对数函数及其性质(讲义及答案)

对数函数及其性质（讲义）

➢知识点睛

一、对数函数的定义

一般地，函数（）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)．

二、对数函数的图象和性质

1.对数函数y = log a x （a>0，且a≠1）的图象和性质：

01 图象

定义域(0，+∞)

值域R

性质

①过定点(1，0)，即x=1 时，y=0

②在(0，+∞)上是减函数②在(0，+∞)上是增函数2.

①y = log a x ，②y = log b x ，③y = log c x ，④y = log d x ，

则有0

x∈(1，+∞)时，log a x < log b x < log c x < log d x ；

x∈(0，1)时，log a x > log b x > log c x > log d x ．

3.反函数

y = log a x 与y =a x互为反函数，其中a>0，且a≠1；互为反

1

3

log x 2

log 0.5 (3x - 2) 4 - x 2

1 a ➢ 精讲精练

1. 直接写出下列函数的定义域：

（1） y = log 3 (x - 2)

； （2） y =

； （3） y =

；

（4） y =

1

+ ．

ln(x +1)

2. （1）已知 f (x ) 的定义域为[0，1]，则函数 y = f (log 1 (3 - x )) 的

2

定义域是 ；

（2） 已知函数 f (x ) = log 1 (2 - log 2 x ) 的值域是(-∞，0)，则它

2

的定义域是 ；

（3） 函数 f (x ) = log (x 2

+ 6x +13) 的值域是

．

2

3. 已知 a >0，且 a ≠1，则函数 y = a x 与 y = log (-x ) 的图象只可

能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

2 ⎩

4. 函数 f (x )=1+ log x 与 g (x )= 21- x

在同一直角坐标系中的图象可

能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

5. 若点(a ，b )在函数 y =lg x 的图象上，则下列点也在此图象上的

是（ ）

A ． ( 1 ，b )

a 10

B ．(10a ，1-b )

2

C ． ( a

，b +1)

D ．(a ，2b )

6. 若log a 2 < 1 ，则实数 a 的取值范围是（

）

A ．(1，2)

B ．(0，1)∪(2，+∞)

C ．(0，1)∪(1，2)

D ．(0， 1

)

2

7. 若函数 y = log a x 在区间[2，π]上的最大值比最小值大 1，则

a =

．

8. 已知函数 f (x ) = ⎧log 2 x ，x > 0 ，若 f (a ) = 1

，则 a =

．

⎨2x

，x ≤ 0 2 9. （1）已知函数 y = log ( a -1) x 在(0，+∞)上为增函数，则 a 的取

值范围是

；

2 1

0.3 2 （2） 已知函数 y = log a (2 - ax ) 在(-1，1)上是 x 的减函数，则

a 的取值范围是

；

（3） 若函数 y = - log (x 2 - ax - a ) 在区间(-∞，1- 函数，则 a 的取值范围是

．

3) 上是增

10. （1）函数 f (x ) =| log a x |（a > 0且a ≠ 1）的单调递增区间是

；

（2） 函数 f (x ) = log (x 2

+ 2x ) 2

的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；

（3） 已知 f (x ) = x 2 + 2x ， g (x ) = log 1 x ，则函数 y = f (g (x ))

2

的单调递增区间是

，单调递减区间是 ．

11. 比较下列各组数的大小：

（1） log 4 ，log 6 ； （2） log 2 ，log 2 ；

1 5 1 7 3

5

2 2

（3） log 2 ，log 3 ；

（4） 50.4

，0.45

，log 0.4 5 ．

( ) 12. 设a = log 3 π，b = log 2 3，c = log 3 ，则（

）

13. 设 a ，b ，c 均为正数，且2a

= log 1 a ， 1 b = log b ， 2 1

( 1

)c 2

2 2

= log 2 c ，则（ ） A ．a

C ．c

D ．b

A ．a >b >c

B ．a >c >b

C ．b >a >c

D ．b >c >a

2