截长补短法证明题
全等三角形证明题辅助线专题--截长补短和倍长中线
全等三角形证明题辅助线专题--截长补短和倍长中线一、截长补短1.如图所示，AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上，求证：AB＝AC＋BD．2.如图,在四边形ABCD中,AD=CD,BD平分∠ABC,DE⊥AB于点E,求证:AE+BC=BE.3.如图,△ABC中,∠CAB=∠CBA=45∘,点E为BC的中点,CN⊥AE交AB于点N,连接EN.求证AE=CN+EN.4.如图，△ABC的∠B和∠C的平分线BD，CE相交于点F，∠A=60°，（1）求∠BFC的度数．（2）求证：BC=BE+CD．5.如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD．求证：第2页，共28页BC=AB+CE．6.(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，求证：EF=BE+DF；2(2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E,F分别是边BC,CD上的点，且∠EAF=1∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立?2(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC,CD延长线上的点，且∠EAF=1∠BAD，(1)中的结论是否仍然成立?若成立，请证明；2若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.7.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF = 60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系.8.如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，（1）求∠AOC的度数；（2）求证：OE＝OD；（3）猜测AE，CD，AC三者的数量关系，并证明．第4页，共28页9.如图在△ABC中，∠ABC＝60°，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于点D，延长DB点F，使BF＝BD，连接AF．（1）求证：AF＝CD；（2）若CE平分∠ACB交AB于点E，试猜想AC、AF、AE三条线段之间的数量关系，并证明你猜想的结论．二、倍长中线10.如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，AM和DN分别是中线，且AM＝DN．求证：△ABC≌△DEF．11.（1）【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，△ABC中，若AB=13，AC=9，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE．请根据小明的方法思考：Ⅰ．由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是______．A．SSS B．SAS C．AAS D．HLⅡ．由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是______．解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．（2）【初步运用】如图②，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且∠FAE=∠AFE．若AE=4，EC=3，求线段BF的长．12.已知：在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BC交AC于F，求证：AF＝EF．第6页，共28页13.如图,在△ABC中,AD是中线,∠BAC=∠BCA,点E在BC的延长线上,CE=AB,连接AE.求证:AE=2AD.14.如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°(1)如图1，若BD为高线，AB＝4，BC＝3，AC＝5，求BD的长(2)如图2，若BD为中线，求证：BD＝1AC215.如图，在五边形ABCDE中，∠E=90O,BC=DE,，连接AC,AD,且AB=AD，AC⊥BC.（1）求证：AC=AE（2）如图，若∠ABC=∠CAD,AF为BE边上的中线，求证：AF⊥CD;（3）如图，在(2)的条件下，AE=8,DE=5，则五边形ABCDE的面积为_______。
几何辅助线之截长补短 总结+例题
截长补短专题知识导航“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“c b a =+”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段。
补短法：①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等于较长线段。
即延长a ，得到b ，证：c b a =+。
②延长较短线段中的一条，使延长后的线段等于较长线段，然后证明延长出来的部分等于另一条较短线段。
即延长a ，得到c ，证：a c b -=。
【核心考点1】角平分线相关截长补短1. 如图，BP 平分ABC ∠，D 为BP 上一点，E ，F 分别在BA ，BC 上，且满足DE DF =，若140BED ∠=︒，则BFD ∠的度数是( )A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒【分析】作DG AB ⊥于G ，DH BC ⊥于H ，根据角平分线的性质得到DH DG =，证明Rt DEG Rt DFH ∆≅∆，得到DEG DFH ∠=∠，根据互为邻补角的性质得到答案．【解答】解：作DG AB ⊥于G ，DH BC ⊥于H ，D 是ABC ∠平分线上一点，DG AB ⊥，DH BC ⊥， DH DG ∴=，在Rt DEG ∆和Rt DFH ∆中， DG DHDE DF=⎧⎨=⎩， ()Rt DEG Rt DFH HL ∴∆≅∆，DEG DFH ∴∠=∠，又180DEG BED ∠+∠=︒， 180BFD BED ∴∠+∠=︒，BFD ∴∠的度数18014040=︒-︒=︒，故选：A ．2. 已知，如图，ABC ∆中，2C B ∠=∠，12∠=∠，求证：AB AC CD =+．【分析】在AB 上截取AE AC =，由“SAS ”可证ADE ADC ∆≅∆，可证DE DC =，C AED ∠=∠，可证B BDE ∠=∠，可得BE DE DC ==，即结论可得． 【解答】证明：如图，在AB 上截取AE AC =，AE AC =，12∠=∠，AD AD =()ADE ADC SAS ∴∆≅∆DE DC ∴=，C AED ∠=∠， 2C B ∠=∠，AED B BDE ∠=∠+∠，B BDE ∴∠=∠ BE DE DC ∴==，AB AE BE =+， AB AC DC ∴=+。
76 截长补短模型证明问题-【初中数学】120个题型大招!冲刺满分秘籍!
截长补短模型证明问题【专题说明】截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时，用截长补短．【知识总结】1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法.截长法：如图2，在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可；补短法：如图3，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可.【类型】一、截长“截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。
方法一：如图2所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.图2方法二：如图2所示，在BF上截取FM=GC，可证四边形GCFM为平行四边形，可得CM=FG=CF；可得∠BFC=∠BDC=45°，得∠MCF=90°；又得∠BMC=∠DFC=135°，于是△BMC≌△DFC（AAS），BM=DF，于是BF=FM+BM=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△BCD和△MCF。
截长补短法(初中数学经典例题和方法选讲)
变式练习
练习3.已知：如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC， ∠C=60°，BD平分∠ABC．求证：BC=AB+AD．
A D
B
C
变式练习
练习4.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠B+∠D=180°
求证：AE=AD+BE．
C
D
A
EB
变式练习
练习5.如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD， 点E为AB上一点，点F为AD上一点，∠BCD=2∠ECF， 求证：EF=BE+DF
证明：如图，延长CE，交BA的延长线于点F． ∵CE⊥BD∴∠BEF=∠BEC=90° ∵∠BAC=90°∴∠CAF=∠BAD=90°
∵∠3=∠4∴∠1=∠5
在△BAD和△CAF中
∴△BAD≌△CAF（ASA）∴BD=CF∵BE平分 ∠ABC∴∠1=∠2 在△BEF和△BEC中
∴△BEF≌△BEC（ASA） ∴EF=EC∴2CE=CF ∴2CE=BD
变式练习
练习7.如图所示，在D ABC是边长为1的正三角形，DBDC 是顶角为120°的等腰三角形， Ð MDN=60°，点M、N分 别在AB、AC上，求的DAMN的周长。
典型例题
例4.已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平
分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：2CE=BD
分析：证两个角的和是180°，可把它们移到一起， 让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此 题适用“补短”进行全等三角形的构造.
