S ≠=已知1341,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）设2n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 17. （本小题满分14分）如图, 在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ,CB AC ⊥,点D 是AB 的中点．（Ⅰ）求证：1AC BC ⊥； （Ⅱ）求证：1AC ∥平面1CDB .(Ⅲ)设12AB AA =,AC BC =,在线段11A B 上是否存在点M ，使得1BM CB ⊥?若存在,确定点M 的位置;若不存在，说明理由.18. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．已知21cos -=B ． （Ⅰ）若322==b a ,，求ABC ∆的面积； （Ⅱ）求C A sin sin ⋅的取值范围． 19. （本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．（Ⅰ）若函数()f x 在区间(1,3)上单调递减，求a 的取值范围； （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥. 20. （本小题满分14分）已知函数2()e (1)x f x a x b x =++(其中a ，b ∈R ),函数()f x 的导函数为()f x '，且(1)0f '-=．(Ⅰ)若1b =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)若函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为0，求b 的值．北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期中统一考试数学答案（文史类） 2015.11一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分） （I ）由已知可得：()cos 1f x x x =++2sin()16x π=++. 所以)(x f 的最小正周期为2π. …………………..7分（II ）由2222k x k ππ3ππ+≤+≤π+6， k ∈Z , 得2233k x k π4ππ+≤≤π+,k ∈Z .因此函数)(x f 的单调递减区间为[2,2]33k k π4ππ+π+,k ∈Z .…………………..13分16. （本小题满分13分） 解：（I ）依题意，1211132315,2(3)(12).a d a d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=+⎩ 解得13,2.a d =⎧⎨=⎩因此1(1)32(1)21,21n n a a n d n n a n =+-=+-=+=+即. …………………..6分 (Ⅱ)依题意，1212212+=+⨯==+n n n n a b .12n n T b b b =+++231(21)(21)(21)n +=++++++=23122...2n n +++++4(12)12n n-=+-22 4.n n +=+- …………………..13分17.（本小题满分14分）（I ）在三棱柱111ABC A B C -中，因为1CC ⊥底面ABC ，AC ⊂底面ABC ， 所以1CC AC ⊥. 又AC BC ⊥，1BCCC C =,所以11AC BCC B ⊥平面． 而111BC BCC B ⊂平面，则1AC BC ⊥. …………………..4分 (Ⅱ)设1CB 与1C B 的交点为E ，连结DE ， 因为D 是AB 的中点，E 是1BC 的中点， 所以DE ∥1AC .因为1DE CDB ⊂平面，11AC CDB ⊄平面， 所以1AC ∥1CDB 平面.E…………………..9分(Ⅲ)在线段11A B 上存在点M ，使得1BM CB ⊥,且M 为线段11A B 的中点.证明如下：因为1AA ⊥底面ABC ，CD ⊂底面ABC ,所以1AA CD ⊥.由已知AC BC =，D 为线段AB 的中点， 所以CD AB ⊥. 又1AA AB A =，所以CD ⊥平面11AA B B .取线段11A B 的中点M ，连接BM . 因为BM ⊂平面11AA B B ，所以CD BM ⊥.由已知12AB AA =，由平面几何知识可得1BM B D ⊥. 又1CDB D D =,所以BM ⊥平面1B CD .又1B C ⊂平面1B CD ， 所以1BM CB ⊥.…………………..14分18. （本小题满分13分）（I ）在ABC ∆中，因为1cos 2B =-，所以2π3B =，sin B =由正弦定理,sin sin a bA B=可得2sin A =则1sin 2A =. 又A 为锐角，则6A π=，所以6C π=. 所以1sin 2ABC S ab C ∆=EM11222=⨯⨯=. .……………………………………………………………6分（II ）sin sin sin()sin 3A C C C π⋅=-⋅=1sin sin )2C C C ⋅-12(1cos2)4C C --11sin(2)264C π=+-. 因为(0,)3C π∈，所以52(,)666C πππ+∈.则1sin(2)(,1]62C π+∈.所以C A sin sin ⋅的取值范围是1(0,]4. ………………………………………13分19. （本小题满分13分） 解：（I ）函数的定义域为(0,)+∞.因为2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x-++--'=+-+==.又因为函数()f x 在(1,3)单调减，所以不等式(1)()0x x a --≤在(1,3)上成立. 设()(1)()g x x x a =--，则(3)0g ≤，即93(1)0a a -++≤即可，解得3a ≥. 所以a 的取值范围是[3,)+∞. …………………………………7分（Ⅱ）当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+，211(1)(1)()x x x f x x x x x-+-'=-+==.令()0f x '=，得1x =或1x =-（舍）. 当x 变化时，(),()f x f x '变化情况如下表所以1x =时,函数()f x 的最小值为(1)2f =. 所以1()2f x ≥成立. ………………………………13分20. （本小题满分14分）解：因为2()e (1)xf x ax bx =++，所以2()e [(2)1]xf x ax a b x b '=++++． 