数学说题—2018全国卷I文科数学第20题
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知 抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位 识 置关系。 点
地 抛物线是重要的圆锥曲线，在解析几何中占有重要 位 地位，是高考考查的重要内容。 作 用 能 考查考生的化归与转化能力、运算求解能力； 力 考查的数学核心素养是直观想象与数学运算。 素 养
4
二、解题过程
直线l与x轴垂直 直线MN：x=2
五.题目价值
❖ 4.备考启示. 在今后的高考中，考查圆锥曲线的题目仍会以
抛物线和双曲线为背景，考查学生基础知识，基本 技能及数形结合的思想方法。难度以中低档为主， 因为几何法和解析法各有优缺点，建议复习时可试 着用多种方法解题。
❖ 故，∠ABM=∠ABN
12
三、方法规律
抛物线求直 线方程问题
利用直线斜率
抛物线中角 相等问题
解析法
数形结 合思想
13
四、拓展变式
14
五、题目价值
❖ 1.本题在考查基本知识，基本技能的基础上，进 一步考查了学生对问题的观察、分析、转化等能 力.
❖ 2.本题与教材的联系. ❖ 选修2-1，P-60，例6 ❖ 选修2-1，P-80，复习参考题A组第8题
可知
y1
y2
2 k
,
Hale Waihona Puke Baiduy1 y2
4
k BM
kBN
y1 x1 2
y2 x2 2
x2 y1 x1 y2 2( y1
(x1 2)x2 2
y2 )
将 x1
y1 k
2
1）式分子，可得
x2
y2 k
x2 y1
2及y1
x1 y2 2y1
y2
y2
, y1 y2的表达式代入
y1 y2 4ky1 y2 8
的坐标为（2，2）或（2，–2）．
所以直线BM的方程为
y＝ 1 2
x
１
或
y＝
1 2
x
１.
易错警示：在设直线方程时，一定要注意所设方程 的适用范围，并注意斜率的存在于不存在的情况 。
7
二、解题过程
❖ （2）解：由题意可得图像
y M
y M
❖B
A
x
B
A
x
N
N
❖ 难点：很难想到利用斜率之和等于0来求解倾斜角的关系。 ❖ 易错点：容易遗漏直线斜率不存在的情况。
8
二、解题过程
(1)当l与X轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以 ∠ABM=∠ABN.
(2)方法一：当l与X轴不垂直时，设l的方程
y k(x 2)(k 0), M (x1, y1), N(x2, y2 ), 则x1 0, x2 0,由
直y y线2k(Bx2Mx2，) 得BN的ky斜2 率2之y 和4为k 0
故 x1 my1 2 m m m2 4 2 x2 my2 2 m m m2 4 2
二、解题过程
fff
❖ 所以tan∠ABM=
11
二、解题过程
fff
所以tan∠ABN=
❖ 所以tan∠ABM=tan∠ABN，
❖又因为 ∠ABM
(0, )
2
∠ABM
(0, )
2
2018年全国文科卷（一）第20题说题
1
说题流程
三、方法规律
二.解题过程
四.变式拓展 五.题目价值
一.命题立意
2
原题呈现
设抛物线C：y2 2x,点A（2,0），B（-2,0），过点A的直线l与C交于M，N两点. (1)当与x轴垂直时，求直线BM的方程； （2）证明：ＡＢＭ＝ＡＢＮ．
3
一、命题立意
k
k
（
8 0
所以 kBM kBN 0 . 可知BM，BN的倾斜角互补，所以 ∠ABM=∠ABN，综上所述∠ABM=∠ABN
二、解题过程
方法二： 由方法一知 y2 - 2my 4 0 所以 y 2m m2 16 m m2 4
2
因为 x1 0, y2 0 所以 y1 m m2 4 y2 m - m2 4
15
五、题目价值
❖ 3.近五年全国卷对抛物线试题的考查.