证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-2∵∠1=∠2，且 PD⊥BC∴PE=PD，在Rt△BPE与Rt△BPD中，
专题17 截长补短模型(解析版)
中考常考几何模型专题17 截长补短模型如图①，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF=AB+CD，可以考虑截长补短法。
截长法：如图②，在EF上截取EG=AB，再证明GF=CD即可。
补短法：如图③，延长AB至H点，使 BH=CD，再证明AH=EF即可。
模型精练：1．如图，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，求证：AE＝ED．【点睛】作BE的延长线交CD的延长线于F，结合条件可证明△FCE≌△BCE，得出EF＝BE，BC＝FC，进一步可得出△AEB≌△DEF，可得出结论．【解答】证明：作BE的延长线交CD的延长线于F，∵CE是∠BCD的平分线，∴∠BCE＝∠FCE，∵AB∥CD，∴∠F＝∠FBA，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABF＝∠FBC，∴∠FBC ＝∠F ．在△FCE 和△BCE 中{∠F =∠FBC ∠FCE =∠BCE CE =CE，∴△FCE ≌△BCE ，∴EF ＝BE ，BC ＝FC ，在△AEB 和△DEF 中{∠AEB =∠DEF BE =EF ∠FBA =∠F，∴△AEB ≌△DEF ，∴AE ＝ED ．2．如图，已知P 为∠AOB 的平分线OP 上一点，PC ⊥OA 于点C ，∠0AP +∠0BP ＝180°．求证：AO +BO ＝2CO ．【点睛】作PD ⊥OB 于D ，根据角平分线的性质就可以得出PC ＝PD ，就有△PCO ≌PDO ，就可以得出△ACP ≌△BDP ，进而得出结论．【解答】证明：作PD ⊥OB 于D ．∴∠PDO ＝90°．∵P 为∠AOB 的平分线OP 上一点，PC ⊥OA∴PC ＝PD ．∠PCA ＝90°．∴∠PCA ＝∠PDO ．在Rt △PCO 和RtPDO 中，{PO =PO PC =PD， ∴Rt △PCO ≌RtPDO （HL ），∴OC ＝OD ．∵∠OBP +∠DBP ＝180°，且∠0AP +∠0BP ＝180°，∴∠OAP ＝∠DBP ．在△ACP 和△BDP 中，{∠PCA =∠PDO ∠OAP =∠DBP PC =PD，∴△ACP ≌△BDP （AAS ），∴AC ＝BD ．∵AO +BO ＝AC +CO +BO ，∴AO +BO ＝BD +BO +CO ，∴AO +BO ＝DO +CO ，∴AO+BO＝2CO．3．（2019•新抚区校级月考）如图所示，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC+DE＝CD，∠ABC+∠AED＝180°，求证：DA平分∠CDE．【点睛】连接AC，延长DE到F，使EF＝BC，连接AF，易证△ABC≌△AEF，进而可以证明△ACD≌△AFD，可得∠ADC＝∠ADF即可解题．【解答】解：连接AC，延长DE到F，使EF＝BC，连接AF，∵BC+DE＝CD，EF+DE＝DF，∴CD＝FD，∵∠ABC+∠AED＝180°，∠AEF+∠AED＝180°，∴∠ABC＝∠AEF，在△ABC和△AEF中，{AB =AE ∠ABC =∠AEF BC =EF，∴△ABC ≌△AEF （SAS ），∴AC ＝AF ，在△ACD 和△AFD 中，{AC =AF CD =FD AD =AD，∴△ACD ≌△AFD （SSS ）∴∠ADC ＝∠ADF ，即AD 平分∠CDE ．4．（2019•尚志市校级月考）已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点E 在边AC 上AB ＝AE ，过点E 作EF ∥BC ，交AD 于点F ，连接BF ．（1）如图1，求证：四边形BDEF 是菱形；（2）如图2，当AB ＝BC 时，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中度数等于∠BAD 的2倍的所有的角．【点睛】（1）根据菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）根据AB ＝BC 可得∠BAC ＝∠BCA ，再根据EF ∥BC ，可得∠AEF ＝∠C ，进而可得度数等于∠BAD 的2倍的所有的角．【解答】解：（1）证明：∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD＝∠EAD，∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴DB＝DE，∠BDA＝∠EDA．∵EF∥BC，∴∠EFD＝∠BDA，∴∠EFD＝∠EDF，∴EF＝ED，∴EF＝BD，∵EF∥BD，∴四边形BDEF为菱形．（2）∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD，∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝2∠BAD，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCA＝2∠BAD，∵∠ABF＝∠AEF，∴∠ABF＝2∠BAD．所以图中度数等于∠BAD的2倍的所有的角：∠BAC，∠BCA，∠ABF，∠AEF．5．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AD 是∠BAC 的平分线，且AC ＝AB +BD ，求∠ABC 的度数．【点睛】在AC 上截取AE ＝AB ，根据角平分线的定义可得∠BAD ＝∠CAD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△AED 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD ＝DE ，全等三角形对应角相等可得∠B ＝∠AED ，再求出CE ＝BD ，从而得到CE ＝DE ，根据等边对等角可得∠C ＝∠CDE ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AED ＝2∠C ，然后根据三角形的内角和定理列方程求出∠C ，即可得解．【解答】解：如图，在AC 上截取AE ＝AB ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAD ，在△ABD 和△AED 中，{AE =AB∠BAD =∠CAD AD =AD，∴△ABD ≌△AED （SAS ），∴BD ＝DE ，∠B ＝∠AED ，∵AC ＝AE +CE ，AC ＝AB +BD ，∴CE ＝BD ，∴CE ＝DE ，∴∠C ＝∠CDE ，即∠B ＝2∠C ，在△ABC 中，∠BAC +∠B +∠C ＝180°，∴60°+2∠C+∠C＝180°，解得∠C＝40°，∴∠ABC＝2×40°＝80°．。
专题05 用截长补短法构造全等三角形(解析版)
专题05 用截长补短法构造全等三角形参考与答案【例1】（2020秋•富县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，AB＞AC，求证：AB﹣AC ＞BD﹣CD．【答案】略【解答】证明：如图，在AB上截取AE＝AC，连接DE，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD＝∠EAD．【典例分析】【直击考点】在△ADC和△ADE中，∴△ADC≌△ADE（SAS）．∴DC＝DE．∵在△BDE中，BE＞BD﹣ED，∵AB﹣AE＝BE，∴AB﹣AC＞BD﹣CD．【变式1】（2020秋•顺庆区校级期中）如图：锐角△ABC中，∠C＝2∠B，AD是高，求证：AC+CD＝BD．【答案】略【解答】解：甲：截长法，如图1，在DB上截取DE＝DC，连AE，∵DE＝DC，AD⊥BC，∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠C，且∠C＝2∠B，∴∠AEC＝∠B，且∠AEC＝∠B+∠BAE，∴∠B＝∠BAE，∴AE＝BE＝AC，∴BD＝BE+DE＝AC+CD【变式2】如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，AB＝AC+CD．试判断∠B与∠C之间的关系．