因为(1)0f '-=，所以(2)10a a b b -+++=．所以1a =． ……………………2分 (Ⅰ)当1a =时，1b =时， (0)1,(0)2f f '==，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为12(0)y x -=-．即210x y -+=． ……………………4分 (Ⅱ)由已知得2()e (1)xf x x bx =++，所以2()e [(2)1]e (1)(1)x xf x x b x b x x b '=++++=+++．（1）当11b --<-，即0b >时，令()e (1)(1)0xf x x x b '=+++>得，1x >-或1x b <--； 令()e (1)(1)0x f x x x b '=+++<得，11b x --<<-．所以函数()f x 在(1,)-+∞和(,1)b -∞--上单调递增，在(1,1)b ---上单调递减． 所以函数()f x 在区间[1,1]-上单调递增．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为1(1)e (2)0f b --=-=． 解得2b =．显然合题意． （2）当11b --=-时，即0b =时，2()e (1)0xf x x '=+≥恒成立，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增． 所以函数()f x 在区间[1,1]-上单调递增．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为1(1)e (2)0f b --=-=． 解得2b =．显然不符合题意． （3）当11b -->-时，即0b <时，令()e (1)(1)0xf x x x b '=+++>得，1x <-或1x b >--； 令()e (1)(1)0xf x x x b '=+++<得，11x b -<<--．所以函数()f x 在(,1)-∞-和(1,)b --+∞上单调递增，在(1,1)b ---上单调递减． ①若11b --≥，即2b ≤-时，函数()f x 在区间[1,1]-上单调递减．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为(1)e(2)0f b =+=． 解得2b =-．显然合题意．②若11b --<，即20b -<<时，函数()f x 在在(1,1)b ---上单调递减，在(1,1)b -- 上单调递增．此时，函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值为1(1)e(2)0b f b b ----=+=．解得2b =-．显然不合题意．综上所述，2b =或2b =-为所求． ……………………14分。
2016届高三朝阳一模数学理科文科试卷与答案解析-无水印汇编
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类）2016.3本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．i 为虚数单位，复数2i 1i=+A ．1i-B ．1i --C ．1i -+D ．1i+2．已知全集U =R ，函数l n(1)y x =-的定义域为M ，集合{}20N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =∩B ．(N)UM =∅∩C ．M N U=∩D ．UM N ⊆()3．“a b >”是“e e a b >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．42B ．19C ．8D ．35．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若222()tan 3a c b B ac +-=，则角B 的值为A ．π3B ．π6C ．π3或2π3D ．π6或5π66．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月（注“结余=收入-支出”）C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月的收入的变化率相同D ．前6个月的月平均收入为40万元7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A ．13B ．12C ．1D ．328．若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=没有公共点，则半径r 的取值范围是A ．02r <<B ．1102r <<C ．03r <<D ．1302r <<第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卡上．9．二项式521x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含4x 的项的系数是（用数字作答）．10．已知等差数列{}n a *()n ∈N 中，11a =，47a =，则数列{}n a 的通项公式n a =；2610410n a a a a ++++⋅⋅⋅+=．11．在直角坐标系x Oy 中，曲线1C 的方程为222x y +=，曲线2C 的参数方程为2x t y t=-⎧⎨=⎩，（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为．12．不等式组0290x y x x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥，≤，≤所表示的平面区域为D ．若直线()1y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是．13．已知M 为A BC △所在平面内的一点，且14AM AB nAC =+．若点M 在A BC △的内部（不含边界），则实数n 的取值范围是．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i （1212i = ，，，）项能力特征用i x 表示，01.i i x i ⎧=⎨⎩，如果某学生不具有第项能力特征，，如果某学生具有第项能力特征若学生A ，B 的十二项能力特征分别记为()1212A a a a = ，，，，()1212B b b b = ，，，，则A ，B 两名学生的不同能力特征项数为（用i a ，i b 表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数()213sin 3cos 222x f x x ωω=+-，0ω>．