离散极小值原理(离散与连续做对比)

[
]
（4） ）
所以，离散广义泛函可写为： 所以，离散广义泛函可写为：
Ja = ϕ[x(N)] + γ ψ [x(N)] + ∑ H(k ) − λT (k )x(k ) + λT (0)x(0) − λT (N)x(N)
T k =0
N −1
[
]
（5） ）
对上式取一次变分， 对上式取一次变分，考虑到
将 u∗(k) 表达式代入状态方程，可得 表达式代入状态方程，
x 2 (k + 1) = x 2 (k ) − 0.1λ 2 (k + 1)
分别等于0和 ， 令k分别等于 和1，有 分别等于
x1 (k + 1) = x1 (k ) + 0.1x 2 (k )
x 1 (1 ) = x 1 (0 ) + 0 . 1 x 2 (0 ), x 2 (1 ) = x 2 (0 ) − 0 . 1 λ 2 (1 ), x 1 (2 ) = x 1 (1 ) + 0 . 1 x 2 (1 ),
∂H (k ) = 0.1u (k ) + 0.1λ 2 (k + 1) = 0 ∂ (k )
∂ 2 H (k ) = 0 .1 > 0 2 ∂u (k )
故 ：
u ∗ (k ) = − λ2 (k + 1)
k 可使H(k)=min. 令： = 0 , k = 1 可使
∗ ∗ 得 u (0) = −λ 2 (1), u (1) = −λ 2 (2),
（2）列方程： ）列方程：
状态方程： 状态方程：
∂H (k ) x(k + 1) = ∂λ (k + 1)
协态方程： 协态方程：
∂ H (k ) λ (k ) = ∂ x (k )
u ( k )∈Ω
控制方程： 控制方程：
H ∗ (k ) = min H (k )
（3）解上述方程构成的方程组。 ）解上述方程构成的方程组。 （4）积分常数及末端时刻的确定。 ）
∗
2000 λ (0) = , 300
2000 λ (0) = − 100
∑ [λ (k + 1)x (k + 1)] = ∑ [λ (m )x (m )]
N −1 k =0 N T T m =1
=
m =0
∑ [λ (m )x (m )]− λ (0 )x (0 ) + λ (N )x (N )
N −1 T T T N −1 k =0
= ∑ λT (k )x (k ) − λT (0 )x (0 ) + λT ( N )x (N )
δ (0) = 0 可得： 可得：
是任意的，可得： 令 δJ a = 0 ，考虑到变分 δx(k ) 和 δx(N ) 是任意的，可得：
∂H (k ) λ (k ) = , ∂x(k ) ∂ϕ ∂ψ T λ (N ) = + γ ∂x( N ) ∂x[N ]
对于： 对于：
∑
N −1 k =0
∂H (k ) =0 δ 不受约束时， 是任意的， 当 u (k ) 不受约束时， u (k ) 是任意的，故必有 ∂u (k )
T T T N −1 ∂ϕ ∂H (k ) ∂H (k ) ∂ψ T δJ a = + γ − λ (N ) δx(N ) + ∑ − λ (k ) δx(k ) + δu (k ) k = 0 ∂x (k ) （6） ） ∂u (k ) ∂x( N ) ∂x[N ]
相关条件为： 相关条件为： x (0 ) = x 0 ∂ϕ λ (N ) = ∂ x (N ) ∂ H (k ) =0 ∂ u (k ) （控制变量不受约束时的极值条件） 控制变量不受约束时的极值条件）
例：设离散系统方程为
：
1 0.1 0 x(k +1) = x(k ) + u(k ) 0 1 0.1
已知边界条件为： 已知边界条件为：
1 x (0 ) = , x (2 ) = 0
0 0
使用离散极小值原理求最优控制序列， 使用离散极小值原理求最优控制序列，使性能指标
J = 0.05∑ u 2 (k ) 取极小值，并求出最优轨线序 取极小值， k =0 列。
固定， 解：本例为控制无约束，N固定，末端固定的离散最优控制问题， 本例为控制无约束， 固定 末端固定的离散最优控制问题， 1）构造哈密顿函数已知边界条件为： ）构造哈密顿函数已知边界条件为：
∂ H (k ) ∂ u (k ) δ u (k ) = 0
T
（7） ）
当
∗ 时，不加证明得： H (k ) = min H (k ) 不加证明得： u (k ) ∈ Ω u ( k )∈Ω
3.2 末端自由时的离散极小值原理
末端自由—— 指末端状态自由；末端时刻固定或自由。 指末端状态自由；末端时刻固定或自由。 末端自由
x 2 (2 ) = x 2 (1 ) − 0 . 1 λ 2 (2 ),
不难解出最优解：
u ∗ (0 ) = −100,
1 x (0) = , 0
∗ ∗
u ∗ (1) = 100
1 x (1) = , − 10 2000 λ (0) = , 100 0 x (2) = , 0
问题的解法： 问题的解法：