【答案】∠C＞∠B【解答】解：（1）在AB上截取AE＝AC，连接DE，如图1，在△ADE与△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠AED＝∠C，ED＝CD，∵AB＝AC+CD，∴AB＝AE+BE＝AC+CD＝AC+ED，∴BE＝ED，∴∠AED＝2∠B，∴∠AEC＝2∠B，∴∠C＞∠B；【例2】（2017秋•大兴区期末）已知：如图，在△ABC中，D是BA延长线上一点，AE 是∠DAC的平分线，P是AE上的一点（点P不与点A重合），连接PB，PC．通过观察，测量，猜想PB+PC与AB+AC之间的大小关系，并加以证明．【答案】PB+PC＞AB+AC．【解答】解：PB+PC＞AB+AC，理由如下：在BA的延长线上截取AF＝AC，连接PF，在△F AP和△CAP中，，∴△F AP≌△CAP（SAS），∴FP＝CP．在△FPB中，FP+BP＞F A+AB，即PB+PC＞AB+AC．【变式1】（2020秋•肥西县期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，AD平分∠CAB．（1）如图1，若ACB＝90°，求证：AB＝AC+CD；（2）如图2，若AB＝AC+BD，求∠ACB的度数；（3）如图3，若∠ACB＝100°，求证：AB＝AD+CD．【答案】(1)略（2）∠ACB＝108°（3）略【解答】证明：（1）如图1中，作DH⊥AB于H．在△ADC与△ADH中，，∴△ADC≌△ADH（ASA），∴AC＝AH，DC＝DH，∵CA＝CB，∠C＝90°，∴∠B＝45°，∵∠DHB＝90°，∴∠HDB＝∠B＝45°，∴HD＝HB，∴BH＝CD，∴AB＝AH+BH＝AC+CD；（2）设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°﹣α，在AB上截取AK＝AC，连接DK，∵AB＝AC+BD，∴BK＝BD，∵AD是角平分线，∴在△CAD和△KAD中，，∴△CAD≌△KAD（SAS），∴∠ACD＝∠AKD＝α，∴∠BKD＝180°﹣α，∵BK＝BD，∴∠BDK＝180°﹣α，在△BDK中，180°﹣α+180°﹣α+90°﹣α＝180°，∴α＝108°，∴∠ACB＝108°；（3）如图2，在AB上截取AH＝AD，连接DH，∵∠ACB＝100°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，∵AD是角平分线，∴∠HAD＝∠CAD＝20°，∴∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，连接DK，由（1）得，△CAD≌△KAD，∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，∴∠DKH＝80°＝∠DHK，∴DK＝DH＝CD，∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝40°，∴DH＝BH，∴BH＝CD，∵AB＝AH+BH，∴AB＝AD+CD．【例3】16．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【答案】（1）AM+BN＝MN；（2）AM+BN＝MN；（3）BN﹣AM＝MN【解答】（1）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠EBD＝90°，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，∵∠MDN＝∠ADC＝60°，∴∠ADM＝∠NDC，∴∠BDE＝∠NDC，∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（2）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE，∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠DBE＝90°，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠MDN＝∠BDC，∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE，∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，∵∠CDM＝∠NDB∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．（3）BN﹣AM＝MN，证明：在CB截取BE＝AM，连接DE，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠ADN＝∠ADN，∴∠MDA＝∠CDN，∵∠B＝∠CAD＝90°，∴∠B＝∠DAM＝90°，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE，∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，∴∠MDN＝∠EDN，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM，∴BN﹣AM＝MN．【变式1】（2012•昌平区模拟）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD；（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD 上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【答案】（1）EF＝BE+FD；（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立（3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD【解答】证明：（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG＝AF，∠1＝∠2．∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．又∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．（3）结论EF＝BE+FD不成立，应当是EF＝BE﹣FD．证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD【变式2】（2021春•北碚区校级期末）如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA＝ED．（1）如图1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求证：EC平分∠BCD；（2）如图2，∠A与∠D互补，∠DEA＝2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CD＝AB＝4．求点E到BC的距离．【答案】（1）略（2）点E到BC的距离为3【解答】（1）证明：延长CD到T，使得DT＝BA，连接ET．∵∠CDE＝120°，∴∠EDT＝180°﹣120°＝60°，∵∠A＝60°，∴∠A＝∠EDT，在△EAB和△EDT中，，∴△EAB≌△EDT（SAS），∴EB＝ET，∴CB＝CD+BA＝CD+DT＝CT，在△ECB和△ECT中，，∴△ECB≌△ECT（SSS），∴∠ECB＝∠ECD．（2）解：延长CD到Q，使得∠QED＝∠AEB，过点E作EH⊥BC于H．∵∠A+∠CDE＝180°，∠CDE+∠EDQ＝180°，∴∠A＝∠EDQ，在△AEB和△DEQ中，，∴△AEB≌△DEQ（ASA），∴EB＝EQ，∵∠AED＝2∠BEC，∴∠AEB+∠CED＝∠BEC，∴∠CED+∠DEQ＝∠BEC，∴∠CEB＝∠CEQ，在△CEB和△CEQ中，，∴△ECB≌△ECQ（SAS），∵S五边形ABCDE＝S四边形EBCQ＝2S△EBC＝30，∴S△EBC＝15，∵CD＝AB＝4，∴AB＝6，CD＝4，∴BC＝CD+QD＝CD+AB＝10，∴×10×EH＝15，∴EH＝3，∴点E到BC的距离为3．【例4】（2019秋•西岗区期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题．（1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD，根据自己的解题经验或参考小明的方法，解决下面的问题；（2）如图4，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA＝ED，∠DCB＝2∠B，∠DAE+∠B＝90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．