⑴若1ω=，求()f x 的单调递增区间；⑵若π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求()f x 的最小正周期T 的最大值．16．（本小题满分13分）为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．阅读名著的本数（本）12345男生人数（人）14322女生人数（人）1331⑴从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4的概率？⑵若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；⑶试判断男学生阅读名著本数的方差21s 与女学生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需写出结论）．17．（本小题满分14分）如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB =︒∠，11A B AB ∥，11122AB AA A B ===，直角梯形11AA C C 通过直角梯形11AA B B 以直线1A A 为轴旋转得到，且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B ．M 为线段B C 的中点，P 为线段1B B 上的动点．⑴求证：11A C AP ⊥；⑵当点P 是线段1B B 的中点时，求二面角P AM B --的余弦值；⑶是否存在点P ，使得直线1A C ∥平面AMP ？如果存在，求出1B PPB 的值，若不存在，请说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数()l n f x x a x =+，R a ∈．⑴求函数()f x 的单调区间；⑵当[]12x ∈，时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；⑶试问过点()13P ，存在多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．19．（本小题满分14分）已知点()21P ，和椭圆22:142x y C +=．⑴设椭圆的两个焦点分别为12F F ，，试求12PF F △的周长及椭圆的离心率；⑵若直线():2200l x y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A B ，，直线P A PB ，与x 轴分别交于M N ，两点，求证：P M PN =．20．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的通项公式()*31N n a n n =-∈．设数列{}n b 为等比数列，且n n k b a =．⑴若112b a ==，且等比数列{}n b 的公比最小，①写出数列{}n b 的前4项；②求数列{}n k 的通项公式；⑵证明：以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习解析1．D【解析】222i 2i(1i)2i 2i 2i 2i 11i (1i)(1i)1i 2--+====+++--，故选D 2．D【解析】∵函数l n(1)y x =-的定义域{}1M x x =>{}{}2001N x x x x x =-<=<<，又RU =∴{}C 10U N x x x =≥≤或∴M N =∅ 故A ，C 错误，()C U M N M =≠∅ ，故B 错误，()C U M N ⊆，故选D ．3．A【解析】由a b >知0a b >≥，∴e e a b>由e e a b >知a b >，但是a ，b 取负值时，a 和b 无意义．∴“a b >”是“e e a b >”的充分不必要条件4．B【解析】i 1=，1S =，i 4<2113S =⨯+=，i 112=+=，i 4<；2328S =⨯+=，i 213=+=，i 4<；28319S =⨯+=，i 314=+=，i 4≥．∴19S =5．C【解析】由余弦定理知2222cos a c b ac B+-=∴()222sin tan 32cos 3cos Ba cb B ac ac B ac B+-=⇔⋅=∴3s in 2B =∴π3B =或2π3．6．D【解析】A 、B 、C 均正确D ：前6个月的平均收入为406030305060456+++++=万元．7．A【解析】三棱锥如图所示，1CD =，2BC =，CD BC ⊥且1A BCD h -=底面积11212BCDS=⨯⨯=∴11111333A BCD BCD A BCDV S h--=⋅=⨯⨯=∴选A8．C【解析】只需求圆心()01，到曲线11yx=-上的点的最短距离，取曲线上的点11aa⎛⎫⎪-⎝⎭，，1a≠距离22111d aa⎛⎫=+-⎪-⎝⎭()()()2212121211a aaa=-+-+-+--211121411a aa a⎛⎫⎛⎫=--+--+⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭211131aa⎛⎫=--++⎪-⎝⎭3≥所以，若圆与曲线无公共点，则03r<<．9．10【解析】521xx⎛⎫+⎪⎝⎭展开式的每一项为()521021035551C C Crrr r r r r rx x x xx----⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭令10342r r-=⇒=∴4x的系数为25C10=．10．21n-【解析】∵11a=，47a=，∴4123a ad-==∴{}n a通项公式为()()1112121na a n d n n=+-=+-=-()()2610410241032nna a a aa a n++++++++=…()()()()232410132411342333nnn nn n++-=+=++=++．11．π24⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】将2C 方程2x ty t=-⎧⎨=⎩代入1C 方程得()2222t t -+=解得1t =∴1x =，1y =故极坐标为π24⎛⎫ ⎪⎝⎭，．12．34⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【解析】如图所示，直线()1y a x =+过点A ()10-，且该直线过图中B 点时为临界条件，并且当其斜率小于A B 斜率时均与区域D 有公共点．B 点坐标由0x y -=和290x y +-=联立得()33B ，∴()33314AB k ==--即34a ≤时均满足条件．故a 的取值范围为34⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，．13．304⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】法一：如图所示，点M 在ABC △内部（不含边界）则14AM AB AD ==为一临界条件，此时0n =，又M 不在边界上∴0n >．过D 点作平行于A C 的直线，并交B C 于F 点，则D F AE =，此时，A E nAC =，M 点与F 点重合，为另一临界条件．∵14AD AB =，∴34AE DF AC ==，即34n =，又M 不在边界上，∴34n <．综上，n 的取值范围为304⎛⎫ ⎪⎝⎭，．法二：根据平面基本定理，当114n +=时，M 点在直线B C 上，又点M 在A BC △内部，∴0n >，且114n +<，即34n <综上，n 的取值范围为304⎛⎫ ⎪⎝⎭，．14．11221212a b a b a b -+-++- ，22．【解析】设第三个学生为()1212C c c c = ，，，，i i i i i i i d a b b c c a =-+-+-，112i ≤≤因为i d 的奇偶性和()()()0i i i i i i a b b c c a -+-+-=一样，所以i d 为偶数．3名学生两两不同能力特征项数总和为1212s d d d =+++ 为偶数，又7321s ⨯=≥，所以22s ≥．取()011011011011A =，，，，，，，，，，，，()101101101101B =，，，，，，，，，，，，()110110110111C =，，，，，，，，，，，，则不同能力特征项数总和恰为22，所以最小值为22．15.【解析】由()1333sin cos 2222f x x x ωω=++-πsin 3x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⑴当1ω=时，()πsin 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求()f x 单调增区间，只需()πππ2π2π232k x k k -+++∈Z ≤≤解得()5ππ2π2π66k x k k -++∈Z ≤≤故()f x 的单调递增区间()5ππ2π2π66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，⑵πππsin 1333f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，πππ2π332k ω+=+（k ∈Z 且0k ≥）即162kω=+由2πT ω=知，()2π0162T k k k=∈+Z ，≥则m ax 4πT =，故()f x 的最小正周期T 的最大值为4π16．【解析】⑴两名学生阅读名著本数之和为4的概率是134134712812812896+⨯+⨯==⨯⑵x 的所有可能取值为0，1，2，3，4()4448C 10C 70P X ===；()134448C C 161C 70P X ===；()224448C C 362C 70P X ===()314448C C 163C 70P X ===；()4448C 14C 70P X ===随机变量X 的分布列为：X01234P170167036701670170()11636161012347070707070E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2=⑶2212S S >17.【解析】⑴∵11A ACC 为直角梯形，∴111A C A A⊥又∵面11AA C C ⊥面11AA B B且面11AA C C 面111AA B B A A =，111A C A A ⊥∴11A C ⊥面11AA B BA P ⊂面11AAB B ∴11AC AP⊥⑵∵A C ⊥面11AA B B ，∴1A A ，A C ，A B 两两垂直，故以A 为原点，A C 为x 轴，A B 为y 轴，1A A 为z 轴建立空间直角坐标系O xyz-设面A MP 的法向量为()n x y z =，，，3012AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，()110AM =，，300200n AP y z n AM x y ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩+=⎩∴3112n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，∵1A A ⊥面ABC ．∴面ABC 的法向量为()1002A A =，，113317cos 171722A A n A A n⋅===⋅⨯故二面角P AM B --的余弦值为31717⑶存在点P ，且12B PPB =时，有1A C ∥平面A MP 证明如下：设1B P BB λ=,()000,P y z ，()()00,0,20,1,2z y λ-=-，所以(),20,2P λλ-()202AC =- ，，，()110AM = ，，，(),20,2AP λλ=-设平面A MP 的法向量为()v x y z =，，．()0220x y x z λλ+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，2112v λλ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，又10v A C ⋅= 解得2λ=18.【解析】()ln f x x a x =+，Ra ∈⑴()f x 的定义域{}0x x >()1a x a f x x x+'=+=①当0a ≥时，()0f x '>．此时()f x 在定义域上是增函数②0a <时，令()0f x '=．则x a =-．x (0)a -，a -()a -+∞，()f x '-0+()f x 极小值综上所述当0a ≥时()f x 在(0)+∞，上是增函数；当0a <时()f x 在(0)a -，上是减函数.