年份 2014 2015
题号 10 15、16
考点 抛物线的定义 抛物线的几何性质
分值 5 5
2016
2017 2018
8、20 抛物线的性质，直线与抛物线的位置 16 关系，抛物线的定义
12、20
抛物线的性质
15
8、11 抛物线的性质，直线与抛物线的位置 16 关系，抛物线的定义
x=2与抛物线C联立 M（2,2）N（2，-2）
利用两点式写出直线方程
二、解题过程
直线l与x轴垂直 AB为MN的垂直平分线
利用三角形全等
直线l与x不轴垂直
设直线方程l和M,N的坐标
y k(x 2)
y2 2x
kBM kBN 0
BM，BN的倾斜角互补
∠ABM=∠ABN
二、解题过程
解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M
地 抛物线是重要的圆锥曲线，在解析几何中占有重要 位 地位，是高考考查的重要内容。 作 用 能 考查考生的化归与转化能力、运算求解能力； 力 考查的数学核心素养是直观想象与数学运算。 素 养
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二、解题过程
直线l与x轴垂直 直线MN：x=2
五.题目价值
❖ 4.备考启示. 在今后的高考中，考查圆锥曲线的题目仍会以
抛物线和双曲线为背景，考查学生基础知识，基本 技能及数形结合的思想方法。难度以中低档为主， 因为几何法和解析法各有优缺点，建议复习时可试 着用多种方法解题。
❖ 故，∠ABM=∠ABN
12
三、方法规律
抛物线求直 线方程问题
利用直线斜率
抛物线中角 相等问题
解析法
数形结 合思想
13
四、拓展变式
14
五、题目价值
❖ 1.本题在考查基本知识，基本技能的基础上，进 一步考查了学生对问题的观察、分析、转化等能 力.
❖ 2.本题与教材的联系. ❖ 选修2-1，P-60，例6 ❖ 选修2-1，P-80，复习参考题A组第8题
可知
y1
y2
2 k
,
Hale Waihona Puke Baiduy1 y2
4
k BM
kBN
y1 x1 2
y2 x2 2
x2 y1 x1 y2 2( y1
(x1 2)x2 2
y2 )
将 x1
y1 k
2
1）式分子，可得
x2
y2 k
x2 y1
2及y1
x1 y2 2y1
y2
y2
, y1 y2的表达式代入
y1 y2 4ky1 y2 8
的坐标为（2，2）或（2，–2）．
所以直线BM的方程为
y＝ 1 2
x
１
或
y＝
1 2
x
１.
易错警示：在设直线方程时，一定要注意所设方程 的适用范围，并注意斜率的存在于不存在的情况 。
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二、解题过程
❖ （2）解：由题意可得图像
y M
y M
❖B
A
x
B
A
x
N
N
❖ 难点：很难想到利用斜率之和等于0来求解倾斜角的关系。 ❖ 易错点：容易遗漏直线斜率不存在的情况。
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二、解题过程
(1)当l与X轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以 ∠ABM=∠ABN.
(2)方法一：当l与X轴不垂直时，设l的方程
y k(x 2)(k 0), M (x1, y1), N(x2, y2 ), 则x1 0, x2 0,由
直y y线2k(Bx2Mx2，) 得BN的ky斜2 率2之y 和4为k 0
故 x1 my1 2 m m m2 4 2 x2 my2 2 m m m2 4 2
二、解题过程
fff
❖ 所以tan∠ABM=
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二、解题过程
fff
所以tan∠ABN=
❖ 所以tan∠ABM=tan∠ABN，
❖又因为 ∠ABM
(0, )
2
∠ABM
(0, )
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2018年全国文科卷（一）第20题说题
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说题流程
三、方法规律
二.解题过程
四.变式拓展 五.题目价值
一.命题立意
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原题呈现
设抛物线C：y2 2x,点A（2,0），B（-2,0），过点A的直线l与C交于M，N两点. (1)当与x轴垂直时，求直线BM的方程； （2）证明：ＡＢＭ＝ＡＢＮ．
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一、命题立意
k
k
（
8 0
所以 kBM kBN 0 . 可知BM，BN的倾斜角互补，所以 ∠ABM=∠ABN，综上所述∠ABM=∠ABN
二、解题过程
方法二： 由方法一知 y2 - 2my 4 0 所以 y 2m m2 16 m m2 4
2
因为 x1 0, y2 0 所以 y1 m m2 4 y2 m - m2 4
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五、题目价值
❖ 3.近五年全国卷对抛物线试题的考查.
年份 2014 2015
题号 10 15、16
考点 抛物线的定义 抛物线的几何性质
分值 5 5
2016
2017 2018
8、20 抛物线的性质，直线与抛物线的位置 16 关系，抛物线的定义
12、20
抛物线的性质
15
8、11 抛物线的性质，直线与抛物线的位置 16 关系，抛物线的定义
x=2与抛物线C联立 M（2,2）N（2，-2）
利用两点式写出直线方程
二、解题过程
直线l与x轴垂直 AB为MN的垂直平分线
利用三角形全等
直线l与x不轴垂直
设直线方程l和M,N的坐标
y k(x 2)
y2 2x
kBM kBN 0
BM，BN的倾斜角互补
∠ABM=∠ABN
二、解题过程
解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M