高考数学讲义抛物线之焦点弦面积问题

2014年二轮复习抛物线之焦点弦面积问题

内容

明细内容

要求层次

了解

理解 掌握 圆锥曲线

椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程

√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系

√

北京三年高考两年模拟统计

中点弦 垂直角度

弦长面积范围

定点定值 共线比例

其它 高考试题 4 1 1 模拟试题 7 8 11 14 4 4 共计

7

8

15

14

5

5

抛物线之对称与比例

高考大纲

自检自查必考点

抛物线2

2y px =与过焦点直线()2

p

y k x =-

联立 2()22p y k x y px

⎧

=-⎪

⎨

⎪=⎩

消去x ，得2()22y p y k p =-，整理得到2022k kp y y p --= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122

1210(*)2k p y y k y y p ⎧=+>⎪

⎪

+=⎨⎪

⎪=-⎩V

抛物线焦点弦性质总结

AB 过焦点，Q 为AB 的中点，1122(,),(,)A x y B x y

性质1：''AQ BQ ⊥⇔以AB 为直径的圆与准线相切于'Q 性质2：''A F B F ⊥ 性质3：'Q F AB ⊥

性质4：'Q B 垂直平分'B F ，'Q A 垂直平分''A F AQ ⇔平分'A AF ∠，'BQ 平分'B BF ∠

性质5：2

'Q F AF BF = 性质6：2

21212,4

p x x y y p ==- 性质7：2

'min Q AB S p =V 性质8：以,AF BF 为直径的圆分别与y 轴相切

性质9：'AB 过原点O ，'A B 过原点O

性质10：过A 点作AO 并延长交准线于'B ，则'BB 平行于x 轴

自检自查必考点

B'

Q'

Q

A'

F

O

y

x

B

A

F'

B'

A'

F

O

y

B

A

性质11：1cos p AF α=

- ;()1cos p

BF AFx αα

=∠=+

112;AF BF p += 122

2sin p

AB x x p α

=++= 22sin ABC p S α=V 性质12：2

''4A B AF BF =

【例1】 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线交抛物线于1122(,),B(,)A x y x y 两点，求证：

（1）12AB x x p =++ （2）112AF BF P

+=

【例2】 设抛物线20)2(y px p =＞的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A B 、两点，点C 在抛物线的准

线上，且BC x P 轴． 证明：直线AC 经过原点O ．

例题精讲

【例3】 在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作直线与抛物线相交于A B ，

两点．若点N 是点F 关于坐标原点O 的对称点，求ANB ∆面积的最小值．

【例4】 如图，P 是抛物线22y x =上的动点，

点,B C 在y 轴上，圆()2

211x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．

【例5】 已知抛物线24x y =的焦点为F ，过焦点F 且不平行于x 轴的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，抛

物线在A 、B 两点处的切线交于点M ．

（I ）求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列； （II ）设直线MF 交该抛物线于C ，D 两点，求四边形ACBD

面积的最小值．

【例6】 已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A B 、两点，点R 是含抛物

线顶点C 的弧AB 上一点，求RAB ∆的最大面积．

y

x

O

M

F

D

C

B

A

【例7】 如图所示，设抛物线22(01)y px p =<< 与圆()2

259x y -+=在x 轴上方的交点为A B 、，与圆

()22627x y -+=在x 由上方的交点为C D 、，P AB 为中点，Q CD 为的中点．

（1）求PQ ．

（2）求ABQ ∆面积的最大值．

【例8】 如图，正方形ABCD 的边AB 在直线:4l y x =+ 上，,C D 两点在抛物线2y x =上，求正方形

ABCD 的面积．

【例9】 如图，抛物线顶点在原点，圆224x y x +=的圆心是抛物线的焦点，直线l 过抛物线的焦点，且

斜率为2，直线l 交抛物线与圆依次为,,,A B C D 四点，求

AB CD +的值．

【例10】 已知抛物线24x y ＝的焦点为F A B ，、是抛物线上的两动点，且0AF FB λλu u u r u u u r

＝ （＞）．过A B 、两

点分别作抛物线的切线，设其交点为M ．

（Ⅰ）证明FM AB ⋅u u u u r u u u r

为定值；

（Ⅱ）设ABM ∆的面积为S ，写出()S f λ＝的表达式，并求S 的最小值．