⑵当[1,2]x ∈时()0f x >恒成立，即l n 0x a x +>恒成立ln xa x>-()()21ln ln ln x xF x F x x x-'=-=[1,2]x ∈()0F x '<函数()F x 单调递减，()min 22,ln 2F =-2ln 2a >-⑶设过P 点与曲线相切的切点为()00x y α，则01ak x =+∴切线方程为()0000x a y y x x x ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭将()13，代入得：()()000003ln 1x ax a x x x +-+=-整理得()000ln 20ax x a x a ⋅-++=()00ln 20aa x a x ⇒+-+=令()()ln 2ag x a x a x=+-+()211a a a g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭①当0a =时，()2g x =-不存在直线与曲线()y f x =相切②当0a >时，()g x 在()01，是减函数，在()1+∞，上是增函数且()1220g a a =--=-<，当0a >时，存在0t >使得32e 1t t t a a>+>++即(e )(e 1)20t t g a t -=-+-->恒成立此时，存在0e t x ->且0(01)x ∈，时，0()0g x >故0()(1)0g x g ⋅<∴()g x 在(01)，上有且仅有一个零点同理，存在01x >时，0()0g x >∴()g x 在(1)+∞，上有且仅有一个零点∴()g x 在()0+∞，上有2个零点即直线与曲线有2条切线③当0a <时，()g x 在()01，是增函数，在()1+∞，上是减函数且()1220g a a =--=-<，此时无零点综上所述：当0a >时，过P 有2条直线与曲线相切.当0a ≤时，不存在过P 的直线与曲线相切．19.【解析】⑴由题意，在椭圆22142x y +=中，2a =，2b =，2c =．∴()120F -，，()220F ，又∵()21P ，在椭圆上．∴12PF F △的周长22422C a c =+=+．22c e a ==⑵设()11A x y ，，()22B x y ，为直线l 与椭圆相交的两点．由题意222214222402222x y m x mx my x ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩()216044m m ∆=-+>⇒∈-，1222mx x +=-21224m x x ⋅=-要证PM PN =只需证0PA PB k k +=则：121211022y y x x --+=--()()()()1221122212122222022m m x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+--++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--即()()1212222202m x x x x m ⎛⎫+-+--= ⎪⎝⎭左边22222222422m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222222222244m m m m =--+-+0==右边∴无论m 为何值，P M PN =20．【解析】⑴（i ）设数列{}n b 公比为q ，则22231222k a b k q -===，于是()2*232231312k k b b q a q k -===-⋅∈N ，所以2k 为奇数，又21k ≠，则23k ≥，从而231331422k q -⨯-==≥．当4q =时，28b =，332b =，4128b =．（ii ）{}n b 是首项为2公比为4的等比数列，所以124n n b -=⋅，*n ∈N ．由13124n n n k n b a k -==-=⋅，解得12413n n k -⋅+=．⑵令31q k =+，123k =，，，取{}n b 是首项为5公比为q 的等比数列，则()1531n n b k -=⋅+．只需证明，*n ∀∈N ，存在*m ∈N ，使得31n b m =-即可．由()153131n n b k m -=⋅+=-，得()153113n k m -⋅++=，只需证明()153113n k m -⋅++=是正整数即可．2n ≥时，()()()1101111153115C C 3C 31n n n n n n k k k ------⎡⎤⋅++=++++⎣⎦()()111115C 3C 36n n n n k k ----⎡⎤=+++⎣⎦ 所以()15311n k -⋅++是3的倍数，因此()1*53113n k m -⋅++=∈N ．因此首项为5公比为()31k +的等比数列{}n b 满足要求，显然有无穷多个．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类）2016.3本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，{}|3A x x =≤，{}|2B x x =<，则()U B A =A ．{}|2x x ≤B ．{}|13x x ≤≤C ．{}|23x x <≤D ．{}|23x x ≤≤2．已知i 为虚数单位，则复数2i 1i=+A ．1i+B ．1i -C ．1i-+D ．1i--3．已知非零平面向量a ，b，“a b a b +=- ”是“a b ⊥ ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．42B ．19C ．8D ．35．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3cos sin 0a B b A +=，则B =A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π66．已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是A ．33+B ．36+C ．123+D ．126+7．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误．．的是A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月（注“结余=收入-支出”）C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的月平均收入为40万元8．若圆()2221x y r +-=与曲线()11x y -=没有公共点，则半径r 的取值范围是A ．02r <<B ．1102r <<C ．03r <<D ．