高量7-01 二次量子化方法 b
量子力学中的量子场论与二次量子化
量子力学中的量子场论与二次量子化在量子力学的发展历程中，量子场论和二次量子化是非常重要的概念和方法。
量子场论是一种描述微观粒子行为的理论框架，而二次量子化则是将量子力学的基本概念扩展到多粒子体系的方法。
本文将介绍量子场论的基本知识和二次量子化的概念，以及它们在量子力学研究中的应用和意义。
一、量子场论1.量子场的概念在经典物理学中，物质和场是分开考虑的，而在量子场论中，物质和场被统一起来考虑。
量子场是一种能量和动量在空间中传播的物理场，它可以看作是许多谐振子的集合。
量子场论通过对场算符的量子化来描述不同种类的粒子。
2.量子场算符量子场算符是量子场论的基本工具，它们可以创造和湮灭粒子。
对于费米子，如电子，量子场算符是具有反对易关系的费米子算符；对于玻色子，如光子，量子场算符是具有对易关系的玻色子算符。
3.场的量子化量子场理论将经典的场理论量子化，通过将经典场变量替换为动量和哈密顿算符的算符形式，从而得到了量子场的描述。
量子场的量子化过程涉及到将场展开为一组谐振子模式，而这些模式称为量子场的模式展开。
二、二次量子化1.多粒子态和Fock空间二次量子化是将量子力学的基本概念推广到多粒子体系的方法。
在二次量子化中，多粒子态由一系列粒子的量子数来描述，而不再是单个粒子的波函数。
Fock空间是用于描述多粒子态的数学空间，它由一系列单粒子态的张量积构成。
2.产生算符和湮灭算符二次量子化中，使用产生算符和湮灭算符来操作多粒子态。
产生算符可以将系统中没有粒子的态变为有一个粒子的态，而湮灭算符则将有一个粒子的态变为没有粒子的态。
这两个算符满足一系列对易或反对易关系。
3.二次量子化的物理意义二次量子化的方法可以更方便地描述多粒子体系的行为，例如，可以通过产生算符和湮灭算符来计算多粒子态的能量、动量等守恒量。
此外，二次量子化还是研究粒子之间相互作用和散射等过程的重要工具。
三、应用和意义1.量子场论在粒子物理中的应用量子场论是研究基本粒子物理学的重要工具，例如，量子电动力学(QED)是量子场论的一个重要分支，用于描述电磁相互作用。
二次量子化
二次量子化说到二次量子化得先说说粒子得统计法，微观粒子按照统计法可分为波色子和费米子统计法。
波色子统计法；相同粒子时不可分辨的。
而同时处在亦个单粒子态上的粒子数不受限制。
所谓得不可分辨性时指粒子的交换不改变系统得状态。
泡利不相容原理，不可能由俩个或者多个电子同时处在亦个态上。
实验表明：具有整数得自旋值得粒子遵从波色统计，具有半整数得自旋粒子则遵从费米统计。
用12(,......)n ϕεεε代表N 个相同粒子得ε表象得波函数在交换粒子时状态保持不变。
因而波函数只能改变亦个 常数因子。
即()()121212,......,......n n ϕεεελεεε= 121λ= 俩此交换这对粒子，得2121λ= 故121λ=± 1213141.........n λλλλ===可知波函数只能时全对称或全反对称得。
由叠加原理可知，对一定系统来说，波函数空间或者只包含全对称函数或者全反对称函数。
由此波函数得对称或者反对称取决于粒子得类型。
按照粒子得这个性质，可以把它们分为两类。
一类粒子得多体波函数时全对称得，另亦类粒子得多体波函数时反对称得。
例如一种最简单得全对称波函数是()()()12.........n αααϕεϕεϕε这个波函数表示任意N 个粒子处在同一个单离子态上，可见这种类型得粒子时波色子。
不难看出，表示系统中由俩个或者多个相同粒子处在同一个单粒子态得波函数对于这些粒子得交换必然述对称得。
因此与系统的全反对称波函数正交，即时说，在全反对称波函数描写得状态夏发现俩个或者多个粒子处于同一个单粒子态得概率等于零。
可见由全反对称波函数描述得粒子遵从泡利不相容原理。
二次量子化就是亦数学形式，通过生产算符和消灭算符作用在一个N 粒子B 值确定得状态上，所得状态时在原状态增加或者减少一个亦个B 值为b 得粒子。
产生算符和消灭算符由于()12.....N N 得全部允许值决定一组正交归一和完备得基本右矢12.....N N ，这组右矢可以看做广义态矢量空间得亦组算符得共同本征右矢，而12N N 时各个算符得本征值。
高等量子力学补充专题二次量子化简介PPT课件
因A无散，A•p+p•A=2A•p=BLz, A2=¼B2(x2+y2)
故 （B2 项一般可忽略
考虑电子自旋磁矩与磁场的作用，可将H分为：
将HB作为微扰，采用H0+HLS的J2,Jz本征态为基矢，则一阶能移为：
Sz的期待值可求出为
得
，此即Zeeman效应。
四距离的两中性体系,由于诱导电偶极矩的作用，其相互吸引势具 为1/r6的形式，称为Van der Waals作用。
例如两氢原子相距r，H=H0+V,
零级解的基态为
将V按ri/r展开，
首项对应距r的两电偶极矩的相作用,高阶项对应高阶的电极矩作用.
