初高中数学衔接教案学生版

1：绝对值的代数意义：

正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．

即⎪⎩

⎪⎨⎧=a

2：绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 3：两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．

例1：解方程

（1）21=+x （2）2

1962

=

+-x x

例2：若关于x 的方程132-=+m m x 的解是3，试求m 的值

例3 解不等式：

（1）2≤x （2）31<

（3）21>-x *（4）13x x -+-＞4．

练 习 1．填空：

（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.

（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题：

下列叙述正确的是 （ ）

（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式 ()()=-+b a b a （2）完全平方公式 ()2

b a ±= ． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233

()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2

2

3

3

()()a b a ab b a b -++=-；

（3）三数和平方公式 2

2

2

2

()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b -=-+-． 例1 ：证明（1）2

2

3

3

()()a b a ab b a b +-+=+

（2）2222

()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++

例2：计算：22

(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．

例3 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222

a b c ++的值．

练 习 1．填空：

（1）221111

()9423

a b b a -=+（ ）

； （2）(4m + 22

)164(m m =++ )；

(3 ) 2222

(2)4(a b c a b c +-=+++ )．

2．选择题：

（1）若2

1

2

x mx k +

+是一个完全平方式，则k 等于 （2）不论a ，b 为何实数，22

248a b a b +--+的值 （ ）

（A ）总是正数 （B ）总是负数

（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数

第三讲．根式

一般地，形如0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为

无理式. 例如 32a b 2

1x ++，22x y ++是有理式．

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

2

a ==,0,

,0.a a a a ≥⎧⎨

-<⎩

例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1 （20)a ≥； （30)x <．

例2 (3-．

例3 试比较下列各组数的大小：

（1 （2

例4 化简：20042005⋅-．

例 5 化简：（1； （21)x <<．

例 6 已知

x y ==

22

353x xy y -+的值 ． 练 习 1．填空：

（1＝__ ___；

（2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；

（3）=__ ___；

（4）若2x ==______ __． 2．选择题：

=

（ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<

3．若b =，求a b +的值．

4．比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．

第四讲．分式

1．分式的意义

形如

A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A

B 具有下列性质： A A M B B M ⨯=⨯； A A M

B B M

÷=

÷． 上述性质被称为分式的基本性质． 2．繁分式

像a

b c d

+，2m n p

m n p +++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

例1 若54(2)2

x A B

x x x x +=+++，求常数,A B 的值．

例2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）； （2）计算：11

1

1223

910

++

+

⨯⨯⨯； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有

11112334(1)2

n n +++<⨯⨯+．

例3 设c

e a

=，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．

练 习

1．填空题：

对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (11

2

n n -+)；

2．选择题：

若223x y x y -=+，则x

y

＝ 3．正数,x y 满足22

2x y xy -=，求x y x y

-+的值．

4．计算1111 (12233499100)

++++⨯⨯⨯⨯．