1302r <<第二部分（非选择题共110分）二、填空题（本大题共有6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.）9．已知函数()()22l og 300.x x f x x x ⎧+⎪=⎨<⎪⎩,, ,≥则()()1f f -=_________.10．已知双曲线221x y m -=过抛物线28y x =的焦点，则此双曲线的渐近线方程为________.11．已知递增的等差数列{}()*n a n ∈N 的首项11a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则数列{}n a 的通项公式n a =；481244n a a a a +++++=．12．已知不等式组0290y y x x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩≥≤≤表示的平面区域为D ，若直线()1y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是．13．已知圆C ：()()22355x y -+-=，过圆心C 的直线l 交圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点P ．若A 恰为PB 的中点，则直线l 的方程为．14．甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从1（1必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1，2”，则下一个人可以有“3”，“3，4”，…，“3，4，5，6，7，8，9”等七种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜，如果从甲开始，则甲要想获胜，第一次报的数应该是．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）已知函数()()π2sin cos 03f x x x ωωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．⑴求ω的值；⑵求()f x 在区间ππ62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，*n ∈N ，⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵若()1nn n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．（本小题满分13分）某班倡议假期每位学生至少阅读一本名著，为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查，调查结果如下表：阅读名著的本数（本）12345男生人数（人）31213女生人数（人）13312⑴试根据上述数据，求这个班级女生阅读名著的平均本数；⑵若从阅读5本名著的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率；⑶试判断该班男生阅读名著本数的方差21s 与女生阅读名著本数的方差22s 的大小（只需写出结论）．18．（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面902ABC BAC AB AC ∠=︒==,, , 13A A =.M N ,分别为B C 和1C C 的中点，P 为侧棱1B B 上的动点.⑴求证：平面APM ⊥平面11BB C C ；⑵若P 为线段1B B 的中点，求证：1A N ∥平面APM ；⑶试判断直线1B C 与平面APM 是否能够垂直.若能垂直，求PB 的值；若不能垂直，请说明理由.19．（本小题共14分）已知椭圆22:142x y C +=的焦点分别为12F F ,.⑴求以线段12F F 为直径的圆的方程；⑵过点()40P ,任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M N , .在x 轴上是否存在点Q ，使得180PQM PQN ∠+∠=︒?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.20．（本题满分13分）已知函数()()e xk x f x k k x+=⋅∈-R .⑴若1k =，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；⑵求函数()f x 的单调区间；⑶设0k ≤，若函数()f x 在区间()322, 上存在极值点，求k 的取值范围.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）北京市朝阳区高三年级第一次综合练习试卷答案与解析数学试卷（文史类）2016.31．D 【解析】{}|2UB x x =≥(){}|23UB A x x = ≤≤2．A 【解析】()()()()22i 1i 2i 1i 2i i i i 11i 1i 1i 2--===-=+++-3．C【解析】a b a b +=- 平方：()()22a ba b+=-∴222222a b a b a b a b++⋅=+-⋅ ∴0a b ⋅= ∴a b⊥ 4．B【解析】i 1=，1S =3S =，i 2=8S =，i 3=19S =，i 4=输出19S =5．C【解析】3cos sin 0a Bb A ⋅+⋅=3sin cos sin sin 0A B B A +⋅=∴3cos sin 0B B +=π2sin 03B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭2π3B =6．B 【解析】12212PAD S =⨯⨯=△1232PAB S =⨯⨯△62=由于对称性62P CD S =△12222PBC S =⨯⨯=△。
高三试卷—2016北京朝阳高三上期末数学文(含解析)
C． y2 8x
D． y2 8x
7． 已知 A ， B 为圆 C ： (x m)2 ( y n)2 9 ( m ， n R )上两个不同的点（ C 为圆心），
且满足| CA CB | 13 ，则 AB
A． 23
B． 23 2
C． 2
D． 4
8． 设函数 f (x) 的定义域为 D ，如果存在正实数 m ，使得对任意 x D ，当 x m D 时，
D． f (x) sin x
A． 3
B． 4
C． 5
D． 6
开始
m =1, i=1
m=m (2-i)+1
i= i +1
否 m=0?