不同l 的能级分裂，l 越大能量越高。
自旋轨道作用可定性地理解为：在电场中运动的电子感受到等效磁场
Beff
H LS
v
E
c
v ce
Beff
Vc
(r)
eS mc2
p mec
x r
1 e
dVc(r ) dr
，其对电子磁矩作用导致
1 m 2c2
1 r
由于V具Yml>0 形式,一阶能量修正为零。二阶能量修正为
对基态,分母为负,两氢原子相互吸引。
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2019/8/8
§5.4 变分方法
微扰方法需要知道与H相近的体系的解。若不知道H0的解，则估计H基态 能量较好的方法是变分法。 若以尝试态矢 ~0 表示真正的基态|0>,则其能量期待值是E0的上限:
A
5.6me mp
二次量子化 一维单原子链
二次量子化一维单原子链二次量子化是量子力学中的重要概念之一，它在描述多粒子体系时非常有用。
本文将讨论一维单原子链的二次量子化过程。
一维单原子链是由一系列相互作用的原子组成的，它可以用于研究材料的电子结构、声子传播等问题。
在二次量子化中，我们将一维原子链中的每个原子视为一个量子力学的基本单位，即一个量子态。
通过引入产生算符和湮灭算符，我们可以方便地处理多粒子体系的量子态和相互作用。
在一维单原子链中，每个原子可以处于两个可能的状态：自旋向上或自旋向下。
我们可以用一个二维希尔伯特空间来描述这个系统。
对于一个含有N个原子的链，我们可以用一个N维的列向量表示整个系统的量子态。
例如，对于一个含有三个原子的链，我们可以用如下的形式表示量子态：|↑↑↑⟩= |↑⟩⊗ |↑⟩⊗ |↑⟩其中|↑⟩表示自旋向上的态，⊗表示张量积。
在二次量子化中，我们引入了产生算符a†和湮灭算符a。
产生算符a†可以将一个粒子从自旋向下的态变换为自旋向上的态，而湮灭算符a则相反。
它们满足如下的对易关系：[a,a†] = aa† - a†a = 1利用这些算符，我们可以方便地表示一维单原子链中的量子态和相互作用。
例如，我们可以用产生算符和湮灭算符来表示自旋向上和自旋向下的态：|↑⟩= a†|0⟩|↓⟩ = a|0⟩其中|0⟩表示真空态，即没有粒子的态。
在一维单原子链中，原子之间可以存在相互作用。
我们可以用相互作用哈密顿量来描述这种相互作用。
例如，我们可以用下面的形式表示相互作用哈密顿量：H = ∑(Ji a†i a†i+1 + hi a†i ai + h.c.)其中Ji表示相邻原子之间的相互作用强度，hi表示每个原子的自旋能级。
通过引入产生算符和湮灭算符，我们可以方便地处理相互作用哈密顿量。
例如，我们可以用产生算符和湮灭算符来表示相互作用哈密顿量中的项：a†i a†i+1 = (a†i + a†i+1)(a†i - a†i+1)/2hi a†i ai = hi (a†i a†i - a†i ai)/2h.c.表示共轭项。
二次量子化简介
n !
!
2
t
f (n1L
n ,t)
i
iT
i
ni
L
ni L N!
! 2
f (n1L
ni L
n ,t)
1
i j
iT
L j ni
(ni 1)!L (nj 1)!L N!
2
f (n1L
ni 1L
nj 1L n ,t)
1
i jkl
ij V kl
1 2
ni
n
j
L
(ni
1)!L
(nj 1)!L (nk 1)!L N!