【答案】（1）略（2）BE＝DC+CE【解答】（1）证明：方法一：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△BAD和△EAD中∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD＝ED，∠AED＝∠B＝2∠C，∵∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC，∴BD＝EC，∴AC＝AB+BD；（2）DC、CE、BE之间的数量关系是BE＝DC+CE，证明：在EB上截取EF，使得EF＝DC，连接AF，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴2∠DAE＝180°﹣∠AED，∵∠DAE+∠B＝90°，∴2∠DAE+2∠B＝180°，∴∠AED＝2∠B＝∠C，∵∠BED＝∠CDE+∠DAE，∴∠AEB＝∠CDE，在△AEF和△EDC中∴△AEF≌△EDC（SAS），∴EC＝AF∠AFE＝∠C＝2∠B，∵∠AFE＝∠B+∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF，∴BF＝AF，∴BF＝CE，∴BE＝DC+CE．【变式1】（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠C．求证：AB+BD＝AC．”李老师给出了如下简要分析：要证AB+BD＝AC，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC上截取AE＝AB，连接DE，只要证BD＝即可，这就将证明线段和差问题为证明线段相等问题，只要证出△≌△，得出∠B＝∠AED及BD＝，再证出∠＝，进而得出ED＝EC，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD平分∠BAC，将△ABD沿直线AD 对折，使点B落在AC边上的点E处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB至点F，使BF＝BD．只要证AF＝AC即可，此时先证∠＝∠C，再证出△≌△，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【答案】（1）EC，转化，ABD，AED，DE，EDC，∠C（2）F，AFD，ACD【解答】解：方法一、在AC上截取AE＝AB，连接DE，如图2：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠B＝∠AED，BD＝DE，又∵∠B＝2∠C，∴∠AED＝2∠C，而∠AED＝∠C+∠EDC＝2∠C，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝CE，∴AB+BD＝AE+CE＝AC，故答案为：EC，转化，ABD，AED，DE，EDC，∠C；方法二、如图3，延长AB至点F，使BF＝BD，∴∠F＝∠BDF，∴∠ABD＝∠F+∠BDF＝2∠F，∵∠ABD＝2∠C，∴∠F＝∠C，在△AFD和△ACD中，，∴△AFD≌△ACD（AAS），∴AC＝AF，∴AC＝AB+BF＝AB+BD，故答案为F，AFD，ACD．【跟踪训练】1．已知，如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，求证：AD+BC＝AB．【答案】略【解答】证法一：在AB上截取AF＝AD，连接EF，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠F AE，由AF＝AD，∠DAE＝∠F AE，AE＝AE，可得△ADE≌△AFE（SAS），∴∠DEA＝∠FEA，∵AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，∴∠EAB+∠EBA＝（∠DAB+∠CBA）＝×180°＝90°，∠CBE＝∠FBE，∴∠AEB＝90°，∴∠AED+∠BEC＝90°，∠AEF+∠BFE＝90°，∴∠BEC＝∠BEF，由∠BEC＝∠BEF，BE＝BE，∠CBE＝∠FBE，可得△BFE≌△BCE，∴BF＝BC，∴AB＝AF+BF＝AD+BC；2.（2020秋•綦江区期末）如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F，连接DE．（1）若AC＝BC＝7，求DE的长；（2）求证：BE+CD＝BC．【答案】（1）DE＝（2）略【解答】解：（1）∵AC＝BC，∠A＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB，又∵BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，∴D、E分别是AC、AB的中点，∴AD＝AC，AE＝AB，∴AD＝AE，∴△ADE为等边三角形，∴DE＝AE＝；（2）证明：在BC上截取BH＝BE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵BF＝BF∴△EBF≌△HBF（SAS），∴∠EFB＝∠HFB＝60°．∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABD＝∠CBD，∠ACE＝∠BCE，∴∠CBD+∠BCE＝60°，∴∠BFE＝60°，∴∠CFB＝120°，∴∠CFH＝60°，∴∠CFH＝∠CFD＝60°，∵CF＝CF，∴△CDF≌△CHF（ASA）．∴CD＝CH，∵CH+BH＝BC，∴BE+CD＝BC．3．（2019秋•四川期中）我们知道，利用三角形全等可以证明两条线段相等．但是我们会碰到这样的“和差”问题：“如图①，AD为△ABC的高，∠ABC＝2∠C，证明：CD＝AB+BD”．我们可以用“截长、补短”的方法将这类问题转化为证明两条线段相等的问题：在CD上截取DE＝BD，连接AE．（1）请补写完这个证明：（2）运用上述方法证明：如图②，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C，证明：BD＝AC﹣AB．【答案】（1）略（2）略【解答】（1）证明：在CD上截取DE＝BD，连接AE，∵AD⊥BC，∴AB＝AE，∴∠B＝∠AEB，∵∠B＝2∠C，∠AEB＝∠C+∠EAC，∴∠C＝∠EAC，∴EC＝AE＝AB，∴CD＝CE+DE＝AB+BD．（2）证明：在AC上截取AE＝AB，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，在△BAD和△EAD中∴△BAD≌△EAD，∴DE＝BD，∠B＝∠AED，∵∠B＝2∠C，∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠C＝∠EDC，∴DE＝EC＝DB，∵AC﹣AE＝EC，EC＝BD，AE＝AB，∴BD＝AC﹣AB．4．（2020春•南岸区期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．【答案】（1）略（2）EF＝FC+BE【解答】解：（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，∴∠DBE＝∠DCF＝90°，在△BDE和△CDF中，∵∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴DE＝DF；（2）EF＝FC+BE，理由：过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，在△BDE和△CDG中，，∴△BDE≌△CDG（ASA），∴DE＝DG，BE＝CG．∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，∴∠BDE+∠CDF＝60°．∴∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝60°，∴∠EDF＝∠GDF．在△EDF和△GDF中，，∴△EDF≌△GDF（SAS）．∴EF＝GF，∴EF＝FC+CG＝FC+BE．5．（2020秋•增城区期末）如图（1），在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，4），A（4，4），过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点（1）若OF+BE＝AB，求证：CF＝CE．（2）如图（2），且∠ECF＝45°，S△ECF＝6，求S△BEF的值．【答案】（1）略（2）∴S的值为4△BEF【解答】解：（1）证明：∵AB⊥x轴，AC⊥y轴∴∠ABO＝∠ACO＝90°∵∠BOC＝90°∴∠A＝360°﹣∠ABO﹣∠ACO﹣∠BOC＝90°∴∠A＝∠BOC∵C（0，4），A（4，4）∴OC＝AC＝AB＝4∵OF+BE＝AB，AB＝AE+BE∴OF＝AE在△COF和△CAE中∴△COF≌△CAE（SAS）∴CF＝CE．（2）将△ACE绕点C顺时针旋转90°，则FG＝AE+OF，CG＝CE，∠ACE＝∠GCO∵∠ECF＝45°，∴∠ACE+∠FCO＝∠ACO﹣∠ECF＝90°﹣45°＝45°∴∠GCF＝∠GCO+∠FCO＝∠ACE+∠FCO＝45°∴∠GCF＝∠ECF在△GCF和△ECF中∴△GCF≌△ECF（SAS）∵S△ECF＝6∴S△GCF＝6∴S△ECA+S△OCF＝6∵由（1）知四边形OBAC为边长为4的正方形∴S四边形OBAC＝4×4＝16∴S△BEF＝S四边形OBAC﹣S△ECF﹣S△ECA﹣S△OCF＝16﹣6﹣6＝4 ∴S△BEF的值为4．。