是 输出 i
结束
1
4．在一段时间内有 2000 辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的 200 辆进行车速统
计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为 90 km/h～
（直接给出结论，不需要说明理由）
7
19． （本小题满分 13 分） 已知函数 f (x) (2k 1) ln x k 2x ， k R ． x
（Ⅰ）当 k 1 时，求曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程； （Ⅱ）当 k e 时，试判断函数 f (x) 是否存在零点，并说明理由； （Ⅲ）求函数 f (x) 的单调区间．
2
2
2
当 k 1 时， f (x) 的单调增区间是 (0,) ； 2
120 km/h，试估计 2000 辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有
A． 30 辆 C．170 辆
B． 300 辆 D．1700 辆
0.035 0.030
2016-1朝阳区高三期末文科数学试题和答案
开始m =1, i =1 m =m (2-i )+1 i = i +1m =0?结束输出i是 否80 90 100 110 120 130 车速（km/h ）频率组距0.005 0.010 0.0200.030 0.035 北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（文史类） 2016.1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{1,0,1},{11}A B x x =-=-<≤，则AB =A ．{0,1}B ．{1,0}-C ．{0}D ．{1,0,1}- 2. 下列函数中，既是奇函数又存在零点的是A ．()f x x =B ．1()f x x=C ．()e xf x = D ．()sin f x x =3. 执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为A ．3B ．4C ．5D ．64．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取 其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所 示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ，试估 计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 A ．30辆 B ．300辆 C ．170辆 D ．1700辆5. 已知m ，n 表示两条不同的直线，αβ，表示两个不同的平面，且m n αβ⊂⊂，,则下列说法正确的是A ．若//αβ，则//m nB ．若m β⊥，则αβ⊥C ．若//m β，则//αβD ．若αβ⊥，则m n ⊥ 6.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ,且与y 轴交于点A ,若OAF ∆（O 为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为A.24y x =±B. 24y x =C. 28y x =±D. 28y x =7. 已知B A ,为圆9)()(:22=-+-n y m x C (,m n ∈R )上两个不同的点（C 为圆心），且满足13||=+CB CA ，则=AB A.23 B.232 C. 2 D. 48. 设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，当x m D +∈时，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--（a ∈R ），若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是 A. 0a > B. 20a < C. 10a < D. 5a <第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.计算:i(1i)-= (i 为虚数单位).10. 双曲线2213y x -=的渐近线方程为 .11. 在ABC ∆中，若1BC =，2AC =，1cos 4C =，则AB = ,sin A = .12．已知正数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧≥+-≤-05302y x y x ，则21()2x y z +=的最小值为 .13. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 ，侧面积为 .14. 在ABC ∆中，AB AC =，D 为线段AC 的中点，若BD的长为定值l ，则ABC ∆ 面积的最大值为 （用l 表示）.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.343正视图侧视图俯视图15. （本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且113a b ==，2214a b +=，3453a a a b ++=．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设*,n n n c a b n =+∈N ，求数列{}n c 的前n 项和．16. （本小题满分13分）已知函数2()cos 3sin cos f x x x x a =++的图象过点(,1)6π. （Ⅰ）求实数a 的值及函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在[0,]2π上的最小值.17. （本小题满分13分）某中学从高一年级、高二年级、高三年级各选1名男同学和1名女同学，组成社区服务小组．现从这个社区服务小组的6名同学中随机选取2名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的2人都是女同学的概率；（Ⅱ）设 “选出的2人来自不同年级且是1名男同学和1名女同学”为事件N ，求事件N 发生的概率．18. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱F D P EPD 交于点F ．（Ⅰ）求证：AB ∥EF ；（Ⅱ）若PA AD =，且平面PAD ⊥平面ABCD ， 试证明AF ⊥平面PCD ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段PB 上是否存在点M , 使得EM ⊥平面PCD ?（直接给出结论，不需要说明理由）19. （本小题满分13分）已知函数()(21)ln 2kf x k x x x=-++，k ∈R . （Ⅰ）当1k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）当e k =时，试判断函数()f x 是否存在零点,并说明理由； （Ⅲ）求函数()f x 的单调区间.20. （本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）求证:OA OB ⊥；（Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试数学答案（文史类） 2016.1一、选择题：（满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ADBDBCAD二、填空题：（满分30分） 题号 910111213 14答案1i + 3y x =± 2,15811612, 27223l （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分）解:（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，且0q >.依题意有，1121114,3(3).a d b q a d b q ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 由113a b ==,又0q >， 解得3,2.q d =⎧⎨=⎩ 所以1(1)32(1)21,21n n a a n d n n a n =+-=+-=+=+即,n *∈N .111333n n n n b b q--==⨯=,n *∈N . ………………………………………7分（Ⅱ）因为213,nn n n c a b n =+=++所以前n 项和1212()()n n n S a a a b b b =+++++++12(3521)(333)n n =++++++++(321)3(13)213n n n ++-=+- 3(2)(31).2n n n =++-所以前n 项和*3(2)(31),2nn S n n n =++-∈N ．