可简化为：
ih t
f (n1L
n , t)
i
i T i ni f (n1L ni L n , t)
1
1
i T j (ni )2 (n j 1)2 f (n1L ni 1L n j 1L n , t)
i j
i jk l
ij V kl
1 2
(ni
)
1 2
(n
j
)
1 2
(nk
1
1) 2 (nl
E'
W
W'
1 2 nE
(nE'
EE'
)
EE' V WW '
C(n1 L nE 1L nW 1L nE' 1L nW' 1L n,t)
i
j
k
l
1 2ni (nj
ij
)
ij V kl
C(n1 L ni 1L nk 1L nj 1L nl 1L n,t)
薛定谔方程变为：
二次量子化
二次量子化寒假里忽然想起曾经在看曾书10.3节角动量的Schwinger表象有一个奇思妙想。
当初记在书上的笔记是“一般Hamiltonian可表示为H(x,p), x、p可用a+、a处理，如果H为x、p的二次式，则可用H(a+,a)与[a+,a]求解”现在仔细回想这段话，当初的意思应该是：在经典力学里面，哈密顿量可以表示成两个独立变量的函数（上次还看到说只需要这两个独立变量x和x的一次导数就完备了，不需要诸如x的二次导数、三次导数那些变量，据说朗道书里有讲，本人没细究过），在处理谐振子的时候我们通过引入升降算符a+、a，把哈密顿量表示成H(a+,a)，接下来利用[a+,a]=1构造出粒子数算符，谐振子的各个能级就轻而易举的解出来了。
然后我看到角动量居然也可以用升降算符表示（确切的说是产生湮灭算符），这就很容易想到，是否所有的力学量都可以用升降算符表示？既然哈密顿量是力学量的函数，通过表象变换到升降算符表象，哈密顿量显然也可以表示成升降算符的函数H(a+,a)，如果哈密顿量是x、p的二次型，利用升降算符的对易子[a+,a]，可以很容易求解出各个能级（二次型的考虑是记得当初在学经典力学里面有一个说法，只要哈密顿量是x、p的二次型，总可以用泊松括号求解，而泊松括号可以即狄拉克普朗克常数趋向于零的对易子，曾书习题4.7），求解的过程似乎可以和哈密顿力学的求解过程对应起来。
后来学了二次量子化，在那里，哈密顿量确实都表示成a+、a的函数，再回首当初的奇思妙想，算是二次量子化的发轫，但确实too simple, too naive.1、二次量子化里面的a+、a表示的产生湮灭算符，是指产生或湮灭一个态（这里采用fock表象），和谐振子里面的升降算符在概念上是有差异的。
2、哈密顿量一般来说是偶数次型，不仅限于二次型，还有四次型。
3、二次量子化虽然看起来似乎是一个表象变换，但是它已经把场量子化，这样子，才会有可能产生一个粒子或湮灭一个粒子。
二次量子化与场量子化
二次量子化与场量子化量子力学是描述微观世界中粒子行为的理论，其在理论物理学中占据着重要的地位。
而在量子力学的发展过程中，二次量子化和场量子化这两个概念也扮演着重要的角色。
本文将介绍这两个概念的背景、原理以及应用。
一、二次量子化的背景和原理1. 量子力学的初步建立量子力学是基于波粒二象性的理论，创立之初描述的是单个粒子的行为。
例如，薛定谔方程可以描述单个粒子的波函数演化。
然而，当牵扯到多粒子系统时，用波函数描述将变得复杂而困难。
2. 多粒子系统的场量子化为了处理多粒子系统，物理学家引入了场的概念，将多粒子系统的态用场的概念来刻画。
场的量子化将多粒子系统的态描述从波函数改为算符，进而引入了二次量子化的概念。
3. 二次量子化的原理二次量子化是在场量子化的基础上发展起来的，它在处理多粒子系统中具有巨大的优势。
在二次量子化中，波函数被替代为算符，物理量也相应地被替代为算符。
通过引入产生算符和湮灭算符，我们可以方便地描述多粒子系统中的粒子数变化。
二次量子化使得处理多体量子系统的问题更加简洁和有效。
二、场量子化的背景和原理1. 场的概念场是指空间中的某一物理量在各点上取值的函数。
例如，电磁场、量子场等都是以空间位置为参数的函数。
2. 场量子化的目的场量子化的目的是将传统的经典场理论转化为满足量子力学要求的理论。
在量子场论中，场是算符，而其本征态则是粒子的态矢量。
3. 场量子化的原理场量子化的基本原理是将经典场的变量替换为算符，同时引入对易关系和正则量子化条件。
通过这种方式，我们可以得到满足量子力学要求的场的量子理论，从而描述多粒子系统的行为。
三、二次量子化和场量子化的应用1. 二次量子化在凝聚态物理中的应用二次量子化在凝聚态物理学中具有重要的应用价值。
例如，在超导理论中，通过二次量子化的方法可以很方便地描述库伦相互作用和超导电子之间的相互作用。
2. 场量子化在粒子物理学中的应用场量子化在粒子物理学中也有广泛的应用。
第八章二次量子化
（1）与场量ψ (r,t) 对应的正则共轭动量场为
π
(r,t)
=
∂L ∂ψ (r,t)
=
i=ψ
*(r,t)
（2）Hamilton 量 Hamilton 密度为
h = πψ − L = =2 ∇ψ * ⋅ ∇ψ + ∇ψ *ψ 2µ
对上式积分，得场的 Hamilton 量
H
=
∫
hdr=∫ drψ
* (r , t ) −
1 φ j (q1) N! "
φ j (q2 ) "
" "
φ
j
(qN "
)
.