全等三角形截长补短法的经典例题
全等三角形截长补短法的经典例题在几何学中，全等三角形是一个非常重要的概念，而截长补短法则是解决全等三角形问题时常用的方法之一。
在今天的文章中，我将围绕这个主题展开讨论，并通过经典例题来深入探讨全等三角形截长补短法的应用。
1. 问题描述假设有两个全等三角形ABC和DEF，其中已知AB=DE，AC=DF，角A=角D。
现在需要证明三角形ABC和DEF全等。
2. 解题思路在这个问题中，根据已知条件，我们可以利用截长补短法来进行证明。
具体来说，我们可以通过构造辅助线来使得两个三角形的对应边相等，从而得出它们全等的结论。
3. 解题过程我们连接AE和BC，得到交点点O。
接下来，我们通过证明三角形AOE和BOC全等，以及三角形AOE和DOF全等，来得出结论。
通过角度和边的对应关系，可以得出角AOE等于角BOC，另外由已知条件可以得出AO=BO。
因此根据全等三角形的性质，三角形AOE 和BOC全等。
同样地，通过对角分别相等和对应边相等可以得出三角形AOE和DOF全等。
结合以上两个全等三角形的结论，可以得出三角形ABC和DEF全等的结论。
4. 结论通过截长补短法的应用，我们成功地证明了两个全等三角形。
这个例题充分展示了截长补短法在解决全等三角形问题中的重要性，并且提供了一个经典的例题来帮助我们更加深入地理解这一方法的应用和意义。
5. 个人观点全等三角形截长补短法在几何学中具有重要的地位，在解决相关问题时，能够帮助我们快速、准确地得出结论。
通过经典例题的学习，我们可以更加深入地理解截长补短法的原理和应用，为今后解决类似问题提供了重要的思路和方法。
总结回顾通过以上的讨论，我们深入探讨了全等三角形截长补短法的经典例题，从而更加全面地理解了这一方法的应用。
通过对例题的分析，我们对截长补短法在解决全等三角形问题中的重要性有了更加深刻的理解，为今后的学习和应用提供了重要的参考。
全等三角形截长补短法是几何学中一个重要且常用的方法，通过不断学习和练习经典例题，我们可以更加熟练地掌握和运用这一方法，从而在解决几何问题时能够更加得心应手。
初中数学精品试题：几何专题之截长补短显神通
几何专题之截长补短显神通A组例1：已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠BAC=108°，求证：BC=CD+AB备用图题后反思证明线段和差关系常用的方法有哪些？练一练1.如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上的一点，连接AE，以AE为一边，在AE的上方作正方形AEFG，连接DG．求证：AB=CE+DG．2.已知：如图1，点A 是线段DE 上一点，∠BAC=90°，AB=AC ，BD ⊥DE ，CE ⊥DE ．1）请推理说明DE=BD+CE ；2）如果是图2这个图形，DE 、BD 、CE 三条线段之间的关系如何？请说明你的理由．3.已知如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠ABC=2∠C ，求证：AC=AB+BD4.已知：如图，在四边形ABCD 中，AB//CD ，E 在AD 上，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，求证：BC=AB+CDC E A B D5.如图，四边形ABCD中，E是BC上一点，EA=ED，∠DCB=2∠B，∠DAE+∠B=90°，探究DC、CE、BE之间的数量关系，并证明．6.已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，FC与对角线BD交于点G，过G作GE⊥BC于点E，∠ADB=∠FCB．（1）求证：AB=2BE；（2）求证：DG=CF+GE．（B要求）7.如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC交AC 于E，过C作CD⊥BE于D点，写出AT、CD与BD之间的数量关系并证明．B组例2：如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF=90°，线段AF、BF和EF 之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF=45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．题后反思线段除了和差关系还有哪些关系，怎么证明？练一练如图，将三角板放在矩形ABCD（AB＜BC）上，使三角板的直角顶点E在矩形ABCD 的对角线AC、BD的交点上，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB于点G，然后延长FE，交AB于点M，连接MG．请直接写出三条线段AM、GC、MG之间的关系。
2013中考_全等三角形之截长补短法
截长补短法例题1如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：利用已知条件，求得∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，得出△ABD≌△AED（AAS），∴AE=AB．∵AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD．解答：证法一：如答图所示，延长AC，到E使CE=CD，连接DE．∵∠ACB=90°，AC=BC，CE=CD，∴∠B=∠CAB=45°，∠E=∠CDE=45°，∴∠B=∠E．∵平分∠BAC，∴∠1=∠2在△ABD和△AED中，∠B=∠E，∠2=∠1，AD=AD，∴△ABD≌△AED（AAS）．∴AE=AB．∵AE=AC+CE=AC+CD，∴AB=AC+CD．证法二：如答图所示，在AB上截取AE=AC，连接DE，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2．在△ACD和△AED中，AC=AE，∠1=∠2，AD=AD，∴△ACD≌△AED（SAS）．∴∠AED=∠C=90，CD=ED，又∵AC=BC，∴∠B=45°．∴∠EDB=∠B=45°．∴DE=BE，∴CD=BE．∵AB=AE+BE，∴AB=AC+CD．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；通过SAS的条件证明三角形全等，利用三角形全等得出的结论来求得三角形各边之间的关系．例题2图，AD是△ABC中BC边上的中线，求证：AD＜（AB+AC）．考点：全等三角形的判定与性质；三角形三边关系．专题：计算题．分析：可延长AD到E，使AD=DE，连BE，则△ACD≌△EBD得BE=AC，进而在△ABE中利用三角形三边关系，证之．解答：证明：如图延长AD至E，使AD=DE，连接BE．∵BD=DC，AD=DE，∠ADC=∠EDB∴△ACD≌△EBD∴AC=BE在△ABE中，AE＜AB+BE，即2AD＜AB+AC∴AD＜（AB+AC）点评：本题主要考查全等三角形的判定及性质以及三角形的三边关系问题，能够熟练掌握．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：证明题．分析：（1）由已知AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，利用互余关系可证∠DAC=∠ECB，可证△ACD≌△CBE，得AD=CE，CD=BE，故AD+BE=CE+CD=DE；（2）此时，仍有△ACD≌△CBE，AD=CE，CD=BE，利用线段的和差关系得DE=AD-BE．解答：证明：（1）∵∠DAC+∠ACD=90°，∠ACD+∠ECB=90°，∴∠DAC=∠ECB，又∵AC=BC，∠ADC=∠CEB=90°，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CE+CD=AD+BE；（2）DE=BE-AD．仿照（1）可证△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD．点评：本题考查了用旋转法寻找证明三角形全等的条件，关键是利用全等三角形对应线段相等，将有关线段进。