（1）构造离散哈密顿（Hamilton）函数： ）构造离散哈密顿（ ）函数：
= L [x (k ), u (k ), k ] + λ T (k + 1) f [x (k ), u (k ), k ]
H (k )∆ H [x (k ), u (k ), λ (k ), k ]
λ1 (0 ) = λ1 (1), λ 2 (0 ) = 0.1λ1 (1) + λ 2 (1) λ1 (1) = λ1 (2 ), λ 2 (1) = 0.1λ 2 (2 ) + λ 2 (2 )
极值条件： 极值条件：
∂ H (k ) = λ 2 (k + 1) = 0 . 1 x 1 (k + 1) + λ 2 (k + 1) ∂ x 2 (k )
N −1
其中， 固定， 都是其自变量的连续可微函数； 其中，N 固定，f (• ) 末端状态 ϕ (• ) 和 L (• ) 都是其自变量的连续可微函数； m n x(k ) ∈ R ； u (k ) ∈ R ，其约束 u(k ) ∈Ω ， Ω 为容许控制域。末端状态受下列 为容许控制域。 目标集约束： 目标集约束：ψ (x(N )) = 0 。 且连续可微， 式中 ψ (•)∈ R r且连续可微，r ≤ n。 是使性能指标为极小的最优控制序列， 为相应的最优轨线序列， 若：u (k)是使性能指标为极小的最优控制序列， ∗ (k ) 为相应的最优轨线序列，则 x 必存在 r 维非零常向量 γ 和 n 维向量序列 λ (k ) ，使得最优解满足如下必要 条件： 条件：
∗
问题的解法： 问题的解法：
（1）构造哈密顿（Hamilton）函数 ）构造哈密顿（ ）
H (k )∆ H [x (k ), u (k ), λ (k ), k ] = L [x (k ), u (k ), k ] + λ T (k +1) f [x (k ), u (k ), k ]
ຫໍສະໝຸດ Baidu
（2）列方程 ）
∂H (k ) 状态方程： 状态方程： x (k + 1) = ∂λ (k + 1)
协态方程： 协态方程： λ (k ) = ∂ H (k )
∂ x (k )
控制方程： 控制方程：H ∗
(k ) = uminΩ H (k ) ( k )∈
（3）解上述方程构成的方程组。 ）
（4）积分常数确定 ）
x (0 ) = x ,ψ [x ( N )] = 0 0 ∂ϕ ∂ψ T + γ λ (N ) = ∂ x ( N ) ∂ x [N ] ∂ H (k ) =0 无约束时的极值条件 ∂ u (k ) 若u(k)无约束时的极值条件
极值条件的证明 证明：引入拉格朗日乘子λ (k ) 和 证明：
T N −1 k =0
γ
]
（1） ） （2） ）
J a = ϕ [x ( N )] + γ ψ [x ( N )] + ∑ H (k ) − λT (k + 1)x (k + 1)
[
T 令离散哈密顿函数 H (k ) = L[x(k ), u (k ), k ] + λ (k + 1) f [x(k ), u (k ), k ]
把（2）代入（1）得 ）代入（ ）
J a = ϕ[x(N )] + γ ψ [x(N )] + ∑{L[x(k ), u(k ), k ]+ λT (k +1)[ f (x(k ), u(k ), k ) − x(k +1)]
T k =0 N −1
} （3） ）
因为“离散部分积分” 因为“离散部分积分”
1
H(k ) = 0.05u 2 (k ) + λ1 (k +1)[x1 (k ) + 0.1x2 (k )] + λ2 (k +1)[x2 (k ) + 0.1u(k )]
2）列方程 ）
协态方程： 协态方程：
λ 1 (k ) = λ 2 (k ) =
∂ H (k ) = λ 1 (k + 1) ∂ x 1 (k )
3.1 末端约束时的离散极小值原理 问题1： 问题 ：x (k + 1) = f [x (k ), u (k ), k ], x (0 ) = x 0 (k = 0,1,⋅ ⋅ ⋅, N − 1)
性能指标： 性能指标： J = ϕ [x( N )] +
K =0 =0
∑ L[x(k ), u(k ), k ]
问题1： 问题 ：x(k + 1) = f [x(k ), u(k ), k ], (k = 0,1,⋅ ⋅ ⋅, N − 1)
性能指标： 性能指标：
x(0) = x0
J = ϕ [x( N )] + ∑ L[x(k ), u (k ), k ]
K =0
N −1 −1
其中: 固定， 自由，其余同上节定理. 其中 N 固定，末端状态 x( N ) 自由，其余同上节定理 是性能指标为极小的最优控制序列， 若：u∗(k) 是性能指标为极小的最优控制序列，∗ (k) 为相应的最优轨线序 x n 维向量序列 λ (k ) ，使得最优解满足如下必要条件： 使得最优解满足如下必要条件： 列，则必存在