φk (q1) φk (q2 ) " φk (qN )
若粒子自旋与轨道作用可以忽略，则体系的波函数可以写成坐标函数和自旋函数之积，即
Φ
K (r1s1
,
K r2
s2
,",
K rN
sN
)
=
φ
K (r1
,
K r2
,",
K rN
)
χ
i
N！
P
Pφi (q1)φ j (q2 )"φk (qN ) .
P 表示 N 个粒子在波函数中的某一排列， ∑ 表示对所有的排列求和, ni 代表单粒子哈密顿 P
算符第 i 个本征态的粒子数。
130
b、费米子体系波函数的形式为
φi (q1) φi (q2 ) " φi (qN )
Φ A (q1, q2 ,", qN ) =
§8.3 薛定谔场对易规则的二次量子化 一、二次量子化的两条规则 规则一：将普通场量函数替换为非对易的场算符。
二次量子化理论.
为使拉格朗日方程
(
3
1
0i i
i L L
L x
x t ψ
ψψ=∂∂∂∂∂-
-
=∂∂∂∂/∂∂∂∑
(
3
*
*
*
1
0i i i L L
L x t x ψ
ψ
ψ=∂∂∂∂∂--
*
'
'
3
3'
1
, , , , , 2
x t x t V x x x t x t
d x d x ψψψψ+
⎰⎰
在以上的讨论中, (, x t ψ和质点组( i x t一样,还是一个经典系统,找到正则动量后就可以进行量子化了。量子化的过程是把(, x t ψ和(*, x t ψ看成正则坐
标算符,把(, x t π和(*, x t π看成相应的正则动量算符,并给他们以对易关系。由于现在((*, , x t i x t πψ=而(*, 0x t π=,所以对易关系只有一套,即
一次量子化的对象是系统的正则坐标( i x t ,若系统是(非全同的n粒子系统,则1, 2, 3i n =⋅⋅⋅;而二次量子化的对象是一个复标量场(, x t ψ,如果把
(, x t ψ和(*
, x t ψ
看成独立的广义坐标,则其中的x与前者的i相当,由于x可取
连续的不可数无穷多个值,这是一个无穷多自由度的系统。
((, , S
x t x t ψ
ψ→ ((* , , S x t x t ψψ→
而它们仍满足原来的薛定谔方程,即(36.20式。(2赋予这些算符以同时对易关系式:
12二次量子化方法
[第12讲]“一次量子化”与“二次量子化”━━ “古怪”与“不古怪”I，前言II，量子力学的建立━━“无厘头”的一次量子化III, Maxwell场协变量子化━━需要“鬼光子”的一次量子化1，Lorentz规范下协变形式量子化2, 不定度规、负模态、鬼光子3、附加条件━━“协变性要求有鬼，条件保证了看不见它们” IV，“ Schrödinger 场”的二次量子化━━其实不古怪1，“ Schrödinger 场”的“经典”场论2，“ Schrödinger 场”按对易规则二次量子化3，“Schrödinger 场”按Jordan-Wigner规则二次量子化4，将两种二次量子化结果转入粒子数表象5, 与全同多体量子力学的等价性━━所以不古怪6，二次量子化中对易规则选择问题V，自作用“ Schrödinger 场”的二次量子化━━再次的不古怪1, 自作用“ Schrödinger 场”的二次量子化2，转入粒子数表象3，转入坐标表象VI，二次量子化方法评论━━可以理解的古怪※ ※ ※I, 前 言学过量子力学的人都知道，文献和书中经常会遇到说法：经典力学经过“一次量子化”“过渡到”量子力学。
其实，从科学观点看，这个“一次量子化”实在是个“无厘头”的东西。
然而，古怪并不到此为止，更有甚者：在量子力学中，再经过 “第二次量子化”，还可以从单粒子量子力学转向建立相对论量子场论。
并且理论与实验还广泛符合，十分成功！本讲专门谈谈这两个古怪。
结论是: 一次量子化是“无厘头”的古怪，二次量子化的基础是波粒二象性，是理性的不古怪。
II ，量子力学的建立━━“无厘头”的一次量子化先简单重复一下“一次量子化”具体内容：将牛顿力学的力学量转化为作用到系统状态空间上的算符（开始了“无厘头”的逻辑飞跃！），同时也就得到坐标和动量的对易规则，构成算符的非对易代数：()ˆˆˆ,,ˆˆ,,,,i j i j r r p p i E E i t x p i i j x y z δ∂⎧→→=-∇→=⎪∂⎨⎪⎡⎤==⎣⎦⎩接着再将牛顿力学能量等式()22p E V r m=+对应地转化成算符方程，作用到表征状态的实变数复值函数(),r t ψ上，就得到状态运动方程：()()()2,,2r t i V r r t tm ψψ∂⎛⎫-=∆+ ⎪∂⎝⎭现在得到了算符的非对易运算规则，又有了状态运动方程，再添加一点与实验测量和物理解释有关的辅助公设，就能建立起非相对论量子力学。
“高等量子力学”补充专题： 二次量子化简介
根据x与p的对易关系，得
定义 故有
1` a , a 2 x, p i p, x i 1
m 2 p2 i 1 N a a x x , p 2 2 2 2 m 2
由波函数的对称性得： x p 0
2
2 x0 基态时： x 2m 2
,
m p , 2
2
2 (x) (p) 4
2 2
。
满足最小测不准关系(基态波函数具有高斯形式)。
由 x 2 (a 2 a 2 a a aa ) (a 2 a 2 2 N 1)
在n表象中，x和p均非对角（x、p与N不对易）。
四、本征波函数
用算符的方法可得出坐标空间的能量本征函数。
x | a | 0 0 x | m ip m d x | 0 x x | 0 2 m 2 m dx
n 0 2
n exp n n!