全等三角形~截长补短
截长补短“截长补短”是几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系，即若题目条件或结论中含有“c b a =+”的条件，需要添加辅助线时可以考虑“截长补短”的方法。
截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段。
补短法：①延长较短线段中的一条，使延长出来的线段等于另外的较短线段，然后证明两线段之和等于较长线段。
即延长a ，得到b ，证：c b a =+。
①延长较短线段中的一条，使延长后的线段等于较长线段，然后证明延长出来的部分等于另一条较短线段。
即延长a ，得到c ，证：a c b -=。
例1. 已知：如图，在△ABC 中，△1=△2，△B=2△C ．求证：AC=AB+BD ．1. 补短法：证明：如图，延长AB 到E ，使BE =BD ，连接DE ． △△ABD 是△BDE 的一个外角 △△ABD =△E ＋△BDE △BE =BD △△E =△BDE △△ABD =2△E △△ABD =2△C △△E =△C在△ADE 和△ADC 中12E CAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADE △△ADC （AAS ）21D CB A E21D CB AFA BCD12△AE =AC△AC =AB ＋BE=AB ＋BD 2. 截长法：证明：如图，在AC 上截取AF =AB ，连接DF ． 在△ABD 和△AFD 中12AB AF AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABD △△AFD （SAS ） △△B =△AFD ，BD =FD △△B =2△C △△AFD =2△C△△AFD 是△DFC 的一个外角 △△AFD =△C +△FDC △△FDC =△C △DF =FC △BD =FC△AC =AF +FC =AB +BD例2. 如图，在四边形ABCD 中，△A=△B=90°，点E 为AB 边上一点，且DE 平分△ADC ，CE 平分△BCD ．求证：CD=AD+BC ．证明：如图，在CD 上截取CF =CB ． △CE 平分△CBD △△1=△2在△CFE 和△CBE 中12CF CB CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩E DCB A 4321FE D CBA321G CDB A EF △△CFE △△CBE （SAS ） △△CFE =△B △△B =90°△△CFE =△DFE =90° △△A =90° △△DFE =△A △DE 平分△ADC △△3=△4在△DEF 和△DEA 中34DFE A DE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△DEF △△DEA （AAS ） △DF =AD△CD =DF +CF =AD +BC例3. 已知：如图，在正方形ABCD 中，AD =AB ，∠B =∠D =∠BAD =90°，E ，F 分别为CD ，BC 边上的点，且∠EAF =45°，连接EF ． 求证：EF =BF +DE ．证明：如图，延长FB 到G ，使BG =DE ，连接AG ． △△D =△ABC =90° △△ABG =△D =90° 在△ABG 和△ADE 中AB=AD ABG= D BG=DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩△△ABG △△ADE （SAS ） △AG =AE ，△1=△2 △△BAD =90°，△EAF =45° △△2+△3=45°FEDC BAE21A B CD△△1+△3=45° 即△GAF =45° △△GAF =△EAF 在△AGF 和△AEF 中AG AE GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AGF △△AEF （SAS ） △GF =EF △GF =BF +BG △EF =BF +DE例4. 在△ABC 中，AD △BC 于D ，△B =2△C ．求证：CD =AB +BD ．证明：如图，在线段DC 上截取DE =BD ，连接AE ．△AD △BC△△ADB =△ADE =90° 在△ABD 和△AED 中AD AD ADB ADE DB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABD △△AED （SAS ） △△B =△1，AB =AE △△B =2△C △△1=2△C△△1是△AEC 的一个外角 △△1=△C +△2 △△C =△2 △AE =CE△CD =CE +ED =AE +BD =AB +BDD CAEA B C D P12例5. 如图，在△ABC 中，AB >AC ，△1=△2，P 为AD 上任意一点，连接BP ，CP ．求证：AB -AC > PB -PC ．证明：如图，在线段AB 上截取AE =AC ，连接PE ． 则AB -AC =AB -AE =EB 在△AEP 和△ACP 中12AE AC AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△AEP △△ACP （SAS ）△PE =PC在△PEB 中，PB PE <EB △PB -PC <EB△AB -AC > PB -PC例6. 如图，在梯形ABCD 中，AD △BC ，CE △AB 于E ，△BDC 为等腰直角三角形，△BDC =90°，BD =CD ，CE 与BD 交于F ，连接AF ．求证：CF =AB +AF ．1. 截长法：证明：如图，在CF 上截取CM=BA ，连接DM ．21PD A A DE CF B87654321MA D E CF B△△BDC 为等腰直角三角形，BD=CD △△1=△DCB =45°△CE △AB ，△BDC =90° △△CEB =△BDC =90° △△2=△3 △△4=△5在△ABD 和△MCD 中45AB MC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABD △△MCD （SAS ） △DA =DM ，△6=△7 △AD △BC △△7=△1=45° △△6=45° △△8=45° △△7=△8在△ADF 和△MDF 中78DA DM DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ADF △△MDF （SAS ） △AF =MF△CF =CM+MF =AB+AF补短法：证明：如图，延长BA 交CD 的延长线于点G ． △△BDC 为等腰直角三角形△△GDB =△BDC=90°，△5=45° △CE △AB△△CEB =△BDC =90°△△1=△2 △△3=△4 在△GBD 和△FCD 中1234567G A DE CF B34GDB FDC DB DC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△△GBD △△FCD （ASA ） △BG =CF ，DG =DF △AD △BC △△6=△5=45° △△7=45° △△6=△7在△GDA 和△FDA 中76DG DF DA DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△GDA △△FDA （SAS ） △AG =AF △BG =AB +AG △CF =AB +AF。
截长补短法
截长补短法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想。
截长就是在一条线上截取成两段，补短就是在一条边上延长，使其等于一条所求边。
定义：截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短：1.延长短边。
