1 三角形三种重要线段的应用的十一种类型

∵S△ABC＝
1 AC•BE＝
2
1 ×5×BE＝8，
2
∴BE＝
16 5
.
(2)求AD:BE的值．
(2)AD:BE＝4:
16 5
＝
5 4
.
返回
类型4 证明与高相关的线段和问题 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，
DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC， 垂足分别为点E，F，G.求证DE ＋DF＝BG.
第十一章 三角形
双休创新练(二) 方法技巧训练1 三角形三种重要线段的
应用的十一种类型
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应用 1 三角形的高的应用
类型1 找三角形的高 1．如图，已知AB⊥BD于点B，
AC⊥CD于点C，AC与BD交于点 E.△ADE的边DE上的高为__A_B___， 边AE上的高为____D_C___．
＝180°－1 (∠CBD＋∠BCE)
2
＝180°－1 (∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC)
2
＝180°－1 (180°＋∠A)
＝90°－ 12
2
∠A.
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类型11 解三角形内、外角平分线的交角问题
11．如图，在△ABC中，∠ABC的平 分线与∠ACE的平分线相交于点D.
(1)若∠ABC＝60°，∠ACB＝40°， 求∠A和∠D的度数．
(1)求∠BAE的度数．
解：(1)∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C ＝180°－70°－30° ＝80°. ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝ 1 ∠BAC＝40°.
2
(2)求∠DAE的度数．
∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°. ∴∠B＋∠BAD＝90°. ∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°. 又由(1)可知∠BAE＝40°， ∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－20°＝20°.
＝90°－
1 2
(∠B＋∠C)．
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°.
∴∠B＋∠BAD＝90°.
∴∠BAD＝90°－∠B.
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－
1 2
(∠B＋∠C)
－(90°－∠B)＝
1 2
(∠B－∠C)．
∵∠B－∠C＝40°，
∴∠DAE＝12×40°＝20°.
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类型9 证明三角形两内角平分线的交角问题
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类型2 作三角形的高 2．(中考•漳州)下列尺规作图，能判断AD是
△ABC的高的是( B )
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类型3 求与高相关的线段问题
3．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，
若BC边上的高AD＝4.
(1)求△ABC的面积及AC边上的高BE的长；
解：(1)S△ABC＝
1 2
BC•AD＝
1 2
×4×4＝8.
(1)AD的长；
解：(1)∵S△ABC＝
1 2
AB•AC，
S△ABC＝
1 2
BC•AD，
∴AB•AC＝BC•AD，
即6×8＝10×AD，
∴AD＝4.8 cm.
(2)△ABE的面积；
S△ABE＝
1 2
BE•AD
＝
1 ×1
22
BC•AD
＝ 1 × 1 ×10×4.8 22
＝12(cm2)
(3)△ACE和△ABE的周长的差．
7．(1)如图，在△ABC中，D，E，F 是边BC上的三点，且∠1＝∠2＝ ∠3＝∠4，以AE为角平分线的三
角形有_△__A_B__C_和___△__A_D__F_；
(2)如图，若已知AE平分∠BAC，且∠1 ＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3的度数， 并证明AE是△DAF的角平分线．
∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE. ∵∠1＝∠2＝15°，
∴S△ABG＝
2 3
S△ABD.
又∵S△ABD＝
1 2
S△ABC，
∴S△ABG＝
2 3
×
1 2
S△ABC＝
1 3
S△ABC，
∴S△BGF＝
1 2
S△ABG＝
1 6
S△ABC＝
1 6
×12＝2.
同理可得S△CGE＝2，
∴图中阴影部分的面积为4.
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应用 3 三角形的角平分线的应用
类型7 三角形角平分线定义的直接应用
(3)探究：小明认为，如果条件
∠B＝70°，∠C＝30°改成
∠B－∠C＝40°，也能得出
∠DAE的度数，你认为能吗？
若能，请你写出求解过程；若
不能，请说明理由．
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能．
∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C.
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝
1 2
∠BAC＝
1 2
(180°－∠B－∠C)
(∠ABC＋∠ACB)
＝180°－
1 2
(180°－∠A)＝90°＋
1 2
∠A.
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类型10 证明三角形两外角平分线的交角问题
10．如图，在△ABC中，若P点为外 角∠CBD和∠BCE的平分线的交 点．求证∠P＝90°－ 1∠A.
2
证明：∠P＝180°－∠CBP－∠BCP
＝180°－ 12∠CBD－ 12∠BCE
解：(1)在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，
．证明：连接AD.
∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC，
∴
1 2
AC•BG＝
1 2
AB•DE＋
1 2
AC•DF.
又∵AB＝AC，
∴DE＋DF＝BG.
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应用 2 三角形的中线的应用
类型5 求与中线相关的线段问题
5．如图，已知AD，AE分别是△ABC的 高和中线，AB＝6 cm，AC＝8 cm， BC＝10 cm，∠CAB＝90°.试求：
C△ACE－C△ABE ＝(AC＋CE＋AE)－(AB＋BE＋AE) ＝AC－AB＝8－6 ＝2(cm)
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类型6 求与中线相关的面积问题
6．如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共 点为G，且AG GD＝2:1.若S△ABC＝12，求图中 阴影部分的面积．
解：∵AG:GD＝2:1，
∴AG:AD＝2:3，
9．如图，在△ABC中，若P点为 ∠ABC和∠ACB的平分线的交 点．求证∠P＝90°＋ 1 ∠A.
2
证明：∵BP，CP分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠PBC＝
1 2
∠ABC，
∠PCB＝
1 2
∠ACB.
∴∠P＝180°－∠PBC－∠PCB
＝180°－
1 2
∠ABC－
1 2
∠ACB
＝180°－
1 2
∴∠BAE＝∠1＋∠2＝15°＋15°＝30°. ∴∠CAE＝∠BAE＝30°， 即∠CAE＝∠4＋∠3＝30°. 又∵∠4＝15°，∴∠3＝15°. ∴∠2＝∠3＝15°. ∴AE是△DAF的角平分线．
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类型8 三角形的角平分线与高相结合求角的度数
8．如图wk.baidu.com在△ABC中，AD⊥BC 于D，AE平分∠BAC，∠B＝ 70°，∠C＝30°.