n
n 是某平均n
2． 可由 0 经原点平移一定距离而得。
3． 满足最小测不准关系。
与 0 的关系
0 ( x ' L) x ' | T ( L) | 0 x ' | e
iLp /
| 0 x ' | e
( a a )
可得
it i 2 2 H , H , x(0) x(t ) x(0) [ H , x(0)] 2 … 2!
1 t 3 2 p(0) p(0) 1 2 2 x(0) t t x(0) … 3! m m 2!
二次量子化方法
Φ x Φ = ∑ 0 bi ba bβ b 0 xαβ = xii
αβ
∧ ∧ ∧ + ∧ + i
∧ +
= ∫ dxψ i∗ ( x) xψ i ( x)
和量子力学中结果相同
外场中粒子化波场中的势能算符 V = ∫ dxψ α ( x) xψ β ( x) = ∑ ba bβ Vαβ
αβ
∧ ∧+ ∧ ∧ ∧ +
2的哈密顿量也变成了算符算符是来源场量和的算符性所以是二次量子化的算符转化到粒子数表象为了引入粒子数表象我们取了正交完全函数集将场算符展开可取一次量子化理论中一单粒子力学量算符的本证函数集可得算符展开式是逆变换关系利用变换关系和算符对易关系得出量子化波场的哈密顿算符公式二次量子化中的力学量一次量子化理论中概率密度和粒子数密度以及所有力学量的平均值都变成了算符这种算符就是二次量子化中的力学量粒子数密度期望假设因为和化简上式坐标算符二次量子化中的算符是由量子力学中的坐标算符平均值转换而来粒子数表象和量子力学中结果相同动力学方程二次量子化中的力学量是通过场算符来构造的如果一次量子化中采用薛定谔绘景那么二次量子化采用海森堡绘景以算符是运动方程为例将哈密顿算符带入运动方程中将哈密顿算符代人运动方程海森堡动力学方程化简为
2u 拉氏密度需要将它代入拉式方程中得到上面的薛定谔方程 • ∂ζ ∗ ∂ζ = −Vψ , = iηψ − Vψ ∗ ∂ψ ∂ψ ∂ζ ∗ ∂ζ = iηψ , =0 • ∗ ∂ψ ∂ψ ∂ζ ∂ (∂ψ ∂xi ) =− ∇ψ ∗ ⋅∇ψ − Vψ ∗ψ
二次量子化理论.
n b b b n b b b
P b b b
b b b n αβναβν
ααββνν
ε
δδδ'
'
'
'
'
'=---∑
即称化基矢的正交归一化关系。
根据这个关系,不同的基矢是正交的,但一个基矢与自己的内积并不全等于1,对于连续谱也不全等于δ函数,而有时是δ函数再乘一个常数。目前我们还不想改变这个情况,因为(30.8式是很方便的,一律改成1或δ函数反而不便。可以认为(30.8式右边是全同粒子系统的对称化的δ函数。这种情况仍称之为归一化。
n b b b a b bb b b
αα
αβαβ
αβναβν
=
=
=
=+
注意由右矢写出相应的左矢时,号内部的内容并不改变次序,因此,新产生的粒子仍应写在最左端。
同样可以得出(
a b与(
a b '的对易关系:
( ( ( ( 0
a b a b a b a b
ε
''
-=
也可以写出
0(
2; ( ( (
; ( ( ( (
1
2
1
; !