2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
用法例题：例1：正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，∠EAF=45°。
求证：EF=DE+BF。
证明：延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。
∵ABCD是正方形∴∠ADG=∠ABF=90°，AD=AB又∵DG=BF在Rt△ADG与Rt△ABF中：DG=BF∠ADG=∠ABFAD=AB∴Rt△ADG≌Rt△ABF（SAS）∴∠GAD=∠FAB，AG=AF∵ABCD是正方形∴∠DAB=90°=∠DAF+∠FAB=∠DAF+∠GAD=∠GAF∴∠GAE=∠GAF-∠EAF=90°-45°=45°∵∠GAE=∠FAE=45°，AG=AF，AE=AE∴△EAG≌△EAF（SAS）∴EF=GE=GD+DE=BF+DE例1 图例2 图例2：如图，已知AD∥BC，AB=AD+BC，E是CD的中点，求∠AEB的度数。
解：向AE方向延长AE，交BC的延长线于F。
∵∠5和∠6是对顶角∴∠5=∠6∵E是CD的中点∴DE=EC∵AD∥BC∴∠1=∠F∴△AED≌△CEF（AAS)∴AD=CF，AE=EF∴AB=AD+BC=CF+BC=BF∴△ABF是等腰三角形且AF为底边又∵AE=EF且点E在线段AF上∴BE⊥AF∴∠AEB=90°例3：如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD平分∠BAC。
求证：AB+BD=AC。
证明：在AC上截取AE=AB，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2又∵AD=AD，AB=AE∴△ABD≌△AED（SAS）∴BD=DE，∠B=∠3又∵∠B=2∠C∴∠3=2∠C又∵∠3=∠4+∠C∴2∠C=∠4+∠C即∠C=∠4∴DE=CE∴BD=CE∵AE+EC=AC∴AB+BD=AC例3 图例4 图例4：如图，AC平分∠DAB，∠ADC+∠B=180°。
截长补短法证明题
CHAPTER 02
补短法介绍
定义
补短法是一种通过补充或延长线段来证明几何题的方法，通常用于证明线段相等、三角形全等或角相 等。
在补短法中，我们可以通过添加辅助线或延长线段，将原图形转化为一个更易于证明的新图形，线段相等、三角形全等或 角相等的问题。
当题目中给出的条件不足以直接证明 结论时，可以考虑使用补短法。
注意公式的正确使用
截长补短法需要使用到一些基本的数学公式，如等差数列求和公式、等比数列求和公式等。在使用这些公式时，需要注意公 式的正确性和适用范围，避免出现错误的使用。
例如，在证明等差数列求和公式时，需要正确使用等差数列的定义和性质，确保公式的推导过程是正确的。
注意解题步骤的逻辑严密性
截长补短法需要按照一定的逻辑步骤进行推 导和证明。在使用该方法时，需要注意解题 步骤的逻辑严密性，确保每一步推导都是正 确的，并且最终得出的结论是可靠的。
题目三：证明正弦定理
总结词
通过截长补短法，将正弦定理的证明问 题转化为三角形的构造问题，从而证明 正弦定理。
VS
详细描述
首先，我们可以通过截取和补全的方式构 造一个三角形，使得该三角形的三条边与 原三角形相同。然后，我们利用正弦定理 ，计算出新构造的三角形的各角的正弦值 ，得出原三角形的各角的正弦值。
CHAPTER 04
截长补短法的注意事项
注意特例情况
特例情况是指一些特殊情况下，截长 补短法可能不适用或导致错误的结果。 因此，在使用截长补短法时，需要特 别注意是否存在特例情况，并针对这 些情况进行特殊处理。
VS
例如，在证明等差数列求和公式时， 如果首项或末项为0，则不能直接使 用截长补短法，需要采用其他方法进 行证明。
截长补短法经典例题
1.在解决几何问题时，截长补短法常用于：A.证明线段相等B.证明角度相等（答案）C.计算面积D.求解体积2.下列哪个图形问题最适合使用截长补短法来解决？A.求解圆的半径B.证明两个三角形全等（答案）C.计算长方体的表面积D.求解一次方程的根3.使用截长补短法时，通常需要：A.添加辅助线来构造相似图形B.延长或截取线段来构造等长线段（答案）C.使用勾股定理D.计算图形的周长4.在三角形ABC中，AB > AC，为了证明某条线段与AB相等，可以使用截长补短法，下列哪个步骤是正确的？A.延长AC至D，使得CD = ABB.截取AB的一部分，使其与AC相等（答案）C.在三角形外部构造一个与三角形ABC全等的三角形D.计算三角形ABC的面积5.截长补短法在解决哪类问题时特别有用？A.代数方程求解B.图形面积计算C.线段长度比较和证明（答案）D.体积计算6.下列哪个不是截长补短法的常见应用？A.证明线段和差关系B.构造平行线来证明角度相等C.通过截取和延长来构造等边三角形（答案，这更多是等边三角形的性质或构造法，不是截长补短法的直接应用）D.利用线段的相等关系来证明三角形的全等7.在使用截长补短法时，如果延长了某条线段，通常是为了：A.增加图形的面积B.构造一个与已知线段相等的线段（答案）C.改变图形的形状D.计算图形的周长8.下列哪个步骤是使用截长补短法证明线段相等时的常见策略？A.延长较短的线段至与较长线段相等B.计算两条线段的长度差C.通过截取较长线段的一部分来构造与较短线段相等的线段（答案）D.使用三角形的相似性质。
13.13专题13：截长补短法-角平分线
13.13专题13：截长补短法-角平分线一．【知识要点】1.截长补短（截长法，补短法）是证明线段和差问题的基本方法:有一类几何题其命题主要是证明三条线段长度的“和”或“差”及其比例关系。
这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。
所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已知线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。
所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等。
然后求出延长后的线段与最长的已知线段的关系。
有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。
二．【经典例题】1．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．2.如图，∠A=60°，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，求证：BD+CE=BC3.如图,△ABC中,AB>AC,AD是∠BAC的平分线，点P是线段AD上异于A，D的任意一点,则AB+PC与AC+PB的大小关系是( )A. AB+PC>AC+PBB. AB+PC<AC+PBC.AB+PC=AC+PBD.不确定4.如图,在等腰Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点D、E分别在CA的延长线和AC 的延长线上,AD=CE,F为BA延长线上的一点,且∠CFA=∠DFA,求证:DF十BE=CF.5.如图,△ABC中,∠BAC、∠BCA的平分线相交于点P,若∠CBA=40°,BC=AP+AC.（1）求∠PBC的度数;（2）求∠BCA的度数.6.（8分）如图,在△ABC中,AD、CE分别平分△BAC、△ACB, AD、CE交于O.(1)探究△AOC的度数与△B的数量关系;(2)若△ABC=60°, 求证:AC=AE+CD.7．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BD平分∠ABC．（1）求∠ADB的度数．（2）求证：BC＝BD+AD．三．【题库】【A】1.已知：AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证：AB＝AD+BC。
一题多解｜截长补短问题6种证明方法
一题多解｜截长补短问题6种证明方法重庆一中初2019级九下半期考试数学试题24题如图, 在正方形ABCD中, 点M是边BC上一点, 连接AM, 过点C作CH⊥AM交AM的延长线于点H, 延长CH于点N, 连接MN、BN.若∠MAD=∠BMN, 求证: AM=MN+CN.分析题目条件:（1）正方形（2）∠MAD=∠BMN（3）CH⊥AM结论让证明: AM=MN+CN, 这是一道截长补短的题目。
解析思路（1）由CH⊥AM和正方形这两个条件可以得到一个几何模型: “8”字型倒角。