………………………………13分 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由2()cos 3sin cos f x x x x a =++1cos23sin 222x xa +=++ 1sin(2)62x a π=+++. 因为函数()f x 的图象过点(,1)6π，所以1()sin(2)16662f a πππ=⨯+++=.解得12a =-.函数()f x 的最小正周期为π. …………………………………………………………7分（Ⅱ）因为02x π≤≤，所以2x ππ7π≤+≤666. 则sin(2)x 1π-≤+≤126.所以当2x π7π+=66，即x π=2时，函数()f x 在[0,]2π上的最小值为12-. ……………13分17.（本小题满分13分）解：从高一年级、高二年级、高三年级选出的男同学分别记为A ，B ，C ，女同学分别记为X ，Y ，Z ．从6名同学中随机选出2人参加活动的所有基本事件为：{A ，B}，{A ，C}，{A ，X}，{A ，Y}，{A ，Z}，{B ，C}，{B ，X}，{B ，Y}，{B ，Z}， {C ，X}，{C ，Y}，{C ，Z}，{X ，Y}，{X ，Z}，{Y ，Z}，共15个． ……………4分 （Ⅰ）设“选出的2人都是女同学”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有{X ，Y}，{X ，Z}，{Y ，Z}，共3个， 所以，事件M 发生的概率 31()155P M ==．……………………………………8分 （Ⅱ）事件N 包含的基本事件有{A ，Y}，{A ，Z}，{B ，X}，{B ，Z}，{C ，X}，{C ，Y}，共6个， 所以，事件N 发生的概率 62()155P N ==． ……………………………………13分 18. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是正方形， 所以AB ∥CD ．又因为AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AB ∥平面PCD ． 又因为,,,A B E F 四点共面， 且平面ABEF平面PCD EF =，所以AB ∥EF ．……………………5分 （Ⅱ）在正方形ABCD 中，CD AD ⊥．又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 且平面PAD平面ABCD AD =，所以CD ⊥平面PAD ．又AF ⊂平面PAD 所以CD AF ⊥． 由（Ⅰ）可知AB ∥EF ，F B DCP EA又因为AB ∥CD ,所以CD ∥EF .由点E 是棱PC 中点，所以点F 是棱PD 中点． 在△PAD 中，因为PA AD =，所以AF PD ⊥． 又因为PDCD D =，所以AF ⊥平面PCD ．…………………………………11分（Ⅲ）不存在． …………………………………14分 19. （本小题满分13分）解：函数()f x 的定义域：),0(+∞∈x .2222)12)(()12(2212)(x x k x x k x k x x k x k x f -+=--+=+--='. （Ⅰ）当1k =时，x xx x f 21ln )(++=. 2)12)(1()(xx x x f -+='. 有3211ln )1(=++=f ，即切点（1,3），21)12)(11()1(2=-+='=f k . 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线方程是)1(23-=-x y ，即12+=x y .………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）若e k =，e ()(2e 1)ln 2f x x x x =-++. 2(e)(21)()x x f x x +-'=. 令0)(='x f ，得1e x =-（舍），212=x .则min 11e 1()()(2e 1)ln 22(1ln 2)e ln 21012222f x f ==-++⋅=-++>.所以函数()f x 不存在零点. ………………………………………………………8分（Ⅲ） 2)12)(()(xx k x x f -+='. 当0≤-k ，即0≥k 时，x )21,0( 12 ),21(+∞ )(x f ' － 0＋ )(x f↘极小值↗当210<-<k ，即021<<-k 时， x ),0(k -k - )21,(k -12 ),21(+∞ )(x f '＋ 0－ 0＋ )(x f↗极大值 ↘极小值↗当21=-k ，即21-=k 时，当21>-k ，即21-<k 时，综上，当0≥k 时，)(x f 的单调增区间是),21(+∞;减区间是)21,0(.当021<<-k 时，)(x f 的单调增区间是),0(k -,),21(+∞;减区间是)21,(k -.当21-=k 时，)(x f 的单调增区间是),0(+∞;当21-<k 时，)(x f 的单调增区间是)21,0(，),(+∞-k ;x )21,0( ),21(+∞ )(x f ' ＋ ＋ )(x f↗↗ x )21,0( 12 ),21(k - k -),(+∞-k)(x f ' ＋ 0－ 0＋ )(x f↗极大值 ↘极小值↗减区间是),21(k -. ……………………………13分 20. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知24a =，243b =，所以22283c a b =-=． 所以63c e a ==．所以椭圆C 的离心率为63． …………………………3分（Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．在223144x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ⋅=-=．所以OA OB ⊥． 同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥． 若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，依题意211m k =+，即221k m +=．由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631kmx x k +=-+，21223431m x x k -=+． 所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++. 所以1212OA OB x x y y ⋅=+221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+22244431m k k --=+2224(1)44031k k k +--==+． 所以OA OB ⊥．综上所述，总有OA OB ⊥成立． ………………………………………………9分（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高. 当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=. 当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，221212(1)[()4]AB k x x x x =++-222226341()43131km m k k k -=+⋅-⋅++222222219(34)(31)31k k m m k k +=⋅--++ 2222222221211234123(1)43131k k k m k k k k ++=⋅-+=⋅-++++ 222219131k k k +=⋅++． 所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++24222164164164419613396k k k k k=+⋅=+≤+=++++ （当且仅当33k =±时，等号成立）． 所以max 433AB =．此时, max 23(S )3OAB ∆=. 综上所述，当且仅当33k =±时，OAB ∆面积的最大值为233．…………14分。