P
S
n
P
n b b b
P b
b
b
n α
β
ν
α
β
ν
ε=
∑
只需对玻色子取1ε=,对费米子取1ε=-即可。这一基矢描写的是在n个粒子中,有一个处于b β态,„„,一个处于b ν态的状态。由于已经对称化(以后用对称化一词兼代表反对称化,粒子的编号已无物理意义,因此左边的基矢符号中不出现粒子的编号。
Chapter二次量子化
第二章 二次量子化
2019年8月14日星期三 2时19分51秒
1
２００9年10月
引言
●全同多粒子体系难以用通常的波函数处理
→发展了二次量子化方法 ☻ † 引入粒子占有数表象—用各单粒子态填充
的粒子数描述状态；交换对称性自动满足
† 基本算符：粒子的产生算符和消灭算符
† 任意态矢和力学量均可用它们表示
特例， a a 0(Pauli原理） 相应的伴式，... 0 ...a a a
[a , a ] 0
2019年8月14日星期三
24
2时19分51秒
由单粒子态的归一性， 1
a a 0 a 0
湮灭算符的含义，a 0 0 一般性，
n 1, n 1...n 1... 11...1 ...
... ...
再考虑其，一个单粒子态最多只允许占据一个粒子，
... ... a a a ... 0 ,
a , a , a 分别表示各态上的粒子产生算符，
2019年8月14日星期三
19
2时19分51秒
归纳法可证明，其归一化本征态，
n 1 (a )n 0 , n!
0 为基态，零点能E0 / 2
n 1 (a )n 0 , n!
[a, a ] 1
a n n 1 n 1 }
a n n n 1
其伴式，n a n 1 n 1 ; n a n n 1
18
2时19分51秒
引进无量纲算符，
a 1 (x ip) 2
a 1 (x ip), 2
根据[x, p] i,易得，[a, a ] 1,
06_二次量子化
代入哈密顿量表达式，有
1⎞ ⎛ ˆ H = hω ⎜ a + a + ⎟ 2⎠ ⎝
作线性变换：
a= mω 2h
引入算符粒子数算符N ：
ˆ N = a+a
则: 以上两个算符互为厄米，称为谐振子的一对升降算符。 （也称为粒子的湮灭算符与产生算符） 逆变换为：
x= h a + a+ , 2mω
⎛ ˆ 1⎞ ˆ H = hω ⎜ N + ⎟ 2⎠ ⎝
注意到对易关系： [ N , a ] = − a , [ N , a + ] = a + ˆ ˆ 也就是：
ˆ ˆ N a = a ( N − 1) , ˆ ˆ N a + = a + ( N + 1)
两者比较，结论： λ 0 = 0
0
+ 由： λ a a λ = λ λ λ = λ
而且
λ a + a λ = ( λ a + )( a λ ) ≥ 0
e λ a ae − λ a = a − 2 λ a + , e
λa +2
2 +2 +2
+
+
+
+
+
+
二、玻色子系统的二次量子化 三、费米子系统的二次量子化 四、波场的二次量子化
e λa a + e − λa = a + + 2λ a
2 2
f ( a , a )e
+
− λa +2
2
= f ( a − 2λ a , a )
k =l ψ k ( q1 )ψ l ( q 2 ) ⎧ ⎪ Ψ kl ( q1 , q 2 ) = ⎨ 1 [ψ k ( q1 )ψ l ( q 2 ) + ψ l ( q1 )ψ k ( q 2 ) ] k ≠ l ⎪ 2 ⎩
二次量子化理论
s 2 s1 SM
2 s- S
就是说，这时交换两粒子，使系统自旋波函数多出 (- 1)
。可是，另一方面，根据自旋与
对 称 性的 关系的相对论量子力学 结论，这 全同双 粒子系统的 总波 函 数在粒子交换时 应出
(- 1)2 s （ s 为整数时 + 1 ，半整数时 - 1 ，前者对应玻色子系统对称波函数，后者对应费米子
k
由y nA 表达式得到一个重要结论：如果在 n1 , n 2 , L 中有任何两个数值相同，系统的 1 , n2 ,L 反对称波函数将为零，只当它们全部都不同时，系统的反对称的波函数才不为零，由此，费 米子系统中，不可能有两个（或更多个）粒子在同一时刻处于同一态上，这就是“泡利不相 容原理（1925） ” 。 <玻色子体系> 与费米子体系不同，玻色子体系是由对称波函数描述的，于是不存在泡利不相容原理 那样的现象，所以同一个单粒子态上可以被不止一个粒子所占据，就是说， n1 , n 2 , L 中有 些是相同的（就它们是态编号来说） ，或 n1 , n 2 , L 可以大于 1（就它们是粒子数来说） 。 一个特殊的基本的对称态可表为
y i (x )}，就是说，它们都是单个费米子所可能占据的 任选一套单粒子态的正交归一完备组 {
定态，对应的完全力学量组变数为 x 。一个特殊的基本反对称态可以写为
y n1 (x1 ) y n1 (x 2 ) y n2 (x1 ) y n2 (x 2 ) 1 L = det ( , , ) y nA x x x L , n , , n 1 2 N 1 2 N M M N! y nN (x1 ) y nN (x 2 )
Pjky (L , x j , L , x k , L) = y (L , x k , L, x j , L) ，则由于 H 对此置换为对称，故有 [ H , Pjk ] = 0
二次量子化认识
1.二次量子化以后，波函数就升级为“波泛函”了。
Wave functional? 嗯，我又民科了，这个词是我生造的 :-)……所谓量子化就是一个确定性丧失的过程。
在一次量子化中，所有物理量的确定性都丧失了。
形式上看，就是物理量从确定的数，变成不确定的算符。
但是一个算符挂在空中摆来摆去是没有意义的。
只有当算符落实到波函数上的时候，它才能获得意义。
所以波函数的引入，对于一次量子化来说，是显然而且必须的。
波函数是关于粒子状态的函数，取值为复数，其模方表示粒子出现在该状态的几率。
从此，一切物理量都依概率分布，我们再也不能问“能量是多大”，只能问“能量是这么大的概率是多少”。
但是一次量子化并不是一场彻底的革命。