由上图可知: ∠BAM=∠BCN；（2）由∠MAD=∠BMN和正方形这两个条件, 可以得到：∠MAD=∠BMN=∠AMB；方法1: 在AM上截取MN'=MN, 连接CN'（1）首先证明△BMN≌△BMN', 得到BN=BN', ∠MBN=∠MBN'；（2）再次证明△BCN≌△BCN', 得到CN=CN', ∠BCN=∠BCN'=∠BAM；（3）其次∠BAC=∠BAM+∠CAM=45°, ∠BCA=∠BCN'+∠ACN'=45°;所以∠CAM=∠ACN', 所以AN'=CN'（4）最后, 通过边之间的关系可以得到：AN'=CN'=CN, 所以AM=MN+CN方法2: 延长MN与AB相交于点G, 连接CG（1）首先∠AMB=∠GMB, MB⊥AG, 由“三线合一”知: MA=MG；（2）结合分析和第一步证明可知: ∠1=∠2=∠3（3）同理: ∠BGC=∠BGM+∠CGM=45°, ∠BCG=∠BCN+∠GCN=45°;所以∠NCG=∠NGC, 所以NG=NC; （4）最后, 通过边之间的关系可以得到：AM=MN+CN；方法3: 连接BD交AH于点E, 连接EC；（1）首先证明△ABE≌△CBE, 得到AE=CE；（2）再次证明△ECM≌△NCM, 得到EM=MN;（3）最后, 通过边之间的关系可以得到：AM=MN+CN；方法4: 在AB上截取BG=BM, 连接CG交AM于点P（1）首先证明△ABM≌△CBG, 得到∠BAM=∠BCG=∠BCN, AG=CM；（2）再次证明△APG≌△CPM, 得到AP=CP;（3）然后证明△PCM≌△NCM, 得到CN=CP=AP;（4）最后, 通过边之间的关系可以得到：AM=MN+CN；方法5: 延长AB与MN相交与点G, 延长CN与BG交于点Q（1）首先∠AMB=∠GMB, MB⊥AG, 由“三线合一”知: MA=MG；（2）△GBM≌△CBQ, 所以边之间的关系可以得到QG=CM；（3）△GNQ≌△CNM, 所以NG=NC, NQ=NM；（4）最后, 通过边之间的关系可以得到：AM=MN+CN；方法6: 延长AB与CN交于点G, 连接MG；（1）首先证明△ABM≌△CBG, 所以∠AMB=∠NMB=∠CGB；（2）同时△BGM为等腰RT△；（3）所以∠NGM=∠CGB-45°；∠NMG=∠BMN-45°；所以∠NGM=∠NMG；所以NG=NM；（4）最后, 通过边之间的关系可以得到：AM=MN+CN；。
角平分线（截长补短问题）
1、 已知，如图，四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC ，BD 平分∠ABC ，求：∠A+∠C 的度数
B
B
方法1： 方法2：
2、 已知：点P 是∠MON 的平分线上的一个动点，射线PA 交射线OM 于点A ，将射线PA 绕点P
逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB+∠MON=180°。
求证：PA=PB
T
T
方法1： 方法2：
3、(拓展提高)如图，A E∥BC，AD，BD分别平分∠EAB、∠CBA，EC过点D，求证：AB=AE+BC
4、（拓展提高）已知：如图，△ABC中，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，
AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系，并说明理由
A
作业：
1、 已知A B ∥CD,AE 、DE 分别平分∠BAD 和∠ADC ，过点E 作直线交AB 于点B ，交DC 于点C ，
若AB=2，DC=3，求：AD
2、 (拓展提高)已知：在三角形ABC 中，∠B=2∠C ，AD 是∠BAC 的角平分线。
问：线段AB 、
BD 、AC 有什么关系？说明理由
B
C
3、 （拓展提高）如图：已知△ABC 中，AB=2AC ，AD 平分∠BAC ，AD=BD ，求证：D C ⊥AC(至
少用两种方法证明
)
B。
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典型方法介绍
2.截长补短法
例2：如图，AC平分∠DAB, ∠ADC+ ∠B=180 °.求证：CD=CB 在AB上作点E，使得AE=AD 提示：等角对等边
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典型方法介绍
2.截长补短法
例3. 如图，AD∥BC，点E在线段AB上，
∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.
求证：CD=AD+BC.
延长AD至G，使得AD=DG，连接GB
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典型方法介绍 2.截长补短法
截长：1.过某一点做长边的垂线 ；
2.在长边上截取一条与某一短边相同的 线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短：1.延长短边；
2.通过旋转等方式使两短边拼合在一起 。
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典型方法介绍
2.截长补短法 例1：如图，在△ABC中， ∠BAC=60 °,AD是 ∠BAC的平分线，且AC=AB+BD,求∠ABC的度 数。 在AC上作点E,使得AE=AB
A
∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，
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在△ABD与△AED中,
B
D
C
图4-1
∴△ABD≌△AED（AAS）,
∴AB=AE.
又AE=AC+CE=AC+DC，
∴AB=AC+DC.
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典型方法介绍
2.截长补短法 变式.已知：如图,ΔABC中,∠1=∠2, 且 AB=AC+CD.求证:∠C=2∠B.
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3
典型方法介绍
1.倍长中线法 例2:已1 知D是AB中点，∠ACB=90°，求证 CD= 2 AB
延长CD至E，使得DE=CD，连接AE
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典型方法介绍
1.倍长中线法 例3：如图，在 △ABC中，AD是中线，BE交 AD于F，且AE=EF，试说明线段AC与BF相等的 理由。
全等三角形专题一
倍长中线及截长补短法
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1
典型方法介绍
1.倍长中线法：延长中线，使所延长部分与 中线相等，然后连接相应的顶点，则对应角 对应边对应相等。
常用于构造全等三角形
倍长中线法多用于构造全等三角形和证明边 之间的关系
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2
典型方法介绍
1.倍长中线法 例1：已知AB=4，AC=2，D是BC中点， AD是整数，求AD 延长AD至E，使得AD=DE,连接EB
D
AD在ຫໍສະໝຸດ ACD43 E2
1
B 图2-2
上
F截
E
取
CF=CB，
C 精选ppt
B 图2-1
C
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典型方法介绍
2.截长补短法
例4：已知：在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1 ＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
A
12
B
D
C
图精4选-p1pt
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证明：方法一（截长法） A
在AB上截取AF=AC，如图4-3
12
在△AFD与△ACD中,
B
D
C
∴△AFD≌△ACD（SAS）,
图4-1
∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.
又∵∠ACB＝2∠B，
∴∠FDB＝∠B，
∴FD=FB.
∵AB=AF+FB=AC+FD，
∴AB=AC+CD.
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证明：方法二（补短法）
延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图4-2
∴∠ACB＝2∠E，