有两个物理量仍然是确定的，是可以测准的：一个是几率本身，另一个是作为相位的作用量。
它们合在一起可以构造出波函数。
既然一切物理量都不确定了，那么为什么只有概率分布还是确定的？概率分布为什么不能也依概率分布？因此，二次量子化就是要继续这场革命，将不确定进行到底，剥夺波函数的确定性，把波函数算符化，使之成为场算符。
但是场算符本身也是没有意义的，因为任何算符都不能独立存在，场算符最终也要落实到一个对象上去。
但那不是波函数，因为场算符本身就代表波函数，因此场算符应该作用在更高级的波函数上，那就是波泛函Ψ。
波泛函是一个从Hilbert空间向复数域的映射，Ψ[φ] 把场的每种经典构型φ(x) （也就是波函数），映射到一个复数Ψ 上。
这个复数就描述了出现φ(x)那种波函数的几率幅，因此可以说是几率之几率。
所有的波泛函构成一个更大的“Hilbert空间”。
基于这种构造，我们还可以实施第三次量子化，就是把波泛函再正则量子化为泛函场算符。
这样这些场算符同样需要落实。
它们作用在“波泛泛函”上面。
如此递推，可至无穷。
事实上，从量子力学开始第一次量子化的时候，它就已经蕴含了以后所有阶次的量子化。
有了一次量子化就会有二次，有了二次就会有三次。
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ˆ 1和H ˆ 2的相对影响依赖于原子 序数 H
轻原子，前者重要，后者可视作微扰 重原子反之；一般原子，二者都较重要→
ˆ H ˆ0 H ˆ2 H ˆ1 H
ˆi ˆ0 H ˆ 2 h H
i 1
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Z
2 [ 2 m i i 1
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28
一、正规积与收缩
●收缩的定义 两算符乘积的收缩＝乘积－正规积
总共只有四种收缩
→收缩是个数
0 | AB | 0 0 | AB N ( AB) | 0 AB
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二、Wick定理
●n个产生算符与m个消灭算符的交叉乘积 在真空态上的平均值
j i i j j i j i j i j j i
i
)
代入双粒子位能算符矩阵元表达式→
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三、Wick定理的应用
●哈密顿量在粒子数表象中的的表达式 N个全同费米子体系零级哈密顿量的解
i
i 1
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21
一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
a a | n1n2 ni ni | n1n2 ni
i i
当ni 0 当ni 1
ˆ N a a 的意义——粒子数算符
i i i
总粒子数算符
N 1
1
N
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32
三、Wick定理的应用
▲计算双粒子算符的矩阵元
0 | a a a a a a a a | 0
N 1 1 N
N 1
N
i j j 1
i j
(
二、全同玻色子体系的波函数
●N个玻色子占有N个状态 一般表达式
N=3的例子
●N个玻色子占有m个状态
一般表达式
N=3的例子
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三、一般结论
●对称性确保满足全同性——不可分辨性 费米子体系波函数的反对称性 确保满足泡利不相容原理 ●在中心场近似下，只需知道 1、哪几个单粒子态被占有 2、每个单粒子态上有几个粒子 即可知道全同粒子体系的状态
●态矢量的正交归一化 →产生算符与消灭算符之间的对易关系 态矢量内积；三个可能值
N=1的情况
N=2的情况
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一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
●N个费米子处于N个单粒子态的态矢量表示 态矢量表示 厄米共轭 反对易关系 利用对易关系计算
a | 1 1 11 0
2
Hale Waihona Puke Z Ze ri
2
(ri )li si ]
5
为单粒子算符之和，可分离变量求解
二、中心场近似
● 用单粒子位代替库仑排斥力
ˆ 1的存在使得H ˆ E不能严格求解 H
因电子间库仑斥力具有很大的球对称成分 →可取一球对称的单粒子位函数之和代替
ˆi U (ri )] e U (ri ) ˆ [h H r
分离变量求解
i 1
Z
ˆ 0 (1,2,, N ) E (1,2,, N ) H
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二、中心场近似
●原子核物理中的独立粒子模型
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8
§7.2 N个全同粒子体系的波函数
——零级近似波函数
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第七章 二次量子化方法
２００４年１２月
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1
引
言
●全同多粒子体系难以用通常的波函数处理 →因而发展了二次量子化方法 ☻ † 引入粒子占有数表象—用各单粒子态填充 的粒子数描述状态；交换对称性自动满足 † 基本算符：粒子的产生算符和消灭算符 † 任意态矢和力学量均可用它们表示 † 有系统的法则计算力学量的矩阵元
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§7.3 粒子数表象
Representation of Particle Number
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13
一、粒子数表象的由来
●上述结论启发人们采用粒子数表象
引入粒子的产生和消灭算符 以简化多粒子体系力学量矩阵元的计算 这种方法就叫做二次量子化方法
16
§7.4 粒子数表象中费米子体系 的波函数及力学量的表示
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17
一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
●产生算符表示状态应与Slater行列式等价 →产生算符的对易关系
→消灭算符的对易关系
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18
一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
在粒子数表象中的表达式 其中矩阵元的含义
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二、力学量的表示
●力学量表达式的由来 要求与波动力学矩阵元表达式相等而总结得到
▲单粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元
有一个态不相同的情况 ▲双粒子算符在多粒子态矢量间的矩阵元 有一个态不相同的情况
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§7.1 中心场近似
Central Field Approximation
†‡●☺☻◙◘♠♣♥♦♪♫
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一、多粒子体系的哈密顿量
●考察序数为 Z 的原子中 Z 个电子构成的体系 在非相对论近似下，哈密顿量为
2 2 2 Ze ˆ 0 [ 2 m i r ] H i i 1 Z 2 e ˆ H1 rij rij | ri r j i j Z
Z
|
ˆ 2 (ri )li si H
i
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4
一、多粒子体系的哈密顿量
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二、力学量的表示
●单粒子算符 例：单粒子动能算符
N个粒子体系的动能算符
在粒子数表象中的表达式 其中矩阵元的含义
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二、力学量的表示
●双粒子算符 例：两个粒子相互作用位能算符
N个粒子体系总的相互作用位能算符
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二、粒子的真空态；产生消灭算符
●真空态定义；归一化条件 ●产生算符的定义
单个粒子的状态
N个粒子的状态
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15
二、粒子的真空态；产生消灭算符
●消灭算符的定义
作用于真空态的效果
产生和消灭算符互为厄米共轭；非厄米
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2
Z
Z
Z
i 1
i j
ij
i 1
U (ri )的选取应使二者之差可视为微扰
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→中心场近似
6
二、中心场近似
● 中心场近似的实质 将 Z 个具有相互作用的电子看作相互无作用 地在一个共同的中心场中运动——零级近似
ˆi U (ri )] ˆ 0 [h 零级近似哈密顿量 H
1 2
▲计算单粒子算符和双粒子算符矩阵元
0 | a a a a a a | 0
N 1 1 N
列表→ i i
i 1
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N
三、Wick定理的应用
▲计算单粒子算符的矩阵元（续）
0 | a a | t | a a a a | 0
当n+m=奇数，为零
当n+m=偶数，为一切可能的收缩乘积之和
例： 0 | a1 a 2 a 3 | 0
0 | a a a a | 0
1 2 3 4
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三、Wick定理的应用
●利用Wick定理，可以方便地计算矩阵元
0 | a2 a1a a a a a a | 0
本征函数
本征值 ▲用产生消灭算符表示的哈密顿量与粒子 数无关，粒子数只表现在态矢量上
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i
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1 2 i N
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一、波函数的表示；产生消灭算符 的对易关系
a | n1n2 ni () P ni | n1n2 1 ni
i
ni 0或1，i 1,2,3,
P nr
r 1
a | n1n2 ni () P 1 ni | n1n2 ni 1
二、力学量的表示
●力学量表达式的由来 在粒子数表象下用上述力学量计算的结果
与此完全一致
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§7.5 维克定理
Wick Theorem